人教版高中数学选修2-2全套课件

1＋1＋1Δx＝2，
从而y′|x＝1＝2.
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求函数的平均变化率
求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平
均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
[思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代
入公式计算．
平均变化率为
函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的
即 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝__Δlix_m→_0__f_x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f_x_0________.
2．对函数在某点处导数的认识
(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数 值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为
6×2＋3×0.1＝12.3.
求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
我们用比值yxCC－－yxBB近似地量化 B，C 这一段曲线的陡峭程 度，并称该比值为[32,34]上的平均变化率．
函数的变化率
平均 变化
率
瞬时 变化
率
定义
实例
作用
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的 ①平均速度；
平均变化率为
fx2－fx1
___x_2_－__x1___
②曲线割线的 斜率
刻画函数值在
解析： ΔΔst＝33＋ΔtΔ2t－3×32＝18＋3Δt， 答s′案＝：Δlitm→0 BΔΔst＝Δlitm→0 (18＋3Δt)＝18，故选 B.
3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2.其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为________．
解析：
v＝lim Δt→0
第 一 章 导数及其应用
2020/6/11
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
自主学习 新知突破
1．了解实际问题中平均变化率的意义． 2．理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念． 3．理解并掌握导数的概念． 4．掌握求函数在一点处的导数的方法．
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化， 用曲线图表示为：
求物体的瞬时速度
已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；
1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32 Δt
＝lim (Δt＋5) Δt→0
答＝案5. ： 5米/秒
4．求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数．
解析： Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11 ＝Δx＋1＋ΔxΔx，
ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
[问题1] “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是 什么？(形与数两方面)
[提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联 想如何量化直线的倾斜程度．
[问题2] 由点B上升到点C，必须考察yC－yB的大小，但仅 仅注意yC－yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？
[提示 2] 在考察 yC－yB 的同时必须考察 xC－xB，函数的本 质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对Fra Baidu bibliotek另一个 量的改变．
区间 [x_1_，__x_2_]_
上变化的快慢
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 ①瞬时速度：物
刻画函数值在
的瞬时变化率是 lim
体在某一时刻
ΔΔyx＝Δ_lix_m→_0_f__x_0＋__Δ_ΔΔ_xxx_→－_0_f_x_0
的速度； ②切线斜率
__x_0_处附近变
化的快慢
1．关于函数的平均变化率，应注意以下几点
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的 值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 解析： Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41. 答案： B
2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速 度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81
1．已知函数 f(x)＝x＋1x，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变 到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数 值变化得较快．
解析： 自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率 为
f22－－f11＝2＋12－11＋1＝12；
自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f55－－f33＝5＋15－23＋13＝1145. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时 函数值变化得较快．
(4)在公式ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定 值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的__瞬__时___变化率称为函数y＝f(x)在 ___x_＝__x_0___处的导数，记作___f_′(_x_0_) ___或 __y_′_|x_＝_x_0 ___，
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．