08图论c_欧拉图和哈密尔顿图
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图论讲义第4章-欧拉图与hamilton图
第四章 Euler 图和 Hamilton 图
§4.1 Euler 图
一、基本概念
通常认为，图论见诸于文献的起始研究之一是瑞士数学家欧拉关于七桥问题的研究。在 18 世纪普鲁士的哥尼斯堡城（Königsberg），普雷格尔（Pregel）河穿城流过，河中有两个河 心岛，有七座桥将小岛与河岸连接起来（如下图）。有市民尝试从河岸或岛屿的任一陆地点 出发，经过每座桥一次且仅一次回到出发点，但一直未能获得成功。人们怀疑，这样的走法 是否存在？这便是七桥问题。
⇒
哥尼斯堡七桥
图1
1741 年，欧拉经过对七桥问题的研究，发表了第一篇有关图论的论文，从而使七桥问 题闻名于世。欧拉将四块陆地用平面上四个点来表示，两块陆地间有一座桥相连，就在两个 相应的点间连一条边，最终获得如图 1 所示的一个图 G。于是七桥问题转化为一个图论问题： 图 G 中从任一顶点出发，经过每条边恰好一次回到出发点，是否可能？
若Wn 不是 G 的 Euler 闭迹，设 S = { Gn 中度>0 的所有顶点}。则 S ≠ φ （因Wn 不是 G 的 Euler 闭迹，有边不在Wn 上），且Wn 上有 S 中的点（否则 Gn 中Wn 上的点都是 Gn 的孤立 点，这与 G 是 Euler 图（从而连通）矛盾），但 vn ∈ S = V (G) \ S 。设 m 是Wn 上使得 vm ∈ S 而 vm+1 ∈ S 的最大整数。因Wn 终止于 S = V (G) \ S ，故 em+1 = vmvm+1 是 Gm 中 [S, S ] 的仅 有的一条边，因而是 Gm 的一条割边。
充分性：设 G 的每条边含在奇数个圈上，希望证明 G 的每个顶点都是偶数度的。任取
顶点 v， 设 v 关联的边共有 k 条，分别为 e1, e2 , , ek 。与这些边相应，构造一个有重边的 图 H 如下：顶点集 H = {u1, u2 , , uk } ，对于每个 ui ，相应于每个既含有 ei 也含有某个 e j 的 圈，在 ui 和 u j 之间连一条边。
§4.1 Euler 图
一、基本概念
通常认为，图论见诸于文献的起始研究之一是瑞士数学家欧拉关于七桥问题的研究。在 18 世纪普鲁士的哥尼斯堡城（Königsberg），普雷格尔（Pregel）河穿城流过，河中有两个河 心岛，有七座桥将小岛与河岸连接起来（如下图）。有市民尝试从河岸或岛屿的任一陆地点 出发，经过每座桥一次且仅一次回到出发点，但一直未能获得成功。人们怀疑，这样的走法 是否存在？这便是七桥问题。
⇒
哥尼斯堡七桥
图1
1741 年，欧拉经过对七桥问题的研究，发表了第一篇有关图论的论文，从而使七桥问 题闻名于世。欧拉将四块陆地用平面上四个点来表示，两块陆地间有一座桥相连，就在两个 相应的点间连一条边，最终获得如图 1 所示的一个图 G。于是七桥问题转化为一个图论问题： 图 G 中从任一顶点出发，经过每条边恰好一次回到出发点，是否可能？
若Wn 不是 G 的 Euler 闭迹，设 S = { Gn 中度>0 的所有顶点}。则 S ≠ φ （因Wn 不是 G 的 Euler 闭迹，有边不在Wn 上），且Wn 上有 S 中的点（否则 Gn 中Wn 上的点都是 Gn 的孤立 点，这与 G 是 Euler 图（从而连通）矛盾），但 vn ∈ S = V (G) \ S 。设 m 是Wn 上使得 vm ∈ S 而 vm+1 ∈ S 的最大整数。因Wn 终止于 S = V (G) \ S ，故 em+1 = vmvm+1 是 Gm 中 [S, S ] 的仅 有的一条边，因而是 Gm 的一条割边。
充分性：设 G 的每条边含在奇数个圈上，希望证明 G 的每个顶点都是偶数度的。任取
顶点 v， 设 v 关联的边共有 k 条，分别为 e1, e2 , , ek 。与这些边相应，构造一个有重边的 图 H 如下：顶点集 H = {u1, u2 , , uk } ，对于每个 ui ，相应于每个既含有 ei 也含有某个 e j 的 圈，在 ui 和 u j 之间连一条边。
8.欧拉图与哈密顿图
所有圈遍历依次，显然符合v0是可以任意遍历的条件，但v0所不在的圈上的边没有经过
，
这与v0是可以任意遍历的相矛盾。
综合4.1.1和4.1.2，如果v0是任意行遍的，则G-v0中无圈。
2)充分性：4.2 证明如果G-v0中无圈，则v0是任意行遍的：
显然v0是G中所有圈的共同交点。
4.2.1 如果G是由1个圈组成，从v0出发，行遍这个圈。此时G上所有的边被遍历，形成一
(V v11,v12,...,v1n,V,v21,v22,...v2nV,v3.....,V)其实很容易证明，割点两侧的圈都
是连通的，且度数都为偶数,必要性得证
充分性
每个块都是欧拉图, 都是圈 其中得割点是V1,V2...,Vn，那么 V1,v11,v12,...,V2,v
G上哈密尔顿回路，G是哈密尔顿图。
11.，这道题又要画图,所以略，构成图的模型：把每个人看作顶点，如果两个人都会某种
语言，则这两个顶点之间连边！，所以能画出一个图，然后再在这个图上找出一条哈密顿
回路即可！
我找到 b a c e g f d b
12．今有2k个人去完成k项任务，已知每个人均能与另外2k-1个人中的k个人中的任何一个
那么内圈、外圈中分别还有1个点没有连接，根据回路的性质，外圈必须有2条1类边分别
和外圈的该点连接成一个通路，该通路的两端分别连接பைடு நூலகம்4条3类边中2条在外圈的端点，
显然此时至少有2条3类边不可能在回路中。因此不可能存在4条3类边的回路。
综合8.1和8.2，彼得森图不是哈密尔顿图。
9.设G为n阶无向简单图，边数m=1/2(n-1)*(n-2)+2,证明G为哈密顿图，再举例说明，当
，
这与v0是可以任意遍历的相矛盾。
综合4.1.1和4.1.2，如果v0是任意行遍的，则G-v0中无圈。
2)充分性：4.2 证明如果G-v0中无圈，则v0是任意行遍的：
显然v0是G中所有圈的共同交点。
4.2.1 如果G是由1个圈组成，从v0出发，行遍这个圈。此时G上所有的边被遍历，形成一
(V v11,v12,...,v1n,V,v21,v22,...v2nV,v3.....,V)其实很容易证明，割点两侧的圈都
是连通的，且度数都为偶数,必要性得证
充分性
每个块都是欧拉图, 都是圈 其中得割点是V1,V2...,Vn，那么 V1,v11,v12,...,V2,v
G上哈密尔顿回路，G是哈密尔顿图。
11.，这道题又要画图,所以略，构成图的模型：把每个人看作顶点，如果两个人都会某种
语言，则这两个顶点之间连边！，所以能画出一个图，然后再在这个图上找出一条哈密顿
回路即可！
我找到 b a c e g f d b
12．今有2k个人去完成k项任务，已知每个人均能与另外2k-1个人中的k个人中的任何一个
那么内圈、外圈中分别还有1个点没有连接，根据回路的性质，外圈必须有2条1类边分别
和外圈的该点连接成一个通路，该通路的两端分别连接பைடு நூலகம்4条3类边中2条在外圈的端点，
显然此时至少有2条3类边不可能在回路中。因此不可能存在4条3类边的回路。
综合8.1和8.2，彼得森图不是哈密尔顿图。
9.设G为n阶无向简单图，边数m=1/2(n-1)*(n-2)+2,证明G为哈密顿图，再举例说明，当
欧拉图和哈密尔顿图
（b）中去掉结点u1和u2以后，p（G–{ u1，u2}）=3， 由此 可以判定，这两个图都不是哈密尔顿图。
用正十二面体代表地球。游戏题的内容是：沿着正十二面体的棱寻
找一条旅行路线，通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是 Hamilton回路问题。
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。 具有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次 且仅一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈 密尔顿图。
解一
a
a：说英语； b：说英语或西班牙语； C: 说英语,意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
b
d
c
e g
f
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边 (即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为 G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以 G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
欧拉图算法
int main() { memset(g,0,sizeof(g)); cin >> n >> e; for (i = 1; i <= e; i++) { cin >> x >> y; g[y][x] = g[x][y] = 1; du[x]++; //统计每个点的度 du[y]++; } start = 1; // 如果有奇点，就从奇点开始寻找，这样找到的就是 for (i = 1; i <= n; i++) // 欧拉路。没有奇点就从任意点开始， if (du[i]%2 == 1) // 这样找到的就是欧拉回路。(因为每一个点都是偶点) start = i; circuitpos = 0; find_circuit(start); for (i = 1; i <= circuitpos; i++) cout << circuit[i] << ' '; cout << endl; return 0; }
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
有欧拉通路
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件
网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
离散数学欧拉图与哈密尔顿图ppt课件
例5 设G是非平凡的欧拉图，且v ∈V(G)。证明：G 的每条具有起点v的迹都能扩展成G的欧拉环游当且仅当 G-v是森林。
证明：“必要性”
若不然，则G-v有圈C。 考虑G1=G-E(G)的含有顶点v的分支H。
由于G是非平凡欧拉图，所以G1的每个顶点度数为偶数， 从而，H是欧拉图。
12
1
0.5 n 0
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
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1
0.5 n 0
如果邮路图本身是非欧拉图，那么为得到行走环游，必须重 复行走一些街道。于是问题转化为如何重复行走街道？
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、管梅谷的结论
定理2 若W是图G中一条包含所有边的闭途径，则W在 这样的闭途径中具有最短的长度当且仅当下列两个条件被 满足：
在vi与vi+k间连新边ei得图G*（1≦i≦k).则G*是欧拉图， 因此，由Fleury算法得欧拉环游C.
在C中删去ei （1≦i≦k).得k条边不重的迹Qi （1≦i≦k):
E(G) E(Q1) E(Q2 )
E(Qk )
图论中的哈密顿图与欧拉图
图论中的哈密顿图与欧拉图图论是数学的一个分支，研究图的性质及其应用。
在图论中，哈密顿图和欧拉图是两个重要的概念。
本文将介绍哈密顿图和欧拉图的定义、性质和应用，并探讨它们在现实生活中的实际应用。
一、哈密顿图的定义与性质哈密顿图是指一种包含了图中所有顶点的路径的图。
具体来说，哈密顿图是一个简单图，其中任意两个不同的顶点之间都存在一条路径，使得该路径经过图中的每个顶点且不重复。
哈密顿图具有以下的性质：1. 哈密顿图是一个连通图，即图中的每两个顶点之间都存在通路。
2. 图中每个顶点都是度数大于等于2的点，即每个顶点都至少连接着两条边。
二、欧拉图的定义与性质欧拉图是指一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
具体来说，欧拉图是一个简单图，其中经过图中每条边且路径不重复的路径称为欧拉路径，而形成闭合回路的欧拉路径称为欧拉回路。
欧拉图具有以下的性质：1. 每个顶点的度数都是偶数，即每个顶点都连接着偶数条边。
2. 欧拉图中至少有两个连通分量，即图中有至少两个不同的部分可以从一部分通过路径到达另一部分。
三、哈密顿图与欧拉图的应用哈密顿图和欧拉图在实际生活中有广泛的应用，下面将分别介绍它们的应用领域。
1. 哈密顿图的应用：哈密顿图在旅行商问题中有着重要的应用。
旅行商问题是指一个旅行商要依次拜访若干个城市，然后返回起始城市，而要求找到一条最短的路径使得每个城市都被访问一次。
哈密顿图可以解决这个问题，通过寻找一条哈密顿路径来确定最短的路径。
2. 欧拉图的应用：欧拉图在电路设计和网络规划中发挥着重要的作用。
在电路设计中，欧拉图可以帮助我们确定如何安排电线的布线以最大程度地减少电线的长度和复杂度。
在网络规划中，欧拉图可以用于确定如何正确地连接不同的网络节点以实现高效的信息传输。
四、结论哈密顿图和欧拉图是图论中的两个重要概念。
哈密顿图是一种包含了图中所有顶点的路径的图，而欧拉图是一种可以通过图中每条边恰好一次的路径来穿越图的图。
《离散数学》 第八章 欧拉图与哈密尔顿图
1 10 1
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用
欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
现在构造一个有向图G，G有8个顶点，每个顶点分别表示 000～111的一个二进制数。设α i∈{0，1}，从顶点α 1α 2α 3 引出两条有向边，其终点分别为α 2α 30和α 2α 31，这两条边 分别为α 1α 2α 30以及α 1α 2α 31，按照此种方法，对于八个 顶点的有向图共有16条边，在这个图的任意一条通路中，其 邻接的边必是α iα jα kα t和α jα kα tα s的形式，即前一条有 向边的后3位与后一条有向边的前3位相同。因为图中的16条 边被记成不同的4位二进制信息，即对应于图中的一条欧拉 回路。
推论 无向连通图中顶点与间存在欧拉通路，当且仅当中 与的度数为奇数，而其他顶点的度数为偶数。
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
b
a
d
c
图8.1-2
v1
v2
v1
v3
v4
v5
v6
v2
(a)
图8.1-3
v4
v3 (b)
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.3 有向图是欧拉图，当且仅当是强连通的，且 中每个顶点的入度都等于出度。
8.2 哈密尔顿图
8.2.1 哈密尔顿图
在图8.2-2中，（a）、（b）中存在哈密尔顿回路，是哈密 尔顿图，（c）中存在哈密尔顿通路，但不存在哈密尔顿回 路，是半哈密尔顿图，（d）中既无哈密尔顿回路，也无哈 密尔顿通路，不是哈密尔顿图。
（ a）
（ b）
（ c）
（ d）
8.2 哈密尔顿图
8.2.2 哈密尔顿图的判定
欧拉图和哈密而顿图
15.1 欧拉图 欧拉(1707-1783)：瑞士著名的数学家。13岁进入 欧拉 ：瑞士著名的数学家。 岁进入 巴塞尔大学， 岁取得哲学硕士学位 岁取得哲学硕士学位。 巴塞尔大学，16岁取得哲学硕士学位。1736年， 年 他证明了欧拉定理， 他证明了欧拉定理，并解决了哥尼斯堡桥的问 从而成为图论的创始人。 题，从而成为图论的创始人。 定义15.1 通过图（无向图或有向图）中每一条边 通过图（无向图或有向图） 定义 一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧 拉通路。通过图（无向图或有向图） 拉通路。通过图（无向图或有向图）中每一条 边一次且仅一次行遍图中所有顶点的回路称为 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图， 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
第四章 欧拉图与哈密尔顿图2 论及其应用课件
本次课主要内容 哈密尔顿图
(一)、哈密尔顿图的概念 (二)、性质与判定
2
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
(一)、哈密尔顿图的概念
1、背景
1857年， 哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game). 它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角 处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。 为了容易记住被旅游过的城市 ，在每个棱角上放上一 个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子), 由此可以获得旅程的直观表示。
P
v1
v2
v3
vi
vi+1
vn-1
vn
这样在G中有H圈，与假设矛盾！
14
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
于是：
d ( u ) d ( v ) S T S T S T n
这与已知 ( G ) n 矛盾！
2
注：该定理是数学家 Dirac在1952年得到的。该定理被 认为是H问题的划时代奠基性成果。
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
(二)、性质与判定
1、性质 定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任一非空 顶点子集S，有：
(GS) S
证明：G是H图，设C是G的H圈。则对V(G)的任意 非空子集S, 容易知道:
(CS) S
所以，有：
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
欧拉图和哈密尔顿图-精52页PPT
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
15、机会是不守纪律的。——，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
欧拉图和汉密尔顿图
生物信息学
在生物信息学中，欧拉图 和汉密尔顿图可以用于表 示和分析基因组、蛋白质 组等生物分子网络。
社会学
在社会学中，欧拉图和汉 密尔顿图可以用于表示和 分析社会关系、社交网络 等方面的问题。
05
总结与展望
对欧拉图和汉密尔顿图的总结
01
欧拉图和汉密尔顿图是 图论中的重要概念，分 别由数学家欧拉和汉密 尔顿提出。
人工智能
汉密尔顿图在人工智能领域也有应用，例如在知识表示和推理中，可以利用汉密尔顿路径 来表示和推理复杂的逻辑关系。
机器学习
汉密尔顿图还可以应用于机器学习中，特别是在图神经网络（GNN）中，可以利用汉密尔顿 路径进行节点间的信息传递和传播。
欧拉图与汉密尔顿图在其他领域的应用
01
02
03
交通运输
欧拉图和汉密尔顿图在交 通运输领域有广泛应用， 例如在路线规划、物流配 送和交通控制等方面。
汉密尔顿图是指一个图中存在一条遍历其所有顶点的路径，且每条边只遍 历一次。
当一个汉密尔顿图的起点和终点是同一点时，该路径就成为欧拉路径，此 时汉密尔顿图也就是欧拉图。
欧拉图与汉密尔顿图的判定问题
欧拉图的判定问题
给定一个图，判断是否存在一条遍历 其所有边且每条边只遍历一次的路径。
汉密尔顿图的判定问题
02
欧拉图是指存在一条或 多条路径能够遍历图的 所有边且每条边只遍历 一次的图。
03
汉密尔顿图是指存在一 条路径能够遍历图的所 有顶点且每条边只遍历 一次的图。
04
欧拉图和汉密尔顿图在 计算机科学、运筹学、 电子工程等领域有广泛 的应用。
对欧拉图和汉密尔顿图未来的研究方向
寻找更高效的算法来判断一个图是否为欧拉图或汉密尔 顿图，以及寻找更多的应用场景。
欧拉图与哈密顿ppt课件
阐明：该推论是充分条件但不是必要的。 例如：
该五边形是哈密顿图，但恣意两个不相邻的顶点度 数之和为4，图形阶数为5。
;
座位问题
例 在某次国际会议的预备会中，共有8人参与，他 们来自不同的国家。假设他们中任两个无共同言语的人 与其他有共同言语的人数之和大于或等于8，问能否将这 8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
;
图中有四个奇度点，v2,v4,v6,v8，将它们分成两 对，比如说v2与v4为一对，v6与v8为一对。
衔接的v2与v4、v6与v8的通路有好几条，但要取权 和最小的一条。
这个图中没有奇度点，故它是欧拉图。对于这个可行方案，反 复边的权和为17。
;
在最优方案中，图中每个圈的反复边的权和不大于 该圈权和的一半。
;
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
〔6〕
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕为哈密顿图 〔5〕为半哈密顿图 〔6〕既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
;
到目前为止，还没有找到判别哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面引见哈密顿图和半哈密顿图的必要条件 定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的恣 意非空子集，那么有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1 的连通分支数。
;
假设在某条道路中边〔vi,vj〕上反复走了几次， 我们在图中vi,vj之间添加几条边，令所添加边的权与 原来的权相等，并把新添加的边，称为反复边。
于是这条道路就是相应新图中的欧拉回路。
;
由于在任何一个图中，奇度点个数为偶数，所以假 设图中有奇度点，就可以把它们配成对。又由于图是连 通的，故每一对奇度点之间必有通路，把权和最小的通 路上的一切边作为反复边加到图中去，可见新图中无奇 度点。
该五边形是哈密顿图，但恣意两个不相邻的顶点度 数之和为4，图形阶数为5。
;
座位问题
例 在某次国际会议的预备会中，共有8人参与，他 们来自不同的国家。假设他们中任两个无共同言语的人 与其他有共同言语的人数之和大于或等于8，问能否将这 8个人排在圆桌旁，使其任何人都能与两边的人交谈。
;
图中有四个奇度点，v2,v4,v6,v8，将它们分成两 对，比如说v2与v4为一对，v6与v8为一对。
衔接的v2与v4、v6与v8的通路有好几条，但要取权 和最小的一条。
这个图中没有奇度点，故它是欧拉图。对于这个可行方案，反 复边的权和为17。
;
在最优方案中，图中每个圈的反复边的权和不大于 该圈权和的一半。
;
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
〔6〕
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕为哈密顿图 〔5〕为半哈密顿图 〔6〕既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
;
到目前为止，还没有找到判别哈密顿图简单的充分必 要条件。
下面引见哈密顿图和半哈密顿图的必要条件 定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V1是V的恣 意非空子集，那么有p(G-V1)≤|V1|,其中p(G-V1)为G-V1 的连通分支数。
;
假设在某条道路中边〔vi,vj〕上反复走了几次， 我们在图中vi,vj之间添加几条边，令所添加边的权与 原来的权相等，并把新添加的边，称为反复边。
于是这条道路就是相应新图中的欧拉回路。
;
由于在任何一个图中，奇度点个数为偶数，所以假 设图中有奇度点，就可以把它们配成对。又由于图是连 通的，故每一对奇度点之间必有通路，把权和最小的通 路上的一切边作为反复边加到图中去，可见新图中无奇 度点。
图论课件第四章欧拉图与哈密尔顿
性质
欧拉路径的长度等于其经过的边 数。
哈密尔顿路径的定义与性质
定义
哈密尔顿路径是指一个路径在图中经 过所有的顶点且每个顶点只经过一次 ，最后回到起始点。
性质
哈密尔顿路径的长度等于其经过的顶 点数。
欧拉路径与哈密尔顿路径的判定
欧拉路径的判定
对于一个给定的图，判断是否存在一个路径满足欧拉路径的 定义。通常需要通过图的连通性、边的数量和顶点的数量等 条件进行判断。
连通性
连通性是图论中的一个重要概念，研究图中顶点之间的连接关系。常 见的连通性算法包括深度优先搜索和广度优先搜索。
THANKS
感谢观看
图论课件第四章欧拉 图与哈密尔顿
目录
• 欧拉图 • 哈密尔顿图 • 欧拉路径与哈密尔顿路径 • 应用与扩展
01
欧拉图
欧拉图的定义
01
欧拉图是一个连通图，它包含一 条或多条边，并且每条边只包含 一次，使得从起点到终点的每条 路径都恰好经过每条边一次。
02
欧拉图中的路径称为欧拉路径， 起点和终点称为欧拉终点，如果 这条路径的长度恰好是边数，则 称为欧拉回路。
回溯法
通过回溯算法搜索所有可能的路 径，判断是否存在一个路径满足 哈密尔顿路或哈密尔顿路径的条件。
邻接矩阵法
通过判断邻接矩阵是否满足一定条 件来判定一个图是否为哈密尔顿图。
欧拉路径法
通过判断一个图是否存在欧拉路径 来判定该图是否为哈密尔顿图。
03
欧拉路径与哈密尔顿路径
欧拉路径的定义与性质
定义
欧拉路径是指一个路径在图中从 一点出发，经过所有的边且每条 边只经过一次，最后回到起始点 。
哈密尔顿回路是一个路径，它经过图中的每个顶点恰好一次，并且起点和终点必须 不同。
欧拉路径的长度等于其经过的边 数。
哈密尔顿路径的定义与性质
定义
哈密尔顿路径是指一个路径在图中经 过所有的顶点且每个顶点只经过一次 ，最后回到起始点。
性质
哈密尔顿路径的长度等于其经过的顶 点数。
欧拉路径与哈密尔顿路径的判定
欧拉路径的判定
对于一个给定的图，判断是否存在一个路径满足欧拉路径的 定义。通常需要通过图的连通性、边的数量和顶点的数量等 条件进行判断。
连通性
连通性是图论中的一个重要概念，研究图中顶点之间的连接关系。常 见的连通性算法包括深度优先搜索和广度优先搜索。
THANKS
感谢观看
图论课件第四章欧拉 图与哈密尔顿
目录
• 欧拉图 • 哈密尔顿图 • 欧拉路径与哈密尔顿路径 • 应用与扩展
01
欧拉图
欧拉图的定义
01
欧拉图是一个连通图，它包含一 条或多条边，并且每条边只包含 一次，使得从起点到终点的每条 路径都恰好经过每条边一次。
02
欧拉图中的路径称为欧拉路径， 起点和终点称为欧拉终点，如果 这条路径的长度恰好是边数，则 称为欧拉回路。
回溯法
通过回溯算法搜索所有可能的路 径，判断是否存在一个路径满足 哈密尔顿路或哈密尔顿路径的条件。
邻接矩阵法
通过判断邻接矩阵是否满足一定条 件来判定一个图是否为哈密尔顿图。
欧拉路径法
通过判断一个图是否存在欧拉路径 来判定该图是否为哈密尔顿图。
03
欧拉路径与哈密尔顿路径
欧拉路径的定义与性质
定义
欧拉路径是指一个路径在图中从 一点出发，经过所有的边且每条 边只经过一次，最后回到起始点 。
哈密尔顿回路是一个路径，它经过图中的每个顶点恰好一次，并且起点和终点必须 不同。
欧拉图与哈密顿
哈密顿图
通过一系列的节点，将所有节点 两两连接起来，且每条边只使用 一次。
性质的异同比较
欧拉图 哈密顿图
应用领域的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ较
欧拉图
在计算机科学、运筹学、交通运输等 领域有广泛应用。
哈密顿图
在计算机科学、电子工程、通信网络 等领域有广泛应用。
05
欧拉图与哈密顿图的未来研
究展望
欧拉图的研究展望
欧拉路径与欧拉回路
通过模拟生物进化过程的遗传 算法来寻找哈密顿路径，适用 于大规模的图。
元胞自动机法
通过模拟元胞自动机的演化过 程来寻找哈密顿路径，适用于
具有特定结构的图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
01
欧拉图在计算机科学中常被用于算法设计，如最短路径算法、
最小生成树算法等。
数据结构
欧拉图与哈密顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图和哈密顿图在经济 学中被用于描述市场供需 关系和生产网络。
社会学
欧拉图和哈密顿图在社会 学中被用于研究社会网络 和人际关系。
交通工程
欧拉图和哈密顿图在交通 工程中用于描述交通流和 路网结构。
04
欧拉图与哈密顿图的比较
构造方法的比较
欧拉图
通过一系列的边和节点，将起点 和终点连接起来，且每条边只使 用一次。
欧拉图的扩展研究
深入研究欧拉路径和欧拉回路的性质 和构造方法，探索其在图论、组合数 学和计算机科学等领域的应用。
将欧拉图的研究扩展到其他领域，如 社交网络分析、生物信息学和交通网 络规划等。
欧拉图的算法优化
针对欧拉图的算法进行优化，提高算 法的效率和稳定性，以解决大规模图 数据的计算问题。
通过一系列的节点，将所有节点 两两连接起来，且每条边只使用 一次。
性质的异同比较
欧拉图 哈密顿图
应用领域的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ较
欧拉图
在计算机科学、运筹学、交通运输等 领域有广泛应用。
哈密顿图
在计算机科学、电子工程、通信网络 等领域有广泛应用。
05
欧拉图与哈密顿图的未来研
究展望
欧拉图的研究展望
欧拉路径与欧拉回路
通过模拟生物进化过程的遗传 算法来寻找哈密顿路径，适用 于大规模的图。
元胞自动机法
通过模拟元胞自动机的演化过 程来寻找哈密顿路径，适用于
具有特定结构的图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
01
欧拉图在计算机科学中常被用于算法设计，如最短路径算法、
最小生成树算法等。
数据结构
欧拉图与哈密顿图在其他领域的应用
经济学
欧拉图和哈密顿图在经济 学中被用于描述市场供需 关系和生产网络。
社会学
欧拉图和哈密顿图在社会 学中被用于研究社会网络 和人际关系。
交通工程
欧拉图和哈密顿图在交通 工程中用于描述交通流和 路网结构。
04
欧拉图与哈密顿图的比较
构造方法的比较
欧拉图
通过一系列的边和节点，将起点 和终点连接起来，且每条边只使 用一次。
欧拉图的扩展研究
深入研究欧拉路径和欧拉回路的性质 和构造方法，探索其在图论、组合数 学和计算机科学等领域的应用。
将欧拉图的研究扩展到其他领域，如 社交网络分析、生物信息学和交通网 络规划等。
欧拉图的算法优化
针对欧拉图的算法进行优化，提高算 法的效率和稳定性，以解决大规模图 数据的计算问题。
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件_OK
边;
(2)V2中每个顶点至多关联t条边, 则G中存在V1到V2的完备匹配.
2021/8/29
14
Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 定理8.3中的条件称为“t条件”,满足t条 件的二部图,一定满足相异性条件.
事实上,由条件(1)可知,V1中k个顶点至少 关联kt条边.由条件(2)可知,这kt条边至少 关联V2中的k个顶点,于是若G满足t条件, 则G一定满足相异性条件,但反之不真.
第八章 一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密尔顿图 8.4 平面图
1
定义
二部图
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V划分成
两个子集V1和V2(V1∩V2=),使得G中任何 一条边的两个端点一个属于V1,另一个属于 V2,则称G为二部图(也称为偶图).V1,V2称为 互补顶点子集,此时可将G记成G=<
2021/8/29
12
Hall定理
➢ 设二部图G=<V1,V2,E>,V1≤V2,G中 存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1 中任意k个顶点(k=1,2,… V1)至少邻接 V2中的k个顶点.
2021/8/29
13
设二部图G=<V1,V2,E>,如果 (1)V1中每个顶点至少关联t(t＞0)条
➢ 问在以上3种情况下能否各选出3名不
兼职的组长？
2021/8/29
16
解: 设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、 陈.u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生 物组.在3种情况下作二部图分别记为
G1,G2,G3,如图8.5所示.
2021/8/29
17
图8.5
2021/8/29
(2)V2中每个顶点至多关联t条边, 则G中存在V1到V2的完备匹配.
2021/8/29
14
Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 定理8.3中的条件称为“t条件”,满足t条 件的二部图,一定满足相异性条件.
事实上,由条件(1)可知,V1中k个顶点至少 关联kt条边.由条件(2)可知,这kt条边至少 关联V2中的k个顶点,于是若G满足t条件, 则G一定满足相异性条件,但反之不真.
第八章 一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密尔顿图 8.4 平面图
1
定义
二部图
若能将无向图G=<V,E>的顶点集V划分成
两个子集V1和V2(V1∩V2=),使得G中任何 一条边的两个端点一个属于V1,另一个属于 V2,则称G为二部图(也称为偶图).V1,V2称为 互补顶点子集,此时可将G记成G=<
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12
Hall定理
➢ 设二部图G=<V1,V2,E>,V1≤V2,G中 存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1 中任意k个顶点(k=1,2,… V1)至少邻接 V2中的k个顶点.
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13
设二部图G=<V1,V2,E>,如果 (1)V1中每个顶点至少关联t(t＞0)条
➢ 问在以上3种情况下能否各选出3名不
兼职的组长？
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16
解: 设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张、王、李、赵、 陈.u1,u2,u3分别表示物理组、化学组、生 物组.在3种情况下作二部图分别记为
G1,G2,G3,如图8.5所示.
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图8.5
2021/8/29
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欧拉图 哈密尔顿图
SEI
n 在无向图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞中，穿程于Ｇ的每个结点一次且仅 一次的路径称为哈密尔顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）路径。
n 穿程于Ｇ的每个结点一次且仅一次的回路称为哈密 尔顿回路。具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿 图。
n 目前还没有找到一个简明的条件来作为哈密尔顿回 路存在的充要条件。
n 定理：若Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是哈密尔顿图，则对Ｖ的每个非空 真子集Ｓ均成立：ｗ（Ｇ－Ｓ）≤｜Ｓ｜，这里｜Ｓ｜表示Ｓ中的 顶点数，ｗ（Ｇ－Ｓ）表示Ｇ删去顶点集Ｓ后得到的图的连 通分图个数。－必要条件，可用来否定某些图是哈 密尔顿图。
哈密尔顿图
SEI
4
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图
a)
b)
c)
哈密尔顿图
ａ） 是欧拉图； ｂ） 不是欧拉图，但存在欧拉路径； ｃ） 既不是欧拉图，也不存在欧拉路径。
SEI
5
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
欧拉图
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一个顶点的次数大于等于ｎ／２，则 在Ｇ中存在一条哈密尔顿回路。－充分条件
SEI
11
SEI
12
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图 哈密尔顿图
SEI
例：考虑７天内安排７门课程的考试，使得同一位教 师所任的两门课程考试不安排在接连的两天中，试 证明如果没有教师担任多于４门课程，则符合上述 要求的考试安排总是可能的。
8
Ｃ＋图＋ 论
哈密尔顿图 是不是哈密尔顿图？
欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
哈密尔顿图
SEI
图中 （１）， （３），不是哈密尔顿图，（２） 为哈密尔 顿图．
9
哈密尔顿图
n ｜Ｓ｜＝３，ｗ（Ｇ－Ｓ）＝４，４＞３，所以该图不是汉密尔顿 图。
欧拉图
环球航行问题：英国数学家Ｈａｍｉｌｔｏｎ １８５９年提出的 一种游戏。
一个实心的正十二面体的２０个顶点标上世界著名 大城市的名字，要求游戏者从某一城市出发，遍历 各城市一次且仅一次，最后回到原地。即“周游世
界”问题。
哈密尔顿图
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程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
n 定理：无向连通图G具有一条欧拉回路，当且仅 当其顶点次数都是偶数。
n 应用：七桥问题、一笔画
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程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
欧拉图
n 定理：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当 它的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能有 两个顶点除外，其中一个的引入次数比它的引出 次数大１，另一个的引入次数比它的引出次数小 １。一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数。
哈密尔顿图
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图1
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Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图 哈密尔顿图
n 穿程于图G的每条边一次且仅一次的路径，称为 欧拉（Euler）路径
n 穿程于图G的每条边一次且仅一次的回路，称为 欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。
n 定理：无向连通图G具有一条欧拉路径，当且仅 当G具有零个或者两个奇数次数的顶点。
n 布鲁英序列
a b c
e1=001 01 e3=011
00
e0=000
e4=100 e2=010
10
e5=101
e6=110
哈密尔顿图
11
e7=111
存在一条欧拉回路e0e1e3e7e6e5e2e4，
对应的序列为00011101
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Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
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Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图
n 前述是必要条件，可用来否定某些图是汉密尔顿 图，但需要考察多个真子集，不是很方便，而且 并不总是有效的。如彼得森图是非汉密尔顿图， 但其满足ｗ（Ｇ－Ｓ）≤｜Ｓ｜。
哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 主要内容
欧拉图
n 欧拉图 n 哈密尔顿图
哈密尔顿图
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程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｋｏｎｉｇｓｂｅｒｇ （哥尼斯堡 ）七桥问题
欧拉图
哥尼斯堡（Ｋｏｎｉｇｓｂｅｒｇ，现加里宁格勒）位于普雷格 尔（Ｐｒｅｇｅｌ）河畔，河中有两岛。城市的各部分由７座 桥接通，如图１（ａ）所示。
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程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图
Hale Waihona Puke n 证明下图中没有汉密尔顿路径。
A B
n 图中，３个顶点标记为Ａ，５个
顶点标记为Ｂ，相差２个，不可 B 能存在一条汉密尔顿路径。
A
哈密尔顿图
B
n 如果在标记过程中，遇到相邻 A 结点出现相同标记时，可在此
对应边上增加一个结点，并标
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图 哈密尔顿图
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一对顶点的次数之和大于等于ｎ－ １，则在Ｇ中存在一条哈密尔顿路径。－充分条件
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一对顶点的次数之和大于等于ｎ， 则在Ｇ中存在一条哈密尔顿回路。－充分条件
证明：设Ｇ是具有７个结点的图，每个结点对应 于一门课程考试，如果这两个结点对应的课程考试 是由不同教师担任的，那么这两个结点之间有一条 边，因为每个教师所任课程数不会超过４，所以每 个结点的度数至少为３，则任两个结点的度数之和 至少是６，所以Ｇ总是包含一条汉密尔顿路径，它对 应于一个７门考试课程的一个适当安排。
B
上相异标记。A
B
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B
A
B
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Ｃ＋图＋ 论 作 业
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
n 8-2 （1）（3） （5） （15）
欧拉图
哈密尔顿图
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