极限和导数公式

极限和导数公式

极限

1．特殊数列的极限

（1）0||1lim 11||11n n q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.

（2）1101100()lim ()()k k k k t t t n t t k

k t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩ 不存在 .

（3）()111lim

11n n a q a S q q →∞-==--（S 无穷等比数列}{

11n a q - (||1q <)的和）. 2．函数的极限定理

0lim ()x x f x a →=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.

3．函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

（1）()()()g x f x h x ≤≤;

（2）

00lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）, 则0lim ()x x f x a →=.

本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.

4．几个常用极限

（1）1lim

0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，0011lim

x x x x →=. 5．两个重要的极限

（1）0sin lim

1x x x →=； （2）1lim 1x

x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).

6．函数极限的四则运算法则

若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则

(1)

()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦； (2)()()0

lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0lim 0x x f x a b g x b →=≠.

7．数列极限的四则运算法则

若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则

(1)()lim n n n a b a b →∞

±=±； (2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅； (3)()lim

0n n n a a b b b →∞=≠ (4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞

→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).

导数 8．)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）

000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =∆→∆→+∆-∆''

===∆∆.

9．瞬时速度 00()()()lim

lim t t s s t t s t s t t t υ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.

10．瞬时加速度 00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.

11．)(x f 在),(b a 的导数

()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆.

12．函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在

))(,(00x f x P 处的切线的斜率

)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

13．几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数）.

(2) '1()()n n

x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='.

(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =

'；e a x x a log 1)(log ='.

(6) x x e e =')(;

a a a x x ln )(='. 14．导数的运算法则

（1）'''()u v u v ±=±.

（2）'''()uv u v uv =+.

（3）''

'2()(0)u u v uv v v v -=≠.

15．复合函数的求导法则

设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x

u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.

16．常用的近似计算公式（当x 充分小时） (1)x x 2111+

≈+;x n x n 111+≈+；

(2)(1)1()x x R α

αα+≈+∈； x x -≈+111； (3)x e x +≈1；

(4)x x l n ≈+)1(；

(5)x x ≈sin （x 为弧度）；

(6)x x ≈tan （x 为弧度）；

(7)x x ≈arctan （x 为弧度）

17．判别)(0x f 是极大（小）值的方法

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在

0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在

0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.