多元函数微分习题-(1)
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多元函数微分法及其应用同步测试 （2009年4月）
注:红色的题目超出范围,不做.
测试1
一、填空题（3分×4=12分）
1、设
22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+，则=),(y x f 。
2、=+→2
22)0,0(),(sin lim y x y
x y x 。
3、设xyz
e z y x
f =),,(，则=∂∂∂∂z
y x f 3 。
4、曲线⎪⎩⎪⎨⎧==z
x x y 2
2在点)1,1,1(0P 处的切线方程为 。 二、选择题（4分×3=12分）
1、设有二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),(,
0),
0,0(),(,),(242y x y x y x y
x y x f 则 [ ]。
A 、),(lim
)
0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； C 、),(lim
)
0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处连续；
D 、
),(lim )
0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数
),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在的[ ]。
A 、必要条件；
B 、充分条件；
C 、充要条件；
D 、既非必要也非充分条件。 3、点)0,0(O 的函数xy
z
=的[ ]。
A 、极小值点；
B 、驻点但非极值点；
C 、极大值点；
D 、最大值点。 三、计算题（6分×5=30分）
1、设⎩⎨⎧=+≠++=.00,
0),ln(),(2
22222y x y x y x x y x f 求),(y x f 各一阶偏导数。 2、设⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。 3、设),(y x f z =由方程0=-++++y
x z e y x z 所确定，求dz 。
4、设)()(1y x y xy f x z ++=ϕ，式中ϕ,f 具有各二阶连续导数，求y
x z
∂∂∂2(有些难度,可不做) 5、设f
x y xy f x z ,,3
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=具有各二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2和2
2y z
∂∂。(有些难度,可不做)
四、综合题（8分×4=32分） 1、设直线⎩
⎨⎧=--+=++0306:z ay x y x L 在平面∏上，而平面∏与曲面2
2y x z +=相切于点M(1,-2,5)，求b a ,的值。
2、设n 是曲面633222
=++z y x 在点P (1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数22861
y x z
u +=
在点P
处沿方向n 的方向导数。
3、试分解正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
4*、研究函数x
y y x y x z
arctan
3ln 222+++-=是否有极值。
五、证明题（7分×2=14分）
1*、设函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=.0,0,
0,arctan 4sin ),(x x x y x y x f 试证：),(y x f 在P (0,0)处不可微分。
2、设ψϕ,都具有连续的一阶和二阶各偏导数，且
⎰+-+-++=ax y ax
y dt t a ax y ax y z )(21)]()([21ϕϕϕ
证明：022
222=∂∂-∂∂y
z a x z 。
测试2
一、填空题（3分×4=12分）
1、设⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=,0,0,0,)
sin(),(2xy xy y xy y x f 则=)1,0(x f 。
2、设x y x z sin =，则=∂∂+∂∂y
z
y x z x 。
3、设函数),(y x z z =由方程18322
22=++z y x 所确定，则全微分=dz 。
4、曲线⎩⎨⎧=+-=++4
6423222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程为 。
二、选择题（4分×3=12分） 1、函数
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=y x y x y x xy
y x f ,
0,,),(在(0,0)点处 [ ]。
（A ）极限值为1； （B ）极限值为-1；
（C ）连续； （D ）无极限。 2、),(y x f z
=在),(000y x P 处),(y x f x ，),(y x f y 存在是函数在该点可微分的 [ ]
（A ）必要条件； （B ）充分条件；
（C ）充要条件； （D ）既非必要亦非充分条件。 3、曲面3=+-xy z e
z
在点P (2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A ）042=-+y x ； （B ）42=-+z y x ； （C ）042=-+y x ； （D ）052=-+y x
三、计算题（6分×5=30分）
1、设⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin ),(222
22
222y x y x y
x y x y x f 求),(y x f x 和),(y x f y 。 2、设])(,)([x y y x f z +-=ψϕ，f 具有连续的二阶偏导数，ψϕ,可导，求y
x z
∂∂∂2。(选做)
3*、设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+0
2
2222υυu xy u y x 确定函数),(),,(y x y x u u υυ==，求
y x y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂υυ,,,。