高中数学 量词课件
高中新教材数学人课件必修第一册第章全称量词与存在量词
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典型例题解析
例题1
解析
解析“有些自然数是偶数”这一存在量词 命题,并判断其真假。
该命题表示存在至少一个自然数是偶数。 事实上,自然数集中存在无数个偶数,如2 、4、6等,因此该命题为真。
例题2
解析
解析“存在一个三角形,其内角和大于180 度”这一存在量词命题,并判断其真假。
根据三角形内角和定理,任意一个三角形 的内角和都等于180度。因此,不存在内角 和大于180度的三角形,该命题为假。
教学目标
01
02
03
知识与技能
学生应掌握全称量词与存 在量词的概念、性质和应 用,能够运用它们进行数 学推理和证明。
过程与方法
通过探究、归纳、演绎等 数学活动,培养学生的数 学思维和解决问题的能力 。
情感态度与价值观
培养学生严谨、认真的学 习态度,感受数学语言的 魅力,增强对数学的兴趣 和信心。
教学重点与难点
01
命题:“对于所有的正整数n,都有2^n > n^2”。
04
命题:“存在正整数n,使得2^n < n!”。
02
该命题使用了全称量词“对于所有的”,表示对于任意正 整数n,2的n次方都大于n的平方。
03
该命题是假命题,例如当n=3时,2^3 = 8 < 3^2 = 9。
05
该命题使用了存在量词“存在”,表示存在一个正整数n ,2的n次方小于n的阶乘。
高中新教材数学人课 件必修第一册第章全 称量词与存在量词
汇报人:XX 20XX-01-22
目录
• 引言 • 全称量词与存在量词的概念 • 全称量词命题及其否定 • 存在量词命题及其否定 • 含有量词的命题的否定及真假判定 • 量词在数学中的应用举例 • 课堂小结与作业布置
人教版高中数学必修第一册1.5全称量词与存在量词【课件】
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探究2 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法: (1)对于全称量词命题“∀x∈M,p(x)”: ①要证明它是真命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)成立; ②要判断它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x,使p(x)不成立即可 (通常举反例). (2)对于存在量词命题“∃x∈M,p(x)”: ①要证明它是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可(通 常举正例). ②要判断它是假命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)不成立.
(2)求解含有量词的命题中参数范围的策略: ①对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等 式恒成立问题,通常转化为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin). ②对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等 式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<ymax).
要点3 全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定 全称量词命题:∀x∈M,p(x), 它的否定:∃x∈M,綈p(x).
(2)存在量词命题的否定 存在量词命题:∃x∈M,p(x), 它的否定:∀x∈M,綈p(x).
(3)对全称量词命题与存在量词命题的否定要注意以下两点 ①解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式,这时 应先将命题写成完整形式,再写出其否定形式. ②要注意命题的否定形式不唯一.
思考题2 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点; (2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除; (3)∃x∈R,使得x2+1<0. 【解析】 (1)是全称量词命题,(2)(3)是存在量词命题. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是 一一对应的,所以该命题是真命题. (2)真命题.例如,10既能被2整除,又能被5整除. (3)对任意x∈R,x2+1>0,所以命题(3)是假命题.
人教版高中数学必修第一册第一章1.5 全称量词和存在量词 课时7 全称量词与存在量词课件(共31张P
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人教版高中数学必修第一册第一章1.5 全称量词和存在量词课时7 全称量词与存在量词课件(共31张PPT)(共31张PPT)1.5 全称量词与存在量词课时7 全称量词与存在量词教学目标1. 理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2. 了解全称量词命题和存在量词命题的含义,会用数学符号表示含有量词的命题.3. 能判断含有全称量词或存在量词的命题的真假,提高数学抽象的能力.学习目标课程目标学科核心素养认识全称量词与存在量词的意义通过全称量词与存在量词的学习,提高逻辑推理和数学抽象素养认识全称量词命题和存在量词命题掌握全称量词命题和存在量词命题的判定通过掌握全称量词命题和存在量词命题的判定,提高逻辑推理素养情境导学德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个猜想:“任意取一个奇数,都可以把它写成三个素数之和,比如77,77=53+17+7.”同年欧拉肯定了哥德巴赫猜想的正确,并且提出此猜想可以有另一等价的版本:每一个大于2的偶数都是两个素数之和,即“1+1”(1表示1个素数),如8=3+5.这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想.后来,数学家们陆续证明出了“9+9”“7+7”“6+6”…“3+3”“2+3”,200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”,即:任意一个充分大的偶数都可以写成一个素数和最多不超过两个素数之积的和,如8=2+2×3=3+5.从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥,但迄今为止它仍然没有得到正面证明,也没有被推翻.不难发现,要想正面证明它就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立,但想要推翻它只需“存在一个”反例.【活动1】理解全称量词与全称量词命题的含义【问题1】下列语句是命题吗比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系(1) x>3;(2) 2x+1是整数;(3) 对所有的x∈R,x>3;(4) 对任意一个x∈Z,2x+1是整数.初探新知【问题2】从上面问题中,你能说出什么是全称量词和全称量词命题吗【问题3】下列命题:(1) 所有质数都是奇数;(2) 对任意x∈R,3x-5>0;(3)一切负数的平方都是正数.其中是全称量词命题的有哪些【问题5】用符号“ ”表示下列全称量词命题,并判断其真假.(1) 任意一个实数乘以0都等于0;(2) 自然数的平方是正数;(3) 任意两个有理数的和仍是有理数.【活动2】认识全称量词命题的符号表示【问题4】怎样用数学符号表示全称量词和全称量词命题呢【问题6】语句“2x+1=3”和语句“存在一个x∈R,使2x+1=3”,两者有什么区别?【活动3】理解存在量词和存在量词命题的含义【问题8】下列命题:①存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直;②至少有一个正数n,使得n2+n为奇数;③任意无理数的平方都是无理数.其中是存在量词命题的有哪些?【问题7】从上面问题中,你能说出什么是存在量词和存在量词命题吗【活动4】认识存在量词命题的符号表示【问题10】用符号“ ”表示下列存在量词命题,并判断其真假.(1) 至少有一个自然数x0,使1+3x0b,则b,但> ,故该命题为假命题.【方法规律】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路:【变式训练3】已知语句q(x):|x-1|=1-x.(1) 写出q(1),q(2),并判断它们是否为真命题;(2) 写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是否为真命题;(3) 写出“ b∈R,q(b)”,并判断它是否为真命题.【解】(1) q(1):|1-1|=1-1,真命题;q(2):|2-1|=1-2,由于|2-1|=1,1-2=-1,所以|2-1|≠1-2,所以q(2)为假命题.(2) a∈R,q(a):|a-1|=1-a成立,由(1)知q(2) 是假命题,所以该命题为假命题.(3) b∈R,q(b):|b-1|=1-b成立,由(1)知q(1) 是真命题,所以该命题为真命题.(备选例题)已知命题p:“ x∈[1,+∞),x2-a≥0”,命题q:“ x0∈R,x20+2ax0+2-a=0”.若命题p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围为()A. {a|a≤-2或a=1}B. {a|a≤-2或1≤a≤2}C. {a|a≥1}D. {a|-2≤a≤1}思路点拨:命题p是全称量词命题,命题q是存在量词命题,分别求出当命题p和命题q为真命题时实数a的取值的集合,再求交集即可.A【解】由已知可知p和q均为真命题,由命题p为真命题,得a≤1;由命题q为真命题,知Δ=4a2-4(2-a)≥0成立,得a≤-2或a≥1,所以实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.故选A.课堂反思通过本节课的学习,你学到了什么?2.你认为本节课的重点和难点是什么?随堂演练1. [教材改编题]下列全称量词命题中是真命题的是()A.所有菱形的四条边都相等B.任何实数都有平方根C. x∈R,x3>0D.梯形的对角线相等BA2. 下列命题中是存在量词命题且为真命题的是()A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使>24. 已知命题p:x∈R,x2-m≥0是真命题,则实数m的取值范围为________.3.(多选)下列四个命题中为假命题的是()A.存在矩形不是平行四边形B. x∈R,x21,x3>1D.所有四边形的外角和都是360°m≤0AB【解】由命题p:x∈R,x2-m≥0为真命题,则x2≥m恒成立,又x2≥0,所以可得m≤0.所以实数m的取值范围为m≤0.5.[2022·山东省青岛市高三一模]若命题“ x∈R,ax2+1≥0”为真命题,则实数a的取值范围是.【解】依题意,命题“ x∈R,ax2+1≥0”为真命题.当a=0时,1≥0恒成立;当a>0时,ax2≥0,ax2+1≥1>0,成立;当a<0时,函数y=ax2+1的图象开口向下,ax2+1≥0不恒成立.综上所述,a≥0.a≥0同学们再见!Goodbye Students!。
新人教版高中数学必修第一册全称量词与存在量词ppt课件及同步课时作业
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6.(多选)下列命题中是存在量词命题的是
√A.有些自然数是偶数
B.正方形是菱形
√ C.能被6整除的数也能被3整除
D.存在x∈R,使得|x|≤0
选项A是存在量词命题; 选项B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题; 选项C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量 词命题; 选项D是存在量词命题.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成存在量词命 题为__∃_x_<_0_,__(_1_+__x_)(_1_-__9_x_)2_>_0__.
4.下列存在量词命题是假命题的是 A.存在x∈Q,使4-x2=0
√B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数
对于任意的 x∈R,x2+x+1=x+122+34>0 恒成立.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是
存在一个、至少有一个、有一个,有些、有的、对 某些
_∃__ 含有 存在量词 的命题
形式
“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为 “_∃_x_∈__M__,__p_(_x)_”
注意点: (1)从集合的角度看,存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或 至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一 个”等特征的命题都是存在量词命题. (3)要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需要在集合 M中找到一个元素x,使p(x)成立即可. (4)要判断一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元 素x,证明p(x)都不成立.
高一数学人必修课件全称量词与存在量词
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03
性质三
存在量词命题可以转化为等价的特称命题。即,如果一个存在量词命题
是真的,那么可以找到一个具体的元素满足给定条件,从而将该命题转
化为一个特称命题。
06
量词间相互转化与等价关 系
量词间相互转化规则
全称量词“任意”与存在量词“存在”的转化
若命题“对任意x,P(x)”为真,则命题“存在x,P(x)”也为真;反之,若命题“存在 x,P(x)”为假,则命题“对任意x,P(x)”也为假。
全称量词命题与存在量词命题 的真假判断
全称量词命题与存在量词命题 的否定形式
拓展延伸:高级逻辑初步介绍
量词的嵌套使用
探讨全称量词与存在量词的组合 使用,如“对于所有x,存在y, 使得…”等复杂命题的构成与真假
判断。
高级逻辑联结词
引入逻辑联结词“且”、“或”、 “非”等,进一步丰富命题的表达 形式,并探讨其逻辑性质。
存在量词“存在”与全称量词“任意”的转化
若命题“存在x,P(x)”为真,不能推出命题“对任意x,P(x)”也为真;但是,若命题 “对任意x,P(x)”为假,则命题“存在x,P(x)”也为假。
等价关系在逻辑推理中应用
等价关系的定义
设P和Q是两个命题,如果P为真当且仅当Q 为真,则称P和Q是等价的,记作P⇔Q。
高中数学课程要求
高一数学人必修课程中,学生需 要掌握全称量词与存在量词的基 本概念、性质和应用,能够运用 它们进行数学推理和证明。
教学目标
知识与技能
Байду номын сангаас
情感态度与价值观
通过本课程的学习,学生应掌握全称 量词与存在量词的定义、符号表示和 基本性质,能够运用它们描述数学对 象之间的关系和性质。
数学人教A版必修第一册1.5全称量词与存在量词(17张PPT)
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1.什么是全称量词?常见的全称量词有哪些?怎样表示全称量词命题?2.什么是存在量词?常见的存在量词有哪些?怎样表示存在量词命题?
1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做__________________.(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:___________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.名师点拨常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.
命题类型
全称量词命题
存在量词命题
形式
∀x∈M,p(x)
∃∈M,p(x)
否定
结论
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题的否定是全称量词命题
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,p(x)
二、问题预设,精讲点拨
三、自主内化,发现问题
阅读课本28-30页,思考并发现提出问题要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表将问题写在小组对应的黑板区域内。
五,当堂训练,归纳延伸
解题方法(全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧)(1)全称量词命题:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词 命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.(2)存在量词命题:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.
高中数学人教B版选修2-1第一章 1.1.2 量词(共22张PPT)
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课堂总结:
•会判 、会说、会做!
读书当将破万卷;求知不叫一疑存。读书之法,在循序而渐进,熟读而精思,喜欢读书,就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。自得读书乐,不邀为 善名。有时间读书,有时间又有书读,这是幸福;没有时间读书,有时间又没书读,这是苦恼。不读书的人,思想就会停止。读书时要深思多问。只读而不想, 就可能人云亦云,沦为书本的奴隶;或者走马看花,所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先,立学以读书为本读书而不能运用,则所读的书等于废纸。读书 可以培养一个完人,谈话可以训练一个敏捷的人,而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下,建立起自己的思想。养心莫若寡欲;至乐无如读 书。身边永远要着铅笔和笔记本,读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光,聚萤作囊;在读书上,数量并不列于首要,重要的是书 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书,逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐,更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书,只有在书中读自己,在书中 发现自己,或检查自己。不怕读得少,只怕记不牢。莫等闲,白了少年头,空悲切!书籍是培育我们的良师,无需鞭答和根打,不用言语和训斥,不收学费,也 不拘形式,对图书倾注的爱,就是对才智的爱。熟读唐诗三百首,不会作诗也会吟。书到精绝潜心读;文穷情理放声吟读万卷书,行万里路。书犹药也,善读之 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境,那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物,它使老年人快乐,也是繁荣的装饰和危难的避难所,慰人心灵。在家庭成为 快乐的种子,在外也不致成为障碍物,但在旅行之际,却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下,建立起自己的思想。饭可以一日不吃,觉可以一日不睡, 书不可以一日不读。、读过一本好书,像交了一个益友。读书有三到,谓心到,眼到,口到立身以立学为先,立学以读书为本。读书而不思考,等于吃饭而不消 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船,它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友。当生活中遇到任何困 难的时候,你都可以向它求助,它永远不会背弃你。1、抱最大的希望,为最大的努力,做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制,只好控制自己。挫折时,要 像大树一样,被砍了,还能再长;也要像杂草一样,虽让人践踏,但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞,就会变得空虚而渺小。莫向不幸屈服, 应该更大胆、更积极地向不幸挑战!一个人炫耀什么,说明内心缺少什么。志在山顶的人,不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内心开始奋斗,他就是个 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值,弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不要对挫折叹气,姑且把 这一切看成是在你成大事之前,必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生,消极思考造成消极人生。对的,坚持;错的,放弃!理想 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应,适应不了就得被淘汰!这叫适者生存!宁愿跑起来被拌倒无数次,也不愿规规矩矩走一辈子,就算 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢,没人替你坚强。态度决定一切,实力捍卫尊严!人要经得起诱惑耐得住寂寞!虽然你的思维相对于 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水,但这滴水却凝聚着海洋的全部财富;是质量上的一而非数量上的一;你的思维拥有一切宇宙智慧。成功者绝不放弃,放 弃者绝不会成功。人生不售来回票,一旦动身,绝不能复返。自己要先看得起自己,别人才会看得起你。即使爬到最高的山上,一次也只能脚踏实地地迈一步。1、 人生的光荣,不在于永不言败,而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨,长不成大树;不受百炼,难以成钢过去属于死神,未来属 于你自己。人的一生,是很短的,短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰,这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相信,垒山不止就是幸福。 老骥伏枥,志在千里;烈士暮年,壮心不已。大鹏一日同风起,扶摇直上九万里。不会宽容人的人,是不配受到别人的宽容的。不经过本身的努力,就永远达不 到自己的目的,任何外来的帮助也不能代替本身的努力。子女中那种得不到遗产继承权的幼子,常常会通过自身奋斗获得好的发展。而坐享其成者,却很少能成 大业。明日复明日,明日何其多!日日待明日,万事成蹉跎。世人皆被明日累,明日无穷老将至。晨昏滚滚水东流。今古悠悠日西坠。百年明日能几何?请君听 我《明日歌》我希望你照自己的意思去理解自己,不要小看自己,被别人的意见引入歧途。百金买骏马,千金买美人;万金买高爵,何处买青春除非一个人有大 量的工作要做,否则他不可能从懒散空闲中得到乐趣。如果我们以为只有野心和爱情这类强烈的激情才能抑制其他情感,那就错了。懒惰尽管柔弱似水,却常常 把我们征服:它渗透进生活中一切目标和行为,时钟随着指针的移动滴答在响:“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士,“分”是士官,“小时”是带队冲锋陷阵的骁勇 的军官。,所以当你百无聊赖,胡思乱想的时候,请记住你掌上有千军万马;你是他们的统帅。检阅他们时,你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥了最大 的作用。沧海可填山可移,男儿志气当如斯。从来便没有什么救世主,也不靠神仙皇帝,要创造人类的幸福,全靠我们自己。任何人都应该有自尊心自信心独立 性,不然就是奴才。但自尊不是轻人,自信不是自满,独立不是弧立。三更灯火五更鸡,正是男儿发愤时。黑发不知勤学早,白首方悔读书迟。醉斩长鲸倚天剑, 笑凌骇浪济川舟。富贵不淫贫贱乐,男儿到此是豪雄。滴自己的汗,吃自己的饭。自己的事情自己干,靠人靠天靠祖上,不算是好汉。你要做一个勇敢的少年人, 不可为一些芝麻小事在那儿大惊小怪。你知道,弱者在这世界上是不好过日子的。真正的敏捷是一件很有价值的事。因为时间是衡量事业的标准,如金钱是衡量 货物的标准时间是一位可爱的恋人,对你是多么的爱慕倾心,每分每秒都在叮嘱;劳动创造别虚度了一生。与善人居,如入兰芷之室,久而不闻其香;与恶人居。 如入鲍鱼之肆,久而不闻其。光勤劳是不够的,蚂蚁也非常勤劳。你在勤劳些什么呢?有两种过错是基本的,其他一切过错都由此而生:急躁和懒惰。时间会刺 破青春的华丽精致,会把平行线刻上美人的额角,会吃掉稀世珍宝,天生丽质,什么都逃不过他横扫的镰刀。人,只要有一种信念,有所追求,什么艰苦都能忍 受,什么环境也都能适应。我年轻时注意到,我每做十件事有九件不成功,于是我就十倍地去努力干下去。滴自己的汗,吃自己的饭。自己的事情自己干,靠人 靠天靠祖上,不算是好汉。”天行健,君子以自强不息;地势坤,君子以厚德载物。古今中外,凡成就事业,对人类有所作为的人,无一不是脚踏实地艰苦登攀的 结
高二数学1.4全称量词与存在量词ppt课件.ppt
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全称命题(真)
指出下述推理过程的逻辑上的错误:
第一步:设a=b,则有a2=ab 第二步:等式两边都减去b2,
得a2-b2=ab-b2 第三步:因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步:等式两边都除以a-b得,a+b=b 第五步:由a=b代人得,2b=b 第六步:两边都除以b得,2=1
探究(一):全称量词的含义和表示 思考1:下列语句是命题吗?(1)与(3) (2)与(4)之间有什么关系?
(1)x>3; (2)2x+1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3.
(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.
1、全称量词与全称命题: 短语“所有的”“任意一个”“任给”
等,在逻辑中通常叫做全称量词,并用
符号“ ”表示,含有全称量词的命题,
叫做全称命题
思考2:你能列举一些常见的全称量词吗?
“一切”,“每一个”,“全体”等
例如“对所有的x∈R,x>3”, “对任意一个x∈Z,2x+1是整数”等,
你能列举一个全称命题的实例吗?
通常:将含有变量x的语句用p(x)、q(x)
、r(x)等表示,变量x的取值范围用M表
B组: 1.
思考2:从命题形式看 全称命题的否定都变成了特称命题.
问题:一般地,对于含有一个量词的全
称命题p:x∈M,p(x),它的否定﹁p是
什么形式的命题 ?
p: x∈M,p(x) (全称命题)
﹁p: x0∈M,﹁p(x0)(特称命题)
理论迁移
例3 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数 (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆
(2)﹁p:所有的三角形都不是等边三角形
人教B版数学必修第一册课件量词
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[解] (1)假命题.因为 x= 2是无理数,但 x2=2 不是无理 数,所以其为假命题.
(2)真命题.由有理数包括整数和分数,知命题为真命题. (3)真命题.对∀x∈R,有 x2≥0,所以 x2+2≥2>0. (4)假命题.由于 x=0∈N 时,x4≥1 不成立,所以“∀x∈N, x4≥1”为假命题.
[答一答] 2.怎样判断一个存在量词命题的真假?
提示:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集 合 M 中,找到一个 x=x0 使 q(x0)成立即可;否则,这个存在量 词命题就是假命题.
类型一 全称量词命题和存在量词命题的判断 [例 1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题, 并写出全称量词或存在量词. (1)所有同学都顺利通过了考试; (2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径; (3)有的整数是奇数; (4)至少有一个三角形没有外接圆.
要判断一个全称量词命题“∀x∈M,px”是真命题,需要 对限定集合中的每一个元素 x 证明 px成立;如果在集合 M 中 找到一个元素 x0,使得 px0不成立,那么这个全称量词命题就 是假命题.所以,全称量词命题以反例否定.
[变式训练 2] 用全称量词把下列语句写成全称量词命题, 并判断真假.
4.判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题,并用 “∀”或“∃”符号表示.
(1)对任意实数 x,x2+2x+5>0; (2)存在整数 x,x2+1=0; (3)至少有一个整数,既是 3 的倍数,又是 5 的倍数; (4)负数的平方是正数.
解:(1)全称量词命题,表示为∀x∈R,x2+2x+5>0. (2)存在量词命题,表示为∃x∈Z,x2+1=0. (3)存在量词命题,表示为∃x∈Z,x 既是 3 的倍数,又是 5 的倍数. (4)全称量词命题,表示为∀x<0,x2>0.
人教A版高中数学必修第一册1.5.1全称量词与存在量词【课件】
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自主预习·新知导学
一、全称量词与全称量词命题
1.给出下列语句:
①3x+2是无理数;
②x有算术平方根;
③对一切无理数x,3x+2还是无理数;
④所有实数x都有算术平方根.
(1)语句①②是命题吗?
(2)比较语句①和③,②和④,它们之间有什么关系?
(3)语句③④是命题吗?若是命题,你能判断它们的真假吗?
【例1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(3)对任意实数a,b,若a>b,则 < ;
(4)有些三角形不是直角三角形;
(5)负数的平方是正数;
(6)若x>0,则x+2>2.
分析:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键
命题是真命题.
(2)是存在量词命题,因为当x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为
正实数,使x2+y2=0,故该命题是假命题.
(3)是全称量词命题,由有序实数对与平面直角坐标系中的点
的对应关系,知该命题是真命题.
(4)是存在量词命题,m=4,n=3时,m-n=1成立,故该命题是真
命题.
探究三 利用全称量词命题、
(3)语句③④是命题吗?若是命题,你能判断它们的真假吗?
提示:(1)不是.
(2)语句③在①的基础上,用短语“存在”对变量x的取值进行
限定;语句④在②的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的
取值进行限定.
(3)③④是命题,都是真命题.
2.
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通
高中数学 量词课件
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• • • • • • •
三、解答题 6.用符号“∀”与“∃”表示下列命题,并判断真假. (1)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根; (2)存在一个实数x,使x2+x+4≤0. [解析] (1)∀m∈R,方程x2+x-m=0必有实根. 当m=-1时,方程无实根,是假命题. (2)∃x∈R,使x2+x+4≤0,
)
• • • • • • • •
3.在下列存在性命题中假命题的个数是( ) ①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形 A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] A [ 解析 ] 因为三个命题都是真命题,所以假命题的个数 为0.
• • • • • • •
4.下列命题中是真命题的是 ( A.∃x∈R,x2+1<0 B.∃x∈Z,3x+1是整数 C.∀x∈R,|x|>3 D.∀x∈Q,x2∈Z [答案] B [解析] 当x=1时,3x+1=4是整数,故选B.
)
• • • • • • •
二、填空题 5.给出下列命题: ①所有的单位向量都相等; ②对任意实数x,均有x2+2>x; ③不存在实数x,使x2+2x+3<0. 其中所有正确命题的序号为________. [答案] ②③
[解析]
单位向量的方向不一定相等,故①错误;由 x2
12 7 -x+2=(x-2) +4>0 知,∀x∈R,x2+2>x 成立;∀x∈R, x2+2x+3=(x+1)2+2>0;故②③正确.
存在性命题“∃x∈A,p(x)” ①存在x∈A,使p(x)成立; ②至少有一个x∈A,使 p(x)成立; ③对有些x∈A,使p(x)成 立; ④对某个x∈A,使p(x)成 立; ⑤有一个x∈A,使p(x)成 立.
人教版高中数学必修一《1.5.1 全称量词与存在量词》课件
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【对点练清】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用量词符号“∀”或 “∃”表示: (1)所有实数 x 都能使 x2+x+1>0 成立; (2)对所有实数 a,b,方程 ax+b=0 恰有一个解; (3)一定有整数 x,y,使得 3x-2y=10 成立; (4)所有的有理数 x 都能使13x2+12x+1 是有理数.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【学透用活】
[典例1] 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题: (1)所有不等式的解集A,都满足A⊆R; (2)∃x∈R,y∈R,使(x+y)(x-y)>0; (3)存在x∈R,2x+1是整数; (4)自然数的平方是正数; (5)所有四边形的内角和都是360°吗?
答案:CD
2.判断下列命题的真假: (1)任意两个面积相等的三角形一定相似; (2)∃x,y 为正实数,使 x2+y2=0; (3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点 P;
(4)∀x∈N , x>0. 解:(1)因为面积相等的三角形不一定相似,故它是假命题. (2)因为当 x2+y2=0 时,x=y=0, 所以不存在 x,y 为正实数,使 x2+y2=0,故它是假命题. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”(“∀”表示
“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题,再判断真假: (1)实数的平方大于或等于0; (2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立; (3)勾股定理.
解:(1)是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”. 改写后命题为:∀x∈R ,x2≥0,它是真命题.
人教A版高中数学必修第一册《全称量词与存在量词》课件
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(2)∃ x∈R,使 4x-3>x; (3)∀ x∈R,有 x+1=2x;
谢谢!
A .存在 x∈Q,使方程 2 x-2=0 有解 B.存在一个实数 x,使 x2+2x+4=0
C.有些整数只有两个正因数 D.所有的质数都是奇数 [跟踪训练]2.下列存在量词命题是真命题的序号是________. ①有些不相似的三角形面积相等;
②存在实数 x,使 x2+2<0; ③存在实数 a,使函数 y=ax+b 的值随 x 的增大而增大;
当堂检测
1.(多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题
的有( )
A.∃
x∈R,x2-x+
1 4
<0
B.所有的正方形都是矩形
C.∃ x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数 x,使 x3+1=0
2.若命题
p:∀
x∈R,
x
1
2
<0,则
p:________________.
3.若命题 p:∀ a,b∈R,方程 ax2+b=0 恰有一解, 则 p:________________.
④有一个实数的倒数是它本身.
题型三:命题的否定 [例 3].命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( ) A.存在一个四边形,它的四个顶点不共圆 B.存在一个四边形,它的四个顶点共圆 C.所有四边形的四个顶点共圆 D.所有四边形的四个顶点都不共圆 [跟踪训练]3.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)三角形的内角和为 180°; (2)每个二次函数的图象都开口向下; (3)存在一个四边形不是平行四边形.
第一章 集合与常用逻辑用语
人教A版必修第一册高中数学1.5-全称量词与存在量词精品课件
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例题解析
例 1.判断正误 (1)全称量词命题与其否定的真假可以相同. (2)命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”.
(× ) (× )
答案:(1)× (2)×
例题解析
例 2.命题“对于任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 ( D) A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≥0 C.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 D.存在 x∈R,x3-x2+1>0
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例题解析
例 4.写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假. (1)p:所有自然数的平方都是正数. (2)q:任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根. (3)r:对任意实数 x,x2+1≥0.
解:(1)有些自然数的平方不是正数,真命题. (2)存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根,真命题. (3)存在实数 x,使得 x2+1<0,假命题.
∵p 为假命题,∴¬p 为真命题,即∀x>0,x+a-1≠0,即∀x>0,x≠1-a,∴1-a≤0,则 a≥1.∴实数 a 的取值范围是{a|a≥1}.故选 D.
例题解析
例 7 .已知非空集合 M,P,则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是 ( D ) A.∀x∈M,x∉P B.∀x∈P,x∈M C.∃x1∈M,x1∈P 且 x2∈M,x2∉P D.∃x∈M,x∉P
知识梳理
知识点二 存在量词命题的否定 (一)教材梳理填空
存在量词命题 ∃x∈M,p(x)
存在量词命题的否定
_∀__x_∈__M__,__﹁___p_(_x_)
结论
存在量词命题的否定 是_全__称__量__词_命题
小试牛刀
1.命题“∀x∈R,x2-1≥-1”的否定是全称量词命题.(× ) 2.若命题 p是存在量词命题,则命题p是全称量词命题.(√ ) 3.“∃x∈M,p(x)”与“∀x∈M, p(x)”的真假性相反.( √ ) 4.“任意x∈R,x2≥0”的否定为“∃x∈R,x2<0”. ( √ )
新教材高中数学第一章全称量词与存在量词:全称量词与存在量词pptx课件新人教A版必修第一册
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全称量词
全称量词命题
短语“ 所有的 ”
含有全称量词的命题,叫
“ 任意一个 ”在逻辑中通
做 全称量词命题
常叫做全称量词
∀
任意
∀x∈M,p(x)
对 M 中任意一个 x,
p(x)成立
【思考】
(1) 常见的全称量词有哪些?
提示:一切、任意、任给、每一个、所有等.
(2)全称量词命题“∀x∈M,p(x)”为真的含义是什么?
符号正确表达命题.
易错提醒:全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命
题的存在量词一般不能省略.
【跟踪训练】
1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等;
(2)存在一个四边形有外接圆;
(3)二次函数都与 x 轴相交.
解:(1)可完整地表述为“所有梯形的对角线相等”,很
显然为全称量词命题.
判断存在量词命题为真,只需举一个特例.
【跟踪训练】
2.变式练下列存在量词命题中,假命题的是
(
A.∃x0∈R, -2x0-3=0
B.至少有一个 x0∈Z,x0 能被 2 和 3 整除
C.平面内,存在两条相交直线垂直于同一条直线
D.∃x0∈{x|x 是无理数}, 是有理数
解析:平面内,垂直于同一直线的两条直线是平行
[知识梳理]
存在量词及存在量词命题的概念
概念
存在量词
存在量词命题
短语“ 存在一个 ”
“ 至少有一个 ” 含有 存在量词
的命
定义
在逻辑中通常叫 题,叫做存在量词命题
做存在量词
符号
∃x∈M,p(x)
∃
表示
存在 M 中的元素 x,
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三、解答题 6.用符号“∀”与“∃”表示下列命题,并判断真假. (1)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根; (2)存在一个实数x,使x2+x+4≤0. [解析] (1)∀m∈R,方程x2+x-m=0必有实根. 当m=-1时,方程无实根,是假命题. (2)∃x∈R,使x2+x+4≤0,
∵x
2
12 15 +x+4=x+2 + 4 >0,
∴不存在 x∈R,使 x2+x+4≤0,是假命题.
存在性命题“∃x∈A,p(x)” ①存在x∈A,使p(x)成立; ②至少有一个x∈A,使 p(x)成立; ③对有些x∈A,使p(x)成 立; ④对某个x∈A,使p(x)成 立; ⑤有一个x∈A,使p(x)成 立.
表 述 方 法
• 设集合 S = { 三角形 } , p(x) :“内角和为 180°”.试用 不同的表述写出全称命题“∀x∈S,p(x)”. • [解析] 对所有的三角形x,x的内角和为180°; • 对一切三角形x,x的内角和为180°; • 每一个三角形x的内角和为180°; • 任一个三角形x的内角和为180°; • 凡是三角形,它的内角和为180°.
• 4.要判定一个存在性命题为真,只要在限定集合M中, p(x0) 成立即可.否则,这一存 能够找一个x=x0,使 在性命题为假.
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[例1] 判断下列全称命题的真假: (1)所有的质数是奇数. (2)∀x∈R,x2+1≥0. (3)对任何一个无理数x,x2也是无理数.
[解析]
(1)假;2 是质数,但不是奇数.
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一、选择题 1.下列命题中是存在性命题的是 A.∀x∈R,x2≥0 B.∃x∈R,x2<0 C.平行四边形的对边不平行 D.矩形的任一组对边都不相等 [答案 •
2.下列全称命题中真命题的个数为 ( ①末位是0的整数,可以被2整除. ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ③正四面体中两侧面的夹角相等. A.1 B.2 C.3 D.0 [答案] C
• 1 .短语“所有”在陈述句中表示所述事物的全体,逻 辑中通常叫做 全称量词 ,并用符号“ ∀ ”表示,含有 全称量词的命题,叫做 全称命题 . • 2 .短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈 述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫 做存在量词 ,并用符号“ ∃ ”表示,含有存在量词 的命题,叫做 存在性命题 . • 3.要判定一个全称命题为真,必须限定集合M中的每一 个x验证p(x)成立,一般用代数推理的方法加以证明,要 判定一个全称命题为假,只须 举一个反例 即可.
• (2)假.因为垂直于同一平面的两直线平行,所以不存在 两条相交直线垂直于同一平面. • (3)真.因为全等三角形一定是相似三角形,所以当两个 相似三角形是全等三角形时对应边相等. • [说明] 要判定一个存在性命题“∃x∈M,p(x)”是真命 题,只需在集合 M 中找一个元素 x0 ,使 p(x0) 成立即可, 如果在集合M中,使 p(x)成立的元素x不存在,那么这个 存在性命题为假命题.
(2)真;∀x∈R,都有 x2≥0,所以 x2+1≥0 成立. (3)假; 2是无理数,但( 2)2=2 是有理数.
• [说明] 要判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需 要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;如果在集 合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全 称命题为假命题.
[例2] 判定下列存在性命题的真假: (1)存在一个实数x,使x2+x+1=0. (2)存在两条相交直线垂直于同一平面. (3)存在相似三角形对应边相等.
2
[ 解析]
(1) 假.因为 ∀ x∈R , x
1 2 3 + x + 1 =x+2 + 4
3 ≥4,所以使 x2+x+1=0 的实数 x 不存在.
• 本节重点:理解全称量词与存在量词的概念. • 本节难点:判断全称命题与存在性命题的真假.
• 1 .用集合的观点看,全称命题就是陈述某集合所有元 素都具有某种性质的命题,是全体都具有的性质.而存 在性命题是陈述在某集合中一些元素具有某种性质的命 题,是指个体具有的性质. • 2 .全称命题、存在性命题就是含有全称量词、存在量 词的命题,学会自然语言与符号语言的转化. • 3 .同一个全称命题、存在性命题,由于自然语言的不 同,可以有不同的表述方法.
• (2010·湖南文,2)下列命题中的假命题是( • • • •
)
A.∃x∈R,lgx=0 B.∃x∈R,tanx=1 C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0 [答案] C [ 解析 ] 本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判 断. • 对于选项C,∀x∈R,x3≥0,故C是假命题.
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[规律方法] 同一个全称命题或存在性命题,由于自然语言的不同,可以有不 同的表述方法.现列表总结于下,在实际应用中可以灵活地选择.
命 题
全称命题“∀x∈A,p(x)” ①所有的x∈A,p(x)成 立; ②对一切x∈A,p(x)成 立; ③对每一个x∈A,p(x) 成立; ④任选一个x∈A,p(x) 成立; ⑤凡x∈A,都有p(x)成
• 1.知识与技能 • 理解全称量词、存在量词以及全称命题、存在性命题, 并能判断命题的真假. • 2.过程与方法 • 通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量 词的意义. • 3.情感态度与价值观 • 通过本节的学习认识到两种命题在刻画现实问题、数学 问题中的作用,从而激发学生的创新精神.
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判断下列存在性命题的真假. (1)∃x∈Z,x3<1; (2)∃x∈Q,x2=5. [ 解 析 ] (1) 由 于 - 1∈Z , 当 x = - 1 时 , 能 使 x3<1 成 立.所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.
(2)由于使 x2=5 成立的数只有± 5,而它们都不是有 理数.因此,没有任何一个有理数的平方等于 5.所以命题 “∃x∈Q,x2=5”是假命题.
• [例3] 试用不同的表述写出全称命题“矩形都是平行四 边形.” • [解析] 对所有的矩形x,x都是平行四边形; • 对一切矩形x,x都是平行四边形; • 每一个矩形x都是平行四边形; • 任一个矩形x都是平行四边形; • 凡是矩形x都是平行四边形. • 设集合 S = { 矩形 } , p(x) : “ x 是平行四边形 ”. 则命题 为“∀x∈S,p(x)”.
)
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二、填空题 5.给出下列命题: ①所有的单位向量都相等; ②对任意实数x,均有x2+2>x; ③不存在实数x,使x2+2x+3<0. 其中所有正确命题的序号为________. [答案] ②③
[解析]
单位向量的方向不一定相等,故①错误;由 x2
12 7 -x+2=(x-2) +4>0 知,∀x∈R,x2+2>x 成立;∀x∈R, x2+2x+3=(x+1)2+2>0;故②③正确.
)
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3.在下列存在性命题中假命题的个数是( ) ①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形 A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] A [ 解析 ] 因为三个命题都是真命题,所以假命题的个数 为0.
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4.下列命题中是真命题的是 ( A.∃x∈R,x2+1<0 B.∃x∈Z,3x+1是整数 C.∀x∈R,|x|>3 D.∀x∈Q,x2∈Z [答案] B [解析] 当x=1时,3x+1=4是整数,故选B.