高考积分,导数知识点精华总结

定积分

一、知识点与方法：

1、定积分的概念

设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式

1

()n

n i i I f x ξ==∆∑（其中x ∆为小区间长度），把n →∞即0x ∆→时，和式n I 的极限叫做函

数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：⎰b

a

dx x f )

(，即⎰b

a

dx x f )(＝1

lim ()n

i

n i f x ξ→∞

=∆∑。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做

被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。

(1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b

a

f x dx ⎰

的几

何意义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ①

⎰⎰=b

a b

a

dx

x f k dx

x kf )()(（k 为常数）；②

⎰⎰⎰±

=

±b

a b

a b

a dx x g dx

x f dx

x g x f )()()()(；

③⎰⎰⎰+=b

a

c a

b

c dx x f dx x f dx x f )()()

(（其中a c b <<)。

2、微积分基本定理

如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么:

()()|()()b

b a a

f x dx F x F b F a ==-⎰

3、定积分的简单应用

(1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线

,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的

曲边梯的面积⎰

=

b

a

dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a

⎰

⎰-b

a

b

a

dx x f dx x f )()(21。

(2) 定积分在物理中的应用： ①求变速直线运动的路程()b

a

s v t dt =⎰

（()v t 为速度函数）②求变力所做的功 ()b

a

W f x dx =⎰

二、练习题

1、计算下列定积分： (1)

21

11()e

x dx x x

++⎰

(2)20(sin 2cos )x x dx π

-⎰ (3)0(2sin 32)x x e dx π-+⎰

(4)

2

dx ⎰

(5)3

1

|2|x dx --⎰

2、求下列曲线所围成图形的面积：

（1）曲线2

2

2,24y x x y x x =-=-； （2）曲线,,1x

x

y e y e x -===。

3、

22

(sin cos )x x dx π

π-+⎰的值是：

A. 4

B. 2

C.

4

π

D. 0 4、曲线2

2

,y x y x ==所围成图形的面积是： A. 1 B.

23 C. 12 D. 13

5、已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到1t =所走过的路程是： A.

13g B.g C.12g D.1

4

g 6、已知2

()321f x x x =++，且1

1

()2()f x dx f a -=⎰

，则a =

7、已知1

2

20

()(2)f a ax

a x dx =

-⎰，求()f a 的最大值。

8、已知()f x 为二次函数，且10

(1)2,(0)0,()2f f f x dx '-===-⎰，求： (1) ()f x 的解析式； (2) ()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值。

导 数

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值

x x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)

()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即

)(0'x f =x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零(趋向0).

②已知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为

B A ⊇.

2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：

⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000

00

x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→

).

()(0)()(lim lim )

()(lim )]()()([

lim 000'0000000000

x f x f x f x f x

x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.

例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x

x x y ∆∆=

∆∆|

|，当x ∆＞0时，

1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x

y ，故x y

x ∆∆→∆0lim

不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的