1.2.3 三角函数的诱导公式(3)
1.2.3 三角函数的诱导公式(3)
1.2.3 三角函数的诱导公式（3）一、课题：三角函数的诱导公式（3）二、三维目标：1、 知识与技能目标：熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；2、 过程与方法目标：能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；3、情感态度价值目标：使学生学会全面的看问题，观察问题、分析问题，使学生会归纳、整理。
三、教学重、难点：1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。
教学方法：讲述法、启发法四、教学过程：（一）复习：1．复习五组诱导公式（包括正切）；2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：（1）化简：课本32页的练习第4题；（2）求值：①sin 315sin(1260)cos570sin(840)-+- ．（答案34） ②sin()sin(2)sin(3)sin(102)6666ππππππππ++++ ．（答案10212） （3）证明：sin(2)cos()1cos()sin(3)sin()sin παπαπαπαπαα-+=------． 说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解： 例1 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值。
解：∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--． 说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：1tan()2πα+=-，求s i n (7)c o s (5)απαπ-+的值。
解答：1tan()tan 2παα+==-， 原式222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα====-++． 说明：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结合“口诀”及22sin cos αα+的运用。
三角函数的诱导公式
1.2.3一．导学目标：12．简。
二．知识回顾：任意角的三角函数sinα= cos α= 三．新知导学1.观察图像,240,120,600002.与α终边相同的角k •+α角函数值ααcos )360cos(sin )360sin(00=•+=•+k k 3.)(1800απα--值αααcos )180cos(sin )180sin(00-=-=-4. )(1800απα++的三角函数值 ααααcos )180cos(sin )180sin(00-=+-=+ 5. )2(3600απα--或α-的三角函数值ααααcos )360cos(sin )360sin(00=--=-注：上述公式中，α公式中απαπαπ-+-2,,四．例题分析与巩固训练例1.求值（1）0300sin （2）分析：应用诱导公式化为特殊角（0 )6(300π )4(450π )3(600π)2(900π）等的三角函数值解：（1）0300sin =)60360sin(00-=060sin -=23-（2）236cos )6cos(67cos -=-=+=ππππ（3）πππππ43tan )432tan(411tan )411tan(-=+-=-=-14tan )4tan(==--=πππ巩固训练： 1.=-)4sin(π2.=π67tan3，=-)750cos(04.=01020tan例2.判断下列函数的奇偶性（1）x x f cos 1)(+= （2）x x x f cos sin )(•= 分析：①函数定义域关于原点对称②求)(x f -，若)()(x f x f -=-，函数为奇函数 若)()(x f x f =-，函数为偶函数 解：（1）)(x f 定义域为R)(cos 1)cos(1)(x f x x x f =+=-+=-∴)(x f 是偶函数（2）)(x f 定义域为R)(cos sin )cos()sin()(x f x x x x x f -=-=--=-∴)(x f 是奇函数巩固训练：1.判断下列函数的奇偶性（1）x x f sin )(= （2）x x x f sin )(--=例3.21)sin(-=+απ，求)4sin(απ-分析：只要求αsin 即可 解：21sin )sin()22sin()4sin(21sin 21sin )sin(-=-=-=•+-=-=-=-=+ααπααπαααπ巩固训练：A. 计算（1）54cos 53cos 52cos 5cos ππππ+++（2）00450sin 300tan +B.计算020*******cos 210sin 2135sin 150sin +++C.若41log )sin(8=-απ，且)0,2(πα-∈，求)cos(απ+五．名师点评六．学业达标A.求值（1）=-)417cos(π（2）=π326sin（3）=01650cos（4）=01740sinB ．化简（1）)(cos 2)sin()2sin(12ααππα--+-+（2）)606sin(1866sin 170tan 10tan 0000--++B. 已知,54)sin(=+πα且0cos sin <•αα，求)3cos(4)3tan(3)sin(2πααππα--+-的值。
1.2.3三角函数的诱导公式(苏教版)
180 180
sin cos
360 180
．
变式2化简： .
变式3：化简tan(2 )sin(2 ) cos( ) cos( )sin(5 )
特别提示：符号问题
小结
1、化任意角的三角函数为锐角三角函数的一般思 路为：
任意负角的 用公式 三角函数 三或一
任意正角的 三角函数
公式二：
与的三角函数关系 sin( ) ______. cos( ) ______. t an( ) ______.
的终边
(x, y)
（3）拓展：公式中锐角 能否推广到任意角 .
给定一个角 （1） 的终边与角的终边有什么关系？
（2）三角函数值与角的三角函数值有什么关系？
公式三：
用公式一
锐角的三 角函数
用公式 二或四
的 三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
作业布置：课本29页习题
敬请指点
sin( 2k ) _____,cos( 2k ) _____, tan( 2k ) ____（ _. k z）
思考1：它的作用是什么？
利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化
为 00到360（ 0 0到2）内的角的三角函数值. （大化小）
二、导入新课 互动：（抢答） 第一组：sin 300 ____,cos300 _____,tan300 _____.
四、示例应用
例1：（利用公式求值）
（1）sin 210 （2）cos 2 （3）t a（ n - ）
3
3
练习. 求sin( 16 )的值.
3
解：sin( 16 ) sin(16 ) sin(4 4 ) sin 4
完整版)三角函数诱导公式总结
完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。
以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。
以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。
2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。
另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。
也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。
例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。
例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。
1.2.3 三角函数的诱导公式(3)
1.2.3 三角函数的诱导公式（3）一、课题：三角函数的诱导公式（3）二、教学目标：1.牢固掌握五组诱导公式，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；2.能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；3.渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。
四、教学过程：（一）复习：1．复习五组诱导公式（包括正切）；2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：（1）化简：课本32页的练习第4题；（2）求值：①sin315sin(1260)cos570sin(840)-+-． （答案34） ②sin()sin(2)sin(3)sin(102)6666ππππππππ++++． （答案10212） （3）证明：sin(2)cos()1cos()sin(3)sin()sin παπαπαπαπαα-+=------． 说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解：例1 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值。
解：∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--． 说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：1tan()2πα+=-，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值。
解答：1tan()tan 2παα+==-，原式 222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα====-++．说明：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结合“口诀”及22sin cos αα+的运用。
三角函数的诱导公式(2)
利用诱导公式进行化简， 主要是进行角的转化， 最终
给定一个角 ，终边与角 的终边关于直线 y x 对 称的角与角 有什么关系？它们的三角函数之间又有 什么关系？能否说明？
sin(
2
) cos
2
O
公式 五
如何求 的三角函数值？ 2
2
)]
( cos )sin( )[ sin( )]sin[4 ( sin cos [ cos( )] 2
2
2
)]
( cos )sin [( sin )]sin(
sin tan . cos
sin(π -α) = sinα cos(π -α) = -cosα tan(π -α) = -tanα
诱导公式小结:
公式一、二、三、四都叫做诱导公式． 概括如下： 2k k Z , , 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面
加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
口诀: “函数名不变，符号看象限”．
例2
sin α＋3πcosα＋π 化简： . 3 tanα＋πcos －α－π
2 2
2
sin α· －cos α －sin α· cos α 解 原式＝ ＝ 3 3 tan α· cos α＋π －tan α· cos α sin2α· cos α sin2αcos α sin α ＝ sin α ＝sin αcos2α＝cos α＝tan α. 3 · cos α cos α
cos( ) sin 2
cos( ) sin 2
三角函数的诱导公式【六公式】
）/ ）
九倍角
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2 ）* （ 64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3 ））
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2 ）* （ 64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3 ））
tan9A=tanA* （ 9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8 ） / （1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8 ）
例. c^3=c*c^2=c* （1-s^2 ）， c^5=c*(c^2 ） ^2=c* （ 1-s^2 ） ^2 ）
特殊公式
（sina+sin θ） * （ sina- sin θ） =sin （a+θ） *sin （ a- θ）
证明：（sina+sin θ） *（ sina- sin θ） =2 sin[ （θ +a)/2] cos[(a - θ)/2] *2 cos[ （θ +a)/2] sin[(a- θ） /2]
tan （α +β+γ） =（tan α+tan β+tan γ - tan α· tan β· tan γ） / （1- tan α· tan β - tan β· tan γ - tan α· tan γ）
（α +β+γ≠π /2+2k π，α、β、γ≠π /2+2k π）
积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
诱导公式(3))
记忆：(把看成是锐角)函数名改变，符号看象限
总结：利用诱导公式求任意角的三角函数值一般步骤:
任意负角的三角函数
用公式 三、一
任意正角的三角函数
用公式 一
0°—360°间角的三角函数
用公式二、四、五,六
0°—90°间角的三角函数
查表
3 1
7
7
作业
1.已知sin 1， sin( ) 1,
3
求 sin(2 )
2、已知A、B、C为ABC的
三个内角，求证:
（1）cos(2A B C) cos A;
（2）tan( A B ) tan 3 C .
4
4
且0<α<π,0<β<π，求sinα、 3
sinβ的值。
例4、已知，cos(75 ) 1 ,
3
其中为第三象限角，
求cos(105 ) sin( 105)
例5,设 tan( 8 ) a
7
求证
sin(15
7
sin( 20
) 3cos( 13
7
) cos( 22
) )
a a
求值
例1、求三角函数值
(1)cos 510
(2)
(4)tan( 330)
例2、求证
sin(2 ) tan( ) cot( ) 1 cos( ) tan( 3 )
例3若sin(3π-α)= 2 sin(2π+β),
3 cos(-α)=- 2 cos(π+β)，
sin(180°-α) =sinα cos(180°-α) = -cosα tan(180°-α)=-tanα
高二数学三角函数的诱导公式3
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin(2k ) sin (k Z) cos(2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
讲授新课
例3. 已知tan( ) 3, 求：2cos( ) 3sin( ) 的值.
4cos( ) sin(2 )
讲授新课
例4. 已知sin( ) 4 ,且 sin cos 0,
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间
角的三 或三 角的三 二或四 角的三角
角函数
角函数
函数
0o~90o间 角的三角 函数
查表 求值
讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.
讲授新课
练习3. 教材P.28练习第7题. 化简:
5
求 2sin( ) 3 tan( 3 ) 的值. 4cos( 3 )
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正
角的三 或三 角的三
角函数
角函数
讲授新课
小结
1. 2.3 三角函数的诱导公式
解析：∵A＋B＋C＝π， A＋B π C ∴A＋B＝π－C， ＝ － . 2 2 2 ∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C； cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C；
π C A＋B C sin ＝sin － ＝cos ； 2 2 2 2 π C A＋B C cos ＝cos － ＝sin ； 2 2 2 2
栏 目 链 接
诱导公式在三角形中的应用
在△ABC 中，你能由诱导公式得到哪些公式？ 分析：注意到在△ABC 中，角 A、B、C 满足：A＋B＋C＝π，即 A A＋B π C ＋B＝π－C， ＝ － 等．由此可得到相关的公式． 2 2 2
栏 目 链 接
＝
栏 目 链 接
sin2αcos α·sin α ＝ （－cos α）sin α·sin α·cos α ＝ －sin α ＝－tan α. cos α
π 2 2π 3．已知 cos －α＝ ，求 sinα － 的值． 3 6 3
2π π 2π ＝－sin 解析：sinα－ －α＝－sin ＋ 3 3 2 π π 2 －α＝－cos －α＝－ . 3 6 6
栏 目 链 接
3 ＝ . 4 3 综合(1)(2)式可知，原式＝ . 4
◎规律总结：归纳到一般有：sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)， cos(kπ－α)＝(－1)kcos α(k∈Z)．
kπ 思 考 ： sin(k π － α) ＝ ？ cos(kπ － α) ＝ ？ sin ±α ＝ ？ 2 kπ cos ±α＝？以上均有 k∈Z. 2
栏 目 链 接
数学三角函数诱导公式
数学三角函数诱导公式三角函数诱导公式是指通过已知的三角函数关系，推导出其他三角函数之间的关系的公式。
它们在解决三角函数相关问题时非常重要，可以简化计算，并扩展了三角函数的应用。
下面介绍常见的三角函数诱导公式。
一、正弦函数与余弦函数的诱导公式1.1诱导公式1：根据勾股定理，我们可以得到sin^2(x) + cos^2(x) = 1从上面的公式可以推导出以下诱导公式：sin^2(x) = 1 - cos^2(x)cos^2(x) = 1 - sin^2(x)1.2诱导公式2：根据正弦和余弦的定义，可得到以下诱导公式：sin(π/2 - x) = cos(x)cos(π/2 - x) = sin(x)1.3诱导公式3：利用双曲线法，可以得到以下诱导公式：sin(ix) = i*sinh(x)cos(ix) = cosh(x)二、正切函数的诱导公式2.1诱导公式4：利用正弦和余弦的定义，可得到以下诱导公式：tan(x) = sin(x)/cos(x)2.2诱导公式5：利用诱导公式1和诱导公式4，可以得到以下诱导公式：tan^2(x) = 1 - cos^2(x)/sin^2(x)2.3诱导公式6：利用诱导公式2和诱导公式4，可以得到以下诱导公式：tan(π/2 - x) = 1/tan(x)三、余切函数的诱导公式根据正切的定义，我们可以得到以下诱导公式：cot(x) = 1/tan(x)四、割函数和余割函数的诱导公式根据正弦、余弦和正切的定义sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)诱导公式的应用：1.在三角函数的计算中，利用诱导公式可以简化计算步骤，提高计算的速度和准确性。
2.在三角函数的图像分析中，利用诱导公式可以推导出其他函数的图像，帮助理解和描述函数的性质。
3.在解决三角函数相关问题中，利用诱导公式可以将问题转化为更简单的形式，从而得到更方便的解法。
综上所述，三角函数诱导公式是数学中重要的工具，它们扩展了三角函数的应用领域，帮助我们更好地理解和应用三角函数。
高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)
三角函数公式1． 同角三角函数根本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α 〔二〕 sin(π2 －α)＝cos α sin(π2+α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)〔1－tanαtanβ〕tanα－tanβ＝tan(α－β)〔1＋tanαtanβ) （4）万能公式〔用tanα表示其他三角函数值〕sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a)特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x±π4)7．熟悉形式的变形〔如何变形〕1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα假设A、B是锐角，A+B＝π4，那么〔1＋tanA〕(1+tanB)=28．在三角形中的结论假设：A＋B＋C=π, A+B+C2=π2那么有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tanC2＋tanC2tanA2＝1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos 〔x +π〕，那么x 的取值集合是〔 〕 A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．〔2k +1〕π≤x ≤2〔k +1〕π〔以上k ∈Z 〕2．sin 〔－6π19〕的值是〔 〕 A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．以下三角函数：①sin 〔n π+3π4〕；②cos 〔2n π+6π〕；③sin 〔2n π+3π〕；④cos ［〔2n +1〕π－6π］；⑤sin ［〔2n +1〕π－3π］〔n ∈Z 〕．其中函数值与sin 3π的值相同的是〔 〕 A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．假设cos 〔π+α〕=－510，且α∈〔－2π，0〕，那么tan 〔2π3+α〕的值为〔 〕 A ．－36B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是〔 〕 A ．cos 〔A +B 〕=cos C B ．sin 〔A +B 〕=sin C C ．tan 〔A +B 〕=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f 〔x 〕=cos 3πx〔x ∈Z 〕的值域为〔 〕 A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．假设α是第三象限角，那么)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________． 三、解答题9．求值：sin 〔－660°〕cos420°－tan330°cot 〔－690°〕．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．cos α=31，cos 〔α+β〕=1，求证：cos 〔2α+β〕=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：〔1〕sin 〔2π3－α〕=－cos α； 〔2〕cos 〔2π3+α〕=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos 〔α+β〕=1，∴α+β=2k π．∴cos 〔2α+β〕=cos 〔α+α+β〕=cos 〔α+2k π〕=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：〔1〕sin 〔2π3－α〕=sin ［π+〔2π－α〕］=－sin 〔2π－α〕=－cos α． 〔2〕cos 〔2π3+α〕=cos ［π+〔2π+α〕］=－cos 〔2π+α〕=sin α．三角函数的诱导公式2一、选择题： 1．sin(4π+α)=23，那么sin(43π-α)值为〔 〕 A.21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为〔 〕 A.23 B. 21 C. 23± D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得〔 〕A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2) 4．α和β的终边关于x 轴对称，那么以下各式中正确的选项是〔 〕 A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于〔 〕， A. 51〔4+5〕 B. 51〔4-5〕 C. 51〔4±5〕 D. 51〔5-4〕二、填空题： 6．cos(π-x)=23，x ∈〔-π，π〕，那么x 的值为 ． 7．tanα=m ，那么=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin 〔-π+α〕，那么α的取值范围是 ． 三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．：sin 〔x+6π〕=41，求sin 〔)67x +π+cos 2〔65π-x 〕的值．11． 求以下三角函数值： 〔1〕sin 3π7；〔2〕cos 4π17；〔3〕tan 〔－6π23〕；12． 求以下三角函数值：〔1〕sin3π4·cos 6π25·tan 4π5； 〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］.13．设f 〔θ〕=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f 〔3π〕的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．±65π7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：〔1〕sin 3π7=sin 〔2π+3π〕=sin 3π=23.〔2〕cos4π17=cos 〔4π+4π〕=cos 4π=22.〔3〕tan 〔－6π23〕=cos 〔－4π+6π〕=cos 6π=23.〔4〕sin 〔－765°〕=sin ［360°×〔－2〕－45°］=sin 〔－45°〕=－sin45°=－22. 注：利用公式〔1〕、公式〔2〕可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：〔1〕sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin 〔π+3π〕·cos 〔4π+6π〕·tan 〔π+4π〕 =〔－sin3π〕·cos 6π·tan 4π=〔－23〕·23·1=－43.〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］=sin 〔π－3π2〕=sin 3π=23.13．解：f 〔θ〕=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cos θ－1， ∴f 〔3π〕=cos 3π－1=21－1=－21.。
考点06 诱导公式及恒等变换(新高考地区专用)(解析版)
考点06 诱导公式及恒等变换一．三角函数的诱导公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β三．二倍角公式（1）sin 2α＝2sin αcos α ↔12sin 2α＝sin αcos α （2）cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α 222212cos 1cos2cos 1cos 2212sin 1cos 2sin 1c =22=os α⇔αααααααα⇔＋＝（＋）－＝（－）（3）tan 2α＝2tan α1－tan 2α知识理解考向一 诱导公式【例1】（2020·四川射洪中学高三月考（理））已知角α的终边经过点()12,5P -. （1）求sin α，cos α；（2）求()()()()cos 2cos 2sin 2cos f παπααπαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+-的值. 【答案】（1）5sin 13α=-，12cos 13α=；（2）2919. 【解析】（1）由题意可得：13OP =，由角的终边上的点的性质可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式得：()()()()512cos 2cos 2sin 2cos 21313512sin 2cos sin 2cos 213121399f παπααααπαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-+-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2919f α=【举一反三】考向分析1．（2020·全国高三专题练习）化简：3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-. 【答案】cos α-.【解析】3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-cos sin cos sin cos sin sin ααααααα-⨯=⨯cos α=-. 2．（2020·全国高三专题练习）若角α的终边上有一点(),8P m -，且3cos 5α=-. （1）求m 的值；（2）求()()()sin cos 2tan cos ππαααπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---的值.【答案】（1）6-；（2）45. 【解析】（1）点P 到原点的距离为r ==根据三角函数的概念可得3cos 5α==-，解得6m =-，6m =（舍去）.（2）原式()()()sin cos (sin )(sin )2sin tan cos (tan )cos ππααααααπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-----，由（1）可得10r ==，84sin 5r α-==-，所以原式4sin 5α=-=. 3．（2020·全国高三专题练习）已知角α的终边经过点1(,33P -- （1）求sin ,cos ,tan ααα的值；（25sin(3)2cos()ππαα-++ 【答案】（1）1sin ,tan 3ααα==-=2） 【解析】（1）由题意角α的终边经过点1(,3P -，可得1r OP ==，根据三角函数的定义，可得1sin ,tan 33ααα=-=-=. （25sin(3)2cos()ππαα-++=tan (14α===-⨯=. 考向二 恒等变化【例2】（1）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）cos80cos130sin80sin130︒︒-︒︒等于（ ） A． B ．12-C ．12D（2）（2020·甘肃高二单元测试）sin15︒=( ) ABCD（3）（2019·广东华南师大附中高三月考（理））若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】（1）A （2）C （3）B【解析】（1）cos80cos130sin80sin130︒︒-︒︒()cos 80130cos 210=+= ()cos 18030=+cos30=-=-.故选：A （2）∈154530︒=︒-︒，∈()1sin15sin 4530sin45cos30cos45sin302︒=︒-︒=︒︒-︒︒==C ． （3）由tan tantan 14tan 41tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-⋅， 又1tan 2α=，原式1+1tan 12=311tan 1-2αα+==-.故选：B. 【举一反三】1．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ） A． B ．12-C ．12D【答案】C【解析】1sin160cos10cos 20sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒==。
三角函数转换公式(随堂教学)
三角函数转换公式1、诱导公式：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα；sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα；sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tanA= sinA/cosA；tan（π/2＋α）＝－cotα；tan（π/2－α）＝cotα；tan（π－α）＝－tanα；tan（π＋α）＝tanα2、两角和差公式：sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1 tanAtanB)cot(A±B) = (cotAcotB 1)/(cotB±cotA)3、倍角公式sin2A=2s inA•cosAcos2A=cosA2-sinA2=1-2sinA2=2cosA2-1tan2A=2tanA/（1-tanA2）=2cotA/(cotA2-1)4、半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))5、和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)6、积化和差sinαsinβ = -1/2*[cos(α-β)-cos(α+β)]cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]7、万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系： 平方关系：tan α ·cot α＝1sin α ·csc α＝1cos α ·sec α＝1 sin α/cos α＝tan α＝sec α/csc αcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosA tan（π/2+α）=－cota tan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα。
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1.2.3 三角函数的诱导公式（3）
教学过程： （一）复习：
1．复习五组诱导公式（包括正切）；
2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”； 3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：
（1）化简：课本32页的练习第4题；
（2）求值：①sin 315sin(1260)cos 570sin(840)-+-
． （答案
34
）
②sin ()sin (2)sin (3)sin (102)6
6
6
6
π
π
π
π
ππππ+
+
+
+
． （答案102
12
）
（3）证明：
sin (2)co s()1co s()sin (3)sin ()
sin παπαπαπαπαα
-+=-
-----．
说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解：
例1 已知：tan 3α=，求
2co s()3sin ()4co s()sin (2)
παπααπα--+-+-的值。
解：∵tan 3α=，
∴原式2co s 3sin 23tan 74co s sin 4tan ααααα
α
-+-+=
=
=--．
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的
co s α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：1tan ()2
πα+=-，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值。
解答：1tan ()tan 2
παα+==-
，原式
2
2
2
sin co s tan 2sin co s sin co s 1tan 5
ααααααα
α
==
=
=-
++．
说明：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结
合“口诀”及2
2
sin cos αα+的运用。
例2 已知3
sin 5
α=-
，且α是第四象限角，求tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+的值。
解：tan [cos(3)sin(5)]απαπα--+
tan [cos()sin()]απαπα=--+tan (cos sin )ααα=-+
tan sin tan cos αααα=-sin (tan 1)αα=-
由已知得：43co s ,tan 5
4
αα=
=-
， ∴原式21
20
=
．
说明：关键在于抓住α是第四象限角，判断co s ,sin αα的正负号，利用同角三角函数
关系式得出结论。
变式训练：将例2中的“α是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？ 解答：原式sin (tan 1)αα=-，
∵sin α为负值，∴α是第三、四象限角。
当α是第三象限角时，43co s ,tan 5
4
αα=-
=
．∴原式320
=
．
当α是第四象限角时，即为上例。
说明：抓住已知条件判断α角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论。
例3 化简
sin()sin()()sin ()co s()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．
解：①当2,n k k Z =∈时， 原式sin (2)sin (2)2sin (2)co s(2)
co s k k k k απαπαπαπα
++-=
=
+-．
②当21,n k k Z =+∈时， 原式sin [(21)]sin [(21)]2sin [(21)]co s[(21)]
co s k k k k απαπαπαπα
+++-+=
=-
++-+．
说明：关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n
分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
五、小结：1．熟练运用公式化简、求值、证明；
2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。
六、作业： 补充：1．化简
sin()cos()
cos[(1)]
n n n παπαπα+-+-；
2．化简sin()sin(2)sin(3)sin()k παπαπαπα++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+且k Z ∈；。