微积分习题讲解与答案

习题8.1

指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： 02)(2=+'-'xy y y y x 02=+'-y y x y x 0)(sin 42=+''+'''y x y y x

θθ

2sin d d =+p p

解 阶 非线性 阶 线性 阶 线性 阶 线性

验证下列函数是否是所给微分方程的解 x

x

y x y y x sin ,cos =

=+' 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- 为任意常数 x Ce y y y y ==+'-'',02 为任意常数

x x e C e C y y y y 2

1

212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' 为任意常数

C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( 为任意常数 )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''-

解 是，左 x x x

x

x x x x

cos sin sin cos 2

=+- 右

是，左 x x C x x Cx x 2)12(1)

1(22

2=-++--- 右

是，左 02=+-x x x Ce Ce Ce 右 是，左

0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x x

e C e C e C e C e

C e C λλλλλλλλλλλλλλ 右

是，左 =-=---y x y

x y

x y x 222)

2(右

是，左 x xy y

x xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(2

2332

0)()

)(2()()(222

222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy 右

求下列微分方程的解

2d d =x y

x x

y cos d d 22=

0d )1(d )1(=--+y y x y y

x x

y y )1()1(2

2++=' 解 C x y x y +==⎰⎰2,d 2d

1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰

2

1

1

cos ,d )(sin d C

x C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰

⎰⎰

=+-x y y y d d 11 ⎰⎰=+++-x y y

y d d 12

)1( 解得 ⎰⎰

⎰=++-x y y

y d d 12

d 即 C x y y +=++-|1|ln 2

⎰⎰

+=+dx x x

dy y y )1(122

解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+

整理得 2

2

211C x

y =++ 已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。 解 已知 22x y =' 解得 C x y +=33

2

又知曲线过原点，得0=C 所求曲线方程为33

2x y =

习题

用分离变量法求下列微分方程的解

y x y 4=' 0ln =-'y y y x

y x y +='10 0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x

1|,0d 1d 10==+-+=x y y x

y x y x 0|,02=='=+x y x y e y 解 x xd dy y

⎰⎰

=41 解得 22)(C x y +=

⎰

⎰=x

dx

y y dy ln 解得 Cx e y = ⎰⎰=-dx dy x y 1010 解得 C x y +=--1010 即 C y x =+-1010

⎰⎰-=dx x

x

dy y y tan sec tan sec 22 解得 1|tan |ln |tan |ln C x y +-= 整理得 C y x =⋅tan tan

⎰⎰+=+dx x x dy y y )1()1( 解得 C x x y y ++=+32323

12

13

12

1

由于 1|0==x y ，解得 65

=

C 则 6

53

12

13

12

13232+

+=+x x y y ⎰⎰=-dx e dy e x y 2 解得 C e e x y +=--22

1

由于 0|0==x y 则 2

3-

=C 原方程解为 x y e e 232-=- 求下列齐次方程的解

x

y y y x ln ='

y

x y x x y -+=d d 022=---'x y y y x x x xy y y x d )(d 222+-= dx

dy

xy dx dy x y =+2

2 1|,0)2(12==-'+=x y y y y x x 解 令x

y

u =

，代入方程得 u u x

u

x

u ln d d =+ 分离变量得

x

x

u u u d )1(ln d =-

两边积分得

1||ln |1ln |ln C x u +=-

整理得 |||1ln |2x C u =- 将x

y

u =

回代，即得原方程通解