高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍

高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍zz

2010-10-09 15:58 星期六

学习概率已经有快2年了，几乎查阅了所有跟概率相关的书籍，到目前为止没有找到我认为特别好的。有人认为Feller的概率论及其应用是经典，我买了两本中译本，对我来说帮助不大。看了程士宏的测度论与概率论基础，反而有所收获。下面是我转载的一片网文，里面认为的现代型是我追求的目标，也就是说希望从测度论和实分析的角度去理解概率这门学科。

高等概率论的一些学习心得兼推荐一些相关书籍

一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：1，古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；2--近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；3--现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科，任何数学专业的本科毕业生达不到这个层次都是可耻的。建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。而我的主要目的就是为希望学习高等概率的学生--选择适合自己的书籍--提供些许帮助。

选一本适合自己的好的教材对自己以后的学习是决定性的重要--这是学数学的人首先必须明白的--不仅是对概率方向，对数学的各个分支都是如此。大一的时候齐名友老师跟我特别提到过这一点，可惜我当时不以为然，结果走了很多弯路，到研究生以后才慢慢明白这个道理。一本山寨小学校的老师七拼八凑编写的烂书，常常对学习（特别是自学）不仅无益反而有害，因为你往往浪费了时间却只能得到这个一些支离破碎的印象，这样你会遗忘得很快，很可能到头来你还得重新学一遍；另一些时候，你选择了众人推荐的名著，但你如果当前的水平达不到一定的层次，它往往会打击你的信心让你灰心丧气，甚至会让你不再有学下去的欲望。这两种情形显然都是人们应该尽量避免的。

需要指出的是，有的书适合作教材，有的书却只适合作参考书；就算都是教材，它定位的读者群体也可能不一样。每个人都应该根据自己的实际情况做出选择。一般好书大多都是国外的，所以如果有可能最好去看国外的原版书，就算没有这个能力也应该去锻炼这个能力。读原版书其实没看起来的那么难，你不需要懂得任何高深的语法，记熟100个单词/词组就能轻易上手，记熟300个你就能在大多数情况下不需要字典了。我记得我法语学了不到一年就来到法国读书，老师上课基本听不懂，只能自己找书看，而图书馆里绝大多数参考书都是法语的（当时不知道在网上找书）。按说我当时法语应该比大多数中国大学生英语要远差，但我抱着一本法语的拓扑书回家一边查字典一边看，两三天就完全适应了。真正看外文原版书，要克服的首要困难永远都是数学本身，而不是生词或者语法。

我推荐的学习方法是这样的：读一本简单而直观的入门书，这样能比较容易地把握一个领域的主干，明白它要达到哪些目的，通过什么样的方法，关键性的定理有哪些；等掌握大体框架之后再找一本详尽而严密的教材慢慢推敲其细节。中文的书我没什么好推荐的--在国内的时候看的书质量都不高（当时抱着一本书就看，对好书和烂书也没有概念）而出国之后就没再看过中文书了。我依稀记得汪嘉冈的《现代概率基础》还不错，其它的我就不知道

了。对于外文书，我倒是有很多可以推荐。这样我首先要推荐的是David Williams写的Probability with martingales。书写得很薄，严格意义上说它不是一本教材，但完全可以把它当做现代概率论和鞅理论的入门书来看。我觉得很少有书能够写得象它那样把严密性，直观性以及趣味性完美的融合到一起，并且自成体系(即所谓self-contained，就是说你不需要一边看这本书一边在别的书里寻找相关定理，定义或者其它背景知识)。它只引入对主题有帮助的概念，因此这样读者就可以不必顾及细枝末节从而能够快速领悟其精髓。等你入门之后，可以看的进阶级书就很多了，比如Chung Kai Lai的A course in probability theory。

测度论的基础对于高等概率以及随机过程的学习无疑是很重要的，尽管刚开始的时候你完全可以跳过许多内容（单调类定理，测度的扩张定理，radon-nikodym定理等），但真正想把这个方向学好的人最后一定还是得回头啃这些相对枯燥的基础知识。我看过严加安的《测度论讲义》和halmos的测度论，个人感觉后者更友善些，并且更适合自学。严的书里，开篇就罗列一大串定义：什么是pi类，半环，半代数，sigma代数，单调类，lamda类，再罗列它们的一些性质，诸如a推b，b推c，c推d，d推a之类，我以为这样不容易让人抓住重点。测度论理真正重要的集类首先是sigma代数和pi类，然后是单调类和代数，其它的集类不知道也罢。

看书除了看教材，当然还得找几本参考书以备不时之需。剑桥出的Grimmett和Stirzaker 合著的probability and random process，其特点是例子和习题详尽而丰富，从经典的概率论逐步过度到现代的测度空间。它虽然名为本科生教材，但我觉得其内容之丰富使其作为阶段性的参考资料已经绰绰有余了。然后是大名鼎鼎的Feller的两本An introduction to probability theory，公认的经典。其特点是通过大量的实例讲叙了许多概率论和随机过程在现实中的应用，以及各种概率模型的由来及其推导，据说适合从本科生到博士生的一切人群。但feller 的书写成已经有半个世纪之久，因此一些内容还是显得太陈旧了。想看更现代一点的参考书的话，我推荐Kallenberg的Foundations of modern probability。这是一本很新的书，也是一本名副其实的参考书--因为它只能作参考书--仅600页竟然就讲完了概率论各个大大小小分支的主要内容，书里你可以找到几乎所有的重要定理，命题，及其证明。

如果你能把书基本看懂，那你已经可以算差不多入门了；如果你能闭着眼睛说出任何一个定理的证明思路，那么恭喜你，你已经学有小成。但是仅仅看书显然是不够的，想要学得好，学得牢，无论如何你还得做一定量的相应的习题--计算题为辅，证明题为主，并且要勤于思考养成习惯。为了一道题如果你的思考时间还不到一个甚至半个就放弃而去翻答案，那么根本就不算你曾为这个问题花费过努力--事实上如果你不认真思考，那么你会觉得所有的答案，所有的证明都只不过是理所当然的，trivial的，从而你也不会领悟到真谛。

其它没啥了。哪天有心情再说说随机分析吧。