晶体学基础

周期性结构二要素: 周期性结构二要素:
(1) 周期性重复的内容结构基元 周期性重复的内容结构基元(motif); 结构基元 (2) 周期性重复的大小与方向，即平移矢量。 周期性重复的大小与方向，即平移矢量。
周期性结构的研究方法—点阵理论: 周期性结构的研究方法 点阵理论: 点阵理论
将晶体中的结构基元(重复的内容)抽象为几何学 中的点,这些点按一定的方式在空间重复排列形成点 阵(由点阵点组成)
晶体可以抽象成点阵，点阵是无限的。 晶体可以抽象成点阵，点阵是无限的。只要从点阵中取 一个点阵单位即格子，就能认识这种点阵。 一个点阵单位即格子，就能认识这种点阵。 如何从点阵中取出一个点阵单位呢？ 如何从点阵中取出一个点阵单位呢？ (1)直线点阵与素向量、复向量 直线点阵与素向量、 直线点阵与素向量
For example!
Z
分数坐标分别为：
Cs
+
:111 222
CI : 000
Cs＋: CI﹣:
X CsCI晶胞 晶胞
Y
由于点在晶胞内， x、y、z≤1 由于点在晶胞内，
四、实际晶体和理想晶体
理想晶体的定义: 一个在三维空间按点阵形式的周期性在 空间无限伸展的晶体为理想晶体 理想晶体实际上是不可能存在的.这是因为: 理想晶体实际上是不可能存在的.这是因为: 1. 实际晶体中的微粒数总是有限的; . 实际晶体中的微粒数总是有限的; 2. 微粒在不停地作振动运动; . 微粒在不停地作振动运动; 3. 实际晶体内部有缺陷或位错. . 实际晶体内部有缺陷或位错.
点
阵
由点阵点在空间排布形成的图形 由重复单位抽象出的几何学上的点 由重复单位抽象出的几何学上的点 抽象出 点阵点所代表的重复单位的具体内容 点阵点所代表的重复单位的具体内容
点阵点 结构基元
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
lattice 点阵
structural motif 结构基元
Crystal structure 晶体结构
(3)反映滑移操作对应的滑移面 反映滑移操作对应的滑移面(glide planes) 反映滑移操作对应的滑移面
下列晶体结构如何抽象成点阵？ 下列晶体结构如何抽象成点阵？
Mn
(立方简单 立方简单) 立方简单
Li Na K Cr Mo W…...
(立方体心) 立方体心) 立方体心
以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点. 以上每一个原子都是一个结构基元，都可以抽象成一个点阵点.
2 、点阵单位(格子) 点阵单位(格子)
石墨层
小黑点为平面点阵. 为比较二者关系 暂以 黑点为平面点阵 为比较二者关系, 石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景. 石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景.
c.三维周期性结构与空间点阵 三维周期性结构与空间点阵: 三维周期性结构与空间点阵 Tm,n,p = ma + nb + pc (m, n, p = 0,±1, ± 2 …) ±
nm 的操作是绕轴旋转2π/n后然后再沿此轴平移m/n个单位向量。 π 赖以进行螺旋旋转的轴为螺旋轴 螺旋轴。 螺旋轴
二重螺旋轴2 二重螺旋轴 1
(x,y,z)→(x, –y, -z)→(x+1/2,-y, -z)
晶体结构中可能存在的螺旋轴有 21,31,32,41,42,43,61,62,63,64,65共11种。 种
6+8=12+2 8+6=12+2 4+4=6+2
晶体的理想外形具有特定的对称性, 晶体的理想外形具有特定的对称性,这是内部结构对称性的反映
2)各向异性
石墨 NaCl 石墨晶体在平行于石墨层 方向上比垂直于石墨层方 向上导电率大一万倍。 向上导电率大一万倍。
3)晶体的均匀性
一块晶体内部各个部分的宏观性质是相同的，如有相 同的密度、相同的化学组成。
二、晶体的点阵理论
1 、点阵(Lattice):
将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元，用一个数 结构基元， 结构基元 学上的点来代表, 称为点阵点 点阵点，整个晶体就被抽象成一组 点阵点 点,称为点阵。 点阵。 点阵 1 点阵点必须无穷多； 点阵点必须无穷多； 每个点阵点必须处于相同的环境； 点阵必须具备的三个条件 2 每个点阵点必须处于相同的环境； 3 点阵在平移方向的周期必须相同。 点阵在平移方向的周期必须相同。
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
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晶体结构
点 阵
结构基元
+
直线点阵 所有点阵点分布在一条直线上。 所有点阵点分布在一个平面上。 所有点阵点分布在三维空间上。
点阵
平面点阵 空间点阵
a.一维周期性结构与直线点阵 等距离分布在一条直线上的无限点列。 一维周期性结构与直线点阵:等距离分布在一条直线上的无限点列 一维周期性结构与直线点阵 等距离分布在一条直线上的无限点列。 重复的大小和方向用一矢量 表示；Tm = ma (m = 0, ±1, ± 2 …) 所 重复的大小和方向用一矢量a表示； 矢量 表示 有矢量作用在图形上都能复原。 有矢量作用在图形上都能复原。
六方格子 a b a=b 。 a∧b=120
(3) 空间点阵与正当空间格子
正当空间格子的标准: 正当空间格子的标准: 1. 平行六面体 2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少
正当空间格子有7种形状， 种型式 正当空间格子有 种形状，14种型式 种形状
空间格子净含点阵点数： 空间格子净含点阵点数：
T0,T1,T2, …Tm …组成的集合，满足群的条件，构成∞阶平移群 组成的集合，满足群的条件，构成 阶平移群 组成的集合
a
a'
b.二维周期性结构与平面点阵 二维周期性结构与平面点阵: 二维周期性结构与平面点阵
平移群表示 Tm,n = ma + nb (m, n = 0,±1, ± 2 …) ±
固体物质按原子(分子、离子 在空间排列 固体物质按原子 分子、离子)在空间排列 分子 是否长程有序 是否长程有序
晶态结构示意图
按周期性规律重复排列
非 晶 态 结 构 示 意 图
晶体的基本特征
1)晶体能自发形成多面体外形(晶体的自范性 自范性) 自范性 F(晶面数 晶面数)+V(顶点数 顶点数)=E(晶棱数 2 晶棱数)+ 晶面数 顶点数 晶棱数 满足欧拉定理 欧拉定理
晶胞的两个基本要素
晶胞的大小和形状 晶胞 晶胞中各原子的坐标位置 用晶胞参数 晶胞参数来表示 晶胞参数 用分数坐标 分数坐标来表示 分数坐标
(1)晶胞参数 晶胞参数
向量a、 、 的长度及其间的夹角 向量 、b、c的长度及其间的夹角α
β
γ
(2)分数坐标 分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表 代表。 z就是分数坐 晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表。x、y、z就是分数坐 它们永远不会大于1。 标，它们永远不会大于 。
点阵 抽象的数学模型 (点) 点 (线) 线 (面) 面 格子(晶格 素格子 复格子) 晶格) 素格子,复格子 格子 晶格 (素格子 复格子
晶胞二要素: 晶胞二要素:
(1) 晶胞的大小和形状 (2) 晶胞的内容 种类、数量和分布 晶胞的大小和形状, 晶胞的内容—种类 种类、
晶胞的大小与形状由晶胞参数确定: 晶胞的大小与形状由晶胞参数确定 a, b, c, α=b^c, β=c^a, γ=a^b 原子得分布用分数坐标表示: 原子得分布用分数坐标表示 (x,y,z)
4) 晶体确定的熔点
5) 晶体的对称性
理想晶体的外形与其内部的微观结构是紧密相关的，都具 有特定的对称性，而且其对称性与性质的关系非常密切。
6)晶体对的X-射线衍射 晶体的周期性结构使它成为天然的三维光栅，周期与 晶体的周期性结构使它成为天然的三维光栅，周期与X 光波长相当, 能够对X光产生衍射 光产生衍射。 光波长相当, 能够对 光产生衍射。
正当平面格子有4种形状， 种型式 种型式（ 正当平面格子有 种形状，5种型式（其中矩形有带心与不带心 种形状 两种型式）： 两种型式）： 正方形格子 a b a＝b a∧b=90° b a≠b 。 a∧b=90 矩形格子 a 矩形带心格子 a b a≠b 。 a∧b=90 平行四边形格子 a b a≠b 。 a∧b≠120
连接直线点阵任意两个相邻阵点间的向量 称为素向量 连接直线点阵任意两个相邻阵点间的向量 ,称为素向量。 相邻阵点间的向量a,
(2) 平面点阵与正当平面格子
四边形顶点上 的阵点，对每个 单位的贡献为1/4 四边形边上的 阵点，对每个单 位的贡献为1/2 四边形内的阵 点，对每个单位 的贡献为1。
净含一个点阵点的平面格子是素格子， 净含一个点阵点的平面格子是素格子 ， 多于一个点阵点者是 复格子；平面素格子、复格子的取法都有无限多种。所以需 复格子； 平面素格子、 复格子的取法都有无限多种。 正当平面格子”标准。 要规定一种 “正当平面格子”标准。 正当平面格子的标准 1. 2. 3. 平行四边形 对称性尽可能高 含点阵点尽可能少
第七章 晶体学基础
Chapter 7 Introduction to Crystallography
1、 晶体结构的周期性和点阵 、 2、 晶体结构的对称性 3、 晶体的X-射线衍射 晶体的X 射线衍射
§7.1 晶体结构的周期性和点阵
一、 晶体结构的特征
晶 体 晶体：是原子、离子、分子等微粒在空间按一定规律周期 周期重复 晶体：是原子、离子、分子等微粒在空间按一定规律周期重复 地排列构成的固体物质。 其结构特征是规则排列: 在空间上“一定数量种类的微粒” 其结构特征是规则排列: 在空间上“一定数量种类的微粒”每 规则排列 重复出现, 周期性. 隔一定距离重复出现 即所谓晶体的周期性 隔一定距离重复出现,即所谓晶体的周期性. 无定形态物质(玻璃体、非晶态物质)内部排列杂乱无章，或仅 无定形态物质 玻璃体、非晶态物质 内部排列杂乱无章， 玻璃体 内部排列杂乱无章 仅是短程有序，它们不能通过对称性相关联。 仅是短程有序，它们不能通过对称性相关联。 无定形
我们把基本上能为同一点阵所贯穿的晶体叫做单晶( 我们把基本上能为同一点阵所贯穿的晶体叫做单晶( 体)。由许多小的单晶体按照不同的取向聚集而成的 晶体称为多晶。结构重复的周期很少的称为微晶。 晶体称为多晶。结构重复的周期很少的称为微晶。
具体的实际结构 晶体 (结构基元 结构基元) 结构基元 (晶棱 晶棱) 晶棱 (晶面 晶面) 晶面 (素晶胞，复晶胞 晶胞 素晶胞， 素晶胞 复晶胞)
二、 晶体的宏观对称性
晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称 为晶体的宏观对称性。 为晶体的宏观对称性。
晶体宏观对称性中只有8种独立的对称元素 晶体宏观对称性中只有 种独立的对称元素
三、晶体的微观对称性
(1)平移操作对应的点阵 平移操作对应的点阵 (2)螺旋旋转操作对应的螺旋轴 螺旋旋转操作对应的螺旋轴(screw axes) 螺旋旋转操作对应的螺旋轴
§7.2 晶体结构的对称性
一、 晶体对称性的两个定理
1. 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)必与一组直线点阵 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴) 平行, 除一重轴外, 对称轴必与一组平面点阵垂直; 平行, 除一重轴外, 对称轴必与一组平面点阵垂直; 晶体中的对 称面(镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行, 称面(镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行, 而与一组直线点阵 垂直。 垂直。 2. 轴次定理: 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)的轴次 轴次定理: 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴) 只有1、 、 、 、 。 只有 、2、3、4、6。
每个格子顶点 顶点位置的阵点为八个格子所公用，每个格子占1/8； 顶点 每个格子棱心 棱心位置的阵点为四个格子所公用，每个格子占1/4； 棱心 每个格子面心 面心位置的阵点为两个格子所公用，每个格子占1/2； 面心 每个格子内部 内部位置的阵点为该格子所独用，每个格子占1。 内部
三、晶胞
对于实际的三维晶体，将其恰当 恰当地划分成一个个完全等同 恰当 的平行六面体，叫晶胞。它代表了晶体结构的基本重复单位 基本重复单位。 晶胞。 基本重复单位 Warning: 所选的单位向量要能满足晶体的周期性 晶胞的划分有多种方式， 的前提下， 晶胞的划分有多种方式，通常满足对称性的前提下，选 的晶胞。 取体积最小的晶胞。