等差数列知识点总结

等差数列

1. 定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：

（1）*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ）

（2）d m n a a m n )(-+=． 从而m

n a a d m

n --=； 3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b a A +=

或b a A +=2

（

2

）

等差中项：数列

{}

n a 是等差数列

)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a

4．等差数列的前n 项和公式：1()

2

n n n a a s +=

1(1)

2

n n na d -=+ 211

()22

d n a d n =

+- 2An Bn =+

（其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）

5．等差数列的证明方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （

2

）

等差中项：数列

{}

n a 是等差数列

)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．

（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2

n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，

其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

7.等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的

一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

注： =+=+=+--23121n n n

a a a a a a ，图示：

n

n a a n a a n n a a a a a a ++---11

2,,,,,,12321 (4) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

图示：

m

m

m m

m m

S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ （5）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n

n

A f n

B =，则21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （6）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列

练习：

1.等差数列}{n a 中，33,1112==S a ，求}{n a 的通项公式。

2.等差数列}{n a 前n 项和记为n S ，已知3010=a ，.5020=a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求.n

3.若69121520a a a a +++=求20S

4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？