三角函数弧度制
《弧度制》三角函数PPT课件
边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 = +
π
· ,∈Z
2
,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
1
1
故扇形的面积 S=2rl=2 ×2×4=4(cm2).
(2)设圆心角弧度数为 α(0<α<2π),弧长为 l,半径为 r,则有
+ 2 = 10,
= 1,
= 4,
解得
或
1
= 4,
= 2.
=8
2
= 1,
当
时,α==8>2π,不符合题意,舍去;
=8
1
= 4,
当
解:在 0 到 2π 范围内,终边落在直线
3π
4
7π
3π
y=-x 上的角有两个,即 4 和 4 .
所有与 终边相同的角构成的集合为
3π
S1= = 4 + 2π,∈Z ,
7π
所有与 终边相同的角构成的集合为
4
7π
S2= = 4 + 2π,∈Z
3π
= = + (2 + 1)π,∈Z ,
三角函数
5.1.2
弧度制
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.理解 1 弧度角的定义,了解
弧度制的概念.
2.能进行角度与弧度之间的
三角函数弧度制(2019年12月整理)
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要பைடு நூலகம்常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
因此
．
例1 把 6730化成弧度．
解：∵
6730
67
1
2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180
弧度这个关键．
例3 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30
60
120135
270
弧
度
4
2
5
6
2
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 是圆的
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
(原创)北师大版数学第一章三角函数3弧度制
探究点1 弧度概念
在几何的度量中,首先,引入一个单位线段以它为单位来度量其他线段
或曲线的长度.在面积的度量中，引入一个以单位线段为边长的单位正方形
作为面积的度量单位.在体积的度量中，以单位线段为棱长的单位立方体作
思考： 能否用线段的单位长度来建立角的度量单位,从而把几何度量都 建立在一个共同的基础长度的度量上呢？
提示：以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），用这个 角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角.
在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位 用符号rad表示.读作弧度（通常“弧度”或“rad”省略不写）.在单位圆中, 每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以弧度作为单位来度 量角的方法称作是弧度制.角的正负由角的终边的旋转方向决定.
一般地，弧度数与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.
探究点2 弧度与角度的换算
思考：角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢？ 提示：根据弧度的定义可知
1o = 2π rad π rad 0.01745rad;
360
180
1rad 360o 180o 57o18. 2π π
解析
－23π－23 12 12
×180°＝－345°.
π 3．把 22°30′化为弧度的结果是_____8___．
解析 22°30′＝22.5°＝2128.05π＝π8.
3 4．已知扇形的半径为 12，弧长为 18，则扇形圆心角为__2____．
解析 由弧长公式 l＝αR，得α＝Rl ＝1182＝32.
三角函数弧度制
幻的奇光。万秋天塔的墙体，全部用鹅黄色的烟玻璃和鹅黄色的烟玻璃镶嵌。而神秘中带着妖艳的窗体则采用了大胆的浅橙色佛光玻璃。万秋天塔顶部是一个硕大的，暗紫色
的水晶体。那是用几乎透明的彩幻玉和佛影玉，经过特殊工艺镶嵌而成。整个万秋天塔给人一种又童话般的迷茫又梦幻而灿烂，等到夜幕降临，这里又会出现另一番迷离异样
可见一座光彩亮丽、正被仙雾光环笼罩的圣坛，但见仙雾朦胧萦绕，光环耀眼梦幻，所以很难看清圣坛上的身影和圣人……通向圣坛的豪华地毯两旁摆放着两排
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
弧度制
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
无际、金波粼粼的木瓜蒂谷地很像一块巨大的瑰宝。定眼细瞧，在木瓜蒂谷地的前侧，暴露着深浅莫测的非常像玩具模样的深黑色的飘舞的人工林，举目闲瞧，那里的风光极
似羞涩的标枪，那里的景色好像很好玩，但感觉似乎缺少一些灵气。在木瓜蒂谷地的北侧，映现着怪异的非常像一片轨道模样的深绿色的壮观的风城，极目环视，那里的景致
的大小； ③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
三角函数弧度角公式
三角函数弧度制公式L=n×π×r/180，L=α×r。
在数学和物理中，弧度是角的度量单位。
它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。
定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。
（即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。
当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1）。
三角函数的弧长计算公式
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n（圆心角度数）×π（1）×r（半径）/180（角度制），L=α（弧度）×r(半径) （弧度制）。
其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。
弧长公式：
l = n（圆心角）×π（圆周率）×r（半径）/180=α(圆心角弧度数)×r（半径）
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2
πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)。
三角函数弧度制与角度的转换表
弧度制与角度制的换算公式：1度=π/180≈0.01745弧度，1弧度=180/π≈57.3度。
角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。
由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。
角度以弧度给出时，通常不写弧度单位。
弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。
高中完整的三角函数值表弧度制
高中完整的三角函数值表弧度制在高中数学学习中，三角函数是一个非常重要的概念，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
而在学习三角函数时，理解三角函数值表是至关重要的一步。
本文将详细介绍高中完整的三角函数值表，以弧度制为单位。
正弦函数的值表正弦函数是三角函数中最基本的一个函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
下表展示了常见角度对应的正弦函数值（保留四位小数）：弧度（rad）0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π正弦值0.00000.50000.70710.86601.00000.86600.70710.50000.0000余弦函数的值表余弦函数也是三角函数中常见的一个函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
下表展示了常见角度对应的余弦函数值（保留四位小数）：弧度（rad）0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π余弦值1.00000.86600.70710.50000.0000-0.5000-0.7071-0.8660-1.0000正切函数的值表正切函数在三角函数中也有着重要的作用，其定义域为实数集，值域为实数集。
下表展示了常见角度对应的正切函数值（保留四位小数）：弧度（rad）0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π正切值0.00000.57741.00001.7321不定义-1.7321-1.0000-0.5774-0.0000通过上述三角函数值表，我们可以更加直观地理解不同角度对应的三角函数值，为我们在数学和物理问题中的运用提供了重要参考。
希望本文内容对您有所帮助。
三角函数弧度制
三角函数弧度制三角函数是数学中的一种基本函数，它们在三角形的计算中非常有用。
在数学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义和性质可以用角度或弧度来表示。
在这里，我们将重点介绍三角函数的弧度制。
弧度制是一种角度的度量方式，它是以圆的半径为单位来度量角度的大小。
具体来说，一个角度的弧度数等于它所对应的圆弧长度与圆的半径之比。
例如，一个角度为60度的圆心角所对应的弧长是圆的周长的1/6，如果圆的半径为1，那么这个角度的弧度数就是1/6π，即约为0.523。
在三角函数中，弧度制的应用非常广泛。
例如，正弦函数的定义是一个角度的正弦值等于它所对应的三角形的对边长度与斜边长度之比。
在弧度制下，正弦函数的定义可以改写为一个角度的正弦值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与圆的半径之比。
这个定义可以用下面的公式来表示：sinθ=y/r其中，θ是一个角度，y是它所对应的圆上一点的纵坐标，r是圆的半径。
这个公式可以用来计算任意一个角度的正弦值，只要知道它所对应的圆上一点的坐标即可。
同样地，余弦函数和正切函数的定义也可以用弧度制来表示。
余弦函数的定义是一个角度的余弦值等于它所对应的三角形的邻边长度与斜边长度之比。
在弧度制下，余弦函数的定义可以改写为一个角度的余弦值等于它所对应的圆上一点的横坐标与圆的半径之比。
正切函数的定义是一个角度的正切值等于它所对应的三角形的对边长度与邻边长度之比。
在弧度制下，正切函数的定义可以改写为一个角度的正切值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与横坐标之比。
总之，弧度制是一种非常重要的角度度量方式，它在三角函数的计算中起着至关重要的作用。
掌握弧度制的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解三角函数的定义和性质，从而更加熟练地运用它们进行数学计算。
弧度制-三角函数
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类型 二 用弧度制表示角及其取值范围 【例】 如图所示，用弧度制表示顶点在原点、始边与 x 轴的非负半轴重合、终 边落在阴影部分内的角的集合．
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[解] (1)如题图①所示，以 OB 为终边的角为 330°，与－30°角的终边相同，化
填一填
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用 1 _度__作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 1 度的角等于周角的 角度制 1
360 在单位圆中，把长度等于 2 _1__的弧所对的 3 _圆__心__角____称为 1 弧度的角，其 单位用符号 4 __ra_d______表示，读作 5 _弧__度___．在单位圆中，每一段弧的长 弧度制 度就是它所对圆心角的弧度数．这种以 6 _弧__度___作为单位来度量角的方法，
.
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(2)用弧度制表示轴线角的集合如下：
终边落在 x 轴上的角为{α|α＝kπ，k∈Z}；
终边落在 y 轴上的角为αα＝π2＋kπ，k∈Z
.
(3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.
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2．一般地，弧度与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是 0.
2．弧度与角度的换算 1°＝326π0 rad＝18π0 rad≈0.017 45 rad； 1 rad＝326π0°＝18π0°≈57°18′.
三角函数、弧度制
1.1 任意角和弧度制知识点:1 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,负角:按顺时针方向旋转的角叫负角象限角:第一象限{a|k ·2π<a<2π+k ·2π，k ∈Z} 第二象限{a|2π+k ·2π<a<π+k ·2π，k ∈Z } 第三象限{a|π+k ·2π<a<43π+k ·2π，k ∈Z} 第二象限{a|43π+k ·2π<a<π+k ·2π，k ∈Z } 知识点2 角度与弧度之间的转化3600=2πrad ； 1800=πrad ；知识点3 弧长公式及扇形面积公式弧长公式：L=180r n π （r 是扇形的半径，n 是圆心角的度数，L 是弧长） L=|a|r （r 是扇形的半径，a 为弧度数，L 是弧长）扇形面积：S=360r n 2π S=21Lr 例1 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，求扇形的圆心角的弧度数例2 在平面直角坐标系中，若a 与p 的中变垂直，则a 与p 的关系为 （ ）A p=a+900B p=a ±900C p=k ·3600+ a+900，k ∈ZD p= k ·3600+ a ±900 k ∈Z例3 已知扇形OAB 的圆心角a 为600，半径为6（1） 求AB 的弧长（2） 求弓形OAB 的面积例4、△ABC 三个顶点将其外接圆分成三段弧弧长之比为1∶2∶3，求△ABC 的外接圆半径R 与内切圆半径r 之比．(直角三角形内切圆半径的处理方法:用面积相等的方法处理)1.2 任意角的三角函数知识点1：y=sina 取正负值时的角度范围，弄清该函数的定义y=cosa 取正负值时的角度范围，弄清该函数的定义y=tana 取正负值时的角度范围，弄清该函数的定义例1 已知角a 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P （4，y ）是角a 终边上一点，且sina=-552，则y 的值为多少？例2 判断下列函数的符号（1）Sin3 ，cos4 ，tan5（2））（）（sina cos cosa sin （a 为第二象限角）知识点2：诱导公式Sin （a+k ·2π）=sinacos （a+k ·2π）=cosatan （a+k ·2π）=tana例3 求值（1） sin （-13200）cos11100+cos （-10200）sin7500+tan4950（2） sin （-611π）+cos 512π·tan4π知识点3 三角函数的定义域Sina 与cosa 中的a 可取任意实数，tana 中，a ≠k π+2π 例4 求函数y=tanx cosx sinx 的定义域变式训练 (1) y=3-sinx 2(2)y=lg(1-4cos 2x)同角三角函数的基本关系Sin 2a+cos 2a=1 acos a sin =tan a 例5 利用三角函数定义探究,是否存在角a 使等式sin a-cos a=2cos a+1成立?若存在,写出角a 的取值集合;若不存在,说明理由.例6 化简0040cos 40sin 2-1例7 化简asin -a cos -1a sin -a cos -16644例8 化简下列各式 (1)a cos 1a cos -1++π，π）（，21a a cos -1a cos 1∈+ (2)cosx -1sinx ·sin x tan x sin x -tan x + (3)化简a cos a sin 2-1+a cos a sin 21+(0<a<2π)例9 求证a cos a sin 1a sin -a cos 2a cos 1a sin -sina 1a cos ++=++）（例10 已知a ∈（0，π），sin a + cos a=21-3，求tan a 的值变式训练 1 已知a 是三角形的内角，且sin a +cos a =51 (1) 求tan a 的值(2) 把asin -a cos 122用tan a 表示出来a例11 已知1-a sin β=cos β，1+cos β=bsin β，求证ab=112 已知sin β，cos β是关于x 的方程8x 2+6kx+2k+1=0的两个根，求实数k 的值1.3 三角函数的诱导公式Sin(π+β)=-sin β cos(π+β)=-cos β tan(π+β)=tan βSin(-β)=-sin β cos(-β)=cos β tan(-β)=-tan βSin(π-β)=sin β cos(π-β)=-cos β tan(π-β)=-tan β Sin(2π+β)=cos β cos(2π+β)=-sin β 考点1 利用诱导公式求值例1 sin150sin1650-cos150cos(-1650)例2 已知sin β=116,求cos(211π+β)+sin(3π-β)的值例3 设cos(-800)=k,求tan1000的值考点2 利用诱导公式求内角例4 在△ABC 中,已知sin(2π-A)=-2sin(π-B),3cosA=-2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.考点3 利用诱导公式证明等式成立例5 已知sin(a+β)=1,求证tan(2a+β)+tan β=0例6 cos1k 21+π+cos 1k 22+π+…+cos 1k 21-k 2+π+cos π1k 2k 2+的值为多少?。
三角函数弧度制
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
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角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧 度数是 ，而在角度制里它是 ，
弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
；/naotanzz 脑瘫儿的症状 婴儿脑瘫症状 脑瘫症状表现是什么呢 ；
戈林曾问过一名瑞士军官：“听说你们只有50万国防军，那么，如果我派百万大军进入贵国，你们将怎么办？”答曰：“简单。我们就每人开两枪！” 妙！一句话，就亮出了克敌制胜的信心！再看一件真人真事。 上个世纪50年代，林语堂先生曾应邀在美国哥伦比亚大学讲授中国文化 课。一位心怀恶意、轻视中国的女生曾故意在课堂上问林语堂：“你总是说你们中国好，难道我们美国就没有一样东西比中国强？”林语堂笑了笑，说：“当然有，美国的抽水马桶就比中国的好。”立刻赢得满堂的笑声和喝彩声！ 妙！又是一句话！就捍卫了中国人的尊严！ 能用一句 话表达出尊严与豪迈的人，让人佩服。而它的故事也常常是百姓所乐于传诵的。 168、从小学习“控制自己” 奥斯丁是我的一位美国朋友的孩子，6岁时就上了学。 奥斯丁上学没多久，父母就发现了他的变化。不小心碰了妹妹，他马上就会说“对不起”。家里来了客人，他会像主 人一样与客人握手，还要说一句“见到你很高兴”。坐车的时候，他还会提醒爸爸一定要系好安全带。这些当然都是他在学校里学到的。 奥斯丁的母亲认为，让孩子掌握这些基本的生活常识和行为规范是人生的基础课，要比多认些单词、多学点算术更重要。后来，我又看到奥斯丁从学校里 带回的一张漫画。那张漫画的上方写着“保持镇静”几个大字，下面是一道公式：1+3+10=镇静。漫画中有个大头娃娃在讲解这个公式，“1”是告诉你自己，“要镇静，放松！”；“3”指的是深呼吸三次；“10”的意思是“开始慢慢地从1数到10”。画的最下方写着“保持镇静使我能够采取负 责任的行动。”奥斯丁的母亲告诉我，这是学校里老师讲“自我控制”时发的，老师要孩子们在生气的时候按着这个公式来控制自己的情绪。 “自我控制”听起来似乎是一个成年人的话题。而在美国的中小学教育中，它其实已经成了一个重要内容。 ? 169、谁是最忠诚的人 1942 年3月，希特勒下令搜捕德国所有的犹太人，68岁的贾迪?波德默召集全家商讨对策，最后想出一个没有办法的办法，向德国的非犹太人求助，争取他们的保护。接下来是选择求生的对象。两个儿子认为，应该向银行家金?奥尼尔求助，因为他是在波德默家族的资助下发家的，一直把波德默家族视 为恩人。在不同的场合，他也曾多次表示，如果有什么需要帮助的，尽管找他。 68岁的老人却不赞成这种意见，他认为应该向拉尔夫?本内特、一位木材商人求助。波德默家族的人是跟本内特打工起家的，现在虽然很少往来，但心理上从没断绝过对他感激和思念。 第二天一早，两个儿 子出发了。在路上，二儿子说，我不能去本内特先生那儿，上次我见他时，他还提那700吨木材的事。要去，你去吧！我 要去求奥尼尔。最后，二儿子去了银行家那儿，大儿子去了木材商的家。 1948年7月，大儿子艾森?波德默辗转回到德国，他从纳粹档案中查到这么一条记录：银行家 金?奥尼尔来电，家中闯入一年轻男子，疑是犹太人。一年后，他又于奥斯维辛集中营的死亡档案中，查到他父亲、母亲、妻子、弟妻及6个孩子的名字。他们是在他和弟弟分手后第4天被捕的。 1950年1月，艾森?波德默定居美国。2003年12月4日去世，终年83岁，留下一部回忆录。回忆录主 要讲述，他在木材商本内特的帮助之下，怎样偷渡日本，保全性命的。该书的封面上写着：献给父亲贾迪?波德默先生！封底写着：许多人认为，要赢得他人的忠诚，最好的办法是给其恩惠。其实，这是对人性的误解，在现实中真正对你忠诚的，都是曾经给过你恩惠的人。 170、节俭是资源 在世界各国，节约已经成为一种潮流，一些国家保护资源的意识已经融入每个人生活中的每一个细节。也许有人会说，节约是生产力低下的产物，在物质日益丰富的今天，重提节约似乎不太合乎时宜；还有人会问，消费是刺激生产的牵引机，是现代化列车不可缺少的火车头，倡导向节约型社会 转型将会造成生产停滞不前、市场不旺，事实上这种认识是片面的。从去年开始的席卷全国的能源紧张态势，让越来越多的人明显感受到中国经济正饱受资源短缺的约束之痛，这是一个非常危险的信号。 对于每一名国人来说，我们手中都紧握着珍贵的“资源”：如果13亿人每人少用一双一次性 木筷，意味着成千上万亩森林免遭砍伐厄运；假若采用节能光源，照明用电量将下降60%，一年可节约740亿千瓦时电能，相当于节约2989万吨标准煤。可见，珍惜和节约资源，成之毁之，爱之损之都在于每个人的行动之中。 171、止谤莫如自修 张恨水先生曾写过一篇《为人应当接受批评》 ，他说：“生平很少和人打笔墨官司，就是人家指出我的名姓来教训一顿，我也不曾回复一个字。这样做，我并非怯懦，也并非过分的容忍。我有个感想，我错了，止谤莫如自修。我不错，最好借事实来答复。 这是一个办法，也许不适于他人，但至少我自己，在做人上纠正了不少错误。而 三十年来的写作生涯，略有寸进，一大半也就是根据别人的批评而得的。”恨水先生对待批评的态度，很值得当今文化人学习。 172、没有鳔，就运动肌肉 鱼在水中游动，需要不断调节沉浮。而鱼一般有一个储气的器官——鳔，需要上浮时鳔膨胀，需要下沉时鳔收缩，非常自如。同是 水中生物，鲨鱼就没有鳔，为了完成沉浮，它只能依靠肌肉的运动。由于重力的作用，只要它停下来，身子就会下沉，所以它只能做大海里的行者，永不停息地游弋。 作为水中运动生物，没有鳔可以说是不幸的。然而正是由于这一先天的不足，才成就了鲨鱼的“海洋霸主”地位。因为不停 地游弋，它身体异常强壮，从而成为了极具战斗力的水中杀手。而那些有鳔的鱼类，生存条件可谓得天独厚，却无一不成为了鲨鱼的猎物。 某些条件不如别人，不见得就是坏事。只要奋力拼搏，不断创造条件，劣势也能变成优势，从这种意义上来说，不足有时反而能成就强者——在克服不 足的过程中，人会变得日益强大。 173、心灵的掌声 在我上高中一年级的时候，班里有位叫英子的女孩，总爱蜷缩在教室的一角。上课前，她早早就已来到教室里，下课后，她总是最后一个离开教室。后来我们才知道，她的腿因为患小儿麻痹症而残疾了，她不愿意让人看到她走路的姿 势。 一天，老师让同学们走上讲台讲述一个小故事。轮到英子讲演的时候，全班40多双眼睛一齐投向了那个角落。英子立刻把头低了下去。老师是刚调来的，还不了解英子的情况。 英子犹豫了一会儿，慢慢地站了起来。我们注意到英子的眼圈儿红了。在全班同学的注视下，英子终于 一摇一晃地走上了讲台。就在刚刚站定的那一刻，不知是在谁的带动下，骤然间响起了一阵掌声，那掌声热烈、持久。 掌声渐渐平息，英子也定了定情绪。当她结束讲演的时候，班里又响起了一阵掌声。 自从那次讲演以后，英子不再那么忧郁了，高二那年，她代表我们学校参加了全 国奥林匹克数学竞赛，还获了奖。3年后，英子被的一所大学破格录取。后来，英子给我来信说：“我永远不会忘记那一次掌声。” 174、奢侈病 奢侈病，是美国康奈尔大学经济学、伦理学与公共政策教授罗伯特正在研究的现代病，专指无节制的挥霍。 罗伯特发现，一名美国CEO 需要拥有一栋15000平方英尺的住宅，仅仅是因为与其地位相同的企业老板们都拥有如此规模的住宅。假如他购买一所小一些的房子，除了会在公众面前大丢面子之外，还将面临人们对企业运营状况产生猜疑的风险。但是，如果所有CEO都将自己的宅第规模缩小的话，他们内心的窘迫便会一扫而 光。 其实，每个CEO都希望自己购买的房子面积更小一些。毕竟，房子大了就不得不雇员工进行维护，并且需要额外的管理，这是一件相当棘手的事情。 如果奢侈病只是富人们自己发烧，那么它也许还只是社会上的一道风景线。但是，上层的消费失控行为就像一种病毒，它影响并大量 激发人们追求奢华的狂热，对中等甚至低收入家庭的消费模式也起到了倡导和改变作用。在某种程度上，我们所有的人都受到了感染。 人们为什么会无节制地、炫耀性地消费呢？这是因为人们“关注相对处境”超过了“关注实际处境”。 是的，如果你的年收入10万元，你和年收入8万 元的人在一起，一定很幸福；但是和年收入15万元的人在一起，你就会觉得悲哀。如果其他的人都送99朵玫瑰给女朋友，你就不好意思只送11朵了。但是，我的一个朋友告诉我，她嫁给她老公是因为那年情人节，他非常窘迫地送给她一盒只有3颗的巧克力和一朵玫瑰。 其实，一朵玫瑰也可 以代表爱情。 175、不一样的旅游 刘先生20世纪80年代初就移民比利时，后来一直从事导游工作，接待的主要是国内游客。他向我介绍说，“国内游客的一个特点，就是安排的景点越多越好。去的景点越多越是觉得你这个导游好，来不及看没关系，只要到那里拍上一张照片就心满意足 了。” 克莱尔是我的英国朋友，今年38岁，她从小姑娘时起就跟父母去意大利的南部小城度假，每年都住在相同的旅馆，租海滩上同样的椅子。我好奇地问克莱尔，你整天躺在那里什么也不干有什么意思？她反驳说：“什么叫什么也不干，我在晒着太阳，当然你也可以游泳，打沙滩排球。 再说，你为什么一定要干点什么呢？你上班不是一直在干着什么吗？度假的目的就是什么也不干。” 欧洲人渴望不同的自我，公事私事分得清清楚楚，度假就度假，跟工作完全没有关系。中国人旅游是工作的延伸，外出手机一定带着，和单位随时保持联系，有的还带着笔记本，早晨起来第 一件事上网了解一下国内外最新动态。 国人旅游爱省事儿，他们大多选择跟团旅游，原因就是，人家都给你安排好了，多省事儿。而西方人喜欢自己决定行程和路线，讨厌别人的操作和安排，他们往往把旅行中的困难看作是旅行的一部分。西方人与中国人的旅游差异，还体现在对标志性景 点的态度。去纽约不到自由女神像，去埃及不到金字塔，去荷兰不看大风车，对于中国人来说等于没到过那些地方。我在巴黎遇到一位美国游客，他告诉我说，埃菲尔铁塔没什么好看的，我在电视里看过无数遍。 如果你留心，就会发现老外出门都要带一本厚厚的旅游介绍书籍。相比之下，
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
角的概念、弧度制、任意角的三角函数和诱导公式
三角函数专题一角的概念、弧度制、任意角的三角函数和诱导公式一、基本知识 1、角的概念(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 (2)角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧正角：按顺时针方向旋转形成的角负角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上(3) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(l 表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 3.(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．（3）.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sin αcos α＝tan α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．4．三角函数的诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α－tan α二、题型精炼 题型一 角的认识例题 （多选）(1) 若角α是第二象限角，则α2可以是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案 AC【解答】 ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ．当k为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C ．(多选）（2）在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为（ ）．A ．135°B ．－675°C ．－315°D ．215° 答案 BC【解答】 所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．所以选择BC 练习 (1) 给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②－400°是第四象限角；③4π3是第三象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．③④ 答案 C【解答】 －3π4是第三象限角，故①错误．4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．所以选择C (2) 已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B【解答】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限． 题型二 扇形的弧长与面积公式例题 （1）．扇形的弧长为12，面积为24，则圆心角的弧度数为 答案3【解答】 由扇形面积与弧长公式可得，21242S r α==，12l r α==，故4r =，解得弧度数3α=（2）．已知某扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为10，则该扇形的周长为（ ） A ．10sin 2B ．10sin1C ．20sin 2D ．20sin1答案D【解答】 由题意得：扇形的半径5sin1r =，则该扇形的弧长102sin1l r ==， ∴该扇形的周长为202sin1l r +=.故选：D. 练习 (1) 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 答案 1【解答】 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1． (2) 若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm ． 答案833π 【解答】 设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝122r ，得r ＝43，又α＝2π3，所以l ＝|α|·r＝2π3×43＝833π(cm)． 题型三 任意角的三角函数例题 (1) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35答案 D【解答】 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35．(2) 设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43答案 D【解答】 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0．又cos α＝15x ＝xx 2＋16．解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43．练习 （1）．已知角α的终边与单位圆交于点13,2A ⎛⎝⎭，则sin α的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．12【答案】A【解答】根据三角函数的定义可知，3sin y α==A ． （2）．已知角α的终边经过点()1,2P -， 则tan α=（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】B【解答】解：由题意得2tan 21α==--. 题型四 同角三角函数关系例题 （1）．已知角α的终边经过点P （1，m ），且sin α=−3√1010，则cos α＝（ ） A ．±√1010B ．−√1010C ．√1010D ．13【答案】C【解答】解：因为角a 的终边经过点P （1，m ），所以OP =√1+m 2 因为sin α=−3√1010，所以：√1+m 2=−3√1010；所以m ＝﹣3．（正值舍） 故cos α=1√1+m =√1010；故选：C ．（2）．已知a 是第二象限角，tanα=−13，则cos α＝（ ） A ．3√1010B ．−3√1010C ．√1010D ．−√1010【答案】B【解答】解：∵α为第二象限角，tan α=−13， ∴cos α=−√11+tan 2α=−3√1010． 故选：B ．练习 （1）．(多选）已知3sin 5α=，则cos α=（ ） A ．45B ．45-C ．34D ．34-【答案】AB 【解答】因为3sin 5α=，则α为第一象限角或者第二象限，所以24cos 1sin 5αα=-或45-．故选：AB ． （2）．已知cos α2tan α=1，则sin α=（ ） A ．13B 2C ．37D ．59【答案】B【解答】22sin cos tan 1ααα=⨯==故选：B 题型五 齐次方程例题 （1）．已知tan 4θ=，则2cos sin cos 2sin θθθθ-=+（ ）A ．13-B ．23-C ．49-D ．29-【答案】D【解答】解：因为tan 4θ=，所以2cos sin 2tan 242cos 2sin 12tan 1249θθθθθθ---===-+++⨯，故选：D.（2）．已知1tan 2θ=，则2cos cos sin θθθ+=（ ） A 13+B 33+C ．65D ．56【答案】C【解答】因为1tan 2θ=，故2222211cos sin cos 1tan 621sin cos 1tan 51()2θθθθθθθ+++===+++故选:C. 练习 （1）．已知tan α＝2，则2sin 2α+cos 2αsin 2α−3cos 2α的值为（ ） A ．9 B ．6C ．﹣2D ．﹣3【答案】A【解答】解：因为tan α＝2， 则2sin 2α+cos 2αsin 2α−3cos 2α=2tan 2α+1tan 2α−3=2×4+14−3=9．故选：A ．（2）．已知tan α=−12，则1sin2α−cos 2α=（ ）A ．−54B ．−58C ．58D ．54【答案】B 【解答】解：1sin2α−cos 2α=sin 2α+cos 2α2sinαcosα−cos 2α=tan 2α+12tanα−1=14+12×(−12)−1=−58．故选：B ． 题型六 诱导公式例题（1）．已知sin （π+α）=35，则sin(2π−α)cos(π−α)sin(π2−α)=【答案】−35【解答】解：∵sin （π+α）=35=−sin α，∴sin α=−35， ∴sin(2π−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sin α=−35，（2）．已知sin （π2−α）=35，则cos （π+α）＝（ ）A ．−35B ．35C ．45D ．45【答案】A【解答】解：∵sin(π2−α)=35， ∴cos α=35，∴cos （π+α）＝﹣cos α=−35． 故选：A ．练习 （1）．cos 225︒的值为【答案】22-【解答】解：()2cos 225cos 18045cos 45︒=︒+︒=-︒= （2）．若f(x)=()()()sin πcos 2π1sin cos π2θθθθ-+-=++，求tan α的值 【答案】-3 【【解答】()()()sin πcos 2πsin cos 1sin cos πsin cos 2θθθθθθθθ-+-+==++-，分子分母同除以cos θ， tan 11tan 12θθ+=-，解得：tan 3θ=-故选：C。
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
三角函数之角度制与弧度制
解三角形之第一节 任意角和弧度制1.角的分类：（1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角（2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角（3）零角：一条射线不做旋转2．象限角的概念：（1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．（2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。
（3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：∈ k∈Z∈ α是任一角；∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；∈ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例如： 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z ； 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z ； 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z ； 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z ；终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z ；终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z ； 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z . 3.由角α所在象限判断α所在象限：4.弧度制：（1）角度制：规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．（3）弧度制的性质：∈ 半圆所对的圆心角为;ππ=r r∈ 整圆所对的圆心角为.22ππ=rr ∈ 正角的弧度数是一个正数． ∈ 负角的弧度数是一个负数． ∈ 零角的弧度数是零． ∈ 角α的弧度数的绝对值|α|=. r l注：角度制是60进制，弧度制是十进制：5．角度与弧度之间的转换：∈ 将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ∈ 将弧度化为角度： 2360；180； )180(rad παα= 6．常规写法：∈ 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ∈ 弧度与角度不能混用．要不用弧度制，要不统一角度制。
三角函数弧度制
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
弧度制
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
因此 360 2 rad ．
例1 把 6730化成弧度．
解：∵
6730
67
1
2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度．
5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3
2 2
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
弧度制0到360三角函数值
弧度制0到360三角函数值弧度制及三角函数简介弧度制是一种角度测量单位，常用于数学和物理学中。
一个完整圆的周长为2π，360°对应的弧度是2π，由此可以推出弧度与角度的转换关系：1弧度= 180/π度。
在三角函数中，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们在圆的单位圆上有明确定义的值。
0到90度范围内的三角函数值在0到90度的范围内，三角函数值如下：- 正弦函数sin：0°对应0，30°对应1/2，45°对应√2/2，60°对应√3/2，90°对应1。
- 余弦函数cos：0°对应1，30°对应√3/2，45°对应√2/2，60°对应1/2，90°对应0。
- 正切函数tan：0°对应0，30°对应1/√3，45°对应1，60°对应√3，90°对应无穷大。
90到180度范围内的三角函数值在90到180度的范围内，三角函数值如下： - 正弦函数sin：90°对应1，120°对应√3/2，135°对应√2/2，150°对应1/2，180°对应0。
- 余弦函数cos：90°对应0，120°对应1/2，135°对应√2/2，150°对应√3/2，180°对应1。
- 正切函数tan：90°对应无穷大，120°对应√3，135°对应1，150°对应1/√3，180°对应0。
180到270度范围内的三角函数值在180到270度的范围内，三角函数值如下： - 正弦函数sin：180°对应0，210°对应-1/2，225°对应-√2/2，240°对应-√3/2，270°对应-1。
新人教A版高一数学必修四第一章 三角函数1.1.2弧度制
[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得 到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： 因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心 角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原 来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.
三角函数弧度制
10.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； 解 由⊙O的半径r＝10＝AB， 知△AOB是等边三角形， ∴α＝∠AOB＝60°＝π3.
√ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.
第四象限
12345
3.时针经过一小时，转过了
√ π
A.6 rad
B.－π6 rad
π C.12 rad
D.－1π2 rad
解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6 rad.
12345
4.与 60°终边相同的角可表示为
A.k·360°＋π3(k∈Z)
二、用弧度制表示有关的 角
例 2 将 － 1 125° 写 成 α ＋ 2kπ(k∈Z) 的 形 式 ， 其 中
0≤α<2π.并判断它是第几象限角？
解 －1 125°＝－1 125×1π80 ＝－254π＝－8π＋74π. 其中32π<74π<2π，因为74π是第四象限角，
所以－1 125°是第四象限角.
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆
心角的弧度数. 解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，
半径为R cm，l＋2R＝10，
①
①代入依②题意得有R221－lR＝5R4.＋4＝0，解得R1＝1②，
R2＝4.
当综当 舍上R去R＝可＝.4知1时，时，扇，l＝形l2圆＝，心此8角，时的，此弧θ＝时度24数，＝为12θ(12r＝adra)8d. . rad>2π rad
知识点三 角度与弧度的互化
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练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数． （2）已知扇形的周长为8cm ，面积为 4cm ，求扇形 的中心角的弧度数．
2
（3）下列角的终边相同的是（
）．
A． k 与 2k ，k Ζ 4 4 2 B． 2k 与 ，k Ζ 3 3
例1 把
67 30化成弧度．
1 解：∵ 67 30 67 2
1 3 rad 67 rad ∴ 67 30 180 2 8
4 例2 把 rad 化成度． 5
4 4 解： rad 180 144 5 5
180 角度制与弧度制互化时要抓住
弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
演示课件
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算． 若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧 度数是 2 ，而在角度制里它是360 ， 因此 360 2 rad ．
弧度制
角度制
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各 单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重 新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做 单位来度量角，1 的角是如何定义的？ 我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
（2）∵
57.30 1.5 85.95 85 57
tan 1 . 5 tan 85 57 14.12 ∴
练习
1．把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式：
16 11 （1 ） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7
k 与 k ，k Ζ C． 2 2
D．
2k 1与 3k，k Ζ
小结
（ 2）“角化弧”时，将 n 乘以 180 180 将 乘以 ；
（3）弧长公式：l （1） 180
弧度；
；“弧化角”时，
ar
1 1 2 扇形面积公式： S lr r （其中 l为圆心角 所 2 2
弧度这个关键．
写出一些特殊角的弧度数
角 度
弧 度
0 30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6
4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
例3
计算：
tan 1.5 ． （1） sin ；（2） 4
2 解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 4 2 4
对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
r