08图论c_欧拉图和哈密尔顿图
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8
Ｃ＋图＋ 论
哈密尔顿图 是不是哈密尔顿图？
欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
哈密尔顿图
SEI
图中 （１）， （３），不是哈密尔顿图，（２） 为哈密尔 顿图．
9
哈密尔顿图
n ｜Ｓ｜＝３，ｗ（Ｇ－Ｓ）＝４，４＞３，所以该图不是汉密尔顿 图。
13
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图
n 证明下图中没有汉密尔顿路径。
A B
n 图中，３个顶点标记为Ａ，５个
顶点标记为Ｂ，相差２个，不可 B 能存在一条汉密尔顿路径。
A
哈密尔顿图
B
n 如果在标记过程中，遇到相邻 A 结点出现相同标记时，可在此
对应边上增加一个结点，并标
SEI
10
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图
n 前述是必要条件，可用来否定某些图是汉密尔顿 图，但需要考察多个真子集，不是很方便，而且 并不总是有效的。如彼得森图是非汉密尔顿图， 但其满足ｗ（Ｇ－Ｓ）≤｜Ｓ｜。
哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 主要内容
欧拉图
n 欧拉图 n 哈密尔顿图
哈密尔顿图
SEI
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｋｏｎｉｇｓｂｅｒｇ （哥尼斯堡 ）七桥问题
欧拉图
哥尼斯堡（Ｋｏｎｉｇｓｂｅｒｇ，现加里宁格勒）位于普雷格 尔（Ｐｒｅｇｅｌ）河畔，河中有两岛。城市的各部分由７座 桥接通，如图１（ａ）所示。
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一个顶点的次数大于等于ｎ／２，则 在Ｇ中存在一条哈密尔顿回路。－充分条件
SEI
11
SEI
12
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图 哈密尔顿图
SEI
例：考虑７天内安排７门课程的考试，使得同一位教 师所任的两门课程考试不安排在接连的两天中，试 证明如果没有教师担任多于４门课程，则符合上述 要求的考试安排总是可能的。
哈密尔顿图
1
SEI
图1
2
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图 哈密尔顿图
n 穿程于图G的每条边一次且仅一次的路径，称为 欧拉（Euler）路径
n 穿程于图G的每条边一次且仅一次的回路，称为 欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。
n 定理：无向连通图G具有一条欧拉路径，当且仅 当G具有零个或者两个奇数次数的顶点。
n 定理：无向连通图G具有一条欧拉回路，当且仅 当其顶点次数都是偶数。
n 应用：七桥问题、一笔画
SEI
3
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
欧拉图
n 定理：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当 它的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能有 两个顶点除外，其中一个的引入次数比它的引出 次数大１，另一个的引入次数比它的引出次数小 １。一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数。
欧拉图 哈密尔顿图
SEI
n 在无向图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞中，穿程于Ｇ的每个结点一次且仅 一次的路径称为哈密尔顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）路径。
n 穿程于Ｇ的每个结点一次且仅一次的回路称为哈密 尔顿回路。具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿 图。
n 目前还没有找到一个简明的条件来作为哈密尔顿回 路存在的充要条件。
n 定理：若Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是哈密尔顿图，则对Ｖ的每个非空 真子集Ｓ均成立：ｗ（Ｇ－Ｓ）≤｜Ｓ｜，这里｜Ｓ｜表示Ｓ中的 顶点数，ｗ（Ｇ－Ｓ）表示Ｇ删去顶点集Ｓ后得到的图的连 通分图个数。－必要条件，可用来否定某些图是哈 密尔顿图。
哈密尔顿图
SEI
4
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图
a)
b)
c)
哈密尔顿图
ａ） 是欧拉图； ｂ） 不是欧拉图，但存在欧拉路径； ｃ） 既不是欧拉图，也不存在欧拉路径。
SEI
5
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
欧拉图
欧拉图
环球航行问题：英国数学家Ｈａｍｉｌｔｏｎ １８５９年提出的 一种游戏。
一个实心的正十二面体的２０个顶点标上世界著名 大城市的名字，要求游戏者从某一城市出发，遍历 各城市一次且仅一次，最后回到原地。即“周游世
界”问题。
哈密尔顿图
SEI
7
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图 哈密尔顿图
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一对顶点的次数之和大于等于ｎ－ １，则在Ｇ中存在一条哈密尔顿路径。－充分条件
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一对顶点的次数之和大于等于ｎ， 则在Ｇ中存在一条哈密尔顿回路。－充分条件
B
上相异标记。A
B
SEI
B
A
B
14
Ｃ＋图＋ 论 作 业
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
n 8-2 （1）（3） （5） （15）
欧拉图
哈密尔顿图
SEI
15
证明：设Ｇ是具有７个结点的图，每个结点对应 于一门课程考试，如果这两个结点对应的课程考试 是由不同教师担任的，那么这两个结点之间有一条 边，因为每个教师所任课程数不会超过４，所以每 个结点的度数至少为３，则任两个结点的度数之和 至少是６，所以Ｇ总是包含一条汉密尔顿路径，它对 应于一个７门考试课程的一个适当安排。
n 布鲁英序列
a b c
e1=001 01 e3=011
00
e0=000
e4=100 e2=010
10
e5=101
e6=110
哈密尔顿图
11
e7=111
存在一条欧拉回路e0e1e3e7e6e5e2e4，
对应பைடு நூலகம்序列为00011101
SEI
6
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论
哈密尔顿图 是不是哈密尔顿图？
欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
哈密尔顿图
SEI
图中 （１）， （３），不是哈密尔顿图，（２） 为哈密尔 顿图．
9
哈密尔顿图
n ｜Ｓ｜＝３，ｗ（Ｇ－Ｓ）＝４，４＞３，所以该图不是汉密尔顿 图。
13
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图
n 证明下图中没有汉密尔顿路径。
A B
n 图中，３个顶点标记为Ａ，５个
顶点标记为Ｂ，相差２个，不可 B 能存在一条汉密尔顿路径。
A
哈密尔顿图
B
n 如果在标记过程中，遇到相邻 A 结点出现相同标记时，可在此
对应边上增加一个结点，并标
SEI
10
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图
n 前述是必要条件，可用来否定某些图是汉密尔顿 图，但需要考察多个真子集，不是很方便，而且 并不总是有效的。如彼得森图是非汉密尔顿图， 但其满足ｗ（Ｇ－Ｓ）≤｜Ｓ｜。
哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 主要内容
欧拉图
n 欧拉图 n 哈密尔顿图
哈密尔顿图
SEI
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｋｏｎｉｇｓｂｅｒｇ （哥尼斯堡 ）七桥问题
欧拉图
哥尼斯堡（Ｋｏｎｉｇｓｂｅｒｇ，现加里宁格勒）位于普雷格 尔（Ｐｒｅｇｅｌ）河畔，河中有两岛。城市的各部分由７座 桥接通，如图１（ａ）所示。
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一个顶点的次数大于等于ｎ／２，则 在Ｇ中存在一条哈密尔顿回路。－充分条件
SEI
11
SEI
12
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图 哈密尔顿图
SEI
例：考虑７天内安排７门课程的考试，使得同一位教 师所任的两门课程考试不安排在接连的两天中，试 证明如果没有教师担任多于４门课程，则符合上述 要求的考试安排总是可能的。
哈密尔顿图
1
SEI
图1
2
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图 哈密尔顿图
n 穿程于图G的每条边一次且仅一次的路径，称为 欧拉（Euler）路径
n 穿程于图G的每条边一次且仅一次的回路，称为 欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。
n 定理：无向连通图G具有一条欧拉路径，当且仅 当G具有零个或者两个奇数次数的顶点。
n 定理：无向连通图G具有一条欧拉回路，当且仅 当其顶点次数都是偶数。
n 应用：七桥问题、一笔画
SEI
3
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
欧拉图
n 定理：一个有向连通图具有欧拉路径，当且仅当 它的每个顶点的引入次数等于引出次数，可能有 两个顶点除外，其中一个的引入次数比它的引出 次数大１，另一个的引入次数比它的引出次数小 １。一个有向连通图具有欧拉回路，当且仅当它 的每个顶点的引入次数等于引出次数。
欧拉图 哈密尔顿图
SEI
n 在无向图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞中，穿程于Ｇ的每个结点一次且仅 一次的路径称为哈密尔顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）路径。
n 穿程于Ｇ的每个结点一次且仅一次的回路称为哈密 尔顿回路。具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿 图。
n 目前还没有找到一个简明的条件来作为哈密尔顿回 路存在的充要条件。
n 定理：若Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是哈密尔顿图，则对Ｖ的每个非空 真子集Ｓ均成立：ｗ（Ｇ－Ｓ）≤｜Ｓ｜，这里｜Ｓ｜表示Ｓ中的 顶点数，ｗ（Ｇ－Ｓ）表示Ｇ删去顶点集Ｓ后得到的图的连 通分图个数。－必要条件，可用来否定某些图是哈 密尔顿图。
哈密尔顿图
SEI
4
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
欧拉图
a)
b)
c)
哈密尔顿图
ａ） 是欧拉图； ｂ） 不是欧拉图，但存在欧拉路径； ｃ） 既不是欧拉图，也不存在欧拉路径。
SEI
5
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 欧拉图
欧拉图
欧拉图
环球航行问题：英国数学家Ｈａｍｉｌｔｏｎ １８５９年提出的 一种游戏。
一个实心的正十二面体的２０个顶点标上世界著名 大城市的名字，要求游戏者从某一城市出发，遍历 各城市一次且仅一次，最后回到原地。即“周游世
界”问题。
哈密尔顿图
SEI
7
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
欧拉图 哈密尔顿图
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一对顶点的次数之和大于等于ｎ－ １，则在Ｇ中存在一条哈密尔顿路径。－充分条件
n 定理：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有ｎ≥３个顶点的简单无向 图，若在Ｇ中每一对顶点的次数之和大于等于ｎ， 则在Ｇ中存在一条哈密尔顿回路。－充分条件
B
上相异标记。A
B
SEI
B
A
B
14
Ｃ＋图＋ 论 作 业
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计
n 8-2 （1）（3） （5） （15）
欧拉图
哈密尔顿图
SEI
15
证明：设Ｇ是具有７个结点的图，每个结点对应 于一门课程考试，如果这两个结点对应的课程考试 是由不同教师担任的，那么这两个结点之间有一条 边，因为每个教师所任课程数不会超过４，所以每 个结点的度数至少为３，则任两个结点的度数之和 至少是６，所以Ｇ总是包含一条汉密尔顿路径，它对 应于一个７门考试课程的一个适当安排。
n 布鲁英序列
a b c
e1=001 01 e3=011
00
e0=000
e4=100 e2=010
10
e5=101
e6=110
哈密尔顿图
11
e7=111
存在一条欧拉回路e0e1e3e7e6e5e2e4，
对应பைடு நூலகம்序列为00011101
SEI
6
Ｃ＋图＋ 论 哈密尔顿图
程序设离计散高基数级础学语言• 程２００序７ 设春秋季计