高数在经济学中的应用

《高等数学》知识在经济学中得应用举例由于现代化生产发展得需要,经济学中定量分析有了长足得进步，数学得一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学,出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学得目得在于探索客观经济过程得数量规律,以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象得关键就就是要把所考察得对象描述成能够用数学方法来解答得数学经济模型.这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中得一些简单应用。

一、复利与贴现问题

1、复利公式

货币所有者（债权人)因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息.利息以“期”,即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金)之比，成为利息率,简称利率，通常利率用百分数表示.

如果在贷款得全部期限内，煤气结算利息,都只用初始本金按规定利率计算,这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金,并以此与为下一期计算利息得新本金,这就就是所谓得复利。通俗说法就就是“利滚利”.

下面推出按福利计息方法得复利公式。

现有本金Ａ0，年利率r=p%,若以复利计息,t年末Ａ0将增值到Ａt，试计算A t。

若以年为一期计算利息：

一年末得本利与为A１=Ａ0（１+ｒ）

二年末得本利与为Ａ2=A0(１+ｒ）+A０（1＋r）r=Ａ0(１+r）２

类推,t年末得本利与为A t= Ａ0（１＋r)t(１）

若把一年均分成m期计算利息，这时，每期利率可以认为就是,容易推得

(２）

公式(1）与（2)就是按离散情况——计息得“期”就是确定得时间间隔，因而计息次数有限——推得得计算A t得复利公式。

若计息得“期”得时间间隔无限缩短，从而计息次数，这时,由于

所以,若以连续复利计算利息，其复利公式就是

例1Ａ0=１00元，r＝8％,t=１，则

一年计息1期

一年计息2期

一年计息4期

一年计息12期

一年计息１0０期

连续复利计息

２、实利率与虚利率

由例1知,年利率相同，而一年计息期数不同时,一年所得之利息也不同。当年利率为8%,一年计息1期，确实按8%计算利息;一年计息2期,实际上所得利息就是按8、16％计算得结果;一年计息4期，实际上所得利息就是按8、２43％计算；一年计息1２期,实际上就是按8、3％计算；一年计息１0０次,实际所得利息就是按８、325计算利息.

这样，对于年期以下得复利，我们称年利率8％为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。如8、１6％为一年复利２期得实利率，8、３%为一年复利1２期得实利率，8、3２9%为一年连续复利得实利率.

记ｒ为名义年利率,ｒm为一年计息m期得实利率，本金Ａ０,按名义利率一年计息m期,一年末将增值到A0(1+）ｍ,按实利率计息,一年末将增值到A０（1+r m）。于就是,有

1＋ｒｍ=(1+)m,即就是离散情况下实利率与虚利率之间得关系式。

若记r m为连续复利得实利率，由于

所以,实利率与虚利率之间得关系为.

３、数e得经济解释

设年利率为1０0％,连续复利计息，一元本金到年末得本利与为

这就就是说，按名义利率100％,连续复利计息，一元本金年末将增长到e元.这可作为数e得经济解释。

由于,所以，这就是得实利率大约为172％.

４、贴现问题

我们已经知道，初时本金A０，年利率r，ｔ年末得本利与A t，以年为期得复利公式就是，一年均分为m期得复利公式就是，连续复利公式就是。

若称A０为现在之,A t为未来值，一只现在值求未来值就是复利问题,与此相反,若已知未来值A t求现在值A0，则称贴现问题，这时利率r称为贴现率。

由复利公式，容易推得：

离散得贴现公式为

连续得贴现公式为

例2 设年利率为６、５％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元。 这里，贴现率ｒ＝6、5％，未来值Ａt =12０0，ｔ＝１６。所以，现在值

（元）

15.4248292

.21200

1200120004.116065.00===

⋅==⨯--e e e A A rt t 增长率

设变量ｙ就是时间t 得函数y = f (t ），则比值

为函数f (t)在时间区间上得相对改变量;如果f （t ）可微,则定义极限

为函数f (t)在时间点t 得瞬时增长率。

对指数函数而言,由于，因此，该函数在任何时间点t 上都以常数比率r 增长。 这样，关系式 (*）

就不仅可作为复利公式,在经济学中还有广泛得应用。如企业得资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都就是时间t 得函数，若这些变量在一个较长得时间内以常数比率增长,都可以用（*)式来描述。因此，指数函数中得“ｒ”在经济学中就一般得解释为在任意时刻点t 得增长率。

如果当函数中得r 取负值时,也认为就是瞬时增长率,这就是负增长,这时也称r 为衰减率。贴现问题就就是负增长。

例３ 某国现有劳动力两千万,预计在今后得５0年内劳动力每年增长2%,问按预计在205６年将有多少劳动力。

由于未来值Ａ0=20０0，r=０、02，t=5０，所以，50年后将有劳动力

例4 某机械设备折旧率为每年５%,问连续折旧多少年,其价值就是原价值得一半。 若原价值为A 0,经t 年后，价值为，这里r ＝—0、０5。由，若取,易算出t=13、８6（年），即大约经过１3、86年，机械设备得价值就是原价值得一半。

二、级数应用举例

1、银行通过存款与放款“创造"货币问题

商业银行吸收存款后，必须按照法定得比率保留规定数额得法定准备金，其余部分才能用作放款。得到一笔贷款得企业把它作为活期存款,存入另一家银行,这银行也按比率保留法定准备金,其余部分作为放款。如此继续下去,这就就是银行通过存款与放款“创造"货币.