新人教版高中数学《等差数列的概念及其性质》导学案

等差数列的概念及其性质

1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.

2.探索并掌握等差数列的通项公式,灵活运用通项公式求解计算,做到“知三求一”.

《蒙学诗》

一去二三里,烟村四五家,亭台六七座,八九十枝花.

它的意思是:我到外面游玩,不知不觉离家已有两、三里地,看到不远处的小村庄里,有四、五户人家已经冒起了炊烟.我信步走来,又看到路边有六、七处精美的亭阁楼台,独自静静观赏,才发现身边的树枝上挂着……八朵、九朵,哦,不,十朵花,真是赏心悦目!

这首五言绝句是描写风景的优美.它把“一”到“十”的数字嵌入诗中,组合成一幅静美如画的山村风景图,质朴素淡,令人耳目一新.

问题1:(1)等差数列的概念: 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的等于同一个常数,那么这个数列就叫作数列,这个常数叫作等差数列的.

(2)等差中项的概念:如果a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b

的.其中A= .

问题2:等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,等差数列的通项公式

是,如何推导的?

(法一)归纳猜想:根据等差数列的定义,将{a n}中的每一项都用a1和d表示出来.

a 2= ;a

3

=a

2

+d= ;a

4

=a

3

+d= ;…;a

n

=

.

(法二)累加法:将各式相加可得a n-a1=(n-1)d,故

a

n

= .

问题3:根据等差数列的概念,如何判断数列的单调性,如何判断一个数列是否为等差数列?

等差数列满足a n-a n-1=d(d为常数,n≥2)或a n+1-a n=d(d为常数,n∈N*).当d>0时,数列为数列;当d<0时,数列为数列;当d=0时,数列为

数列.

要判断一个数列是否为等差数列,只需判断a n-a n-1=d(d为常数,n≥2)或

a n+1-a

n

=d(d为常数,n∈N*)是否成立.

问题4:(1)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都

是它的前一项与后一项的,即.

推广:若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*).

(2)等差数列的通项公式中一共涉及了四个量,用方程的观点来看,如果三个量已知,就可求出剩余的一个未知量,即“知三求一”.

(3)用函数的观点来认识等差数列的通项公式,可以发现点(n,a n)分布在

的图象上,结合函数性质可认识数列的增减性.

1.已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为().

A.2

B.3

C.-2

D.-3

2.已知等差数列{a n}中,首项a1=4,公差d=-2,则数列{a n}的通项公式是().

A.a n=4-2n

B.a n=2n-4

C.a n=6-2n

D.a n=2n-6

3.与的等差中项是.

4.已知等差数列的前三项为3,7,11,求该数列的第4项和第10项.

求等差数列的通项

已知等差数列{a n}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{a n}的通项公式.

等差数列的判断

已知数列{a n}的通项为a n=lg 3n,试判断该数列是否为等差数列.若是,其公差是多少?

等差数列的实际应用

《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为().

A.1升

B.升

C.升

D.升

在等差数列{a n}中,已知a1+a6=12,a4=7.

(1)求a9.

(2)求此数列在[101,1000]内共有多少项.

已知数列{a n}中,a1=,数列a n=2-(n≥2,n∈N*),数列{b n}满足b n=(n∈N*),求证:数列{b n}为等差数列.

夏季高山上的温度从山脚起,每升高100 m,降低0.7 ℃,已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,求此山相对于山脚处的高度.

1.lg(-)与lg(+)的等差中项为().

A.0

B.lg

C.lg(5-2)

D.1

2.等差数列的相邻四项是1,a,-7,b,那么a、b的值分别是().

A.3,-11

B.-3,-11

C.-3,11

D.3,11

3.已知数列{a n}为等差数列,a3=,a7=-,则a15的值为.

4.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次.奥运会如果因故不能进行,届数照算.

(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;

(2)2008年北京奥运会是第几届?2050年举行奥运会吗?

在等差数列{a n}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= .

考题变式(我来改编):

答案

第3课时 等差数列的概念及其性质

知识体系梳理

问题1:(1)差 等差 公差 (2)等差中项

问题2:a n =a 1+(n-1)d a 1+d a 1+2d a 1+3d a 1+(n-1)d a 1+(n-1)d 问题3:递增 递减 常

问题4:(1)等差中项 2a n =a n-1+a n+1(n ≥2) (2)a n =a 1+(n-1)d (3)一次函数 基础学习交流

1.C 依题意可得a n+1-a n =-2或a 2-a 1=(3-4)-(3-2)=-

2. 2.C 通项公式a n =a 1+(n-1)d=4+(n-1)(-2)=6-2n.

3.- 因为=2-,=-(+2),由等差中项的定义可知,与的等差中项是[(2-)-(2+)]=-.

4.解:根据题意可知:a 1=3,d=7-3=4,∴该数列的通项公式为:a n =3+(n-1)×4,即a n =4n-1(n ∈N *),∴a 4=4×4-1=15,a 10=4×10-1=39. 重点难点探究

探究一:【解析】设{a n }的首项为a 1,公差为d , 则 即解得或

故数列的通项公式为a n =-8+2(n-1)=2n-10或a n =8-2(n-1)=-2n+10. 【小结】本题体现了方程(组)的思想,这种思想在数列中经常用到.紧紧把握住等差数列的基本量(首项a 1和公差d )是解决此类问题的关键.

探究二:【解析】a n =lg 3n =n lg 3,则a n+1-a n =(n+1)lg 3-n lg 3=lg 3,是常数.

故数列{a n }是等差数列,公差为lg 3. 【小结】判断或证明一个数列为等差数列,主要是利用等差数列的定义,确定a n+1-a n 是一个与n 无关的常数.

探究三:【解析】设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,

由题意得即 解得所以a 5=a 1+4d=. 【答案】B

【小结】求解此类问题的关键是把实际问题转化为等差数列问题,利用等差数列的定义、通项公式设出基本量a 1和d ,解方程即可. 思维拓展应用

应用一:(1)设{a n }的首项为a 1,公差为d , 则则 ∴a 9=a 1+8d=1+8×2=17.

(2)a n =1+(n-1)×2=2n-1,令101≤2n-1≤1000, 则51≤n ≤500.5,故共有450项. 应用二:因为b n ===,而b n-1=,所以b n -b n-1=-=1(n ≥2,n ∈N *

),又b 1==-.

故数列{b n }是首项为-,公差为1的等差数列. 应用三:因为每升高100 m 温度降低0.7 ℃,

所以该处温度的变化是一个等差数列问题.

山脚温度为首项a 1=26,山顶温度为末项a n =14.8, 所以26+(n-1)(-0.7)=14.8,

解之可得n=17,此山的高度为(17-1)×100=1600(m). 答:此山相对于山脚处的高度是1600 m . 基础智能检测 1.A 等差中项为===0.

2.B 根据等差中项的定义得a==-3,-14=a+b=-3+b ,∴b=-11.