第8章 回归正交试验设计
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判断因素或交互作用对试验的影响程度 经检验不显著的因素或交互作用应归入 残差，重新检验 可直接从回归方程中剔除这些一次和交 互项
例8-1：p.126~129(注意与书中例6
－5的联系)
例8-1 用石墨炉原子吸收分光光度计测定食 品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y) 大。为提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素 对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝300~700℃， x2＝ 1800~2400℃，x3＝8~10mA。试通过回归正 交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系 式。
,m
(8 12)
bkj
(z z ) y
i 1 j i
i
mc
, j k , k 1, 2,3
, m 1
(8 13)
说明：
求得的回归系数直接反映了该因素
作用的大小
回归系数的符号反映了因素对试验
指标影响的正负
8.1.3. 回归方程及偏回归系数的方差分析
（1）无零水平试验时
例8-1：p.126~129
(1)因素水平编码
编码
上水平(1) 下水平(-1) 零水平(0) 变化间距Δj
因素xj x1(灰化温度 x2(原子化温 x3 (灯电流 /mA) /℃ ) 度 /℃ ) 700 2400 10 300 1800 8 500 2100 9 200 300 1
(2)正交表的选择和试验方案的确定
残差平方和 ：SS SS SS e T R
②自由度
dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
df R df一次项 df交互项
残差自由度：
dfe dfT df R
③均方 ④F检验： 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ：
第8章 回归正交 试验设计
本章问题的提出
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不 是一定试验范围内的最优方案
回归分析可通过所确立的回归方程 ，对试验结果 进行预测和优化，但回归分析只能对试验数据进行 被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。
回归正交设计可将两者结合起来。它可以在因素的 试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立 一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试 验优化问题。
若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例： 设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距 Δj：
回归正交设计（Orthogonal regression design）
回归正交设计处理的对象： 可以在因素的试验范围内选择适当的 试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题
不适合有非数量性因素的问题
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm 之间的一次回归方程： 例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交 互作用
Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 Δj= (xj2 － xj1)/2
8.1.1 一Baidu Nhomakorabea回归正交设计的基本方法
（2）因素水平的编码
编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变 换：
zj
x j x j0 j
zj：因素xj的编码 ，称为规范变量
xj：自然变量 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 下水平xj1的编码：zj1＝-1 零水平xj0的编码：zj0＝0
有何想法！！
(3)回归方程的建立 依题意 m0=0,n=mc=8
试 验 号
1
z1
z2
z1z2
z3
z1 z3
1
y
y2
z 1y
0.552
z 2y
0.552
z 3y
0.552
(z1z2 (z1z2)y )y
0.552 0.552
1
1
1
1
0.552
0.304704
2 3 4 5
1 1 1 -1
1 -1 -1 1
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
回归正交设计表的特点：
任一列编码的和为0
任两列编码的乘积之和等于0
说明经转换后的正交表同样具有正交 性。
（4）试验方案的确定
表头设计 ：
可参考正交设计的表 头设计方法 交互作用列的编码等 于表中对应两因素列 编码的乘积
零水平试验（中心 试验 ）目的是为了 进行更精确的统计 分析，得到精度较 高的回归方程。
8.1.2 一次回归方程的建立 (请注意！)
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
mc:二水平试验次数
m0:零水平试验次数
一次回归方程系数的计算：
常数项：a
一次项系数：bj 交互项系数： bjk
1 a yi y n i 1
bj
n
z
i 1
n
ji
yi
mc
n k
, j 1, 2,3,
编码目的：
使每因素的每水平在编码空间是“平等”的， 规范变量zj的取值范围都是[1，-1]内变化，不 会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响。
编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…， m）各水平之间的回归问题，转换成试验结果 y与编码值zj之间的回归问题，从而大大简化了
回归计算量。
（3）一次回归正交设计表
①平方和：
1 n 2 总平方和： SST Lyy ( yi y) y ( yi ) n i 1 i 1 i 1
2 2 i
n
n
2 SS m b 一次项偏回归平方和 ： j c j
交互项偏回归平方和： SS m b2 kj c kj 回归平方和 ： SSR SS一次项 SS交互项
1 -1 -1 -1
-1 1 -1 1
-1 1 -1 -1
0.554 0.480 0.472 -0.516
0.306919 0.230400 0.222784 0.266256
例8-1：p.126~129(注意与书中例6
－5的联系)
例8-1 用石墨炉原子吸收分光光度计测定食 品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y) 大。为提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素 对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝300~700℃， x2＝ 1800~2400℃，x3＝8~10mA。试通过回归正 交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系 式。
,m
(8 12)
bkj
(z z ) y
i 1 j i
i
mc
, j k , k 1, 2,3
, m 1
(8 13)
说明：
求得的回归系数直接反映了该因素
作用的大小
回归系数的符号反映了因素对试验
指标影响的正负
8.1.3. 回归方程及偏回归系数的方差分析
（1）无零水平试验时
例8-1：p.126~129
(1)因素水平编码
编码
上水平(1) 下水平(-1) 零水平(0) 变化间距Δj
因素xj x1(灰化温度 x2(原子化温 x3 (灯电流 /mA) /℃ ) 度 /℃ ) 700 2400 10 300 1800 8 500 2100 9 200 300 1
(2)正交表的选择和试验方案的确定
残差平方和 ：SS SS SS e T R
②自由度
dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
df R df一次项 df交互项
残差自由度：
dfe dfT df R
③均方 ④F检验： 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ：
第8章 回归正交 试验设计
本章问题的提出
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不 是一定试验范围内的最优方案
回归分析可通过所确立的回归方程 ，对试验结果 进行预测和优化，但回归分析只能对试验数据进行 被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。
回归正交设计可将两者结合起来。它可以在因素的 试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立 一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试 验优化问题。
若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例： 设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距 Δj：
回归正交设计（Orthogonal regression design）
回归正交设计处理的对象： 可以在因素的试验范围内选择适当的 试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题
不适合有非数量性因素的问题
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm 之间的一次回归方程： 例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交 互作用
Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 Δj= (xj2 － xj1)/2
8.1.1 一Baidu Nhomakorabea回归正交设计的基本方法
（2）因素水平的编码
编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变 换：
zj
x j x j0 j
zj：因素xj的编码 ，称为规范变量
xj：自然变量 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 下水平xj1的编码：zj1＝-1 零水平xj0的编码：zj0＝0
有何想法！！
(3)回归方程的建立 依题意 m0=0,n=mc=8
试 验 号
1
z1
z2
z1z2
z3
z1 z3
1
y
y2
z 1y
0.552
z 2y
0.552
z 3y
0.552
(z1z2 (z1z2)y )y
0.552 0.552
1
1
1
1
0.552
0.304704
2 3 4 5
1 1 1 -1
1 -1 -1 1
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
回归正交设计表的特点：
任一列编码的和为0
任两列编码的乘积之和等于0
说明经转换后的正交表同样具有正交 性。
（4）试验方案的确定
表头设计 ：
可参考正交设计的表 头设计方法 交互作用列的编码等 于表中对应两因素列 编码的乘积
零水平试验（中心 试验 ）目的是为了 进行更精确的统计 分析，得到精度较 高的回归方程。
8.1.2 一次回归方程的建立 (请注意！)
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
mc:二水平试验次数
m0:零水平试验次数
一次回归方程系数的计算：
常数项：a
一次项系数：bj 交互项系数： bjk
1 a yi y n i 1
bj
n
z
i 1
n
ji
yi
mc
n k
, j 1, 2,3,
编码目的：
使每因素的每水平在编码空间是“平等”的， 规范变量zj的取值范围都是[1，-1]内变化，不 会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响。
编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…， m）各水平之间的回归问题，转换成试验结果 y与编码值zj之间的回归问题，从而大大简化了
回归计算量。
（3）一次回归正交设计表
①平方和：
1 n 2 总平方和： SST Lyy ( yi y) y ( yi ) n i 1 i 1 i 1
2 2 i
n
n
2 SS m b 一次项偏回归平方和 ： j c j
交互项偏回归平方和： SS m b2 kj c kj 回归平方和 ： SSR SS一次项 SS交互项
1 -1 -1 -1
-1 1 -1 1
-1 1 -1 -1
0.554 0.480 0.472 -0.516
0.306919 0.230400 0.222784 0.266256