柯西不等式的几何意义
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于是，
2 2 ( x1 y1 + x2 y2 ) 2 ≤ ( x12 + x2 )( y12 + y2 )
事实上，柯西不等式描述的是这样一个几 何事实：一个向量向另外一个向量的投影，一 定小于等于这个向量自身的长度。
谢谢
cosθ = x1 y1 + x2 y2
2 2 x12 + x2 ⋅ y12 + y2
而 0 ≤ cos2θ ≤ 1，故有
(ac + bd ) cos θ = 2 ≤1 2 2 2 (a + b )(c + d )
2 2
( x1 y1 + x2 y2 ) 2 2 cos θ = 2 2 2 2 ( x1 + x2 )( y1 + y2 )
| OP | = x + x
2 1 2 2
| OQ | =
2
y +y
2 1 2
2 2
| PQ | = ( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 )
θ 表示 OP 与 OQ 的夹角。由余弦定理，我们有
|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 − 2|OP||OQ|cosθ
将 |OP|，|OQ|，|PQ| 的值代入，经化简得 可到
n 2 n 2 ∑ xi yi ≤ ∑ xi ∑ yi i =1 i =1 i =1
n 2
于是在 R2 中，如果 α = (x1, x2)T，β = (y1, y2)T， 则柯西不等式的形式成为
在下图中，如果用 OP 表示向量 α，用 OQ 表示向量 β，则线段 OP，OQ 及 PQ 的长度分 别由下面的式子给出：
柯西不等式的几何意义
柯西不等式的代数形式十分简单，但却非 常重要。 数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应 该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果 变得不言而喻了。 而一个代数结果最简单的解释，通常主要 借助于几何背景。现在就以二维几何空间为例 对柯西不等式做出几何解释。
在欧氏空间 Rn 中，如果 α = (x1, x2, …, xn)T， β = (y1, y2, …, yn)T，则柯西不等式的形式为
于是，
2 2 ( x1 y1 + x2 y2 ) 2 ≤ ( x12 + x2 )( y12 + y2 )
事实上，柯西不等式描述的是这样一个几 何事实：一个向量向另外一个向量的投影，一 定小于等于这个向量自身的长度。
谢谢
cosθ = x1 y1 + x2 y2
2 2 x12 + x2 ⋅ y12 + y2
而 0 ≤ cos2θ ≤ 1，故有
(ac + bd ) cos θ = 2 ≤1 2 2 2 (a + b )(c + d )
2 2
( x1 y1 + x2 y2 ) 2 2 cos θ = 2 2 2 2 ( x1 + x2 )( y1 + y2 )
| OP | = x + x
2 1 2 2
| OQ | =
2
y +y
2 1 2
2 2
| PQ | = ( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 )
θ 表示 OP 与 OQ 的夹角。由余弦定理，我们有
|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 − 2|OP||OQ|cosθ
将 |OP|，|OQ|，|PQ| 的值代入，经化简得 可到
n 2 n 2 ∑ xi yi ≤ ∑ xi ∑ yi i =1 i =1 i =1
n 2
于是在 R2 中，如果 α = (x1, x2)T，β = (y1, y2)T， 则柯西不等式的形式成为
在下图中，如果用 OP 表示向量 α，用 OQ 表示向量 β，则线段 OP，OQ 及 PQ 的长度分 别由下面的式子给出：
柯西不等式的几何意义
柯西不等式的代数形式十分简单，但却非 常重要。 数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应 该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果 变得不言而喻了。 而一个代数结果最简单的解释，通常主要 借助于几何背景。现在就以二维几何空间为例 对柯西不等式做出几何解释。
在欧氏空间 Rn 中，如果 α = (x1, x2, …, xn)T， β = (y1, y2, …, yn)T，则柯西不等式的形式为