微分形式的外微分

Stokes公式
∂Σ
∫ pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂Q ∂P ∂P ∂R − − − dz Λdx + dyΛdz + dx Λdy ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
⇒ ∫ω = ∫ dω .
∂Σ Σ
再看 Stokes 公式
∂Σ
∫ ω = ∫ dω 。
Σ
二、外微分的应用
Gauss公式
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + Pdydz + Qdzdx + Rdxdy dxdydzy ∫∫ ∂x ∂y ∂z ∂D Ω ⇒
∂Ω
∫ω= ∫ dω .
Ω
∂D
同样地，对于 Gauss 公式 ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
n
这可理解为， 一个 0-形式做了微分运算后成为了 1-形式。
一、外微分
现将微分运算 d 推广到 Λ k 上去。
对 Λ k 中的任意一个 k-形式
ω
定义d ω
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n
∑
gi1 ,i2 ,,ik ( x )dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n
∑
(dgi1 ,i2 ,,ik ( x ))dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
∂gi1 ,i2 ,,ik ∂x i dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n i = 1
∑
∑
n
一、外微分
同时，对空间 Λ = Λ 0 + Λ1 + + Λ n 上的任意一个元素
∂D = {a, b} 上的积分，那么上式就可以表为
∂D
∫
f = ∫ df .
D
这样，Newton-Leibniz 公式、Green 公式、Gauss 公式和 Stokes 公 式就可以统一地写成如下形式： ∫ ω = ∫ dω.
∂M M
这个式子统称为 Stokes 公式。这说明了，高次的微分形式 dω 在给定 区域上的积分等于低一次的微分形式 ω 在低一维的区域边界上的积 分。Stokes 公式是单变量情形的 Newton-Leibniz 公式在多变量情形 的推广，是数学分析中最精彩的结论之一
Λdx j 0, dx= i
一、外微分
性质2 对任意 ω ∈ Λ, 有 d ω = 0.
2
证 由于 d 的线性性，只要证明 = ω a( x)dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik 的情形即可。这时 = d ω d (a ( x))dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ，
n
n ∂b dxi Λdx j1 Λdx j2 Λ Λdx jl ) +(−1) (adxi1 Λdxi2 Λ Λdxik )Λ ∑ i =1 ∂xi
k
= d ωΛη + (−1) k ωΛdη .
一、外微分
例4 设 f ∈ Λ 0 为 0-形式，证明 d 2 f
证明 设 ω ∈ Λ, 定义 d 2ω = d (dω )
把 dxΛdy 看成是正面积元素 dxdy 的话，上式可以表为
∂D
∫
= pdx + Qdy
∂Q ∂P 形式 ω P( x, y )dx + Q( x, y )dy − = dxΛdy ，由例 1 得到，对于 1∫∫ ∂ ∂ x y D
成立 ∫ ω = ∫ dω.
∂D D
二、外微分的应用
一、外微分
例2 设 ω = P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz 为 R3 上的
1-形式，
d ω= (dP)Λdx + (dQ)Λdy + (dR)Λdz ∂P ∂P ∂P ∂Q ∂Q ∂Q = ( dx + dy + dz )Λdx + ( dx + dy + dz )Λdy ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂R ∂R ∂R + ( dx + dy + dz )Λdz ∂x ∂y ∂z ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ( − − )dxΛdy )dyΛdz + ( − )dz Λdx + ( ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
可。这时
= d (ωΛη ) d ( a ( x)b( x)dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik Λdx j1 Λdx j2 Λ Λdx jl ) d ( a ( x)b( x))Λdxi1 Λdxi2 Λ Λdxik Λdx j1 Λdx j2 Λ Λdx jl
一、外微分
一、外微分
例 1 设ω =
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy 为 R 2 上的 1-形式，
d ω= (dP)Λdx + (dQ)Λdy= (
∂P ∂P ∂Q ∂Q dx + dy )Λdx + ( dx + dy ) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂P ∂Q ∂P ∂Q = dyΛdx + dxΛdy= ( − )dxΛdy ∂y ∂x ∂y ∂x
∂D
∫
∂Q ∂P = ∫∫ − = pdx + Qdy dxdy ⇒ ∫ ω ∂x ∂y ∂D D
∂D
∫ dω .
D
首先看 Green 公式 ∫ pdx + Qdy =
∂Q ∂P − dxdy 其中 ∂D 取 D 的诱导定向。如果 ∫∫ ∂ ∂ x y D
第十四章 曲线、曲面积分
§4 微分形式的外微分
教学目的与要求： 掌握外微分的形式和应用． 教学重点，难点： 重点：高斯公式和斯托克斯公式的统一形式 难点：外微分定义
一、外微分
设 U ⊂ R n 为区域，U 上的可微函数 f ( x1 , x2 , , xn )
∂f 的全微分为 df = ∑ dxi i =1 ∂xi
ω = ω0 + ω1 + + ωn , ωi ∈ Λ i ,
定义 dω= dω0 + dω1 + + dωn . 这样一来，微分运算 d : Λ → Λ 就是线性的，即
= d (αω + βµ ) α d ω + β dη , ω ,η ∈ Λ, α , β 为常数。这样的微
分运算 d 称为外微分。
性质1 设 ω 为 k-形式，η 为 l-形式，则
d (ωΛη )= dωΛη + (−1) k ωΛdη .
∂a ∂b dxi + a dxi Λdxi1 Λdxi2 Λ Λdxik Λdx j1 Λdx j2 Λ Λdx jl b ∑ ∂xi i =1 ∂xi
n
∂a dxi Λdxi1 Λdxi2 Λ Λdxik Λdx j1 Λdx j2 Λ Λdx jl b ∑ i =1 ∂xi
一、外微分
性质1 设 ω 为 k-形式，η 为 l-形式，则
d (ωΛη )= dωΛη + (−1) k ωΛdη . 证 由于 d 的线性，只要证明
= ω a ( x)dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik= , ω b( x)dx j1 Λdx j2 Λ Λdx jl , 的情形即
∂P ∂Q ∂R + + dxdydz ∫∫∫ ∂ ∂ ∂ x y z Ω
如果我们将有向体积元素 dxΛdyΛdz 看成是正体积元素 dxdydz 的话，他就可以表示 为
Λdy ∫∫ PdyΛdz + QdzΛdx + Rdx=
∂D
∂P ∂Q ∂R + + dxΛdyΛdz 对于 2-形式 ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z Ω
∂Ω Ω
ω = PdyΛdz + Qdz Λdx + RdxΛdy ，上式就是 ∫ ω = ∫ d ω.
二、外微分的应用
Newton-Leibniz公式
∫
b
a
) df ( x=
f ( x ) |b a ⇒
∂D
b
∫
f =
∫ df .
D
最后看 Newton-Leibniz 公式 ∫a d (fx) = f ( x) |b a, 如果将上式右端视为 0-形式 f ( x) 在区间 D = [a, b] 的诱导定向边界
∂Σ
∫
= pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂Q ∂P ∂P ∂R − Λ + − Λ + − dy dz dz dx dxΛdy ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
注意等式左边和右边分别是 1-形式和 2-形式在定向曲线和曲面上的 积分，因此由例 2 可知，对于 1-形式 ω = pdx + Qdy + Rdz ，上式就是
因此由性质 1 和例 4 的结果
d 2ω = d (d ω= ) (d 2 a )Λdxi1 Λdxi2 Λ Λdxik − (da )Λd (dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik
= 0Λdxi1 Λdxi2 Λ Λdxik − (da )Λ 0 = 0.
二、外微分的应用
Green公式
∂2 f ∂2 f 由于 fx j ∂xi
n ∂f 2 d f d= dxi = (df ) d ∑ = i 1 ∂xi =
= 0.
∂2 f dx j Λdxi ∑∑ = i 1= j 1 ∂x j ∂xi
n n
∂2 f ∂2 f = ∑ − ∂x j ∂xi i < j ∂xi ∂x j
一、外微分
例3 设ω =
P ( x, y, z )dyΛdz + Q( x, y, z )dz Λdx + R( x, y, z ) dxΛdy
为 R3 上的 2-形式，
dω = ( dP ) ΛdyΛdz + (dQ )Λdz Λdx + (dR )ΛdxΛdy
= (
∂P ∂P ∂P ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz ) Λdy Λdz + ( dx + dy + dz ) Λdz Λ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂R ∂R ∂R +( dx + dy + dz ) ΛdxΛdy ∂x ∂y ∂z