2011版高三数学一轮精品复习学案：第八章 平面解析几何(8.2直线与圆)
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（四）有关圆的实际应用
〖例〗有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？
（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为 等。
（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。
2．求轨迹方程的一般步骤：
（1）建系：设动点坐标为（x,y）；
（2）列出几何等式；
（3）用坐标表示得到方程；
（4）化简方程；
2．特别要记住下面两个代数式的几何意义：
表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率， 表示点（x,y）与原点的距离。
※例题解析※
〖例〗已知实数 、 满足方程 。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 - 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值。
思路解析：化 ， 满足的关系为 理解 ， - ， 的几何意义 根据几何意义分别求之。
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；
（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。
注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）
d<r 直线与圆相交；
d>r 直线与圆相切；
d=r 直线与圆相离。
※例题解析※
〖例〗已知圆
（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；
（2）与 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
（3）求证：任何一条平行于 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。
※例题解析※
〖例〗求经过两圆 和 的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程
思路解析：根据已知，可通过解方程组 得圆上两点，由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为 ，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程
解答：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
（5）除去不合题意的点，作答。
※例题解析※
〖例〗设定点M（-3，4），动点N在圆 上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。
思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。
解答：如图所示，
设P（x,y），N ，则线段OP的中点坐标为 ，线段MN的中点坐标为 。因为平行四边形的对角线互相平分，故 。N（x+3,y-4）在圆上，故 。因此所求轨迹为圆： ，担应除去两点： （点P在OM所在的直线上时的情况）。
2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为： 由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。
3．以 为直径的两端点的圆的方程为
※相关链接※
直线和圆的位置关系的判定有两种方法
（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式⊿来讨论位置关系，即
⊿>0 直线与圆相交;
⊿=0 直线与圆相切;
⊿<0 直线与圆相离.
（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即
（3） 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为 ，所以 的最大值是 ， 的最小值是 。
（三）与圆有关的轨迹问题
※相关链接※
1．解决轨迹问题，应注意以下几点：
（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。
所以设所求圆的方程为
展开、配方、整理，得 + = +
圆心为 ，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圆的方程为
注：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1） 它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆
注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。
（2）若点 在圆 上，则M点的圆的切线方程为 。
2．圆的弦长的求法
（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则 。
（2）代数法：设直线与圆相交于 两点，解方程组 消y后得关于x的一元二次方程，从而求得 则弦长为
。
解答：（方法一）设所求的圆的方程是 ，
则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为 ，
∴
即 ………………………………………………①
由于所求的圆与x轴相切，∴ ………………………………②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上，
∴3a-b=0………………………………………………………………③
联立①②③，解得a=1,b=3, =9或a=-1,b=-3, =9.
解答：（1）原方程可化为 ，表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆， 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 = ，即 。当直线 与圆相切时，斜率 取最大值或最小值，此时 ，解得 =± 。
所以 的最大值为 ，最小值为﹣
（2） - 可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ，解得 。所以 - 的最大值为 ，最小值为 。
（四）直线、圆位置关系的综合应用
〖例〗如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为 ,点 在 边所在直线上．
（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；
（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；
（3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。
2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。
【考纲知识梳理】
一、圆的方程
1．圆的定义
（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。
2．圆的方程
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
圆心坐标
（a,b）
半径
r
注：方程 表示圆的充要条件是
3．点与圆的位置关系
已知圆的方程为 ，点 。则：
（1）点在圆上： ；
（2）点在圆外： ；
（3）点在圆内： 。
4．确定圆的方程方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
∴3a· =a· .
化简整理，得
（1）当P点在以（- ，0）为圆心、 为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等。
（2）当P点在上述圆内时，
当P点在上述圆外时，
注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。
二、直线、圆的位置关系
（一）直线和圆的位置关系
解答：（1）配方得： 设圆心为(x,y)，则 ，消去m得 则圆心恒在直线 。
（2）设与 平行的直线是： ，
（3）对于任一条平行于 且与圆相交的直线 ： ，由于圆心到直线 的距离
（与m无关）。弦长=
∴任何一条平行于 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
（二）圆与圆的位置关系
※相关链接※
1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；
二、直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
公共点个数
0个
1个
2个
几何特征（圆心到直线的距离 ，半径 ）
代数特征（直Baidu Nhomakorabea与圆的方程组成的方程组）
无实数解
有两组相同实数解
有两组不同实数解
注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。
注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在任一弦的中垂直上；
（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
※例题解析※
〖例〗求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为 的圆的方程。
思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐。
2．圆与圆的位置关系
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
几何特征（圆心距 ，两圆半径 ， ， ）
代数特征（两个圆的方程组成的方程组）
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
【热点难点精析】
一、圆的方程
（一）圆的方程的求法
※相关链接※
1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.
故所求的圆的方程是：
（方法二）设所求的圆的方程是 =0，圆心为 ，半径为 令y=0，得 =0，由圆与x轴相切，得⊿=0，即 ……④
又圆心 到直线x-y=0的距离为
由已知，得
即 …………………………………………⑤
又圆心 在直线3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥
联立④⑤⑥，解得
D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。
2．若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 项即可得到；
3．两圆公切线的条数（如下图）
（1）两圆内含时，公切线条数为0；
（2）两圆内切时，公切线条数为1；
（3）两圆相交时，公切线条数为2；
（4）两圆外切时，公切线条数为3；
（5）两圆相离时，公切线条数为4。
因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。
思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决相关问题。
解答：如图，
以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，∵|AB∣=10，∴A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，
2011版高三数学一轮精品复习学案：第八章平面解析几何
第二节直线与圆
【高考目标定位】
一、圆的方程
（一）考纲点击
1、掌握确定圆的几何要素；
2、掌握确定圆的标准方程与一般方程。
（二）热点提示
1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程；
2、直线和圆的位置关系是考查的热点；
3、本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。
二、直线、圆的位置关系
（一）考纲点击
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
（二）热点提示
1、直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题，主要考查：
（三）圆的切线及弦长问题
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1．求圆的切线的方法
（1）求圆的切线方程一般有两种方法：
①代数法：设切线方程为 与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式⊿=0进而求得k。
②几何法：设切线方程为 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。
两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。
故所求圆的方程是 =0或
（二）与圆有关的最值问题
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1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如m= 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m= 的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。
〖例〗有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？
（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为 等。
（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。
2．求轨迹方程的一般步骤：
（1）建系：设动点坐标为（x,y）；
（2）列出几何等式；
（3）用坐标表示得到方程；
（4）化简方程；
2．特别要记住下面两个代数式的几何意义：
表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率， 表示点（x,y）与原点的距离。
※例题解析※
〖例〗已知实数 、 满足方程 。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 - 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值。
思路解析：化 ， 满足的关系为 理解 ， - ， 的几何意义 根据几何意义分别求之。
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；
（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。
注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）
d<r 直线与圆相交；
d>r 直线与圆相切；
d=r 直线与圆相离。
※例题解析※
〖例〗已知圆
（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；
（2）与 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
（3）求证：任何一条平行于 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。
※例题解析※
〖例〗求经过两圆 和 的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程
思路解析：根据已知，可通过解方程组 得圆上两点，由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为 ，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程
解答：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
（5）除去不合题意的点，作答。
※例题解析※
〖例〗设定点M（-3，4），动点N在圆 上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。
思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。
解答：如图所示，
设P（x,y），N ，则线段OP的中点坐标为 ，线段MN的中点坐标为 。因为平行四边形的对角线互相平分，故 。N（x+3,y-4）在圆上，故 。因此所求轨迹为圆： ，担应除去两点： （点P在OM所在的直线上时的情况）。
2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为： 由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。
3．以 为直径的两端点的圆的方程为
※相关链接※
直线和圆的位置关系的判定有两种方法
（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式⊿来讨论位置关系，即
⊿>0 直线与圆相交;
⊿=0 直线与圆相切;
⊿<0 直线与圆相离.
（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即
（3） 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为 ，所以 的最大值是 ， 的最小值是 。
（三）与圆有关的轨迹问题
※相关链接※
1．解决轨迹问题，应注意以下几点：
（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。
所以设所求圆的方程为
展开、配方、整理，得 + = +
圆心为 ，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圆的方程为
注：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1） 它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆
注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。
（2）若点 在圆 上，则M点的圆的切线方程为 。
2．圆的弦长的求法
（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则 。
（2）代数法：设直线与圆相交于 两点，解方程组 消y后得关于x的一元二次方程，从而求得 则弦长为
。
解答：（方法一）设所求的圆的方程是 ，
则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为 ，
∴
即 ………………………………………………①
由于所求的圆与x轴相切，∴ ………………………………②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上，
∴3a-b=0………………………………………………………………③
联立①②③，解得a=1,b=3, =9或a=-1,b=-3, =9.
解答：（1）原方程可化为 ，表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆， 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 = ，即 。当直线 与圆相切时，斜率 取最大值或最小值，此时 ，解得 =± 。
所以 的最大值为 ，最小值为﹣
（2） - 可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ，解得 。所以 - 的最大值为 ，最小值为 。
（四）直线、圆位置关系的综合应用
〖例〗如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为 ,点 在 边所在直线上．
（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；
（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；
（3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。
2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。
【考纲知识梳理】
一、圆的方程
1．圆的定义
（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。
2．圆的方程
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
圆心坐标
（a,b）
半径
r
注：方程 表示圆的充要条件是
3．点与圆的位置关系
已知圆的方程为 ，点 。则：
（1）点在圆上： ；
（2）点在圆外： ；
（3）点在圆内： 。
4．确定圆的方程方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
∴3a· =a· .
化简整理，得
（1）当P点在以（- ，0）为圆心、 为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等。
（2）当P点在上述圆内时，
当P点在上述圆外时，
注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。
二、直线、圆的位置关系
（一）直线和圆的位置关系
解答：（1）配方得： 设圆心为(x,y)，则 ，消去m得 则圆心恒在直线 。
（2）设与 平行的直线是： ，
（3）对于任一条平行于 且与圆相交的直线 ： ，由于圆心到直线 的距离
（与m无关）。弦长=
∴任何一条平行于 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
（二）圆与圆的位置关系
※相关链接※
1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；
二、直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
公共点个数
0个
1个
2个
几何特征（圆心到直线的距离 ，半径 ）
代数特征（直Baidu Nhomakorabea与圆的方程组成的方程组）
无实数解
有两组相同实数解
有两组不同实数解
注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。
注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在任一弦的中垂直上；
（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
※例题解析※
〖例〗求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为 的圆的方程。
思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐。
2．圆与圆的位置关系
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
几何特征（圆心距 ，两圆半径 ， ， ）
代数特征（两个圆的方程组成的方程组）
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
【热点难点精析】
一、圆的方程
（一）圆的方程的求法
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1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.
故所求的圆的方程是：
（方法二）设所求的圆的方程是 =0，圆心为 ，半径为 令y=0，得 =0，由圆与x轴相切，得⊿=0，即 ……④
又圆心 到直线x-y=0的距离为
由已知，得
即 …………………………………………⑤
又圆心 在直线3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥
联立④⑤⑥，解得
D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。
2．若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 项即可得到；
3．两圆公切线的条数（如下图）
（1）两圆内含时，公切线条数为0；
（2）两圆内切时，公切线条数为1；
（3）两圆相交时，公切线条数为2；
（4）两圆外切时，公切线条数为3；
（5）两圆相离时，公切线条数为4。
因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。
思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决相关问题。
解答：如图，
以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，∵|AB∣=10，∴A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，
2011版高三数学一轮精品复习学案：第八章平面解析几何
第二节直线与圆
【高考目标定位】
一、圆的方程
（一）考纲点击
1、掌握确定圆的几何要素；
2、掌握确定圆的标准方程与一般方程。
（二）热点提示
1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程；
2、直线和圆的位置关系是考查的热点；
3、本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。
二、直线、圆的位置关系
（一）考纲点击
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
（二）热点提示
1、直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题，主要考查：
（三）圆的切线及弦长问题
※相关链接※
1．求圆的切线的方法
（1）求圆的切线方程一般有两种方法：
①代数法：设切线方程为 与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式⊿=0进而求得k。
②几何法：设切线方程为 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。
两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。
故所求圆的方程是 =0或
（二）与圆有关的最值问题
※相关链接※
1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如m= 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m= 的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。