晶体学点群
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Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
国际符号中 包含n次旋转轴，所以实际有n个镜面m。
n m表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面m
熊夫利斯符号Cn表示一个含有Cn， C2 n ，……的点群。Cnh表 示这种点群中还含有垂ห้องสมุดไป่ตู้于Cn的镜面，点群Cnh中对称操作数 目是Cn群中的两倍。Cnv表示镜面含Cn轴。点群Cnv中对称操作 数目也是Cn群的两倍。
2(C2)
m(C1h)
2 (C2 h ) m
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
3. 正交晶系 正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面，因此也必有第 三个2次轴。
(1)正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群{ 1，2[100] ， 2
[010] ， 2[001] }
2,m,2/m 222,mm2,mmm
四方 4,`4，4/m Z
三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m 立方 2,m,4, `4
无， 2，m
X
无， 2，m
底对 角线
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm
3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
Z Z
无， 2，m 无， 2，m
X X
无 无， 2，m 底对 角线 面对 角线
X
3,`3
体对 无， 2，m 角线
点群推导方法
• 外延推演法： 从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 可以推导出32种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十
分明确。
• 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演 操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外 10种非中心对称的点群。优点是速度快。 • 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在 每种循环群上加上新对称操作，或用 n 代替n轴。优点是 透彻了解各种点群的对称操作。
• 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
1. 三斜晶系 对称操作是1(C1)或 1 (i) （1）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。 该点群的阶数h是1，满足群的定义：
一个元素只能自乘： 1(C1)·1(C1)= 1(C1)，具有封闭性； 单元素也可有结合律： 1(C1)·1(C1) ·1(C1)=1(C1) ·
32种晶体学点群
点群是至少保留一点不动的对称操作群。 • 点群晶体+非晶体 • 32种晶体学点群是满足“晶体制约”的点群。 • 晶体结构的许多固体物理学性质的点对称性都与其 所对应的点群有关。 • 晶体或其他物体所具有的点对称性可以通过点群符 号简洁地描述出来。根据这些符号人们可以知道其 全部点对称性，即点群符号可以对应着晶体或物体 的全部点对称性。
[1(C1)·1(C1)];
有单位元素： 1(C1)·1(E) = 1(E) ·1(C1)= 1(C1)；
1(C1)的逆阵仍是1(C1)。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
（2）有对称操作1(C1)或 1 (i)，则它们构成两元素 点群。 用符号 1 (S2) 表示，点群的阶h是2 。元素为 {1, 1 }即{E，i}。当然也满足群的定义，这个点群 的元素具有封闭性，对称操作符合结合律，只有一 个单位元素1(E)， 1 (i)的逆仍是1 (i)。
6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：
D2h,D3h,D4h,D6h; mmm, 6m2 ,4/mm,6/mmm
7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d;
42m ，3m
8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral)
T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432,
1(C1)
1 (i)
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
2. 单斜晶系
单斜晶系在三斜晶系的基础上多了一个二次轴2(C2)或2次旋转 反演轴 2 =m (σh)。
(1) 当一物体有单一的2次对称轴是就具有单斜对称性，构成一点群，用2或C2表示， 即2(C2)。这是一个阶数h为2的点群。其对称操作为{1，2}或{E，C2}。 (2) 当一物体只有 2 或m对称时，也构成阶数h为2的点群{1，m}或{E ，σh}。其点 群符号为m(C1h)。 (3) 如果单斜晶系中2及轴同时存在，则必有反演对称性。这就形成了一个新的点群 {1，2， 1 ，m}或用熊夫利斯符号表示成{E，C2，i， σh}。其中h为4，即为四元素 点群。符号是 2 {C2h}，重要元素为2和m。 m
43m ,m3m
晶体点群的 Schönflies符号 和国际符号
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 第二位 第三位 方向 点群 方向 可能对称元 方向 可能对称元 素 素
三斜 1,`1
单斜 2,m,2/m 正交 2，m
任意 无
Y X 无 2，m Y
无
无 2，m Z
1，`1
32晶类的推演 http://metafysica.nl/derivation_32.html
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。
Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。
Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。
Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。
3 6 ,4/m,6/m m
3.旋转轴加通过该轴的镜面：
C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm
4.旋转反演轴
S2= Ci, S4,S6=C3d;
1, 4, 3
32种点群的表示符号及性质
5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴： D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
国际符号中 包含n次旋转轴，所以实际有n个镜面m。
n m表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面m
熊夫利斯符号Cn表示一个含有Cn， C2 n ，……的点群。Cnh表 示这种点群中还含有垂ห้องสมุดไป่ตู้于Cn的镜面，点群Cnh中对称操作数 目是Cn群中的两倍。Cnv表示镜面含Cn轴。点群Cnv中对称操作 数目也是Cn群的两倍。
2(C2)
m(C1h)
2 (C2 h ) m
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
3. 正交晶系 正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面，因此也必有第 三个2次轴。
(1)正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群{ 1，2[100] ， 2
[010] ， 2[001] }
2,m,2/m 222,mm2,mmm
四方 4,`4，4/m Z
三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m 立方 2,m,4, `4
无， 2，m
X
无， 2，m
底对 角线
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm
3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
Z Z
无， 2，m 无， 2，m
X X
无 无， 2，m 底对 角线 面对 角线
X
3,`3
体对 无， 2，m 角线
点群推导方法
• 外延推演法： 从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 可以推导出32种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十
分明确。
• 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演 操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外 10种非中心对称的点群。优点是速度快。 • 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在 每种循环群上加上新对称操作，或用 n 代替n轴。优点是 透彻了解各种点群的对称操作。
• 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
1. 三斜晶系 对称操作是1(C1)或 1 (i) （1）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。 该点群的阶数h是1，满足群的定义：
一个元素只能自乘： 1(C1)·1(C1)= 1(C1)，具有封闭性； 单元素也可有结合律： 1(C1)·1(C1) ·1(C1)=1(C1) ·
32种晶体学点群
点群是至少保留一点不动的对称操作群。 • 点群晶体+非晶体 • 32种晶体学点群是满足“晶体制约”的点群。 • 晶体结构的许多固体物理学性质的点对称性都与其 所对应的点群有关。 • 晶体或其他物体所具有的点对称性可以通过点群符 号简洁地描述出来。根据这些符号人们可以知道其 全部点对称性，即点群符号可以对应着晶体或物体 的全部点对称性。
[1(C1)·1(C1)];
有单位元素： 1(C1)·1(E) = 1(E) ·1(C1)= 1(C1)；
1(C1)的逆阵仍是1(C1)。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
（2）有对称操作1(C1)或 1 (i)，则它们构成两元素 点群。 用符号 1 (S2) 表示，点群的阶h是2 。元素为 {1, 1 }即{E，i}。当然也满足群的定义，这个点群 的元素具有封闭性，对称操作符合结合律，只有一 个单位元素1(E)， 1 (i)的逆仍是1 (i)。
6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：
D2h,D3h,D4h,D6h; mmm, 6m2 ,4/mm,6/mmm
7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d;
42m ，3m
8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral)
T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432,
1(C1)
1 (i)
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
2. 单斜晶系
单斜晶系在三斜晶系的基础上多了一个二次轴2(C2)或2次旋转 反演轴 2 =m (σh)。
(1) 当一物体有单一的2次对称轴是就具有单斜对称性，构成一点群，用2或C2表示， 即2(C2)。这是一个阶数h为2的点群。其对称操作为{1，2}或{E，C2}。 (2) 当一物体只有 2 或m对称时，也构成阶数h为2的点群{1，m}或{E ，σh}。其点 群符号为m(C1h)。 (3) 如果单斜晶系中2及轴同时存在，则必有反演对称性。这就形成了一个新的点群 {1，2， 1 ，m}或用熊夫利斯符号表示成{E，C2，i， σh}。其中h为4，即为四元素 点群。符号是 2 {C2h}，重要元素为2和m。 m
43m ,m3m
晶体点群的 Schönflies符号 和国际符号
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 第二位 第三位 方向 点群 方向 可能对称元 方向 可能对称元 素 素
三斜 1,`1
单斜 2,m,2/m 正交 2，m
任意 无
Y X 无 2，m Y
无
无 2，m Z
1，`1
32晶类的推演 http://metafysica.nl/derivation_32.html
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。
Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。
Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。
Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。
3 6 ,4/m,6/m m
3.旋转轴加通过该轴的镜面：
C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm
4.旋转反演轴
S2= Ci, S4,S6=C3d;
1, 4, 3
32种点群的表示符号及性质
5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴： D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622