2020版一轮复习(浙江版)：第十三章-第二节 排列与组合(知识梳理)

第二节排列与组合

复习目标学法指导

1.了解排列、组合的概念.

2.了解排列数公式、组合数公

式.

3.会用排列数公式、组合数公

式解决一些简单的实际问题.

弄清所取元素是否考虑顺序,熟记排

列数、组合数公式是基础,掌握有限

制条件的排列、组合问题的常用方法

是关键.

排列与组合

排列与排列数组合与组合数

定

义

排列:从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素,按照一定的顺

序排成一列,叫做从n个不同元

素中取出m个元素的一个排列.

排列数:从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素的所有不同排列

的个数叫做从n个不同元素中

取出m个元素的排列数

组合:从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素合成一组,叫做

从n个不同元素中取出m个元素

的一个组合.

组合数:从n个不同元素中取出

m(m≤n)个元素的所有不同组合

的个数,叫做从n个不同元素中

取出m个元素的组合数

排列数公式组合数公式C m n=A

A

m

n

m

m

=

A m

n

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

()

!

!

-

n

n m

()()()

121

!

n n n n m

m

---+

…=

()

!

!!

n

m n m

-

A n

n

=n×(n-1)×(n-2)×…

×3×2×1=n!;

0!=1

C

n

=1;

C m

n

=C n m

n

-;

1

C m

n+

=C m

n

+1

C-m

n

备

注

n,m∈N*且m≤n

1.概念(公式)理解

(1)组合与排列问题都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的计数问题,它们的差别是:排列考虑元素顺序,组合不考虑元素顺序.

(2)A m

n

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)的右边第一个因数为n,后面每个因数都比前面因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.

(3)公式C m

n

=A

A

m

n

m

m

体现了组合数与排列数的关系.

(4)当m,n较大或对含有字母的排列数或组合数的式子进行变形和证

明时,常用公式A m

n

=

()

!

!

n

n m

-

或C m

n

=

()

!

!!

n

m n m

-

.

(5)当m>

2

n时,常利用组合数的性质将计算C m

n

转化为计算C n m

n

-.

2.与排列(数)组合(数)有关的结论

(1)若C x

n

=C y

n

,则x=y或x+y=n.

(2)A m

n

=n1

1

A-

-

m

n

,A m

n

=C m

n

·A m

m

.

(3)C m

m

+

1

C

+

m

m

+

2

C

+

m

m

+…+C m

n

=1

1

C+

+

m

n

.

(4)(n+1)!=(n+1)·n!,(n+1)!-n!=n·n!.

(5)k C k n

=n 11

C --k n .

1.若32A n

=103A n

,则n 等于( B )

(A)1 (B)8 (C)9 (D)10 解析:32A n

=103A n

,

所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2), 所以n=8. 2.若3C n

=4C n

,则

()!

3!3!

-n n 的值为( C )

(A)1 (B)20 (C)35 (D)7 解析:由3C n

=4C n

,得n=7,

可求出

()!

3!3!

-n n =765434！！！⨯⨯⨯=765321⨯⨯⨯⨯=35. 3.有5张卡片分别写有数字1,2,3,4,5. (1)从中任取4张,共有 种不同取法;

(2)从中任取4张,排成一个四位数,共组成 个不同的四位数.

答案:(1)5 (2)120

4.(2019·嘉兴期末联考)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A,B 两个专业各需要一门科目满足要求即可,A 专业:物理、化学、技术;B 专业:历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有 种.(用数字作答)