微积分在高中物理中的应用

微积分在高中物理中的应用

一、非匀变速直线运动的位移计算

一小球以速度v 做直线运动，其速度随时间变化规律为22+-=t v ，求小球在0—1s 内的位移。

由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。

试想，将[0，1]这段时间分为n 个时间段：

[0，n 1]，[n 1，n 2],…，[n

n 1-,1] 每个时间段的长度为 n

n t t t t t i i 101=-=-=∆- 当Δt 很小时，在[t 1-i ,t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(t 1-i )做匀速运动，在这一段时间上物体的位移

t t v x i i ∆≈∆-)(1

在[0，1]上物体的总位移

∑∑=-=∆=∆=n i i n i i t t v x x 111

)(

∑=-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⋅=n i i n n t x 12121- ()[]

()()22111131-26

121n 1-2121n 1-2111110-3222322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=+-+⋯++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n n n n n n

n n n n n 所以，n 越大即t ∆越小时，时间段[0，1]分得越细，

∑=∆n i i x 1与x 的近似程度就越好，当∞

→n 时，两者之差趋向于零，即 3

522111131-lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∞→=-∞→∑x n n x t

v x n n

i i n

所以，小球在0—1s 内的位移为3

5m 由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。

二、变力作功

在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置l m 处，已知弹簧劲度系数为k ,求此过程中拉力F 所做的功W 。

在弹性限度内，拉力F 与弹簧拉伸长度成正比

()kx x F =

所以 20202121kl kx dx kx W l

l ===⎰ 拉力F 所做的功为22

1kl 三、交变电流有效值的计算

求正弦式交变电流t I i m ωsin =的有效值

解： 设电流的有效值为I ，则i W Rt I =2

将t I i m ωsin =等号两边同时平方得到t I i m ω222sin =

Rt I Q 2=

令 T t =

所以在半个周期内

TR I W t t RI W dt t RI W dt t I R W dt t I R W m i T m

i T m i T

m

i T

m i 2202

2022

022

22412sin 412122cos 212

2cos 1sin =

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰ωωωωω 所以 TR I W Rt I m i 224

1== 222

1m I I =

2

m I I = 正弦式交流电的有效值为2m I I =