极限和导数公式
高中数学-公式-极限与导数
极限与导数一、极限1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→nn ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1(0<1<q ); 2、函数的极限：(1)当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim (2)当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 00: 3、函数的连续性：(1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；(2)若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； (3)若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4、连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；二、导数1、导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000； 2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(x f x x f y -∆+=∆ (2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; (3)取极限,得导数x y x f x ∆∆='→∆0lim )(; 3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4、导数的几何意义：曲线y ＝f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5、导数的四则运算法则：v u v u '±'='±)( ///[()()]()()f x g x f x g x ±=± v u v u uv '+'=')( []()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 推论：[]()()cf x cf x ''=(C 为常数)2)(v v u v u v u '-'=' []2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 6、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' 7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
高中数学-极限与导数
1、数列的极限：设有数列12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与常数a ，如果n 无限增大时，n x 无限接近于a ，则称常数a 是数列的{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或 ()n x a n →→∞.例如：1n a n=，则lim 0n n a →∞=；90.99n n a =⋅⋅⋅个，则lim 1n n a →∞=.2、数列的收敛与发散：若一个数列有极限，则称该数列是收敛的；否则称该数列是发散的. 定理：单调有界的数列必有极限. 例如：1n a n =收敛；()11n n a n=-⋅收敛；()1nn a =-发散；n a n =发散.3、函数的极限：设有函数()f x 和常数0,x A ，如果当x 无限接近于0x 时，()f x 无限接近于A ，则称常数A 是函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→. 注：（1）可以用+∞或-∞代替0x ，表示x 无限增大或无限减小时()f x 的极限， （2）函数的极限不一定都存在，例如()11x Qf x x Q ∈⎧=⎨-∉⎩.4、极限的运算：若()()00lim ,lim xx x x f x A g x B →→==，则 （1）()()()0lim xx f x g x A B →±=±； （2）()()0lim x x f x g x A B →⋅=⋅； （3）()()()0lim 0x xf x AB g x B→=≠. 推论：①()0lim x x cf x cA →=; ②()()0lim nn x xf x A →=.5、夹逼定理（1）数列中的夹逼定理：设*,n n n a b c n N ≤≤∈，且lim lim n n n n a c a →∞→∞==，那么lim n n b a →∞=. （2）函数中的夹逼定理：设函数,f g 与h 在点0x 的近旁（不包含0x ）满足不等式()()()f x h x g x ≤≤如果()()00lim lim x x x x f x g x A →→==，则()0lim x x h x A →=.6、两个重要极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【例1】（1）证明：数列{}n x ：22221111123n x n =+++⋅⋅⋅+是收敛的. （2）证明：数列{}n x ：1111123n x n=+++⋅⋅⋅+是发散的.（1）22022lim 232n n n n n →++++；（2）2222lim 232n n n n n →∞++++；（3）n ；（4）lim n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅；（5）()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.（1）3031lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（2）322lim 2121x x x x x →+∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；（3）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（4）1lim 12xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.一.定义1.函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，01,x x 是其定义域内不同的两点，记()()101000,x x x y y y f x x f x =-=-=+-，则当0x ≠时，商()()00f x x f x yxx+-=称作函数()y f x =在区间[]00,x x x +或[]00,x x x +的平均变化率.2.设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变()()00y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率()()00f x x f x yx x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作()()000lim x f x x f x l x ∆→+∆-=∆或当0x ∆→时，()()00f x x f x l x+∆-→∆.3.函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在点0x 处的导数，并记作()0f x '．这时又称()f x 在点0x 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.如果()f x 在开区间(),a b 内每一点x 都是可导的，则称()f x 在区间(),a b 可导．这样，对开区间(),a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(),a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数． 注：①x 可正可负.②不是所有函数在每一点都有导数，例如：()f x x =，()11x Qf x x Q∈⎧=⎨-∉⎩.【例4】用定义求下列函数的导函数：（1）()f x c =（c 为常数）；（2）()f x kx b =+（,k b 为常数）；（3）()sin f x x =；（4）()cos f x x =；（5）()ln f x x =.【例5】若函数()f x 在R 上可导，且()'21f =，则()()222lim2h f h f h h→+--=__________.【例6】己知()f x 在0x 处可导，则()()220003limh f x h f x h h→+--=____________．二.导数的运算法则1.()'''f g f g +=+.例如：()2sin '2cos x x x x +=+.2.()'''f g f g fg ⋅=+.例如：()()()22222'''213x x x x x x x x x x ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=.3.2'''f f g fg g g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例如：2sin cos sin 'x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【例7】求下列函数的导函数：（1）cos ln y x x =+；（2）sin y x x =；（3）1y x x=+；（4）tan y x =；（5）21xy x =+；（6）sin ln y x x x =⋅⋅.4.若函数()u g x =与函数()y f u =均可导，则复合函数()()y f g x =可导，且xu x y y u '''=⋅，或记成dy dy dudx du dx=⋅．【例8】求下列函数的导函数：（1）()()221f x x =+；（2）()2sin f x x =；（3）()()2ln 23f x x x =++；（4）()()sin f x a bx c =+；（5）()()22cos 253f x x x =++；（6）()()2sin sin f x x =.【例9】已知函数()()()()12100f x x x x =--⋅⋅⋅-，则()'1f =__________.【例10】证明：若f 是一个恒取正值的可导函数，则()()()()'ln 'f x f x f x =.【例11】求下列函数的导函数：（1）()af x x =，()0x >；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()()g x y f x =，()f x 在它的定义域上恒有()0f x >；（4）()()cos sin xf x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（5）()xx f x x =，()0x >5.设()y f x =在包含0x 的区间I 上连续且严格单调，如果它在0x 处可导，且()0'0f x ≠，那么它的反函数()1x f y -=在()00y f x =处可导，且()()()11''fy f x -=.【例12】求下列函数的导函数：（1）()af x x =；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()arcsin f x x =；（4）()arctan f x x =；6.高阶导数设函数f 在区间I 上可导，那么()()'f x x I ∈在I 上定义了一个函数'f ，称之为f 的导函数.如果'f 在区间I 上可导，那么'f 的导函数()''f ，记为''f 称为f 的二阶导函数.一般的，对任何正整数n N +∈，可以定义f 的导函数()n f .（Leibniz ）设函数f 与g 在区间I 上都有n 阶导数，那么乘积fg 在区间I 上也有n 阶导数，并且()()()()0nn n k kk n k fg C f g -==∑，这里()()00,f f g g ==.【例13】求下列函数的n 阶导函数：（1）()xf x e λ=；（2）()2cos f x x x =（3）()n xf x x e =；【习题1】求下列函数的极限 （1）22251lim 1n n n n →∞+++；（2）220251lim 1n n n n →+++；（3）1123lim 23n n n nn ++→∞++；（4）211lim 31x x x x→---+；（5）201cos lim x xx →-.【习题2】求下列函数的导数（1）5432()5432f x x x x x x =++++；（2）31()f x x =；（3）()ln f x x x =；（4）()3()2f x x =+；（5）1()f x x=；（6）()3()sin 2f x x =+；（7）()ax bf x cx d+=+；（8）()tan ln x f x a bx c dx =+；（9）sin ()xx xf x e =；（10）()f x【习题3】 求()()cos n x e x 和()()sin n x e x .【习题4】若()f x 是定义在R 上的偶函数，且()'0f 存在，则()'0f =___________.【习题5】设()02f x '=，则()()000limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【习题6】设函数()12sin sin2sin n f x a x a x a nx =++⋅⋅⋅+，其中12,,,,n a a a R n N +⋅⋅⋅∈∈. 已知对一切x R ∈，有()sin f x x ≤，证明：1221n a a na ++⋅⋅⋅+≤.。
专升本高等数学公式
专升本高等数学公式高等数学（专升本）是一门重要的学科，其中涉及了许多重要的公式和定理。
下面是一些在这门课程中常见的高等数学公式：一、极限1.基本极限公式：- 常数函数极限：lim(c) = c (c为常数)- 幂函数极限：lim(x^n) = a^n (n为常数)- 三角函数极限：lim(sin x) = sin a (a为常数)- 指数函数极限：lim(a^x) = a^a (a为常数)- 对数函数极限：lim(log_a x) = log_a a (a为常数)- 指数函数、对数函数极限：lim(a^x - 1) = ln a (a为正常数)- 指数函数、对数函数极限：lim(log_a (1 + x)) = ln a (a为正常数)2.无穷小与无穷大的性质：-无穷小的乘除性质-无穷小与有界量的乘除性质-无穷小的常数倍性质-无穷小与有界量的加减性质-无穷大的加减乘除性质-无穷小与无穷大的关系3.极限的运算法则：-四则运算法则-复合函数法则-两个无穷小量乘积的极限二、导数和微分1.基本导数公式：-变量常数的导数：d(c)=0(c为常数)- 幂函数导数：d(x^n) = nx^(n-1) (n为常数)- 三角函数导数：d(sin x) = cos x (d为常数)- 三角函数导数：d(cos x) = -sin x (d为常数)- 指数函数导数：d(a^x) = a^xlna (a为常数)- 对数函数导数：d(log_a x) = 1/(xlna) (a为常数，且x>0) 2.复合函数导数：-链式法则：d(f(g(x)))=f'(g(x))*g'(x)3.导数的法则：- 和差法则：d(u ± v) = du/dx ± dv/dx- 积法则：d(uv) = u * dv/dx + v * du/dx- 商法则：d(u/v) = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2三、不定积分1.基本积分公式：- 幂函数积分：∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n不等于-1) - 指数函数积分：∫(a^x)dx = (a^x)/(lna) + C (a不等于1) - 三角函数积分：∫sin x dx = -cos x + C- 三角函数积分：∫cos x dx = sin x + C- 三角函数积分：∫sec^2 x dx = tan x + C- 三角函数积分：∫csc^2 x dx = -cot x + C- 对数函数积分：∫(1/x)dx = ln，x， + C2.基本积分性质：-积分的线性性质-积分的分部积分法-积分的换元法-积分的替换法四、微分方程1.常微分方程：- 一阶线性齐次方程：dy/dx + p(x)y = 0- 一阶线性非齐次方程：dy/dx + p(x)y = f(x)-二阶齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=0-二阶非齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)2.常微分方程的解法：-变量分离法-齐次方程的解法-一阶线性非齐次方程的解法-二阶齐次方程的解法-二阶非齐次方程的解法这些公式和定理是高等数学（专升本）中的一部分，掌握了这些公式对于学习和理解高等数学非常重要。
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
导数与函数的极限与无穷小
导数与函数的极限与无穷小在微积分中，导数和函数的极限以及无穷小是非常重要的概念。
导数被定义为函数在某一点处的斜率，而函数的极限则描述了函数在某一点的趋势。
而无穷小则是描述对于较小的变化，函数值趋于零的一种特性。
本文将探讨导数与函数的极限以及无穷小的关系和性质。
一、导数的定义与性质导数在微积分中扮演着至关重要的角色。
导数的定义可以表示为函数$f(x)$在某一点$x=a$处的斜率。
数学上可以写作：\[f'(a)=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]其中，$f'$表示导数，$a$表示特定的点，$h$表示一个无穷小量，用以描述$x$的变化量。
导数具有以下几个性质：1. 若$f(x)$在点$a$处可导，则它在该点连续；2. 若$f(x)$在点$a$处连续，则它在该点可导；3. 若$f(x)$在点$a$处可导，则它在该点的导数即为该点的切线斜率；4. 若$f(x)$在点$a$处可导，则它在该点的导数是该点的线性近似。
二、函数的极限函数的极限可以被理解为当自变量趋近于某一特定值时，函数值的趋势。
数学上定义如下：\[\lim_{{x \to a}} f(x)=L\]其中，$L$表示某一实数，$a$表示特定的值，$x$表示自变量。
如果对于任意一个给定的正数$\varepsilon$，总可以找到某一正数$\delta$，使得当$|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$，那么就称函数$f(x)$在$x=a$处极限为$L$。
函数的极限有以下几个性质：1. 极限存在唯一，若极限存在，则极限值是唯一的；2. 有界性，若一个函数在某一点的极限存在，则在该点附近的函数值有界；3. 保号性，若函数在某一点的极限存在且不为零，则在该点附近的函数值同号。
三、无穷小与极限的关系无穷小是用来描述极限的一种特性，它是指当自变量趋近某一值时，函数值趋于零。
高等数学公式(极限与导数)
sin x x
arcsin x x
tan x x
arctan x x
1 cos x
x2 2
a x 1 x ln a
log a (1 x ) x ln a
n
ex 1 x ln(1 x) x
1 x 1 x n 1 x 1 x 2
(1 x ) 1 x
1 1 ， ln x x ln a x
sin x cos x
cos x sin x
1 cos 2 x
tan x sec2 x
cot x csc2 x
csc x csc x cot x
1 sin 2 x
参数方程求导公式 参数方程
dy y t x x t 确定的函数 y y ( x ) 的导数： dx x t y y t
dy ( )t d2y y(t ) x(t ) y(t ) x(t ) 二阶导数： dx 2 dx x n)e x
(
1 (n) an n! ) (1)n ax b (ax b) n 1
(
1 (n) n! ) (1)n x 1 ( x 1) n1
1 n! ( )( n ) (1)n n 1 x x
ln 1 x n 1n 1 n 1n! 1 x
sec x sec x tan x
反三角函数：
arcsin x
arctan x
(arc sec x )
双曲函数：
1 1 x2
1 1 x2
arccos x
arccot x
高数各知识点总结大一公式
高数各知识点总结大一公式在大一学习高等数学时，我们会接触到许多重要的知识点和公式。
这些知识点和公式在解决数学问题时起到了重要的作用。
下面将对这些知识点和公式进行总结，以便帮助大家更好地理解和应用它们。
一、导数与微分导数是研究曲线上一点的变化率的概念，它在物理、经济学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的导数和微分公式：1. 基本导数公式：常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
2. 幂函数求导：幂函数y=x^n (n≠0) 的导数公式为y'=nx^(n-1)。
3. 指数函数和对数函数求导：指数函数 y=a^x 的导数公式为y'=a^x * ln(a)，对数函数 y=log_a(x) 的导数公式为 y' = 1 / (x* ln(a))。
4. 三角函数求导：正弦函数 y=sin(x) 的导数公式为 y'=cos(x)，余弦函数 y=cos(x) 的导数公式为 y'=-sin(x)，正切函数 y=tan(x) 的导数公式为 y'=sec^2(x)。
二、积分与不定积分积分是导数的逆运算，它在计算面积、求曲线长度、求物体的质量、求函数的平均值等方面发挥着重要作用。
下面是一些常见的积分和不定积分公式：1. 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分公式。
2. 幂函数积分：幂函数y=x^n (n≠-1) 的不定积分公式为∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C。
3. 指数函数和对数函数积分：指数函数 y=a^x 的不定积分公式为∫a^x dx = (a^x) / ln(a) + C，对数函数 y=log_a(x) 的不定积分公式为∫1/(x * ln(a)) dx = log_a|x| + C。
4. 三角函数积分：正弦函数 y=sin(x) 的不定积分公式为∫sin(x) dx = -cos(x) + C，余弦函数 y=cos(x) 的不定积分公式为∫cos(x) dx = sin(x) + C，正切函数 y=tan(x) 的不定积分公式为∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C。
导数求极限的方法总结
导数求极限的方法总结导数是微积分中的一个重要概念，用于研究函数的变化率和函数的极值。
在求解极限时，导数是一种常用的方法。
本文将从导数的定义、导数与极限的关系以及导数求极限的具体步骤等方面进行详细介绍。
导数的定义是函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，在x点处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
其中，h表示自变量x的增量。
从这个定义可以看出，导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
导数与极限之间存在密切的联系。
在求解导数时，我们实际上是在求解一个极限。
通过求导，我们可以得到函数在每个点上的导数值，进而研究函数的变化情况。
而在求解极限时，我们通常可以利用导数的性质来简化问题，进而求得极限的值。
接下来，我们将具体介绍如何利用导数求解极限。
假设我们要求解函数f(x)在x=a处的极限lim(x→a) f(x)，其中a为常数。
首先，我们可以使用导数的定义，计算出函数f(x)在x=a处的导数f'(a)。
然后，我们将极限的问题转化为求导数的问题，即求解f'(a)。
最后，我们可以通过计算导数f'(a)的值来得到极限的值。
具体步骤如下：1. 计算函数f(x)在x=a处的导数f'(a)。
根据导数的定义，我们可以通过求解极限lim(h→0) (f(a+h) - f(a))/h来得到导数f'(a)的值。
2. 将极限的问题转化为求导数的问题。
我们可以将求解极限lim(x→a) f(x)转化为求解f'(a)的问题。
3. 计算导数f'(a)的值。
将常数a代入导数的表达式中，计算出f'(a)的值。
4. 得到极限的值。
将导数f'(a)的值代入极限的表达式中，计算出极限的值。
通过以上步骤，我们可以利用导数求解函数在某一点上的极限。
需要注意的是，在计算导数和求解极限时，我们需要考虑函数的定义域、连续性以及导数的存在性等条件。
高中数学导数与极限ppt课件
n
n 趋向于无穷
大时，an 的极限等于 a”． “n→∞”表示“n 趋向于无穷大时” ，即 n 的无限增 大的意思. lim an a 有时也记作：当 n→∞时，an→a. n
4.函数的极限 当 x→∞时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 取正值并且无 限增大时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a，就 说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f (x)的极限是 a，记 作xlim f (x)=a， （或 x→+∞时，f (x)→a） 当自变量 x 取负值并且无限增大时，如果函数 f (x)无 限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作xli m f (x)=a, （或 x→-∞时,f (x) →a）注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题 xli m f (x)= xli m f (x) =a
9．数学归纳法 数学归纳法的定义 在证明与自然数有关的数学命题时，以下列两步完 成： (1)当 n＝n0(n0 为确定的自然数)时，验证命题成立； (2)假设当 n＝k(k≥n0)时，命题成立， 则 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题成立． 这种证明数学命题的方法叫数学归纳法．
精品回扣练习
0
注：xl i mx f (x)= xl i mx f (x)=a
0 0
x x0
lim f (x)=a.并且可作为一个判
断函数在一点处有无极限的重要工具. 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限
x x 0
lim
f (x)≠ xl i mx f (x);②x→x0 时，f (x)→±∞,③x→x0 时,f (x)
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数的极限、导数、积分等概念和方法。
以下是微积分中常见的公式：1. 极限公式：- 函数f(x)当x趋近于a时的极限：lim[x→a]f(x)- 无穷小量的定义：lim[x→0]f(x)=02. 导数公式：- 导数的定义：f'(x)=lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h- 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)- 三角函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(tanx)'=sec^2x- 指数函数和对数函数的导数：(e^x)'=e^x，(lnx)'=1/x3. 积分公式：- 不定积分的定义：∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)为f(x)的一个原函数，C为常数- 基本积分法则：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx- 幂函数的不定积分：∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n不等于-1- 三角函数的不定积分：∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C - 指数函数和对数函数的不定积分：∫e^x dx=e^x+C，∫1/xdx=ln|x|+C4. 微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，通解为y=e^(-∫p(x)dx)∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx- 欧拉-拉格朗日方程：d/dx(∂L/∂(dy/dx))-∂L/∂y=0，其中L为拉格朗日量5. 泰勒展开公式：- 函数f(x)在x=a处的n阶泰勒展开：f(x)=f(a)+(f'(a)(x-a))/1!+(f''(a)(x-a)^2)/2!+...+(f^n(a)(x-a)^n)/n!，其中f^n(a)为f(x)的n阶导数在x=a处的值这些公式只是微积分中的一部分，它们在解决函数的性质、曲线的切线与极值、曲线下面积等问题中发挥着重要的作用。
张宇高等数学公式大全
张宇高等数学公式大全1.极限与导数公式：-极限的四则运算法则：- 乘法法则：lim(f(x)g(x)) = lim(f(x)) * lim(g(x))- 除法法则：lim(f(x)/g(x))= lim(f(x))/lim(g(x))-基本导数公式：- 常数导数：d(c) / dx = 0 (c为常数)- 幂函数导数：d(x^n) / dx = nx^(n-1) (n为实数)- 指数函数导数：d(a^x) / dx = ln(a) * a^x (a为常数且a>0)- 对数函数导数：d(loga(x)) / dx = 1 / (x * ln(a)) (a为常数且a>0)2.微分与积分公式：-基本微分公式：- 基本微分：dy / dx = f'(x) (f(x)为可导函数)- 链式法则：d(u(v)) / dx = (du / dv) * (dv / dx)-基本积分公式：- 基本积分：∫f(x) dx = F(x) + C (F(x)为f(x)的原函数，C为常数)- 替换法则：∫f(u) * du = ∫f(x) dx (u = g(x))- 分部积分法：∫u * dv = u * v - ∫v * du (u和v均为可导函数)3.微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy / dx + P(x) * y = Q(x) (可分离变量法、线性微分方程通解公式)- 二阶线性齐次微分方程：d^2y / dx^2 + P(x) * dy / dx + Q(x)* y = 0 (特征方程法、常系数齐次线性微分方程通解公式)- 二阶线性非齐次微分方程：d^2y / dx^2 + P(x) * dy / dx + Q(x) * y = f(x) (常数变异法、待定系数法)4.级数公式：-级数收敛性判定：- 正项级数收敛性：若an为非负数项，则∑an收敛当且仅当an满足极限lim(an) = 0- 比较判别法：若an为非负数项，bn为正数项，则当0≤lim(an/bn)＜∞时，若∑bn收敛，则∑an也收敛；若lim(an/bn)=∞时，若∑bn发散，则∑an也发散-常见级数求和公式：-等差数列求和：∑an = (a1 + an) * n / 2-等比数列求和：∑an = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) (q ≠ 1)-幂函数级数求和：∑x^n=1/(1-x)(，x，<1)5.多元函数公式：- 偏导数公式：偏导数d(f(x1, x2, ..., xn)) / dx1 = ∂f / ∂x1 (f为多元函数)- 链式法则：d(f(g(x, y), h(x, y))) / dx = (∂f / ∂g) * (∂g / ∂x) + (∂f / ∂h) * (∂h / ∂x) (f, g, h为多元函数)。
数学导数与极限公式整理
数学导数与极限公式整理数学是一门抽象而又重要的学科，其中导数与极限是数学分析中的重要概念和工具。
导数描述了函数在某一点处的变化率，而极限则描述了函数在趋近某一点时的特性。
为了更好地理解与应用数学导数与极限，下面整理了相关公式。
一、导数公式1. 基本导数公式：（1）常数导数公式若f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。
（2）幂函数导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
（3）指数函数导数公式若f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，则f'(x) = a^x * ln(a)。
（4）对数函数导数公式若f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
（5）三角函数导数公式若f(x)为sin(x), cos(x), tan(x)中的一种，则f'(x) = cos(x), -sin(x), sec^2(x)。
2. 基本导数运算法则：（1）和差法则若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
（2）常数倍法则若f(x) = c * u(x)，其中c为常数，则f'(x) = c * u'(x)。
（3）乘法法则若f(x) = u(x) * v(x)，则f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。
（4）除法法则若f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v^2(x)，其中v(x) ≠ 0。
二、极限公式1. 基本极限公式：（1）常数极限公式lim (c) = c，其中c为常数。
（2）幂函数极限公式当n为正整数时，lim (x^n) = a^n，其中a为实数。
第64讲 极限和导数
极限和导数相关知识1.导数的有关概念。
(1)定义：函数y=f(x)的导数f /(x)，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00/。
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。
(3)几何意义：函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率。
2． 求导的方法： (1)常用的导数公式：C /=0（C 为常数）； (x m )/=mx m-1(m ∈Q); (sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (e x )/=e x ; (a x )/=a xlnax x 1)(ln /=; e xx a a log 1)(log /=.(2)两个函数的四则运算的导数：).0(;)(;)(2/////////≠-=⎪⎭⎫⎝⎛+=±=±v v uv v u v u uv v u uv v u v u(3)复合函数的导数：x u xu y y ///⋅=3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f /(x)>0，则f(x)为增函数；如果f /(x)<0，则f(x)为减函数。
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f(x)<f(x 0)（或f(x)>f(x 0)）,我们就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
A 类例题例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )说明 本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型 解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错例2．观察1)(-='n n nx x ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
导数的极限与导数的定义法则运用
导数的极限与导数的定义法则运用一、导数的极限导数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的导数值也趋近于一个特定值的现象。
导数的极限可以通过极限的定义法则进行计算。
在导数的极限中，我们常用到以下几个重要的极限公式：1. 常数函数的导数: 若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数: 若f(x)=x^n（n为常数），则f'(x)=n·x^(n-1)。
3. 指数函数的导数: 若f(x)=a^x（a>0，且a≠1），则f'(x)=ln(a)·a^x。
4. 对数函数的导数: 若f(x)=log_a(x)（a>0，且a≠1），则f'(x)=1/(x·ln(a))。
5. 三角函数的导数: 若f(x)=sin(x)、f(x)=cos(x)、f(x)=tan(x)，则f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)、f'(x)=1/cos^2(x)。
根据以上极限公式，我们可以得出导数的一些基本规律和运算法则，下面将详细说明。
二、导数的定义法则导数的定义法则可以帮助我们计算导数，并对函数的性质进行研究。
以下是导数的定义法则的运用方法：1. 常数倍法则：若y=c·f(x)（c为常数），则y' = c·f'(x)。
2. 和差法则：若y=f(x)±g(x)，则y' = f'(x)±g'(x)。
3. 积法则：若y=f(x)·g(x)，则y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)。
4. 商法则：若y=f(x)/g(x)（g(x)≠0），则y' = (f'(x)·g(x) -f(x)·g'(x))/[g(x)]^2。
导数的两种定义公式法
导数的两种定义公式法【原创实用版】目录一、导数的定义与概念二、导数的两种定义公式1.极限定义公式2.导数的计算公式三、导数的性质与应用正文一、导数的定义与概念导数是微积分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点变化率的数量级。
简单来说，导数就是一个数，它描述了函数在某一点的切线斜率。
在数学中，导数可以用以下符号来表示：f"(x) 或者 dy/dx。
其中，f 表示函数，x 表示自变量，y 表示因变量。
导数的求解需要用到微积分的概念和方法。
二、导数的两种定义公式导数有两种定义公式，分别是极限定义公式和导数的计算公式。
1.极限定义公式极限定义公式是导数的基本定义，它描述了函数在某一点的导数等于函数在该点的切线斜率。
具体来说，导数 f"(x) 的极限定义公式可以表示为：f"(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim 表示极限，h 表示自变量的增量，f(x) 表示函数在 x 点的函数值，f(x+h) 表示函数在 x+h 点的函数值。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限就是函数在该点的导数。
2.导数的计算公式导数的计算公式是基于极限定义公式推导出来的，它可以帮助我们更方便地求解导数。
导数的计算公式如下：f"(x) = [f(x+h) - f(x)] / h需要注意的是，在计算导数时，我们通常会忽略 h 的影响，即将 h 趋近于 0。
三、导数的性质与应用导数是微积分学中的一个重要概念，它具有很多性质和应用。
导数的性质包括可导性、连续性、可微分性等。
导数的应用非常广泛，包括求解函数的极值、曲线的拐点、速度与加速度等。
专升本数学公式汇总
专升本高等数学公式一、求极限方法：1、当x 趋于常数0x 时的极限：02200x x lim(ax bx c)ax bx c →++=++；00000ax bcx d ax b limcx d cx d x x ++≠+−−−−−−→++→当； 00000cx d ,ax b ax b lim cx dx x +=+≠+−−−−−−−−−−−→∞+→当但； 2220020ax bx f cx dx e ,ax bx f lim x x cx dx e++++=++=−−−−−−−−−−−−−−→→++当且可以约去公因式后再求解。
2、当x 趋于常数∞时的极限：3、可以使用洛必达发则：0f (x)f (x)x f (x)g(x)lim lim g(x)g (x)x x '→∞→∞−−−−−−−−−−−−−−−→'→∞→∞当时，与都或；对0x →也同样成立。
而且，只要满足条件，洛必达发则可以多次使用。
二、求导公式：1、0c '=；2、1n n (x )nx -'=；3、x x (a )a lnx '=；4、x x (e )e '=；5、1(log x)a xlna'=6、1(ln x)x '=；7、(sin x)cos x '=；8、(cos x)sin x '=-；9、2(tan x)sec x '=10、2(cot x)csc x '=-；11、(sec x)sec xtan x '=；12、(cscx)cscxcot x '=- 13、(arcsin x)'=；14、(arccos x)'=；15、211(arctan x)x '=+；16、211(arccot x)x'=-+；17、(shx)chx '=；18、(chx)shx '=；19、2(thx)ch x -'=；20、(arshx)'=；21、(archx)'=；22、211(arthx)x'=-； 三、求导法则：(以下的5、7、8三点供高等数学本科的学员参阅) 1、(u(x)v(x))u (x)v (x)'''±=±；2、(kv(x))kv (x)''=； 3、(u(x)v(x))v(x)u (x)v (x)u(x)'''⋅=+；4、2u(x)u (x)v(x)v (x)u(x)()v(x)v (x)''-'=4、复合函数y f[]ϕ=（x ）的求导：f []=f (u)u (x),u=(x)ϕϕ'''（x ）其中。
第一第二重要极限公式
第一第二重要极限公式
重要极限公式是数学中的重要概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用。
通过这些公式，我们可以研究函数在某些特定点附近的行为，从而更好地理解函数的性质和趋势。
第一重要极限公式是极限的定义公式，它用于计算函数在某一点的极限。
它的数学表达式为：
lim(x→a)f(x) = L
在这个公式中，lim表示极限，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x点的取值，L表示函数在x趋向于a时的极限值。
这个公式告诉我们，当x无限接近a时，函数f(x)的取值会趋向于L。
第二重要极限公式是求导的定义公式，它用于计算函数在某一点的导数。
它的数学表达式为：
f'(a) = lim(x→a)(f(x) - f(a))/(x - a)
在这个公式中，f'(a)表示函数f在点a处的导数，lim表示极限，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x点的取值，f(a)表示函数f 在a点的取值。
这个公式告诉我们，当x无限接近a时，函数f(x)的斜率会趋向于f'(a)。
这两个极限公式是数学中非常重要的工具，它们可以帮助我们更好地理解函数的性质和趋势。
通过这些公式，我们可以计算函数在某一点的极限和导数，从而进一步研究函数的变化规律和特性。
无论
是在微积分、数值计算还是其他数学领域中，这两个公式都有着广泛的应用。
重要极限公式是数学中的重要工具，它们可以帮助我们更好地理解函数的性质和趋势。
通过这些公式，我们可以计算函数在某一点的极限和导数，从而进一步研究函数的变化规律和特性。
它们在数学研究和实际应用中都发挥着重要的作用。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全高等数学是大学数学学科中的一门重要课程，也是理工科学生必须掌握的基础知识。
在学习高等数学的过程中，数学公式是必不可少的工具。
本文将为大家提供一份大学高等数学公式大全，供学生们参考使用。
一、极限与连续1.1 极限的定义：$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$1.2 极限的四则运算：$$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$1.3 极限的乘法法则：$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$1.4 极限的除法法则：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}, \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$1.5 极限的复合函数法则：$$\lim_{x \to a} f[g(x)] = f[\lim_{x \to a} g(x)]$$1.6 常见的极限公式：- 幂函数的极限：$$\lim_{x \to a} x^k = a^k$$- 自然对数函数的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$- 正弦函数的极限：$$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$$二、导数与微分2.1 导数的定义：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$2.2 常见函数的导数：- 幂函数的导数：$$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$- 指数函数的导数：$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$- 三角函数的导数：$$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x), \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$$2.3 导数的四则运算：- 和差规则：$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$- 积法则：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$- 商法则：$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{[g(x)]^2}, g(x) \neq 0$$2.4 高阶导数：$$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x), f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} f(x), \ldots$$三、定积分3.1 定积分的定义：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$3.2 定积分的性质：- 线性性质：$$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$- 积分与常数的乘积：$$\int_a^b kf(x) dx = k\int_a^b f(x) dx$$3.3 常见函数的定积分：- 幂函数的定积分：$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$- 正弦函数的定积分：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 指数函数的定积分：$$\int e^x dx = e^x + C$$四、级数4.1 等比级数的求和：$$S = \frac{a}{1-r}, |r|<1$$4.2 幂级数的收敛半径：$$R = \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 4.3 常见级数：- 调和级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 几何级数：$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$五、常微分方程5.1 一阶线性常微分方程：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$5.2 二阶常系数齐次线性微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$5.3 常见的解法：- 变量分离法- 齐次线性微分方程的特征方程法- 二阶线性微分方程的常数变易法以上仅为部分高等数学公式的示例，实际上高等数学的公式非常丰富多样。
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极限和导数公式
极限
1．特殊数列的极限
（1）0||1lim 11||11n n q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.
（2）1101100()lim ()()k k k k t t t n t t k
k t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩ 不存在 .
（3）()111lim
11n n a q a S q q →∞-==--（S 无穷等比数列}{
11n a q - (||1q <)的和）. 2．函数的极限定理
0lim ()x x f x a →=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.
3．函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：
（1）()()()g x f x h x ≤≤;
（2）
00lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）, 则0lim ()x x f x a →=.
本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.
4．几个常用极限
（1）1lim
0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，0011lim
x x x x →=. 5．两个重要的极限
（1）0sin lim
1x x x →=； （2）1lim 1x
x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).
6．函数极限的四则运算法则
若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则
(1)
()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦； (2)()()0
lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0lim 0x x f x a b g x b →=≠.
7．数列极限的四则运算法则
若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则
(1)()lim n n n a b a b →∞
±=±； (2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅； (3)()lim
0n n n a a b b b →∞=≠ (4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞
→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).
导数 8．)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）
000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =∆→∆→+∆-∆''
===∆∆.
9．瞬时速度 00()()()lim
lim t t s s t t s t s t t t υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.
10．瞬时加速度 00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.
11．)(x f 在),(b a 的导数
()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆.
12．函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在
))(,(00x f x P 处的切线的斜率
)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
13．几种常见函数的导数
(1) 0='C （C 为常数）.
(2) '1()()n n
x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='.
(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =
'；e a x x a log 1)(log ='.
(6) x x e e =')(;
a a a x x ln )(='. 14．导数的运算法则
（1）'''()u v u v ±=±.
（2）'''()uv u v uv =+.
（3）''
'2()(0)u u v uv v v v -=≠.
15．复合函数的求导法则
设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x
u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.
16．常用的近似计算公式（当x 充分小时） (1)x x 2111+
≈+;x n x n 111+≈+；
(2)(1)1()x x R α
αα+≈+∈； x x -≈+111； (3)x e x +≈1；
(4)x x l n ≈+)1(；
(5)x x ≈sin （x 为弧度）；
(6)x x ≈tan （x 为弧度）；
(7)x x ≈arctan （x 为弧度）
17．判别)(0x f 是极大（小）值的方法
当函数)(x f 在点0x 处连续时，
（1）如果在
0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在
0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.。