武汉大学数字测图原理与方法全套课件第十一章

§11.3 面积和体积计算
mxi myi mc
（11-5）
图11-8 多边形间隔点连线
则得到用坐标解析法量算面积的精度估算公式：
mc mP 2
Di21,i 1
i 1
n
（11-6）
式中Di+1,i-1为图形中第i点前、后相邻两点（间隔点）连线的长度，如图11-8 所 示。 可见，坐标解析法量算面积的精度，不但与边界点的坐标精度有关，而且与图 形形状有关。当面积P和坐标中误差mc为定值时，间隔点连线愈短，即边界点愈 密，面积量算的精度愈高。 二、体积计算 用地形图计算体积是地形图应用的又一重要内容。在工程建设中，经常要进行 土石方量的计算，这实际上是一个体积计算问题。由于各种建筑工程类型的不同 ，地形复杂程度不同，因此需计算体积的形体是复杂多样的。下面介绍常用的等 高线法、断面法和方格法。
Vi
1 d i ( S i 1 S i ) 2
(11-8)

带状土工建筑物的总体积为：
1 n V Vi d i ( S i 1 S i ) 2 i 1 i 1
n
(11-9)
图11-10 断面法计算体积
3. 土地平整的填挖土石方计算 根据地形图来量算平整土地区域的填挖土石方，方格法是常用的方法之一。首 先在平整土地的范围内按一定间隔d(一般为5～20m)绘出方格网．如图11-11所示 。量算方格点的地面高程，注在相应方格点的右上方。为使挖方与填方大致平衡 ，可取各方格点高程的平均值作为设计高程H0，则各方格点的施工标高hi为 将施工标高注在地面高程的下面，负号表示挖土，正号表示填土。 在图上按设计高程确定填挖边界线，根据方格四个角点的施工标高符号不同． 可选择以下四种情况之一，计算各方格的填挖方量。 (1)四个角点均为填方或均为挖方
利用数字地形图，可以建立数字地面模型(DTM)。利用DTM，可以绘制不同比例 尺的等高线地形图、地形立体透视图、地形断面图，确定汇水范围和计算面积， 确定场地平整的填挖边界和计算土方量。在公路和铁路设计中，可以绘制地形的 三维轴视图和纵、横断面图，进行自动选线设计。 数字地面模型是地理信息系统(GIS)的基础资料，可用于土地利用现状分 析、土地规划管理和灾情分析等。在军事上可用于导航和导弹制导。在工业上， 利用数字地形测量的原理建立工业品的数字表面模型，能详细地表示出表面结构 复杂的工业品的形状，据此可进行计算机辅助设计和制造。 随着科学技术的高速发展和社会信息化程度的不断提高，数字地形图将会发挥 越来越大的作用。为便于了解数字地形图的功能，以下首先介绍纸质地形图的应 用。
式中，d为图上直线的长度，h为直线两端点间的高差，D为该直线的实地水平距 离，M为比例尺分母。坡度i一般用百分率%或千分率‰表示，上坡为正；下坡为负。 如果两点间距离较长，中间通过数条等高线，且等高线平距不等，则所求 地面坡度是两点间的平均坡度。
五、按一定方向绘制断面图
在工程设计中，当需要知道某一方向的地面起伏情况时，可按此方向直线与 等高线交点的平距与高程，绘制断面图。方法如下：
倾斜平面上的等高线是等距的平行线。为了确定填挖边界线，须在地形图上画 出设计等高线。首先求出ab、bc、ac三线中任一线上设计等高线的位置。以图中 bc线为例，在bc线上用内插法得到高程为153m、152m和151m的点d、e、f，同 法再内插出与A点同高程(152.3m)的点k，连接ak，此线即是倾斜平面上高程为 152.3m的等高线。通过d、e、f各点作与ak平行的直线，就得到倾斜平面上的设 计等高线。这些等高线在图中是用虚线表示的。
1.根据等高线计算体积 在地形图上，可利用图上等高线计算体积，如山丘体积、水库库容等。如图11-9 为一土丘，欲计算100m高程以上的土方量，首先量算各等高线围成的面积，各层 的体积可分别按台体和锥体的公式计算。将各层体积相加，即得总的体积。 设F0、F1、F2及F3为各等高线围成的面积，h为等高距，hk为最上一条等高线至 山顶的高度。则 1 V1 ( F0 F1 )h 2 图11-9 按等高线量算 1 V 2 ( F1 F2 )h 体积 2 (11-7) 1 V3 ( F2 F3 )h 2 1 V 4 F3 hk 3
(11-1)
式中，Xa、Ya 为P点所在方格西南角点的坐标。 若需要量测图上大量点位的坐标，可以采用数字化仪量测坐标（ 见§9-1），此方法可以消除图纸伸缩变形的影响。
二、量测两点间的距离 分别量取两点的坐标值，然后按坐标反算公式计算两点间的距离 。 当量测距离的精度要求不高时，可以用比例尺直接在图上量取或 利用复式比例尺量取两点间的距离。 三、量测直线的坐标方位角 先量取直线两端点的平面直角坐标，则可用坐标反算公式求出该 直线的坐标方位角。 若量测精度要求不高时，可用量角器直接在图上量测直线的坐标 方位角。
八、根据等高线整理地面 在工程建设中，常需要把地面整理成水平或倾斜的平面。 假设要把图11-6所示的地区整理成高程为201.7m的水平场地，确定填挖边界 线的方法是：在201m与202m两条等高线间，以7∶3的比例内插出201.7m的等高线 ，图上201.7m高程的等高线即为填挖边界线。在这条等高线上的各点处不填不挖 ；不在这条等高线上的各点处就需要填或挖，如图上204m等高线上各点处要挖深 2.3m，在198m等高线上各点处要填高3.7m。 假定要把地表面整理成倾斜平面，如图11-7中，要通过实地上A、B、C三点 筑成一倾斜平面。此三点的高程分别为152.3m、153.6m、150.4m。这三点在图上 的相应位置为a、b、c。
第十一章 数字地形图的应用
§11.1 概述 在国民经济建设和国防建设中，各项工程建设的规划、设计阶段，都需要了 解工程建设地区的地形和环境条件等资料，以便使规划、设计符合实际情况。在 一般情况下，都是以地形图的形式提供这些资料的。在进行工程规划、设计时， 要利用地形图进行工程建(构)筑物的平面、高程布设和量算工作。因此，地形图 是制定规划、进行工程建设的重要依据和基础资料。 传统地形图通常是绘制在纸上的，它具有直观性强、使用方便等优点，但也存 在易损、不便保存、难以更新等缺点。数字地形图是以数字形式储存在计算机存 储介质上的地形图。与传统的纸质地形图相比，数字地形图具有明显的优越性和 广阔的发展前景。随着计算机技术和数字化测绘技术的迅速发展，数字地形图已 广泛地应用于国民经济建设、国防建设和科学研究的各个方面，如工程建设的设 计、交通工具的导航、环境监测和土地利用调查等。 过去，人们在纸质地形图进行的各种量测工作，利用数字地形图同样能完 成，而且精度高、速度快。在Auto CAD软件环境下，利用数字地形图，可以输出 绘制不同比例尺的地形图和专题图。也可以很容易地获取各种地形信息，如量测 各个点的坐标；量测点与点之间的距离；量测直线的方位角、点的高程、两点间 的坡度和在图上设计坡度线等。
图11-4 汇水面积
七、按限制坡度选线
图11-5按限制坡度选线
在道路、管道等工程设计时，要求在不超过某一限制坡度条件 下，选定最短线路或等坡度线路。此时，可根据下式求出地形图上相邻两条等高 线之间满足限制坡度要求的最小平距。 h0 (11-4)
d min
iM
式中，h0 为等高线的等高距,i为设计限制坡度，M为比例尺分母。 如图11-5所示，按地形图的比例尺，用两脚规截取相应于dmin 的长度，然后在地形图上以A点为圆心，以此长度为半径，交54m等高线得到a点 ；再以a点为圆心，交55m等高线得到b；依此进行，直到B点。然后将相邻点连接 ，便得到符和限制坡度要求的路线。同法可在地形图上沿另一方向定出第二条路 线A—a＇— b＇— … — B，作为比较方案。
四、确定地面点的高程和两点间的坡度 如图11-2所示，P点正好在等高线上，则其高程与所在的等高线高程相同。 如果所求点不在等高线上，如k点，则过k点作一条大致垂直于相邻等高 线的线段mn，量取mn的长度d，再量取mk的长度d1，k点的高程Hk 可按比例内 插求得，即
d1 Hk Hm h d
§11.2 纸质地形图的应用
一、量取图上点的坐标值 在大比例尺地形图内图廓的四角注有实地坐标值。如图11-1所示，欲在图上量 测P点的坐标，可在P点所在方格，过P点分别作平行于X轴和Y轴的直线eg和fh， 按地形图比例尺量取af和ae的长度，则
X P X a af
YP Ya ae
图11-1 图上量取点的坐 标
一、面积量算 在地形图上量算面积是地形图应用的一项重要内容。量算面积的方法有：几何 图形法、网点法、求积仪法、坐标解析法等。这里仅介绍坐标解析法。 坐标解析法是依据图块边界轮廓点的坐标计算其面积的方法。计算公式见§9-1 中（9-6）式和（9-7）式。如果是曲线围成的图形，可沿曲线边界逐点采集轮廓 点的坐标，然后用坐标解析法计算面积。 坐标解析法量算面积的精度较高，其精度估算公式可由式（9-7）应用误差传 播定律求得。 设xi,yi为独立变量，各点的坐标中误差都相等，即
图11-2 确定地面 点高程
(11-2)
式中，Hm为m点的高程，h为等高距。
在地形图上求得相邻两点间的水平距离D和高差h后，可计算两点间的坡度。坡 度 ， 是 指 直 线 两 端 点 间 高 差 与 其 平 距 之 比 ， 以 i 表 示 。 即 h h (11-3)
i tg
D

d M
图11-6 整理成水平面
图11-7 整理成倾斜平面
在图上定出设计等高线与原地面上同高程等高线的交点，即得到不 填不挖点（也称为零点），用平顺的曲线连接各零点，即得到填挖 边界线。图11-7中有阴影的部分表示应填土的地方，而其余部分表 示应挖土的地方。 每处需要填土的高度或挖土的深度是根据实际地面高程与设计高程 之差确定的：如在M点，实际地面高程为151.2m．而该处设计高程 为150.6m，因此M点必须挖深0.6m。
在桥、涵设计中，桥涵孔径大小的确定；水利建设中，水库水坝的设计位置与水 库的蓄水量等,都是根据汇集于这一地区的水流量来确定的。汇集水流量的区域 面积称为汇水面积。山脊线亦称为分水线。雨、雪水是以山脊线为界流向两侧的， 所以汇水面积的边界线是由一系列的山脊线连接而成。量算出该范围的面积即得 汇水面积。 图11-4所示A处为修筑道路时经过的山谷，需在A处建造—涵洞以排泄水流。涵 洞孔径的大小，应根据流经该处的水量来决定，而这水量又与汇水面积有关，由 六、确定汇水面积 图11-4中可以看出，由分水线BC，CD、DE，EF及道路FB所围成的面积即汇水 面积。各分水线处处都与等高线相垂直，且经过一系列的山头和鞍部。