一元三次方程的求解公式及其推导阿迪力

新疆大学毕业论文(设计)

题目:一元三次方程的求根公式及其推导指导老师:木依丁.海力力

学生姓名：阿迪力·艾肯

所属院系：数学与系统科学学院

专业：数学与应用数学

班级：应数07-2班

完成日期：

声明

本人阿迪力·艾肯声明该毕业论文（设计）是本人在木依丁.海力力老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。

声明人（签名）：

2012年5月27日

阿迪力·艾肯同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。

指导教师（签名）：

2012年5月27日

新疆大学

毕业论文（设计）任务书

班级：应数07-2 姓名：阿迪力·艾肯

论文（设计）题目：一元三次方程的求根公式及其推导

专题：

论文（设计）来源：指导教师自选题

要求完成的内容：

发题日期：2012年 03月 10日完成日期：2012 年05月27 日

实习实训单位：地点：数学与系统科学学院论文页数：8 页；图纸张数：

指导教师：木依丁.海力力

教研室主任：高文华

院长（系主任）：猛吉翔

摘要

在本文中，首先我们介绍了解一元三次方程的求解公式并举了几个例子，然后介绍了解一元三次方程的卡尔丹公式并举例，最后写出来卡尔丹公式的推导过程。

目录

1.一元二次方程的求解公式及其推导过程 (1)

1.1关于解一元二次方程的例子 (2)

2.一元三次方程求解公式 (3)

2.2关于解一元三次方程的例子 (4)

3.求解一元三次方程的卡尔丹公式的推到过程 (6)

4.总结 (9)

5.致谢 (10)

6.参考文献 (11)

1·一元二次方程的求解公式及其推导

人类很早就掌握了一元二次方程的解法。我们来看一下一般形式的一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解．

用配方法来解一般形式的一元二次方程

ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．

因为a ≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a ，得

02=++a

c

x a b x ，

移项，得

a

c x a b x -=+2，

配方，得

2

2

2

22⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭

⎫

⎝⎛++a b a c a b x a b x ，

即

2

22

442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+． 因为a ≠0，所以4a 2＞0，当b 2-4ac ≥0时，得

2

2442a

ac

b a b x -±=+， 即

a

ac

b a b x 2422-±

=+． 所以

a

ac

b a b x 2422-±

-=， 即

a

ac b b x 242-±-=．

上面的式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 从上面的结论可以发现：

(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的．

(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提

下，把a 、b 、c 的值代入a ac b b x 242-±-=(b 2-4ac ≥0)中，可求得方程的两个

实数根，当ac b 42-<0时有也有两个共轭虚根。

1.1关于一元二次方程的例子

例1：02632=--x x 解：运用公式法求解

060)2(34)6(42

,6,322>=-⨯⨯--=-=∆-=-==ac b c b a

Θa ac b b x 242-±-==315332606±=⨯± ;3

15

3,315321-=+=

∴x x 可以看出当0>∆时方程有两个互不相同的实数根； 例2：03322=+-x x 解：运用公式法求解

314)32(43

,32,12

2

=⨯⨯--=-=∆=-==ac b c b a

Θa

ac b b x 242-±-==

323

212032==⨯± ∴:321==x x 可以看到当0=∆时方程有两个相同的实根； 例3：05422=+-x x 解：5,4,2=-==c b a

244016524)4(422-=-=⨯⨯--=-=∆ac b

Θ a

ac

b b x 242-±-=

i 2

6

12224)4(±=⨯-±--=

;2

6

1,26121i x i x -=+

=∴ 可以看到∆<0时有也有两个共轭虚根。

2.一元三次方程求解公式

古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。

在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹。

下面我们看一下一元三次方程的求解公式：

先把方程023=+++d cx bx ax 化为03=++q px x 的形式：

令a

b

y x 3-

=，则原式变成 0)3()3()3(23=+-+-+-

d a

b

y c a b y b a b y a 0)3()932()273(2

22

332223

=+-++-+-+-d a b y c a b a by y b a

b a y b a by y a 039322732

322

2322

3

=+-++-+-+-d a bc cy a b y a b by a b y a b by ay

0)3272()3(2323

=-++-+a

bc

a b d y a b c ay

0)3272()3(2

33223

=-++-+a

bc

a b a d y a b a c y 如此一来二次项就不见了，化成03

=++q py y ，其中22

3a

b a

c p -=，

2

333272a bc a b a d q -+=。

对方程03=++q py y 直接利用卡尔丹诺公式：