数学建模作业实验1数学建模入门

数学建模作业

(实验1数学建模入门)

基本实验

1．贷款问题

小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。

(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？

(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？

(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？

(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三

年还清贷款。但条件是：

(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款

额的1/2；

(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总

额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

解答

解：设A k为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额，

则A0=200000，且第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额 月利率+第k-1个月的欠款额-每月的还款额，即：

A k=A k－1（1+r）－x，k=1，2，…，N，

由以上差分方程可得：

第1个月的欠款额：A 1＝A 0（1+r ）－x

第2个月的欠款额：A 2＝A 1（1+r ）-x=A 0(1+r)2-x[(1+r)+1]

……

第k 个月的欠款额：A k =A k －1（1+r ）－x=A 0（1+r ）k －x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1] =0(1)1(1)(1)1k k

r A r x r +-+-+- 贷款总月数为n ，也就是说，第n 个月的欠款额为0，即A n ＝0，令n=k ，导出

00(1)(1)1

n

n A r r x A r r +=>⋅+-，说明每个月的还款额一定大于贷款额×月利率。 （1）r ＝0.006，n ＝240，A0＝200000，计算可得x=1574.699，即每月还款额1574.70元，共还款1574.70×240＝377928.00元，共计付利息177928.00元。

（2）打算在5年后还清全部贷款，即k ＝60，则A 60＝173034.90元。

（3）A 0=173034.90，n=15×12=180，r ＝0.008，由此可以得到x ＝1817.33元，即每月的还款额应为1817.33元。

（4）

① 若请借贷公司帮助还款，若提前三年还清贷款即是用17年还完贷款额，每半个月的付款额为1574.70的一半，还款次数是17×12×2＝408，则总的金额为1574.70×0.5×408+200000×10%＝341238.8元。

② 若不请借贷公司，每月的还款额x=1574.7元，按每年12个月计，总共的还款额为1574.70×12×20＝377928元。

由于341238.8<377928，所以小王夫妇可以请借贷公司帮助还款。

2．冷却定律与破案

按照Newton 冷却定律，温度为T 的物体在温度为T 0(T 0

凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达现场测得尸温26℃，室温10℃。晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。

解答

解：设T 为t 时刻尸体的温度，T 0为尸体的初始温度，k 为比例系数，由Newton 冷却定律可得微分方程：

0()dT k T T dt

=- 解该微分方程可得：

0kt T T Ce =+

令6时为t=0时刻，则T （0）=26℃，T （2）=18℃，T 0=10℃，带入微分方程，联立可得，C=16，k=-0.35，所以，-0.351016t T e =+。

当T=37℃时，带入微分方程的解可得t=-1.5小时，所以凶杀案发生在大约早晨4时30分。

3．锻炼想象力、洞察力和判断力的问题

(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路释中的同一地点，为什么？

(2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站， 并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10 天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻表是如何安徘的？

(3)张先生家住在A 市，在B 市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A 市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A 市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？

(4)一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回

到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？

解答

解：

（1）假设此人从山下出发的同一时刻，另外一个人从山上出发沿同一条道路下山，两人在同一条道路相向而行，毫无疑问，在两人相向而行的过程中，两人只能相遇一次。因此，若一个人在两天的同一时刻出发，该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，且该情况只能发生一次。

（2）从乙发出的车比从甲发出的车晚1分钟。对于一个时间长度为10分钟的区间，例如，可以从甲方向来的车驶离丙站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为乙开往甲的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由甲来的车先到。由此可见，如果此人到丙站等车的时间是随机的，则他先遇上乙方向来的车的概率为90%。

（3）假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

（4）男孩女孩到家都需要半小时，则小狗跑的时间也为半小时，所以小狗跑的路程为3公里。

参考文献《关于一个经典数学模型问题的讨论》

当S=0时，即小狗、男孩、女孩同时从家出发，设小狗先向女孩运动，假设

小狗最后停在S i’处，可以得到方程：

1

2

001

2

01

2

,

,

i

i

i

i

S v t

i

S

S v t v v

i

v v

λ

λ

-

-

-⋅

⎧

⎪

⎪

=⎨

+⋅-

⎪-⋅

⎪+

⎩

为奇数

为偶数

当i为无穷多次时，由定理可得S=0，对任意的S i’，S≡0；即当S=0时，小狗的最终位置S i’可以为[-2,3]中的任意数。

由上面分析可知，在男孩和女孩上学时小狗从家(S=0)往返奔波于他们之间的