微积分在高中物理中的应用

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微元法在高中物理中的运用及技巧简说

微元法在高中物理中的运用及技巧简说微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿了整个高中物理。

比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是在解决高层面物理问题时，常常起到事半功倍的效果。

微元法，即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的方法。

微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元作“低细节”描述）。

用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，具体说即是对事物作整体客观观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题。

所以微元法解决问题的两要诀就是取微元与对微元作“低细节”描述。

如何取微元呢？主要有这么几种：对整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元电流”等相应的元物理量；这些微元都是通过无限分割得到的，要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。

对微元作“低细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。

关于逼近有这么常见的几种逼近：①“直”向“曲”的逼近。

例如质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功。

我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicosθ＝mgHi，在无限分割下，即n→∞的条件下，WG=ΣWi＝mgH；②平均值向瞬时值的逼近。

例如瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点t’长度为△x，则物体在时间△t内平均速度为■=■，当△t→０时，该时间元的平均速度即时刻的瞬时速度。

中学物理中的微积分

中学物理中的微积分作者：范瑜来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第4期云南昭通市实验中学（657000）范瑜微积分已经进入高中数学课本，而中学物理教学一直把数学工具的使用列为重点之一。

由此可见，在某些合适的场合将微积分用于物理问题的分析和解决应该是顺理成章之事。

牛顿是将物理和数学完美结合的典范。

牛顿本是一个物理学家，但是，天体之间的引力给他提出了绕不开的难题，而当时所有的数学方法都不能帮助他解决这一难题，于是他只好自创数学方法——微积分。

由此可见，就是作为一个顶尖级的数学家，牛顿也是当之无愧的。

虽然绝大部分人成不了牛顿，但这并不妨碍我们向牛顿学习。

只要在各门科学之间打开足够的通道，整个科学世界也就完全统一起来了。

下面就微积分在物理上的运用举例说明，以期起到抛砖引玉的作用。

【例1】一个物体以速度v=3t2+2t(m/s)做直线运动，试计算这个物体在t1=2s到t2=5s的时间内的平均速度。

解析：初看题目，有人可能会误认为物体做匀变速直线运动，并且认为v0=2m/s,a=6m/s2。

其实，物体是做变加速直线运动。

显然初等数学对此问题是无能为力的，我们只好求助于积分法。

这个问题让我们初步看到微积分在解决某些物理问题方面确有独到之处。

【例2】如图1所示，真空中有一点电荷+Q,在+Q形成的“发散型”电场中，我们不妨规定无穷远处的电势能为零（当然电势也就为零）。

求试探电荷+q从电场中的M点（与+Q相距R）移到无穷远处的过程中，电场力所做的功。

解析：电荷+q从电场中的M点（与+Q相距R）移到无穷远处的过程中，电场力所做的功可用积分法求解。

按照电势能的定义，电荷+q在M点所具有的电势能等于，按照电势的定义，M点的电势等于观察比较表达式的特点，很容易记住三个表达式：①库仑力FQq=kQq/R2；②电势能EQq=kQq/R；③电势φM=kQ/R。

电势是一个很抽象的概念，学生不容易理解。

通过教师的推导，可以增强“实在性”和“可感性”，从而增加了抽象概念的“可信度”，对培养学生唯物主义思想观念有所帮助，还可以避免学生对抽象概念的死记硬背和生搬硬套。

微积分思想在中学物理教学中的应用

在高中物理教学巾，于学生没有学习过《等数学》南高巾的极限和微积分公式，于变量问题处理起来有一定难对度。如果先用微分，整个过程分成无限多个无限小的部把分，每一无限小部分内使变化的物理量变为不变的物理在量，当前高中所学知识相联系，用积分把各小部分进与再行累加起来得到需要的结果。这样回避了微积分公式，只采用 “ 积分的思想” 同样能解决问题，生也易于接受，微，学
ｌ
图１
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受外力作用，以水平方向动量守恒。人起步前系统的总所
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维普资讯
第７卷第９期２００８年９月
南阳师范学院学报
ＪｕｎｌｆＮｎａｇＮｏｍａｉｅｓｙｏｒａａｙｎｒｌＵｎｖｒｉｏｔ
Ｖ０．Ｎｏ９Ｉ７．
Ｓｐ．２０ｅ０８
现举例讨论。
１匀变速直线运动位移公式的推导
在速度图线中，匀变速直线运动的物体，时间ｔ做在内
的位移的大小等于速度图线和两个坐标轴所同图形的面

微积分在高中物理中的应用

121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。

本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。

数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。

运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。

1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。

但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。

（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。

（2）判断猎犬能否追上狐狸。

这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。

而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。

取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。

我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。

微积分在高中物理教学及高考中的应用

微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分是一门重要的数学课程，在高中物理教学及高考中有重要的应用。

首先，在高中物理教学中，微积分可以帮助学生理解物理学的深层次的概念和原理。

例如，在力学和弹性中，知道力和位移之间的关系，学生需要用到微积分，例如需要用到曲率来计算曲线上力的变化情况，或者用梯度和位移之间的关系来分析影响力的改变等。

此外，散度和积分也在物理学中有实际的应用，例如在电动力学中，学生可以运用微积分的知识确定电流的变化情况。

其次，在高考中，微积分也是非常重要的科目之一，它不但是数学竞赛中的重要科目，而且也在高考的多项科目中得到了普遍的应用。

例如，在物理学中，考生可以利用提高后的微积分知识分析曲线上的力、磁力场和重力场等问题；在电动力学中，考生可以运用微积分知识计算电势和电压；在力学中，考生可以利用微积分知识求出运动弹性曲线；在热力学中，考生可以利用梯度来分析热力学问题；而在化学中，考生可以利用积分来分析反应的反应速率等。

总之，在高考中，微积分的应用是不可分割的部分。

最后，微积分在高中物理教学及高考中的应用，不仅可以扩大学生们在物理学和化学中的知识面，而且可以提高学生的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。

因此，在高中物理教学及高考中，加强对微积分的学习和学术研究是非常有必要的。

综上所述，在高中物理教学及高考中，微积分有着重要的应用，它可以帮助学生更深入地理解物理学和化学中的问题，同时提高学生
的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。

因此，加强对微积分的学习及学术研究，有助于提高高中物理教学及高考中的教学水平。

微元法在高中物理中的应用之我见

微元法在高中物理中的应用之我见什么是微元法微元法，也称微积分方法，是数学中的一种重要方法，是通过将一个整体分解成无限小的部分，然后对每个无限小的部分进行操作，最后将所有无限小的部分相加得出整体的解法。

微元法的应用范围非常广泛，包括但不限于物理学、工程学、生物学、经济学等。

在物理学中，微元法被广泛应用于解决连续体的运动问题、计算物理场和电磁场等问题。

微元法在物理学中的应用主要分为两个方面，即微元力学和微元热学。

其中微元力学主要应用于求解刚体的运动和弹性变形问题，而微元热学则主要应用于热力学系统的能量转化和热力学循环。

微元法在高中物理中的应用在高中物理中，微元法的应用主要集中在微元力学方面。

下面是我在学习高中物理时对微元法的认识和感悟。

认识微元法在学习高中物理的过程中，我们往往需要解决一些连续体的运动问题。

例如一个挂在弹簧上的重物随时间的变化而做周期运动，我们需要求解重物在某一时刻的位置、速度和加速度等量数值。

这种问题很难用简单的代数方法来求解，需要借助微元法进行求解。

在应用微元法求解这类问题时，我们会将连续体分解成无限小的部分，例如我们将一个弹簧分成无数个微小段，每个微小段都受到特定的力，我们就可以对每个微小段进行力的分析，最终将所有微小段叠加起来得出整个连续体的力。

感悟微元法学习微元法的过程让我感受到物理学中观察问题的特殊视角和解决问题的独特思路。

微元法的应用需要我们将一个完整的整体分解成无限小的部分，想象每个微小部分的特定情况，然后逐步叠加起来得到整体的解。

同时，学习微元法也要求我们具备较强的数学功底和逻辑思维能力。

针对不同的问题，需要对微小部分进行不同的分解、分析和计算，最终求解结果需要进行合理的验证和解释，这些都需要我们具备较高的数学能力和物理素养。

微元法的应用案例下面给出两例在高中物理中应用微元法的案例，展示微元法的应用过程和价值。

弹簧振动假设一个质量为m的重物挂在一个弹簧上，当弹簧伸长x时，重物所受的弹性力为F=-kx，其中k为弹簧的劲度系数。

微积分在高中物理中的应用

微积分在高中物理中的应用一、非匀变速直线运动的位移计算一小球以速度v 做直线运动，其速度随时间变化规律为22+-=t v ，求小球在0—1s 内的位移。

由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。

试想，将[0，1]这段时间分为n 个时间段：[0，n 1]，[n 1，n 2],…，[nn 1-,1] 每个时间段的长度为 nn t t t t t i i 101=-=-=∆- 当Δt 很小时，在[t 1-i ,t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(t 1-i )做匀速运动，在这一段时间上物体的位移t t v x i i ∆≈∆-)(1在[0，1]上物体的总位移∑∑=-=∆=∆=n i i n i it t v x x 111)(∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=n i i n n t x 12121- ()[]()()22111131-26121n 1-2121n 1-2111110-3222322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=+-+⋯++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n n n n n nn n n n n 所以，n 越大即t ∆越小时，时间段[0，1]分得越细，∑=∆n i i x 1与x 的近似程度就越好，当∞→n 时，两者之差趋向于零，即3522111131-lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∞→=-∞→∑x n n x tv x n ni i n 所以，小球在0—1s 内的位移为35m 由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。

此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。

二、变力作功在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置l m 处，已知弹簧劲度系数为k ,求此过程中拉力F 所做的功W 。

在弹性限度内，拉力F 与弹簧拉伸长度成正比()kx x F =所以 20202121kl kx dx kx W ll ===⎰ 拉力F 所做的功为221kl三、交变电流有效值的计算求正弦式交变电流t I i m ωsin =的有效值解：设电流的有效值为I ，则i W Rt I =2将t I i m ωsin =等号两边同时平方得到t I i m ω222sin =Rt I Q 2=令 T t =所以在半个周期内TRI W t t RI W dt t RI W dt t I R W dt t I R W m i T m i T m i Tmi Tm i 2202202202222412sin 412122cos 2122cos 1sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰ωωωωω所以 TR I W Rt I m i 2241==2221m I I =2mI I = 正弦式交流电的有效值为2mI I =。

运用微积分解决高中物理问题的策略研究

运用微积分解决高中物理问题的策略研究作者：马嘉仪来源：《速读·下旬》2018年第09期摘要：微积分是解决复杂物理问题的不二方法。

本文依据问题解决的两个基本策略，即模式识别和分层解析，基于本人高中学习实践，科学地研究规划出三方面运用微积分解决高中物理问题的策略：模式识别法、以退为进法和相互转化法。

关键词：微积分；高中物理问题；策略学过高中物理的普高学生都了解，物理现象和规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，对于实际中的复杂物理问题，则可以化整为零，把问题分割范围小到对于这些局部范围内的问题都可以近似处理为简单、基本又可研究的问题，最后再把所有局部范围内研究的结果累积起来，就可以得到问题的结果。

在理论分析时，把分割过程无限地进行下去，局部范围便无限地小下去，称为微分；把所有的无限多个微分元中的结果求和，便是积分。

这就是微积分思想和方法。

运用微积分的方法，过去很多初等数学束手无策的物理问题往往都可以迎刃而解，这显示出微积分在解决物理问题上的非凡威力。

一、解决物理问题的相关策略理论概述解决物理问题的策略主要针对认识问题、分析问题和解决问题三个环节。

（一）识别模式认知心理学家指出：“人们在解决相关问题时，大多数是通过模式识别来解决的，首先要识别眼前的问题属于哪一类，然后以此为索引在记忆储存中提取相应的知识，这就是模式识别。

”在运用微机分解物理题时，当遇到一个从未见过的物理问题时，能迅速地从记忆库中提取有关典型模式，并通过对生题与熟悉的典型模式比较，探索解题途径的策略叫做模式识别。

（二）分层解析针对同一个物理问题，不同的方法对问题解决的繁简程度可能会有很大的区别。

如果遵循一定的科学思维方法，掌握正确的研究物理问题的思路，会收到事半功倍的效果，所以我们要按题中所给的条件和要求，将已明确的物理模型所对应的物理概念和规律运用其中，进行逐步分析和分层解答，建立起从已知量通向未知量的桥梁，找到相关的数学知识，完成解答，这是解决所研究问题的根本。

数学知识在高中物理解题中的应用研究

数学知识在高中物理解题中的应用研究
数学和物理是紧密相关的学科，高中物理解题中的许多问题都需要数学知识来得出正确的答案。

本文主要研究数学知识在高中物理解题中的应用。

一、图像解法
在高中物理中，许多问题都涉及到图像的解法。

例如，光学中的反射和折射问题，通过构造光线图解法可以方便地找到物镜和像的关系。

同时，通过图像解法可以方便地解决角度问题，如光路角和入射角等。

二、向量解法
向量是高中物理中经常使用的一种工具，通过向量的知识可以方便地解决力学问题。

例如，求一个物体在坡面上滑行的加速度，可以通过将重力的向量分解为沿坡面方向的分力和垂直于坡面方向的分力，然后求出沿坡面方向的分力。

三、微积分解法
微积分是高中物理中不可或缺的数学知识之一，通过微积分的知识可以帮助我们解决一些变化的问题，例如速度和加速度的求解。

同时，微积分的知识还可以帮助我们解决求面积和体积的问题。

四、代数解法
代数是高中数学中最重要的一部分，代数的知识在物理中同样也有着广泛的应用。

例如，在电路中通过欧姆定律可以列出代数方程式，进而求解电路中的电流和电压。

同时，在力学问题中也可以使用代数解法，如通过牛顿定律列出代数方程式解决问题。

总之，数学知识在高中物理解题中占有重要地位，掌握扎实的数学知识可以帮助我们更加轻松地解决高中物理中的各种问题。

同时，在学习高中物理时也应注重数学的应用，通过多种角度和方法解决物理问题，才能更好地理解物理概念和知识。

微积分思想在高中物理中的典型应用

微积分思想在高中物理中的典型应用任孝有　任雅群（北京市通州区潞河中学　北京　１０１１００）（收稿日期：２０１９－０４－１６）摘要：微积分思想是现代物理学中的重要思想，它将复杂变化的物理过程转化为定量可解，对学生物理思维和数学思维的提升十分有益．本文结合高中物理中的典型习题，实际说明了如何运用微积分思想解决物理问题．关键词：微积分　图像面积　物理方程对如图１所示的匀加速直线运动过程，将其运动过程分为ｎ个运动间隔，如图２所示，每个间隔的时间为Δｔｉ，每个间隔的最小速度为ｖｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则每个间隔的位移近似为ｘｉ＝ｖｉΔｔｉ，全程的总位移近似为Ｘ＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋…＝∑ｘｉ，在几何上体现为如图２所示的Δｔｉ上的矩形面积和，此时的Ｘ小于真实总位移．增大ｎ从而减小Δｔｉ，ｖｉ更加接近全程的真实速度，则ｘｉ更加接近对应过程的真实位移，Ｘ也更加接近真实总位移，矩形面积和也更加接近梯形面积；令ｎ趋近于无穷，则ｘｉ和Ｘ趋近于真实值，即对ｎ取极限后，矩形面积和等于梯形面积，也就是图线与横纵轴所围成图形的面积，为真实的位移．因此直接求得梯形面积，就可算出对应的变速运动的位移．其他物理过程同理．图１　匀加速直线运动ｖ－ｔ图像图２　匀加速直线运动分割当然，如果ｖｉ表示的是每个间隔的最大速度，取和后Ｘ大于真实值，但取极限后，Ｘ转化为真实值，仍旧体现为图线与横纵轴所围成图形的面积．分割，化变为恒获得物理意义；求和，获得宏观近似值；取极限，获得精确值．以上过程是一种连续后的跳跃，突变．也就是说，在数学图像中，如果横纵轴两个物理量的乘积是个新物理量，而且这个物理量是个过程量，那么图像与横纵轴所围的面积就反映着这个过程量的具体数值．但如果是个状态量则对应的是矩形面积，不可累加，如图３所示电源的Ｕ－Ｉ图像．櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆（ｍｇ）２＋（ｑＥ）槡２ｍｇ＝ｖＭｖＮ（１２）设Ｍ和Ｎ离开电场的动能分别为Ｅｋ１和Ｅｋ２，由题设条件可得Ｅｋ１＝１．５Ｅｋ２．即１２ｍｖ２Ｍ＝１．５×１２ｍｖ２Ｎ（１３）联立式（１２）、（１３）可得Ｅ＝ｍｇ槡２ｑ（１４）点评：在这道题中运用了运动的合成与分解、平均速度、动量定理、相似比等方法．巧妙的分别在水平方向和竖直方向来进行分析研究，一切问题迎刃而解．图３　Ｕ－Ｉ图像１　数学图像的面积先微分再积分【例１】电容器充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存的能量Ｅ与电容器的电容Ｃ，电荷量Ｑ及电容器两极间电压Ｕ之间的关系．他从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功．为此他做出电容器两极间的电压ｕ随电荷量ｑ变化的图像如图４所示．请按照他的想法，推导电容器储存的能量．图４　ｕ－ｑ图像解析：电容器两极板间电压为ｕ′时，从一个极板搬运Δｑ的电荷量到另一极板，克服电场力所做的功近似为Ｗ＝Δｑｕ′，图像上体现为Δｑ上方小矩形的面积，类似于ｖ－ｔ图像，图线与横轴所围的面积表示的就是充电过程中克服电场力做功即最终储存的电能Ｅ＝１２ｑＵ＝１２ＣＵ２＝１２ｑ２Ｃ小结：克服电场力做功的过程就是其他形式的能转化为电容器储存的能量的过程．【例２】利用图像分析问题是物理学中常用的方法，其中的斜率、面积通常具有明确的物理意义．（１）小明以６ｍ／ｓ的初速度将足球水平踢出，足球在草坪上滚动直到停下来的全过程中的速度－时间图像如图５所示．图５中图线与坐标轴所围的面积等于１２个小方格的面积．求足球滚动了多远才停下来？解析：图５中图线与坐标轴所围的面积即为足球滚动距离，每个小格代表的距离为１ｍ，所以足球滚动了１２ｍ才停下来．图５　足球在草坪滚动时的ｖ－ｔ图像（２）用如图６所示的电路研究电容器的放电过程，其中电压传感器相当于一个理想电压表，可以显示电阻箱两端电压随时间的变化关系．实验时将电阻箱Ｒ的阻值调至２　０００Ω，将开关Ｓ拨到ａ端，电源向电容器充电，待电路稳定后，将电压传感器打开，再将开关Ｓ拨到ｂ端，电容器通过电阻箱放电．以Ｓ拨到ｂ端时为ｔ＝０时刻，电压传感器测得的电压Ｕ随时间ｔ变化图像如图７所示．忽略导线及开关的电阻，且不考虑电路的辐射问题．求电容器所带电荷量的最大值．图６　研究电容器放电过程电路图图７　电阻箱两端Ｕ－ｔ图像解析：Ｕ－ｔ图像面积无物理意义，但改造成ＵＲｔ图像即Ｉ－ｔ图像，面积即最大电荷．在电容器放电过程中的极短时间内有ΔＱ＝ＩΔｔ根据欧姆定律有Ｉ＝ＵＲＵｔ图线与ｔ轴所围面积除以电阻Ｒ即为电容器所带电荷量的最大值，由图可知该面积等于１２个小方格的面积．因此电容器所带电荷量的最大值Ｑ＝６×１０－３　Ｃ小结：非规则图形如何求总面积？数格！对于不是整格的，将不足半格与超过半格凑成一个整格，但不好凑怎么办？舍去不足半个的，只数超过半个的就可以！不能恰好凑成一个呢？数格子也是一种测量方法，有误差不可避免！可以将格子分得尽可能小，以减小误差．计算时，注意横纵轴的物理单位．这种思想在“用油膜法估测分子大小”的实验中得到很好的体现．【例３】摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如８所示．考虑安全、舒适、省时等因索，电梯的加速度ａ随时间ｔ变化．已知电梯在ｔ＝０时由静止开始上升，ａ－ｔ图像如图９所示．类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由ｖ－ｔ图像求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图９所示ａ－ｔ图像，求电梯在第１ｓ内的速度改变量Δｖ１和第２ｓ末的速率ｖ２．图８　电梯简化模型图９　电梯ａ－ｔ图像解析：Δｖ１＝１２×１×１ｍ／ｓ＝０．５ｍ／ｓｖ２＝Δｖ２＝１２（１＋２）×１ｍ／ｓ＝１．５ｍ／ｓ小结：面积是速度的变化量而不是速度，清楚乘积的物理意义才能正确解决问题．【例４】如图１０所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块（可视为质点）的质量为ｍ，在水平桌面上沿ｘ轴运动．以弹簧原长时物块的位置为坐标原点Ｏ，当弹簧的伸长量为ｘ时，物块所受弹簧弹力大小Ｆ＝κｘ，κ为常量．请画出Ｆ随ｘ变化的示意图，并根据Ｆ－ｘ图像求物块沿ｘ轴从Ｏ点运动到位置ｘ的过程中弹力所做的功．图１０　例４情境图解析：根据胡克定律Ｆ＝κｘ，可以画出Ｆ－ｘ图像如图１１所示，有Ｗ＝－１２κｘ２图１１　Ｆ－ｘ图像小结：弹簧弹力的功写成－κｘ·ｘ则是以末状态的力充当了全程的力，忽视了弹簧弹力是变力的特点．【例５】如图１２所示的匀强磁场内有一光滑水平轨道，在外力作用下，金属杆从Ｏ点由静止开始向右做匀加速运动．加速度大小为ａ，磁感应强度大小为Ｂ，光滑轨道宽Ｌ，左侧电阻阻值为Ｒ，不计其他电阻．求在从静止开始的一段时间ｔ内安培力的冲量大小．图１２　例５情境图解析：根据题意有Ｆ安＝ＢＩＬＩ＝ＢＬｖＲｖ＝ａｔ联立以上３式Ｆ安＝Ｂ２　Ｌ２　ａＲｔ画出安培力的冲量与时间关系的Ｆ安－ｔ图像，如图１３所示，由图像面积可得安培力的冲量Ｉ安＝１２ｔＢ２　Ｌ２　ａＲｔ＝Ｂ２　Ｌ２　ａ２Ｒｔ２图１３　Ｆ安－ｔ图像小结：可否不画图，直接根据安培力的平均值Ｆ安＝０＋Ｂ２　Ｌ２　ａｔＲ２计算冲量？不可以，因为需要体现Ｆ安与时间ｔ是线性关系．２　物理方程的先微分再积分【例６】如图１４所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为Ｂ，一个质量为ｍ，电荷量为＋ｑ的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ．现使圆环以初速度ｖ０向上运动，经时间ｔ圆环回到出发位置．不计空气阻力．已知重力加速度为ｇ．求当圆环回到出发位置时速度ｖ的大小．图１４　例６情境图解析：在圆环运动的过程中，圆环受向下的重力ｍｇ，水平方向的洛伦兹力ｑｖＢ，细杆的弹力Ｎ和摩擦力ｆ，其中ｆ一直与运动方向相反，且摩擦力的大小ｆ＝μＮ＝μｑｖＢ圆环从开始向上运动到回到出发位置的过程中，取竖直向上为正方向，根据动量定理有Ｉｆ－ｍｇｔ＝－ｍｖ－ｍｖ０而Ｉｆ＝－∑ｆ上ｉｔ上ｉ＋∑ｆ下ｉｔ下ｉ＝－∑μｑｖ上ｉＢｔ上ｉ＋∑μｑｖ下ｉＢｔ下ｉ＝－μｑＢ∑ｖ上ｉｔ上ｉ＋μｑＢ∑ｖ下ｉｔ下ｉ＝μｑＢ（ｘ下－ｘ上）＝０所以ｖ＝ｇｔ－ｖ０小结：需要对上下两个过程分别使用微积分，因为向上运动的距离与返回运动的距离相等，最终求得滑动摩擦力的冲量为零．【例７】如图１５所示，在竖直向下的磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ．一质量为ｍ的导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．若轨道左端Ｍ与Ｐ间接一电容器，电容器的电容为Ｃ，导体棒在水平向右恒力Ｆ的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中加速度的大小．图１５　例７情境图解析：导体棒ａｂ向右加速运动，在极短时间Δｔ内，导体棒的速度变化Δｖ，根据加速度的定义ａ＝ΔｖΔｔ导体棒产生的电动势变化ΔＥ＝ＢＬΔｖ电容器增加的电荷Δｑ＝ＣΔＥ＝ＣＢＬΔｖ根据电流的定义Ｉ＝ΔｑΔｔ解得Ｉ＝ＣＢＬａ导体棒ａｂ受到的安培力Ｆ安＝ＢＩＬ＝Ｂ２　Ｌ２　Ｃａ根据牛顿第二定律Ｆ－Ｆ安＝ｍａ解得ａ＝Ｆｍ＋ＣＢ２　Ｌ２小结：加速度是恒定的吗？不清楚！为了求出加速度，分割后看成是匀变速运动，此处也是化变为恒，是化变加速为匀加速，即变化的ａ转化为恒定的ａ．从最终结果看出，ａ与时间无关，也就是说各段的ａ相同，即全程是匀加速直线运动．上什么山唱什么歌，具体问题要具体分析．【例８】在磁感应强度为Ｂ，方向如图１６所示的匀强磁场中，两根平行且光滑的金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ，电阻不计．轨道端点Ｍ和Ｐ间接有阻值为Ｒ的电阻．一个长为Ｌ，质量为ｍ，阻值为ｒ的金属导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．给导体棒ａｂ瞬时速度ｖ０，求：金属棒ａｂ向前运动的最大距离ｘ．图１６　例８情境图解析：以金属棒为研究对象，在很短的一段时间Δｔ内根据动量定理ＢｉＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（１）在某时刻根据全电路欧姆定律ｉ＝ＢＬｖｉＲ＋ｒ（２）由式（１）、（２）得ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（３）ａｂ经时间ｔ停下来，对式（３）在时间ｔ内求和 ∑ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝∑ｍΔｖｉＢＢＬＲ＋ｒＬ∑ｖｉΔｔ＝ｍ∑ΔｖｉＢＢＬＲ＋ｒＬｘ＝ｍｖ０（４）解得ｘ＝ｍｖ０（Ｒ＋ｒ）Ｂ２　Ｌ２小结：安培力的冲量，用式（４）左侧计算出的结果是真实值还是近似值？式（１）左侧的匀速如何对应于右侧的变速？下面简要说明为什么是近似值．对于在一极短时间Δｔ内，初速度为ｖｉ的匀减速直线运动过程，结合Ｆ安－ｔ图像，如图１７所示，安培力的冲量ＩＦｉ＝１２Ｂ２　Ｌ２ｖｉＲ＋ｒ＋Ｂ２　Ｌ２（ｖｉ－ａΔｔ）Ｒ＋ｒ［］Δｔ＝Ｂ２　Ｌ２２（Ｒ＋ｒ）（２ｖｉΔｔ－ａΔｔ　２）图１７　Δｔ时间内Ｆ安－ｔ图像因为Δｔ为一极短时间，Δｔ　２相对于Δｔ来说可以忽略不计，所以ＩＦｉ＝Ｂ２　Ｌ２Ｒ＋ｒｖｉΔｔ＝Ｂ２　Ｌ２Ｒ＋ｒｘｉ同样ａｂ经时间ｔ停下来，对上式在时间ｔ内求和ＩＦ＝Ｂ２　Ｌ２Ｒ＋ｒｘ与式（４）左侧一致，因此近似在Δｔ　２的忽略上．物理结果是存在误差的，但这个误差是极小的，可以满足实际的需要．微积分思想与整体法和隔离法是一脉相承的，只是操作时，先分析可研究的局部，再获得整体，适当的练习有益于学生尤其是高三学生物理思维的提升．参考文献１　程守洙，江之永．普通物理学．北京：高等教育出版社．２０１６２　匡继昌．微积分和无穷小量的哲学思考．数学教育学报，２００７，１６（２）。

微积分在高中物理学习中的应用

微积分在高中物理学习中的应用微积分在高中物理学习中的应用___________________________________高中物理学是学习物理的一个重要阶段，它涉及许多方面，其中包括传统的物理学，如力学，热学等，以及更加抽象的数学知识，如微积分。

微积分是一门利用函数和导数来研究求解曲线、曲面和复杂几何体的数学理论，是高中物理学中一个重要的基础。

为了更好地理解物理学，我们必须正确地使用微积分。

微积分可以帮助我们准确地描述物理现象，从而使我们能够更好地理解它们。

例如，我们可以使用微积分来描述一个物体运动的轨迹。

我们可以利用它来求解速度、加速度和动量的变化规律，从而有效地描述物体的运动状态。

此外，微积分还可以帮助我们更好地理解变化率问题。

例如，当我们讨论物体的加速度时，我们可以使用微积分来求出其加速度的变化率。

此外，微积分还可以帮助我们求出物体的动能、势能和动量的变化规律。

另外，微积分在理解物体的摩擦、热学、光学等方面也有重要作用。

例如，我们可以使用微积分来分析两个物体之间的摩擦力，并利用它来分析物体在不同温度下的传导性能。

此外，微积分还可以帮助我们理解光的衍射和反射原理。

最后，微积分还可以帮助我们理解物理定律的变化和发展。

例如，我们可以使用微积分来分析和证明牛顿定律的正确性。

此外，微积分还可以帮助我们更好地理解相对论的发展历史和它对物理学的影响。

总之，微积分在高中物理学习中有着重要作用。

它不仅可以帮助我们正确理解物理学，而且还可以帮助我们理解物理定律的变化和发展。

因此，为了能够正确地理解高中物理学，我们必须正确地使用微积分。

微积分在物理学中的应用

微积分在物理学中的应用宋书宇(淮南第四中学ꎬ安徽淮南２３２００１)摘㊀要:本文主要介绍积分学在物理学中的一些应用ꎬ根据问题的具体背景ꎬ应用有关的物理定律ꎬ将问题归结为积分计算或者简单的微分方程求解.在具体归结中一般均可用微元法.关键词:积分ꎻ微分ꎻ物理ꎻ力学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－０１１０－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:宋书宇(１９８９.５－)ꎬ男ꎬ安徽省淮南人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀数学和物理学是相通的ꎬ很多的数学问题具有物理背景ꎬ而很多的物理问题也需要数学工具来解决.文章利用微积分对物理学中一些经典问题进行探究ꎬ不仅是从高观点来理解物理ꎬ同时也是在探索物理中的数学方法.１做功问题例１㊀把质量为ｍ的物体从地球(其半径为Ｒ)表面抬升到高度为ｈ的地方ꎬ需要对它做多少功?若物体远离至无穷远处ꎬ则功等于多少?解法１㊀如图１所示ꎬ取地球中心为原点ꎬ取Ｏｘ轴垂直向上.设物体当前的位置为ｘꎬ考虑将其从高度ｘ提升到ｘ＋ｄｘ时需要做的功.图１㊀例１题图从万有引力定律可知ꎬ所要做的功为ｄＷ＝ＧＭｍｘ２ｄｘ.利用当ｘ＝Ｒ时有Ｆ＝ｍｇꎬ于是有ＧＭｍＲ２＝ｍｇꎬ从而可以得到ＧＭ＝ｇＲ２.由ｄＷｄｘ＝ｍｇＲ２ｘ２可知有Ｗ(ｘ)＝－ｍｇＲ２ｘ＋Ｃ.然后再利用Ｗ(Ｒ)＝０ꎬ就可以求出待定常数Ｃ＝ｍｇＲꎬ于是功Ｗ(ｘ)＝ｍｇＲ１－Ｒｘæèçöø÷.用高ｘ＝Ｒ＋ｈ代入ꎬ就知道将物体从地面提高ｈ所需要做的功为Ｗ(Ｒ＋ｈ)＝ｍｇＲ１－ＲＲ＋ｈæèçöø÷＝ｍｇＲｈＲ＋ｈ.这个答案在ｈ≪Ｒ时也就与ｍｇｈ差不多.对于ｈ为无穷远的情况ꎬ只要令ｈң＋¥取极限ꎬ就得到将物体抛至无穷远处所需要做的功为ｍｇＲ.若令ｍｇＲ＝１２ｍｖ２ꎬ则就得到ｖ＝２ｇＲꎬ这就是将地面上的物体送到无穷远处所需要的初始速度.它与物体的质量ｍ无关ꎬ一般称之为第二宇宙速度ꎬ记为ｖ２.取ｇ＝９.８ｍ/ｓ２ꎬＲ＝６.３８ˑ１０３ｋｍꎬ可计算出ｖ２ʈ１１.２ｋｍ/ｓ.解法２㊀在求出ｄＷｄｘ之后ꎬ只要利用Ｗ(Ｒ)＝０就可以用定积分计算如下:０１１Ｗ(Ｒ＋ｈ)＝ʏＲ＋ｈＲＷᶄ(ｘ)ｄｘ＝ʏＲ＋ｈＲｍｇＲ２ｘ２ｄｘ＝ｍｇＲ２－１ｘæèçöø÷Ｒ＋ｈＲ＝ｍｇＲ２１Ｒ－１Ｒ＋ｈæèçöø÷＝ｍｇＲｈＲ＋ｈ.而当ｈң＋¥时则可直接计算广义积分如下:Ｗ(＋¥)＝ｌｉｍｈң＋¥ʏＲ＋ｈＲｍｇＲ２ｘ２ｄｘ＝ʏ＋¥ＲｍｇＲ２ｘ２ｄｘ＝ｍｇＲ２－１ｘæèçöø÷＋¥Ｒ＝ｍｇＲ.注㊀以上两个解法无本质差别ꎬ都是从ｄＷｄｘ＝ｍｇＲ２ｘ２出发求未知函数Ｗ(ｘ).一般而言ꎬ若取ｘ为自变量ꎬｙ(ｘ)为未知函数ꎬ则将Ｆｘꎬｙꎬｄｙｄｘæèçöø÷＝０ꎬ或者ｄｙｄｘ＝ｆ(ｘꎬｙ)称为(常)微分方程.若后一式的右边不出现ｙꎬ则就是求不定积分.它是最简单的微分方程ꎬ本题就是如此.从不定积分知道ꎬ其中出现待定常数.如解法１所示ꎬ根据条件Ｗ(Ｒ)＝０可以求出这个常数ꎬ从而得到完全确定的解.这在微分方程理论中称为初始条件[１].２压力问题例２㊀求水对坚直放置的半圆形挡板的压力ꎬ该挡板的半径为ａꎬ而水面位于挡板顶部直径的位置.解法１㊀如图２所示ꎬ将原点置于水面ꎬＯｘ轴垂直于水面指向下方.图２㊀解法１示意图㊀㊀㊀㊀图３㊀解法２示意图考虑挡板在水深为ｘ和ｘ＋ｄｘ之间的部分(即图２的阴影带区)ꎬ深度ｘ处的压强为ρｇｘꎬ其中ρ为密度ꎬ可取为１ꎬｇ是重力加速度.为简明起见ꎬ下面略去这个常数因子.将深ｘ处的压强乘以阴影带区的面积ꎬ近似地得到ｄＦ＝２ｘａ２－ｘ２ｄｘ.将它对ｘ从０到ａ积分得到Ｆ＝２ʏａ０ｘａ２－ｘ２ｄｘ＝－２３ａ２－ｘ２()３２ａ０＝２３ａ３.解法２㊀如图３所示ꎬ考虑挡板在角φ到φ＋ｄφ之间的扇形部分.可以将它近似地看成为一个三角形ꎬ它的质心离开原点的距离为２ａ/３.水对这个扇形的压力等于扇形面积乘以水在质心处的压强.这就是２３ａｃｏｓφˑ１２ａ２ｄφ＝１３ａ３ｃｏｓφｄφ.利用对称性ꎬ将它对于φ在０ꎬπ２[]上积分并乘以２ꎬ就得到Ｆ＝２３ａ３ʏπ２０ｃｏｓφｄφ＝２３ａ３.注㊀这里需要解释一下ꎬ在解法２中ꎬ作用在一个小扇形上的水压力为什么等于其面积乘以在其质心处的压强.为此只要注意水的压强值(在忽略常数因子后)等于深度ｘꎬ也就是到Ｏｙ轴的距离.因此解法２的做法是合理的[２].３动能问题例３㊀半径为Ｒ而密度为δ的均质球体以角速度ω绕其直径旋转ꎬ求此球的动能.解㊀对于由质点ｍｉ(ｉ＝１ꎬ ꎬｎ)组成的离散系统ꎬ绕固定轴旋转的动能为Ｔ＝１２ðｎｉ＝１ｍｉｖ２ｉꎬ其中ｖｉ是质点ｍｉ的速度ꎬ若旋转的角速度为ωꎬ则ｖｉ＝ｒｉωꎬ其中ｒｉ是质点ｍｉ到旋转轴的距离ꎬｉ＝１ꎬ ꎬｎ.这样就得到力学中计算动能的公式为Ｔ＝１２ðｎｉ＝１ｍｉｖ２ｉ＝１２ω２ðｎｉ＝１ｍｉｒ２ｉ＝１２Ｍ(２)ω２ꎬ其中Ｍ(２)是质点系的转动惯量.对质量为连续分布的系统ꎬ只要将上述ｍｉ用微分代替ꎬ将求和改为求积分即可得到.因为可以求出本题的球关于直径的转动惯量为Ｍ(２)＝８π１５Ｒ５δꎬ故本题的答案是１１１Ｔ＝１２Ｍ(２)ω２＝４π１５Ｒ５δω２.４吸引力问题例４㊀线密度μ０为常数的无穷直线以怎样的力吸引距此直线距离为ａ而质量为ｍ的质点?解㊀如图４所示ꎬ将该直线(棒)置于Ｏｘ轴上ꎬ考虑微元ｄｘ对点(０ꎬａ)处的质点的引力.图４㊀例４题图微元ｄｘ的质量为μ０ｄｘꎬ它到点(０ꎬａ)的距离是ｘ２＋ａ２ꎬ因此根据万有引力定律知道该微元对质量ｍ的质点的引力是Ｆ＝ｋｍμ０ｄｘｘ２＋ａ２ꎬ其中ｋ为常数ꎬ力的方向从点(０ꎬａ)指向点(ｘꎬ０).利用对称性ꎬ合力在ｘ方向的分量为０ꎬ在ｙ方向的分量小于０.因此只要将上述Ｆ投影到Ｏｙ轴方向再积分即可.这样就列出积分公式如下:ｋμ０ｍʏ＋¥－¥１ｘ２＋ａ２ａｘ２＋ａ２ｄｘ＝２ｋａμ０ｍʏ＋¥０ｄｘｘ２＋ａ２()３２.作代换ｘ＝ａｔａｎｔꎬ就得到２ｋａμ０ｍʏ＋¥０ｄｘｘ２＋ａ２()３２＝２ｋｕ０ｍａʏπ２０ｓｅｃ２ｔｓｅｃ３ｔｄｔ＝２ｋｕ０ｍａʏπ２０ｃｏｓｔｄｔ＝２ｋｕ０ｍａ.５容器形状的确定问题例５㊀旋转体容器应该具有什么形状ꎬ才能使液体从容器底部流出时ꎬ液体上表面的下降是均匀的?解㊀如图５所示为容器的一个截面.设想该容器是用ｘＯｚ平面内的曲线ｚ＝ｚ(ｘ)围绕Ｏｚ轴旋转得到ꎬ其中设ｚ(０)＝０ꎬ曲线在第一象限中.图５㊀例５题图假设容器中液体的流出孔开在底部原点处ꎬ则根据托里拆利定律ꎬ液体从容器中流出的速度为ｖ＝ｃ２ｇｈꎬ其中ｇ为重力加速度ꎬｈ为孔上方的液体水平面的高度ꎬｃ＝０.６为实验所得系数.如图５所示ꎬ液体水平面的高度是时间的函数ꎬ记为ｚ(ｔ)ꎬ则在时间ｄｔ内ｚ(ｔ)下降ｄｚ时容器内减少的液体体积就等于流出的液体量.用托里拆利定律ꎬ就得到液体的流出量为ｖｄｔ＝ｃ２ｇｚｄｔꎬ而液面高度从ｚ＋ｄｚ降到ｚ时的液体体积可从旋转体的生成知道是πｘ２ｄｚ.于是就有πｘ２ｄｚ＝ｃ２ｇｚ１２ｄｔ也就是微分方程ｄｚｄｔ＝ｃ２ｇπ ｚ１２ｘ２根据题意要求ｄｚｄｔ为常数ꎬ因此就得到ｚ＝Ｃｘ４ꎬ其中Ｃ为常数.对于物理问题的理解和解决ꎬ可以从微积分的视角来分析ꎬ这样才能看清问题的本质.在日常教学中ꎬ也可以给学生渗透微积分的知识与方法ꎬ如在变力做功或者变速运动的问题中.这样ꎬ可以帮助学生建立完整的知识框架和认知结构ꎬ对激发学生学习物理的兴趣以及学生今后物理学习的潜能是非常有帮助的.参考文献:[１]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１０.[２]谢惠民ꎬ沐定夷.吉米多维奇数学分析习题集学习指引(第二册)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１１(４).[责任编辑:李㊀璟]２１１。

微积分在高中物理中的应用

微积分在高中物理中的应用
微积分在高中物理中有重要的应用。

首先，它可以用来研究物体的运动，因为它可以提供有关物体加速度、位置、形状和质量等物理量的完整记录。

例如，用微积分可以描述平面和曲线运动，因为以前只能用图形和表格表示。

此外，微积分也可以用来研究物体的重力场，因为它可以提供有关重力的独特视角。

通过微积分，我们可以寻求重力的定义，以及重力是如何影响物体的运动的。

另外，微积分也可以用于解决许多物理问题。

例如，它可以用来计算摩擦系数，从而可以更精确地计算物体的运动，这样可以更好地理解物理之间的关系。

总之，微积分在高中物理中有着重要的应用，它可以帮助我们更好地理解物理，也可以帮助我们解决许多实际问题。

微积分可以提供一个更加完整的视野，这可以帮助我们解决一些根深蒂固的问题。

高中匀变速运动微积分解决举例

伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。

微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用，如解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？例汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解析】现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式就可以求得汽车走了0.025公里。

但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。

在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。

现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即。

【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系，从开始刹车到停车的时间t=5s ，所以汽车由刹车到停车行驶的位移小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。

对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。

微积分思想在高中物理中的应用

微积分思想在高中物理中的应用
高中物理中的微积分思想的应用可以有很多，大概有下面几个方面，都属于微积分思想的重要应用。

首先，在力学中，物理学家使用微积分的思想来探究任何物体的
运动情况，主要是通过计算加速度、速度和位置，也就是计算物体运
动的函数来求解。

例如，如何分析一个物体自由落体运动的轨迹和速度，就要用到微积分思想。

其次，牛顿第二定律中又引入了微积分思想，牛顿第二定律可以
用F=ma表示，其中F代表力，m代表质量，a代表加速度。

加速度的
变化就是微积分中的导数概念，用微积分的思想，可以很容易地计算
出速度的变化。

此外，在动能定理中也用到了微积分思想，动能定理可以用来计
算物体的动能，例如可以用它来计算物体下落时的动能和势能的大小，也可以用来求解物体的动量变化。

总之，微积分思想在高中物理学中应用十分广泛，不仅仅可以用
来计算物体的运动轨迹，还可以用来求解力学中的力和动量，对物理
学学习有着不可或缺的作用。

微积分方法在高中物理解题中的应用浅析

微积分方法在高中物理解题中的应用浅析作者：袁宁婧来源：《课程教育研究》2017年第03期【摘要】数学是物理研究的基础学科，数学的理论方法为物理课程的学习打下坚实的基础，在教与学过程中要灵活运用，并相互促进。

将归纳微积分方法在物理解题中的应用加以归纳，与同学共享。

【关键词】数学微积分方法物理【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）03-0213-01当今新理论、新方法、新的学科门类层出不穷，学科间知识的相互融合、解题方法的相互渗透越来越明显。

数学和物理这两门学科联系密切，一定的数学知识，对学好物理能起到积极的促进作用。

但是另一方面物理有其自身的特点，不少学生在物理学习中往往摆脱不了数学思维模式的影响，而且物理的学习内容、方法和教师教学方法的改变以及物理学习思维的多样性、灵活性。

因此在教与学的过程中要正确处理好两者的关系，使学生对这两门学科的学习各有所长。

一、微积分在物理力学中的应用微积分是计算变量和变率的特殊数学方法。

它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待物理问题。

比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。

在物理学中运用微积分解决问题很简捷。

只要物理中的问题能够抽象划归成微分与积分，就是微积分在物理中的应用。

利用微积分方法，可以规避复杂的思维过程，计算过程也得以简化。

例1. 求小球在水中竖直沉降速度，已知小球质量为，水中小球浮力为，水对小球粘性力为 [1]此例是微积分在力学中的应用，首先把握好题的含义，巧妙地引入微积分会使计算过程大大简化。

例2. 如图1所示，一个质量是m，原半径为a的弹性圆环，绕中心轴O匀速转动，以角速度ω匀速转动后，其半径变为b，求弹性圆环的劲度系数。

[2]此例可以看出，在理解本题的含义后，巧妙地引入微分运算符，这是引入微积分解题的关键思路。

高中数学在物理现象中的应用研究

高中数学在物理现象中的应用研究在高中物理课程中，数学是一个非常重要的辅助工具。

许多物理现象和规律可以通过数学方法来描述和解释，因此高中数学知识对于理解和应用物理知识至关重要。

本文将探讨高中数学在物理现象中的应用研究，包括力学、热力学、光学等方面的应用。

1. 力学中的数学应用在力学中，数学是最为基础的工具。

牛顿的运动定律和万有引力定律等物理定律都可以通过数学方程来描述和推导。

牛顿第二定律F=ma可以通过微积分的方法来推导出动力学方程。

而万有引力定律F=G*m1*m2/r^2则可以通过向量和微积分的方法来推导出万有引力场的方程。

在运动学中，数学的微积分知识也可以用来描述变速运动和曲线运动的轨迹。

通过对运动过程中速度和加速度的积分可以得到位置和速度的关系，从而描述物体的运动轨迹。

在热力学中，数学的概率论和统计学知识可以用来描述热力学系统的微观状态。

玻尔兹曼分布和统计热力学理论可以用来描述气体微观粒子的分布规律和热力学系统的熵增原理。

热传导和热辐射等热力学过程也可以通过数学方程和微分方程来描述和推导。

在热力学中，数学的微积分和微分方程也经常用来描述热力学系统的变化过程。

通过对热力学循环和相变过程的功和热量的积分可以得到热力学系统的内能和焓的变化规律，从而揭示热力学系统的热力学过程。

在光学中，数学的几何光学知识可以用来描述光的传播和折射规律。

通过折射定律和几何光学方程可以计算出光在不同介质中的传播速度和折射角度，从而解释折射和反射等光学现象。

在光的波动理论中，数学的微积分和傅立叶变换等知识可以用来描述光的波动规律。

通过对光波的叠加和衍射的积分可以得到各种光学干涉和衍射的规律，从而解释光的干涉和衍射现象。

微积分思想在高中物理中应用赏析

微积分思想在高中物理中的应用赏析【摘要】微积分是微分学和积分学的总称。

以直代曲，以线性化方法解决非线性问题是其思想精髓所在。

【关键词】微积分思想变力做功电场强度电荷量等无限细分就是微分，无限求和就是积分，这种用极限思想处理问题的方法就是微积分。

思想丰富了我们处理问题的方法。

因此，我们有必要对其进行了解和学习。

本文将从以下几个方面就其在高中物理中的应用作赏析。

1.相关物理图象中面积的含义“研究匀变速直线运动的位移与时间的关系”一节，利用v-t图象把质点运动过程无限细分，继而把各微分段位移无限求和，得到v-t图象与坐标轴所围面积即质点在相应时间内所发生的位移。

通过面积计算导出了匀变速直线运动的位移公式：x=v0t+12at2。

——时间关系导出过程中，微积分思想得到了淋漓尽致地体现。

从该思想出发，我们还可以得到很多物理图象中面积的含义。

如：f-t图象与坐标轴所围面积表示相应的冲量； f-x图象与坐标轴所围面积表示相应的功；p-v图象与坐标轴所围面积表示气体状态变化过程中相应的功；i-t 图象与坐标轴所围面积表示相应的电荷量等。

利用’面积’解题有时会有事半功倍的效果，此点不再举例赘述。

2.研究变力做功问题w=fscosθ直接求出，变力做的功可由功能关系和能量关系来求解。

但借助微积分思想，我们也可直接去求变力的功。

其思路是：把质点发生的位移无限细分，在每一小段位移上，力的变化很小，可以视其为恒力，先求出力在各个小段的功，再把各个小段上的功无限求和，即可得到变力所做的功。

1 由胡克定律知，弹簧在拉伸过程中需要的力f（单位：n）与伸长量（单位：m）成正比，即f=kx（k是劲度系数）。

如果把弹簧由原长拉伸 m，计算所做的功。

2以弹簧原长处为原点建立x轴，把x平分为n段，则每一微分段的长度为△x=xn，各微分段到o点的距离为i(△x)=ixn（i=0、1、2、……、n）。

w i=(i△x)(△x)=ikx 2n 2弹性势能可表示为e p=12kx2，式中为弹簧的伸长量或压缩量。

微积分法在高中物理中的应用

微积分法在高中物理中的应用作者：张振荣来源：《中学物理·高中》2014年第02期最近两年的高中物理练习题中出现了这样一种处理问题的方法：为了求总和，先分割成无数小微元再求和，有种欲擒故纵的演绎思想，这就是数学上的积分法.微积分法最初的建立本身就是为了研究物体的运动问题而提出来和被广泛的应用的.牛顿对其的解释是，已知连续运动的路径求速度就是微分，已知运动的速度求一段时间内的路程就是积分.可见微积分，就其发展的经历以及对物理学的作用来说，可以说是功不可没，只不过以往高中数学没有学习微积分，所以这种方法在高中阶段被搁置了，实在是种缺憾.随着新课改的推进，由于高中数学内容的改动，增加了微积分，故相应微积分在处理高中物理问题的思想和方法又浮出来，会逐渐被广泛应用，可以说是符合学生学习发展的客观需要，是与时俱进的体现，掌握和熟练应用这部分内容来处理高中物理问题应该成为一种基本要求.我们先来体会一下：如图1所示，在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，有两条相互平行的且相距L的光滑金属导轨P1P2P3-Q1Q2Q3，两导轨间用阻值为R的电阻连接，导轨P2P3、Q2Q3在同一水平面上，P2Q2⊥P2P3，倾斜导轨和水平导轨均用相切的一小段光滑圆弧连接，其长度可以略去不计.在倾角为θ的斜导轨P1P2-Q1Q2上放置一根质量为m的细金属杆AB，杆AB 始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触.现用沿P1P2方向的拉力F施加于杆AB，使杆AB在高h处由静止开始向下做匀加速直线运动，当杆AB运动到P2Q2时撤去拉力，最终在CD处停下，测得CD与P2Q2之间的距离为s.不计导轨和杆A的电阻，不计空气阻力.求：（1）杆AB下滑的过程中通过电阻R的电荷量q.（2）杆AB运动到P2Q2处时的速度大小v.（3）回路中的最大感应电流IM和杆AB在斜导轨上的加速度大小a.在高三复习时讲解用这种方法时，担心学生不能接受，而实际恰恰相反，学生接受和理解的相当容易，因为已有了数学功底.实际上微积分的思想在高中物理学习中是贯穿始终的，最初接触应该是由v-t图象求位移的时候，只不过当时学生数学上还没有学到此部分内容，故只是把思想加以渗透，没有过多解释及应用.高中所谓的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分，在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道.现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移大小等于速度时间图象与时间轴所围图形的“面积”，在高二数学课学习过以后我们可以加以巩固，把这种方法应用到解决物理问题上来，学生很容易接受，同时又多了一种处理变加速直线运动的方法，具有很强的实际意义，毕竟实际运动更多的是变加速运动，学生又多了一种处理问题的方法.从物理中来回到物理中去，这种方法已经很广泛的被运用解决各种问题当中.再如：如图2所示，四分之一光滑绝缘圆弧轨道AP和水平绝缘传送带PC固定在同一竖直平面内，圆弧轨道的圆心为O，半径为R；P点离地高度也为R，传送带PC之间的距离为L，沿逆时针方向的传动速度v=2gR ，在PO的左侧空间存在方向竖直向下的匀强电场.一质量为m、电荷量为+q的小物体从圆弧顶点A由静止开始沿轨道下滑，恰好运动到C端后返回.物体与传送带间的动摩擦因数为μ，不计物体经过轨道与传送带连接处P时的机械能损失，重力加速度为g.（1）匀强电场的场强E为多大；（2）物体返回到圆弧轨道P点，物体对圆弧轨道的压力大小；（3）若在直线PC上方空间再加上匀强磁场，方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B（图中未画出），物体从圆弧顶点A静止释放，运动到C端后做平抛运动，落地点离C 点的水平距离为R，试求物体在传送带上运动的时间t.在物理学中，这是一种很重要的计算方法，千万不可忽视.如求变力功问题：利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道.在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性，这种思想无不贯穿整个高中物理.“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维.我们教学的时候，要学会这种研究问题的思想和方法，并传授给学生，符合学生求知发展的需求，在处理物理问题上更可以起到事半功倍的效果.实际上大学物理中几乎每个物理量都和微积分有着联系，由于高中教学数学内容的更新，这种处理问题的方法过渡到高中是一种必然趋势.。