拉格朗日方程总结

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②当系统受到非定常约束或非完整约束中 al 0 ≠ 0 ， 则可能位移不同于虚位移，且实位移也不属于虚位 移之列。
A′ A
S′ S
3、广义坐标
定义：在约束的条件下，某时刻能确定系统位形的一组独 立变数，就称为系统的广义坐标。通常用（ q1 , q 2 , 表示。
, q s）
（1）变换方程 旧（直角坐标）新（广义坐标）之间的关系式称为变换 方程。 （2）说明
复习与回顾 1、约束及其分类 定义：凡是强加于系统而限制其运动的条件统称为约 束条件，简称约束。约束的数学表示形式称为约束方 程。
f l (u1 , u 2 ,
, u 3 N , u1 , u 2 ,
lk
, u 3 N , t ) = 0 (l = 1,2, , m ′)
∑a
k =1
3N
du k + al 0 dt = 0
T= W a (a csc 2 α − 2l sin α ) = W tan α ⋅ ( csc 2 α − 1) 2l cos α 2l
三、达朗贝尔原理与达朗贝尔方程
1、达朗贝尔原理 达朗贝尔原理：在运动的每一瞬间所有作用在力学系统上的 主动力、约束力及惯性力之和保持平衡。 2、动力学的普遍方程 在理想约束下，有效力的虚功和为零。
②是t 的单值、连续函数，并且可微， qα = 为广义速度; ③属于系统; ④选取靠观察;
① 广义坐标不唯一,但数目唯一;
dqα dt
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4、自由度 定义：表征体系自由运动的程度。自由度的个数是等于体 系的独立坐标的变分数，通常用 n 来表示。 对于完整力学体系： 如果体系受到 m 组完整约束： 自由度数目为： 广义坐标数目为：
δW = ∑ Fi ⋅ δri = −δV = 0
i =1
N
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小结：①求广义力的几种方法： a、定义： Qk = ∑ Fi ⋅
i
i
∂ri ∂qk
k
δ b、虚功原理： W = ∑ Fi ⋅ δri = ∑ Qkδqk = 0
∂V c、保守力学系统： Qk = − ∂qk
②解题步骤： a、确定自由度，选取广义坐标，根据约束条件， 分析如何确定系统的位形。 b、建立坐标系，写出主动力，并用广义坐标表示有用坐标； c 、找出相应的广义力。
∑ F ⋅δ r
i =1 i
N
i
=0
3、广义坐标形式下的虚功原理 定义：广义力：
Qk = ∑ Fi ⋅
i =1 N
∂ri ∂q k
δW = ∑ Q k δq k = 0
k
对于完整力学体系来说，由于 δq k 是独立变分，故
Qk = 0 (k = 1, 2, , s)
保守力学系统处于平衡位形的充要条件是势能取稳定值 。
2、各种位移 （1）实位移（ dri ） 定义：实际运动中系统各质点的位移。 实位移除了要遵守约束方程外，还需服从运动规律。 （2）可能位移 定义：约束允许条件下系统内各质点的位移。 实位移与可能位移的关系： ①都遵从约束方程； ②如果系统内有 N 个质点，且受 m 组完整约显含时间时 , ∂t
∂L ∑ ∂q q K − L = C K K
= T2 − T0 + V = C
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3．物理能量积分： 当完整具势组满足以下条件时：
⎧ ∂L ⎪ ∂t = 0 ⎪ ⎨ ∂ ⎪约束均为定常，即：ri = 0 ⇒ T = T = 0，T = T 0 1 2 ⎪ ∂t ⎩
, u3N , t ) = 0
( j = 1,2,
, m)
f j (u1 , u 2 ,
说明：①可积的微分约束是完整约束； ②完整约束可分为定常约束 ( 不显含时间 t ) 和非定常 约束 ( 显含时间 t )； ③所受约束均为完整约束的称为完整力学系统。
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（2）双面约束与单面约束 双面约束：在约束条件下，对所有的可能微小位移都 是可逆的。 双面约束的约束方程是以等号出现的。 （3）稳定约束与不稳定约束 稳定约束（固定约束）：约束方程中不显含时间t的； 不稳定约束（活动约束）：约束方程中显含时间t的。
定义拉格朗日函数：
L = T − V = L ( q, q, t )
∂L d ∂L ( )− = Qknc dt ∂q k ∂q k
对完整具势组（体系所受约束均为完整约束，主动力 均为保守力）来说，拉氏方程的形式为：
d ∂L ∂L ( )− =0 ∂q k dt ∂q k
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说明： ① 拉格朗日方程的应用条件为：惯性参考系下 受理想约束的完整力学体系； ② 拉氏方程与动力学普遍方程是等价的，是普遍方 程在广义坐标中的表示，是位形点在位形空间中遵 循的动力学微分方程； ③ 拉氏方程仅能确定体系的位形，不能确定系统的 力学状态；
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tan β = 3 tan α
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W ⋅ δyc − T ⋅ δxD + T ⋅ δxC = 0
− Tl cos αδα + T (−l cos αδα ) + W (a csc 2 α − 2l sin α )δα = 0
[−2lT cos α + W (a csc 2 α − 2l sin α )]δα = 0
四、完整力学体系的拉格朗日方程
一、几个关系式的证明 1、 ri = ri (q, t ) = ∑
∂ri ∂r qk + i ∂t k =1 ∂qk
s
2、 ∂ri = ∂ri ∂qk ∂qk 3、
∂r d ∂ri ( )= i dt ∂q k ∂q k
∂ d d ∂ ( )= ( ) ∂qk dt dt ∂qk
n = 3N − m
s = 3N − m
对于非完整力学体系： 如果有 m 组完整约束， m′ 组非完整约束： 自由度数目为：
n = 3 N − m − m′
广义坐标数目为： s = 3N − m
5、位形空间 定义：由 s 个广义坐标 q1 , q 2 ,
, q s 所构成的空间。
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二、虚功原理
1、系统平衡位形的定义： 对于惯性系来说，系统于某时刻处于某种位形，系统内各 质点的速度为零，并且在以后的全部时间内均处于此位形， 则该位形为平衡位形，简称静平衡。 2、虚功原理 内容：对于初始处于静止，并受有定常的理想约束的体系来 说，其静平衡的充要条件是：所有作用于体系上的主动力 （除约束力以外的力）在任意的虚位移中所作的虚功的总和 为零。
∂L ∑ ∂q q K − L = T + V = E = C K K
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⎧r 2θ = C ⎪ ⎨ ⎪r − rθ 2 sin 2 α + g sin α cos α = 0 ⎩
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二、齐次函数的定义和欧拉齐次定理 定义：如果函数
u = f ( x, y, z) 的自变量都是增加
为原来 的λ倍，函数 u 变为原来的 函数u为n次齐函数。
λn 倍，则称
欧拉齐次定理： 函数 u = f (x, y, z) 是 n 次齐函数的 充要条件为： ∂f + y ∂f + z ∂f = nf x ∂z ∂x ∂y
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五、完整具势组的拉氏方程的第一积分
1．循环坐标与循环积分 循环坐标：在拉格朗日函数中不显含的广义坐标。
（ 2， 设 qα为循环坐标 α = 1， m ≤ s） ，则
∂L =0 ∂qα
∂L = Pα = C ∂qα
说明：同一力学体系存不存在循环坐标与广义坐标 的选取有关 。
2．雅可比积分(广义能量积分）
(l = 1,2,
, m ′)
, u3 N , t )
其中：alk = alk (u1 , u2 ,
, u3 N , t ), al 0 = al 0 (u1 , u2 ,
(1)完整约束和非完整约束 完整约束(几何约束)：约束方程仅是位形和时间的函数。
f j ( r1 , r2 ,
或
, rN , t ) = 0
= T2 + T1 + T0
T2，T1，T0 分别是广义速度 q 的二次齐式、一次齐 式和零次齐式。由此可知，体系的动能T是广义速 度的二次函数，但一般不是齐次函数，只有约束都 ∂r 是稳定约束时，（即 i = 0 ）T才是广义速度的二次 ∂t 齐式。
四、完整力学体系的拉氏方程
d ∂T ∂T ( )－ ＝Qk = 1,2, (k dt ∂q k ∂q k , s)
∂T
∂T ④ Pk ≡ ∂q = ∂q 为广义动量， 为拉格朗日力， ∂q k k k
∂L
拉格朗日方程就可看作是广义动量对时间的变化率 等于广义力（包括拉格朗日力和广义力）。
小结：应用拉格朗日方程求解问题的步骤：
①先建立坐标系（惯性系），选取体系的广义坐标； ②确定坐标变换方程； ③求动能在广义坐标中的表示式； ④求广义力或势能函数； ⑤应用拉格朗日方程进行求解。
+ dt 时刻的，故其是等
虚位移所遵从的约束方程：
∑ ∂u
k =1
3N
∂f j
k
δu k = 0
( j = 1,2,
, m)
∑a
k =1
3N
lk
δu k = 0
(l = 1,2,
∂f j ∂t
, m ′)
小结：①当系统受到定常约束（ 的非完整约束时，
= 0 ）和 al 0 = 0
可能位移与虚位移相同，且实位移也属虚位移之列；
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T= =
s s ∂r 1 N ∂r ∂r ∂r ∂r mi [ ∑ i ⋅ i qk ql + 2∑ i i qk + ( i ) 2 ] ∑ k ,l =1 ∂q ∂q ∂t 2 i =1 k =1 ∂qk ∂t k l