bjtu概率论习题讲解
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u
y
1 2 y du 1 ( x 1)e x e . 2
x
xe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
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第三章 多维随机变量及其分布
(2)当m 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{ X n | Y m} P{Y m}
e 14 (7.14) m (6.86) nm e 7.14 (7.14) m m!(n m)! m! (6.86) nm e 6.86 , n m, m 1, (n m)!
{ X k} {Yi k , k 1,,6 | i 1,2,, n} {Yi k 1,,6 | i 1,2,, n}, k 1,2,,6.
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第二章 随机变量及其分布
由于 Yn相互独立 , 因此 (6 k 1) (6 k ) P{ X k} n n 6 6 k 1,2,,6.
(5) F ( x, y)
x
y
f (u, v)dudv
i)当x 0或y 0时, F ( x, y) 0;
ii)当y x 0时, F ( x, y )
x 0 x 0
y
u
ue dudv udu e dv
v v 0 u
x
y
u e e
P{Y m} P{ X n, Y m}
e
14
nm 14
(7.14) (6.86) m!(n m)!
nm m
nm
e (6.86) e (6.86) m m (7.14) (7.14) m! m! k! n m ( n m)! k 0
n n
第二章 随机变量及其分布
9.设昆虫生产k个卵的概率为
pk
k
k!
e (k 0,1,2,),
又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p. 若卵的孵化是相互独立的,问此昆虫的下 一代有l条的概率是多少?
解 : 令X为昆虫生产的卵的个数 , Yk 为 k个卵中孵化为昆虫的个 数.事件 A表示 昆虫的下一代有 l条.
第二章 随机变量及其分布
1 1 1 故 P{Y 3} 1 - - . 3 3 3 Y的分布律为 1 P{ X k} , k 1,2,3. 3 (3) {X Y }可分解为下列 3个两两互不相容事件之 和 :
{ X Y } ({X 1} {Y 2}) ({X 1} {Y 3}) ({X 2} {Y 3}) 故 P{ X Y } P({X 1} {Y 2}) P({X 1} {Y 3}) P({X 2} {Y 3}) 返回主目录
第二章 随机变量及其分布
因为两只鸟的行动是相互独立的,因此
P{ X Y } P{ X 1}P{Y 2} P{ X 1}P{Y 3} P{ X 2}P{Y 3} 1 1 1 1 2 1 8 . 3 3 3 3 9 3 27 P{Y X } 1 P{X Y } P{Y X }
FY ( y) P| X | y 1 , 1 x 2, f X x 3 其它. 0,
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第三章 多维随机变量及其分布
9.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，以Y 记其中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,. (1)求边缘分布律 (2)求条件分布律 (3)写出X=20时,Y的条件分布律
n 14
n
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
e 14 e n (7.14 6.86) n! n!
14
, n 0,1,2,
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
解: (1) P{ X n} P{ X n, Y m}
e 14 (7.14) (6.86) n m m!(n m)! m 0
n
m 0 m
n
e n!
14
n! m n来自百度文库 (7.14) (6.86) m 0 m!( n m)!
n n
{Y k} {Yi 1,2,, k | i 1,2,, n} {Yi 1,2,, k 1 | i 1,2,, n}, k 1,2,,6.
由于 Yn相互独立 , 因此 k (k 1) P{Y k} n , k 1,2,,6. n 返回主目录 6 6
(3)求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的
概率.
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第二章 随机变量及其分布 解:
1 2 (1) P{X k} , k 1,2,. 3 3
k 1
(2) Y的可能值为 1,2,3. {Y 1}表示鸟从三扇窗子中选 对了一扇 , 则 1 P{Y 1} . 3 2 {Y 2}表示鸟第一次试飞失败 (概率为 ), 3 第二次从两扇窗子中选 对了一扇 , 则 2 1 1 P{Y 2} . 3 2 3 返回主目录
m 7.14 e 14 ( 7 . 14 ) e m 6.86 (7.14) e , m 0,1,2, m! m!
nm
14
k
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由
f ( x, y)dxdy 1可解得 c 1.
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第三章 多维随机变量及其分布
e
14
(7.14) (6.86) m!(n m)!
m
nm
e 14 m 7.14 6.86 Cn n! 14 14
n
14
m
nm
m Cn 0.51m 0.49n m , m 0,1,2,, n
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
Y 的分布函数为 FY y . 由题意知X的概率密度为 1 , 1 x 2, f X x 3 其它. 0,
(1)当y 0时, FY ( y) P 0; (2)当y 2时, FY ( y) 1;
FY ( y) P Y y P| X | y
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第二章 随机变量及其分布
则 P( A) P({X k} {Yk l})
k l
( P{X k}P{Yk l | X k})
k l
(
k l
k
k!
e C p (1 p)
l k l
k l
)
pl e l!
(k l )!(1 p)
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第三章 多维随机变量及其分布
(3) P{Y m | X 20}
m C20 0.51m 0.4920m , m 0,1,2,,20.
P{Y m | X n}
m Cn 0.51m 0.49n m , m 0,1,2,, n
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第三章 多维随机变量及其分布
k l
k
k l
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第二章 随机变量及其分布
( p ) e l!
l
l
i! (1 p)
i 0
i
i
( p ) e l!
e
(1 p )
( p ) l e p l!
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第二章 随机变量及其分布
6 一个房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是
3 8 1 P({X k} {Y k}) 27 k 1 3 8 1 P{ X k}P{Y k} 27 k 1 38 . 81
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第二章 随机变量及其分布
25 设X ~ U (1,2),求Y | X | 的概率密度 .
解:设随机变量 X 的分布函数为 FX x ，随机变量
概率论与数理统计习题解答
第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定律及中心极限定理
第六章 参数估计
第一章 概率论的基本概念
38 将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为 原字母的概率为 , 而输出为其它字母的概率 都是 (1 ) 2 . 今将字母串AAAA,BBBB, CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为p1, p2 , p3 ( p1 p2 p3 1). 已知输出为 ABCA, 问输入的是AAAA的概率是多少? (设 信道传输的各个字母的工作是相互独立的.)
第一章 概率论的基本概念
解:
令事件 Ai分别表示输入 AAAA，输入 BBBB, 输入 CCCC, i 1， 2， 3. 令事件 A 表示输出 ABCA.
由已知条件及独立性知
1 P( A | A2 ) P( A | A3 ) . 2
返回主目录
1 P( A | A1 ) , 2
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第二章 随机变量及其分布
1 2 (3)当0 y 1时, FY ( y ) dx y; y 3 3 1 y 1 1 (4)当1 y 2时, FY ( y ) 0dx dx ( y 1). y 1 3 3
y
将FY ( y )关于 y求导得 2 3 , 0 y 1, 1 fY ( y ) , 1 y 2, 3 其它. 0,
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第二章 随机变量及其分布
2.将一颗骰子抛掷n次,将所得的n个点
数的最小值记为X,最大值记为Y.分别求 出X与Y的分布律. 解 : 以Yi 记第 i次投掷时骰子出现的点 数,
i 1,2,, n.则X minYi , Y maxYi .
1i n 1i n
X与Y的所有可能值均为 1,2,3,4,5, 6.
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章 多维随机变量及其分布
当n 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{Y m | X n} P{Y n}
打开的.有一只鸟自开着的窗子飞入了房间.假定鸟 是没有记忆的,它飞向各扇窗子是随机的. (1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律. (2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一 窗子的尝试不多于一次.以Y表示这只聪明的鸟为了 飞出房间试飞的次数,如户主说的是确实的,试求Y的 分布律.
2
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第一章 概率论的基本概念
由贝叶斯公式知
P( A1 A) P( A1 | A) P( A)
P( A1 ) P( A | A1 ) P( A1 ) P( A | A1 ) P( A2 ) P( A | A2 ) P( A3 ) P( A | A3 )
2p1 . (3 1) p1 1
y
1 2 y du 1 ( x 1)e x e . 2
x
xe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
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第三章 多维随机变量及其分布
(2)当m 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{ X n | Y m} P{Y m}
e 14 (7.14) m (6.86) nm e 7.14 (7.14) m m!(n m)! m! (6.86) nm e 6.86 , n m, m 1, (n m)!
{ X k} {Yi k , k 1,,6 | i 1,2,, n} {Yi k 1,,6 | i 1,2,, n}, k 1,2,,6.
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第二章 随机变量及其分布
由于 Yn相互独立 , 因此 (6 k 1) (6 k ) P{ X k} n n 6 6 k 1,2,,6.
(5) F ( x, y)
x
y
f (u, v)dudv
i)当x 0或y 0时, F ( x, y) 0;
ii)当y x 0时, F ( x, y )
x 0 x 0
y
u
ue dudv udu e dv
v v 0 u
x
y
u e e
P{Y m} P{ X n, Y m}
e
14
nm 14
(7.14) (6.86) m!(n m)!
nm m
nm
e (6.86) e (6.86) m m (7.14) (7.14) m! m! k! n m ( n m)! k 0
n n
第二章 随机变量及其分布
9.设昆虫生产k个卵的概率为
pk
k
k!
e (k 0,1,2,),
又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p. 若卵的孵化是相互独立的,问此昆虫的下 一代有l条的概率是多少?
解 : 令X为昆虫生产的卵的个数 , Yk 为 k个卵中孵化为昆虫的个 数.事件 A表示 昆虫的下一代有 l条.
第二章 随机变量及其分布
1 1 1 故 P{Y 3} 1 - - . 3 3 3 Y的分布律为 1 P{ X k} , k 1,2,3. 3 (3) {X Y }可分解为下列 3个两两互不相容事件之 和 :
{ X Y } ({X 1} {Y 2}) ({X 1} {Y 3}) ({X 2} {Y 3}) 故 P{ X Y } P({X 1} {Y 2}) P({X 1} {Y 3}) P({X 2} {Y 3}) 返回主目录
第二章 随机变量及其分布
因为两只鸟的行动是相互独立的,因此
P{ X Y } P{ X 1}P{Y 2} P{ X 1}P{Y 3} P{ X 2}P{Y 3} 1 1 1 1 2 1 8 . 3 3 3 3 9 3 27 P{Y X } 1 P{X Y } P{Y X }
FY ( y) P| X | y 1 , 1 x 2, f X x 3 其它. 0,
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第三章 多维随机变量及其分布
9.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，以Y 记其中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,. (1)求边缘分布律 (2)求条件分布律 (3)写出X=20时,Y的条件分布律
n 14
n
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
e 14 e n (7.14 6.86) n! n!
14
, n 0,1,2,
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第三章 多维随机变量及其分布
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第三章 多维随机变量及其分布
解: (1) P{ X n} P{ X n, Y m}
e 14 (7.14) (6.86) n m m!(n m)! m 0
n
m 0 m
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e n!
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n! m n来自百度文库 (7.14) (6.86) m 0 m!( n m)!
n n
{Y k} {Yi 1,2,, k | i 1,2,, n} {Yi 1,2,, k 1 | i 1,2,, n}, k 1,2,,6.
由于 Yn相互独立 , 因此 k (k 1) P{Y k} n , k 1,2,,6. n 返回主目录 6 6
(3)求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的
概率.
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第二章 随机变量及其分布 解:
1 2 (1) P{X k} , k 1,2,. 3 3
k 1
(2) Y的可能值为 1,2,3. {Y 1}表示鸟从三扇窗子中选 对了一扇 , 则 1 P{Y 1} . 3 2 {Y 2}表示鸟第一次试飞失败 (概率为 ), 3 第二次从两扇窗子中选 对了一扇 , 则 2 1 1 P{Y 2} . 3 2 3 返回主目录
m 7.14 e 14 ( 7 . 14 ) e m 6.86 (7.14) e , m 0,1,2, m! m!
nm
14
k
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由
f ( x, y)dxdy 1可解得 c 1.
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第三章 多维随机变量及其分布
e
14
(7.14) (6.86) m!(n m)!
m
nm
e 14 m 7.14 6.86 Cn n! 14 14
n
14
m
nm
m Cn 0.51m 0.49n m , m 0,1,2,, n
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
Y 的分布函数为 FY y . 由题意知X的概率密度为 1 , 1 x 2, f X x 3 其它. 0,
(1)当y 0时, FY ( y) P 0; (2)当y 2时, FY ( y) 1;
FY ( y) P Y y P| X | y
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第二章 随机变量及其分布
则 P( A) P({X k} {Yk l})
k l
( P{X k}P{Yk l | X k})
k l
(
k l
k
k!
e C p (1 p)
l k l
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)
pl e l!
(k l )!(1 p)
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第三章 多维随机变量及其分布
(3) P{Y m | X 20}
m C20 0.51m 0.4920m , m 0,1,2,,20.
P{Y m | X n}
m Cn 0.51m 0.49n m , m 0,1,2,, n
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第三章 多维随机变量及其分布
k l
k
k l
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第二章 随机变量及其分布
( p ) e l!
l
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i! (1 p)
i 0
i
i
( p ) e l!
e
(1 p )
( p ) l e p l!
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第二章 随机变量及其分布
6 一个房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是
3 8 1 P({X k} {Y k}) 27 k 1 3 8 1 P{ X k}P{Y k} 27 k 1 38 . 81
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第二章 随机变量及其分布
25 设X ~ U (1,2),求Y | X | 的概率密度 .
解:设随机变量 X 的分布函数为 FX x ，随机变量
概率论与数理统计习题解答
第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定律及中心极限定理
第六章 参数估计
第一章 概率论的基本概念
38 将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为 原字母的概率为 , 而输出为其它字母的概率 都是 (1 ) 2 . 今将字母串AAAA,BBBB, CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为p1, p2 , p3 ( p1 p2 p3 1). 已知输出为 ABCA, 问输入的是AAAA的概率是多少? (设 信道传输的各个字母的工作是相互独立的.)
第一章 概率论的基本概念
解:
令事件 Ai分别表示输入 AAAA，输入 BBBB, 输入 CCCC, i 1， 2， 3. 令事件 A 表示输出 ABCA.
由已知条件及独立性知
1 P( A | A2 ) P( A | A3 ) . 2
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1 P( A | A1 ) , 2
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第二章 随机变量及其分布
1 2 (3)当0 y 1时, FY ( y ) dx y; y 3 3 1 y 1 1 (4)当1 y 2时, FY ( y ) 0dx dx ( y 1). y 1 3 3
y
将FY ( y )关于 y求导得 2 3 , 0 y 1, 1 fY ( y ) , 1 y 2, 3 其它. 0,
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第二章 随机变量及其分布
2.将一颗骰子抛掷n次,将所得的n个点
数的最小值记为X,最大值记为Y.分别求 出X与Y的分布律. 解 : 以Yi 记第 i次投掷时骰子出现的点 数,
i 1,2,, n.则X minYi , Y maxYi .
1i n 1i n
X与Y的所有可能值均为 1,2,3,4,5, 6.
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章 多维随机变量及其分布
当n 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{Y m | X n} P{Y n}
打开的.有一只鸟自开着的窗子飞入了房间.假定鸟 是没有记忆的,它飞向各扇窗子是随机的. (1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律. (2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一 窗子的尝试不多于一次.以Y表示这只聪明的鸟为了 飞出房间试飞的次数,如户主说的是确实的,试求Y的 分布律.
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第一章 概率论的基本概念
由贝叶斯公式知
P( A1 A) P( A1 | A) P( A)
P( A1 ) P( A | A1 ) P( A1 ) P( A | A1 ) P( A2 ) P( A | A2 ) P( A3 ) P( A | A3 )
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