微分、差分方程稳定性方法建模

二阶微分方程的稳定性由 p 和 q 的正负决定。 p > 0 且 q > 0 时平衡点 P0 稳定； p < 0 或 q < 0 时平衡点 P0 不稳定.
3、一阶线性差分方程 xk 1 axk b, k 0,1,
b 平衡点由x ax b得到：x 1 a * * k 时，若x k x ，则称x 是稳定的，
2.2 构造模型（Scheafer模型）
根据假设（2），建立模型：
x( t ) rx(1 x / N ) Ex F ( x )
对于这个模型，我们希望能分析出渔场应该 使鱼量保持在怎样的一个水平上，以及怎样才 能保持鱼量的稳定，即给出 t →+时，x(t)的 变化趋势。
2.3 平衡点与稳定性分析
3、最大经济效益模型
综合考虑渔场捕捞成本和捕捞量及鱼的 市场价格，给出投入、产出之间的最优结合 点。
3.1 假设
（1）收获的单位鱼量价格为p（固定）； （2）渔场捕捞成本与捕捞能力投入成正比，单位捕 捞能力投入的费用为C。
根据假设，渔场收入= p • h(x)，成本=C • E，从而 渔场的经济效益= pEx – CE = (px – C)E = R。
2.4 捕捞策略
y y=r x y=E0x
有了捕捞原则E<r，如 何使每年的捕捞量Ex都 能达到最高？设法给出 明确的捕捞策略，即确 定每年的最佳捕捞量。 分别记f(x)=rx(1-x/N)， h(x)=Ex。直线族与抛物 线的交点都是稳定平衡 点。
y=E1x
O
N/2
x1
N
x
2.5 结论
将捕捞能力控制在鱼群自然增长率的一半左 右，即Er/2，或者单位时间内只捕捞总鱼量 的一半，都能保证渔场长期产量的最大化。 根据这里的分析结果，我们可以调整捕捞努 力量，实现长期的产量最大化。 可是产量最大化是渔场的目标吗？渔场的真正 目标是实现效益的最大化。这时需要对模型进 行调整。
p f x1 ( Pi ) g x2 ( Pi ), q f x1 ( Pi ) g x2 ( Pi ) f x2 ( Pi ) g x1 ( Pi )
p
q
稳定 条件
2<1
P1 P2
P3 P4
r1-r2(1- 2 ) -r1(1-1)+ r2
-(r1+r2) [r1(1-1)+ r2(1-2)](112)-1
微分、差分方程稳定性理论简介
常微分方程稳定性理论 差分方程稳定性理论
一、常微分方程稳定性理论
1、一阶微分方程
x( t ) f ( x )
记作 x0 .
方程右端不显含t
平衡点(奇点)：代数方程 f ( x ) 0 的实根，
稳定性：若 x f ( x )的解 x ( t )总满足 lim x (t) x 0 , 则称 x 0是稳定
0 1 0 2 0 1 0 2
0 0 若P0稳定，则应有： x1 ( t ) x1 , lim x 2 ( t ) x 2 . lim t t
下面设法给出P0稳定的判断准则。
二阶微分方程
x1 ( t ) f ( x1 , x 2 ) x 2 ( t ) g ( x1 , x 2 )
t
的；否则是不稳定的。
一阶微分方程 通常判断平衡点稳定性有两种方法，直接求解法和定 性分析法。 定性分析法
1、若方程为线性，即 f(x) = ax + b，则 a < 0稳定， a > 0不稳定； 2、若方程为非线性，即 x `( t ) = f(x) ，考虑 f ` (x0) 。 f ` (x0) < 0稳定， f ` (x0) > 0不稳定。
1、问题背景
渔场的矛盾
渔场如果很少捕捞，那么经济效益会减少；如果 捕捞太频繁或者太多，又会导致鱼群总数大量减 少，影响渔场今后的产量。
问题分析
只有在“捕捞量=鱼的增长量”时，渔场的鱼量 才能保持稳定。 设法给出渔场鱼量变化规律，分析鱼量稳定的条 件，并据此讨论：如何制订捕捞策略才能使渔场 的效益实现最大化？
x( t ) rx(1 x / N ) Ex F ( x )
令F(x)=r x (1-x / N) – Ex=0（求平衡点） 得到两个解： x0=N(1-E/r)，x1=0 两个平衡点的稳定性及稳定条件： 考虑F ` (x)=r-E-2rx/N：F`(x0)=E-r， F`(x1)=r-E。 由此可知： 若E<r，则F `(x0)<0而F `(x1)>0，x0稳定而x1不稳定； 若E>r，则F `(x0)>0而F `(x1)<0，x0不稳定而x1稳定。
1. 模型的建立
设同一环境中有甲、乙两个种群，x1(t)、x2(t)分别 记t时刻甲、乙种群的数量；r1、r2为各自固有的增 长率，N1、N2为各自环境最大容量。据此建立下面 的模型： x1’(t) = r1x1(1 - x1/N1 - 1x2/N2) x2’(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)
其系数矩阵为：
f x1 A g x1
f x2 g 2 x

二阶微分方程
f x1 A g x1
f x2 g 2 x

矩阵的特征方程：2 p q 0
p ( f x1 g 2 ) |P0 x
q | A |
假设经营者根本不顾长远利益，看到有利润就投入 经营，没有利润就放弃经营，这样会对渔场产生什 么样的影响？这时经营者的决策完全是由利润决定 的，只要有利润就捕捞，不考虑全局。 考虑R(E)=pEN(1-E/r)-CE：令R(E)=0，得到Es=r(1C/pN)。 当E< Es时，R(E)>0，即有利可图，盲目经营者会继 续增加捕捞能力，直到E > Es，使R(E)<0，即亏损经 营。出现亏损，经营者又降低E……
二阶微分方程 求方程组的平衡点，即求解
x1 ( t ) f ( x1 , x 2 ) x 2 ( t ) g ( x1 , x 2 )
f ( x1 , x 2 ) 0 g ( x1 , x 2 ) 0
设解得实根为x1 x , x2 x , 记为P0 ( x , x )
-r1r2(1-2) -r1r2(1-1)
r1 r2 r1r2(1-1)(1-2)(1-12)1
(1<1)
1>1
(2源自文库1)
*
否则是不稳定的。
判断准则：a | 1时，x 稳定。 |
*
4、二阶线性差分方程 xk 2 a1 xk 1 a2 xk b
b 平衡点由x a1 x a2 x b得到：x 1 a1 a2
*
特征方程为2 a1 a2 0, 有特征根1 , 2 .
微分方程稳定性模型



可再生资源管理 生态系统建模 差分形式的阻滞增长模型 经济发展的蛛网模型 军备竞赛模型
一、可再生资源管理模型


可再生资源：与无限资源和有限资源相对 而言。无限资源指阳光、空气等；有限资 源指煤、铁等矿物和石油等。可再生资源 指木材、粮食、蔬菜、肉类等，虽然有限， 但可以再生。 建模目的：研究如何管理可再生资源才能 使人类最终有尽可能多的收获。
判断准则：只有 | 1 | 1且 | 2 | 1时， x 稳定。
*
5、一阶非线性差分方程
平衡点由x f ( x )得到x .
*
xk 1 f ( xk )
对方程展开：xk 1
( x * )( xk x * ) f ( x * ) f
( x * ) | 1 判断准则为： f |
盲目捕捞模型分析
Es=r(1-C/pN)是盲目捕捞情况下的临界状态，高于这 个临界值则出现亏损，低于临界值则赢利。 Es存在的条件：C < pN，即 p > C/N，相对于鱼的总 量，鱼的价格必须大于成本才能保证临界点的存在。 在没有科学经营策略的前提下，渔场应该始终把捕 捞能力控制在 Es 以下。 在盲目捕捞情况下，渔场的稳定鱼量应该为： xs=C/p（将 Es 代入 x0 的表达式得到）
E=r/2， x0=N/2 h(x0)=rN/4
3.3 结论 在最大经济效益原则下，渔场的捕捞能力投 入 E 和长期产量 h(x) 都应该比最大产量模型 稍低。同时，渔场鱼的保有总量略有增加。 也就是说，有的时候，产量最大并不能保证 收益最大，这在企业的经营当中是非常常见 的现象。
4. 盲目捕捞模型
数学模型 • 微分方程稳定性方法建模
北京理工大学 王宏洲
微分、差分方程稳定性理论


微分和差分方程的稳定理论，是研究方程 的解在自变量 t →+时的发展趋势。反映 在实际问题中，就是已知事物的现在状态， 希望了解其最终的发展趋势。 比如说准备修建拦河大坝，会对下游的河 床及周围的生态系统产生怎样的影响？建 立稳定性模型可以对各种可能的最终结果 进行预测。
0 1 0 1 0 2 0 2
首先将方程组线性化：
x1 ( t ) f x1 ( P0 )( x1 x ) f x2 ( P0 )( x 2 x ) x 2 ( t ) g x1 ( P0 )( x1 x ) g x2 ( P0 )( x 2 x )
2、渔业资源开发模型
记x(t)为t时刻渔场中的鱼量。在没有捕捞的情 况下，鱼量的增长可以视为有限环境中生物种 群的增长，即可以用Logistic模型来描述：
x(t ) rx(1 x / N )
2.1 假设
（1）在无捕捞条件下，鱼的自然增长量服从 上面的Logistic规律； （2）在有捕捞情况下，需要在Logistic模型 中减去一个h(x, t)，即单位时间的捕捞量。 捕捞量函数反映的就是捕捞策略。 通常的捕捞策略有两种： 一是固定限额捕捞，即h(x, t)是一个常数； 二是固定努力量捕捞，即取函数h(x, t)=Ex，E 为常数，表现的是捕捞努力程度。
f ( x ) f ( x0 )( x x0 )
2、二阶微分方程
(t ) f (t , x, x ) x
x(t ) y y( t ) f ( t , x , y )
所以讨论二阶微分方程的稳定性往往就归结为对二 维一阶方程组的讨论
x1 ( t ) f ( x1 , x 2 ) x 2 ( t ) g ( x1 , x 2 )
二、两个生物种群的竞争模型
考虑两个生物种群竞争同一种有限资源的问 题。在自然条件下，适应环境能力弱的种群 将趋于灭亡，适应能力强的种群将增长到环 境允许的最大数量。种群竞争模型现在已经 被广泛地应用到描述企业、国家等社会实体 之间的竞争研究中。 下面通过建立模型来解释这种现象，并分析 出现各种结局的条件。
现在的问题：求E，使渔场的经济效益最高。
3.2 模型分析
产量稳定下来后，渔场的收益 R=pExR-CE=pEN(1-E/r)-CE 令R’(E)=0，即R’(E)=pN-C-2pNE/r=0
E=[1-C/(pN)]•r/2， xR=N(1-E/r)=N/2 + C/2p， h(xR)=ExR=[1-C2/(p2N2)]rN/4。
其中1，2 是非常关键的指标，反映一个种群对另 一种群的竞争能力。
2. 稳定性分析（竞争的结局）
2.1 求平衡点 令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四个平衡点： P1(N1,0)，P2(0,N2)， P3(0,0)，
N 1 (1 1 ) N 2 (1 2 ) P4 , 1 1 1 2 1 2
盲目捕捞模型的结论
在盲目捕捞情况下，渔场的稳定鱼量为：xs=C/p
注意：这个稳定鱼量由两个因素决定，一是捕捞 成本，二是鱼的价格。 这是一个典型的市场经济结果，捕捞量(市场供应 量)、捕捞努力量、渔场最终稳定的保有量等等， 完全由市场的价格杠杆决定。 完全自由的市场经济并不可取，现代经济应该是 一种结合了宏观调控的市场经济。