求二次型标准形的方法与正定二次型
大学课程大一数学线性代数上册28.二次型的规范形与实二次型的正定性课件
这就是说任何一个二次型的矩阵的秩在二次型化成标准
形的过程中是一个不变量. 我们称二次型的矩阵的秩为
二次型的秩. 于是二次型的秩是个不变量.
对于一个复系数的二次型Q(), 若它的秩为 r, 那么经过
适当的可逆线性替换, 化成标准形:
d1 y12 d2 y22 L dr yr2
(1)
其中 di C,di 0, i 1, 2,L , r.
线性代数（1）
第二十八讲 清华大学数学科学系
1
第二十八讲 二次型的规范形与实二次型的正定性
一、二次型惯性定理与规范形
二次型的标准形不唯一.
同一个二次型的不同的标准形之间有什么关系?
二次型的标准形中有哪些是反映二次型的本质的不变量?
一个二次型经过可逆线性替换化做另一个二次型时, 这
两个二次型的矩阵的秩是相同的.
例1 实对称矩阵满足 A2-3A+2I = 0, 证明 A 是正定矩阵.
证明 设 是 A 的任意一个特征值, X 是 所属的特征向 量, 则 AX = X, 所以 A2X = A(X) = AX = 2X, 利用已知条件 A2-3A+2I = 0, 可知 (2-3+2)X = 0, 因为 X 为特征向量，所以 X 0, 故 2-3+2 = 0, 所以 = 2, 或 = 1. 由正定矩阵的性质2可知 A 是正定矩阵. 例2 设 A 是正定矩阵, 则存在正定阵 B 满足 B2 = A. 证明 由书上第222页定理6.14可知存在正交阵 Q 使得 A = QTDQ, 其中 D 是对角线元素为 A 的所有特征值的对 角矩阵, 由正定矩阵的性质2可知 D 的对角线上的所有 数为正数, 所以存在对角线上数均为正数的对角矩阵 F 使得 F2 = D, 所以 A = QTDQ = QTFQQTFQ = B2, 这里 B = QTFQ 为正定矩阵.
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
正定二次型的判定方法
正定二次型的判定方法
判定正定二次型的方法有以下几种：
1. 特征值法：计算二次型的矩阵表示的特征值，如果所有特征值都大于0，则说明该二次型为正定二次型。
2. 主元法：将二次型化简为标准形式，观察正元的个数，如果正元的个数等于变量的个数，则说明该二次型为正定二次型。
3. 拉氏判别法：利用拉氏变换，将二次型表示为拉氏标准型，观察拉氏标准型中各项的系数，如果全部大于0，则说明该二
次型为正定二次型。
4. 完全平方展开法：将二次型表示为完全平方的形式，观察其中的平方项的系数，如果全部大于0，则说明该二次型为正定
二次型。
需要注意的是，以上方法都是对二次型的矩阵表示进行推导判断的，每种方法都有其适用的场景和限制条件。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的判定方法来判断正定二次型。
线性代数14.配方法化二次型、正定二次型
1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有： （1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型， 并称 A 为正定矩阵； （2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵； （3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型， 并称 A 为负定矩阵； （4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，
第27讲.二次型的规范形与实二次型的正定性
(7) (8)
我们要证明 p = q. 用反证法, 不妨设 p < q. 分析: 如果能 选择 X 0, 使得 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un = 0, 就可以 推出矛盾. 注意到 X = PZ = TU Z = P-1X, U = T-1X. 只 要令 z1 =…= zp= 0, uq+1 = …= un= 0, 就可以得到关于 X 的 4
2
对于一个实系数的二次型 Q() 若它的秩为 r,
那么经
过适当的可逆线性替换, 化成类似(1)那样的标准形, 区 别在于系数 di 是实数. 由于负实数的平方根不再是实数, 为了表达方便, 不妨设标准形如下:
2 2 2 2 d1 y1 d 2 y2 d p y2 d y d y p p 1 p 1 r r
8
例4 n 元实二次型 2 2 2 Q ( x1 , , xn ) x1 a1 x2 x2 a2 x3 xn an x1 当 a1, a2 an 满足什么条件时是正定的. y1 x1 a1 x2 y x a x 2 2 2 3 解 令 则 Q ( x1 , , xn ) y12 y2 2 yn 2 y1 x1 a1 x2 yn xn an x1 y x a x 2 2 2 3 n +1 是可逆的线 若 (-1) a1a2an +1 0, 则 性替换, 故 Q(X) 是正定的. yn xn an x1 x1 a1 x2 0 x a x 0 2 2 3 n +1 若 (-1) a1a2an +1 = 0, 则 有非零解, 故 xn an x1 0 9 Q(X) 此时是半正定的, 但不是正定的.
4.1-3 二次型(1)
1. 定义 : (1) 含有 n 个变量 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次多项式 f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1 n n
其中 aij a ji ( i , j 1,2,, n), 称为一个 n 元二次型, 简称二次型 .
x Cy xT A x yT (C T AC ) y ,
且 C 可逆时 , 两个二次型的秩相等
定理4.1 二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) x T Ax (其中 AT A ) 经过可逆线性替换 x Cy , 就二次型的秩相等.
初等变换法
例. 化下列二次型为标准形 , 并写出所作的可逆线性 替换
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 4 x2 x3 x3
已知对称矩阵A, 求可逆矩阵C , 使得C T AC为对角阵
2 2 2
1 1 1 A 1 2 2 1 2 1
A合同于 E
A 的特征值全都大于零 A 的所有顺序主子式都大 于零
例. 设 A , B 为同阶正定矩阵, 则 (1) A 0 从而 A 可逆 (2) A B , Ak , A1 , A 也是正定矩阵 ( 3) A 的主对角线上的元素都 大于零
二. 二次型的有定性
定义 : 对具有对称矩阵 A的二次型 X T AX , (1) 如果对任何 X O , 都有 X T A X 0 , 则称该二次型 为负定二次型 , 矩阵 A 称为负定矩阵. A 负定 A 正定
设 A 为实对称矩阵, 则
A 正定（二次型 xT Ax 正定） 对任意的 x O, 都有 xT Ax 0（定义）
第6章 二次型及其标准形
T
3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：
1 4 2 1 1 1 1 2 , 2 45 2 , 3 3 1 , 5 5 2 0
1 5 4 45 4令Q 1 , 2 , 3 2 5 2 45 0 5 45 并且QT AQ Q 1 AQ diag 5,5,4
x
~ x
x2 y2 1 4 20 见图所示.
定义1： 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1 n x1 xn
2 a22 x2 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
化为标准形。 解
1 1 1 0 0 1 1 1 求二次型的矩阵 A , 的特征值 1 1 0 1 1 1 1 0
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 E A 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ( 1) 1 1 1 i 2,3,4 1 1 1
例如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 3 x3 4 x1 x2 x2 x3
2 2
0 x1 1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1/2 x2 0 1/2 -3 x 3
5)写出正交变换 X=QY，则可得标准型
2 f 5 y12 5 y2 4 y32
2 3 1 3 , 则Q是正交矩阵。 2 3
注：正交变换化为标准形的优点： 在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。
6.4 正定二次型
正定二次型
11/19
1 0,
1 t 2 2 t 0, t 2
1 t 1 2 t 2 2 (3t 4t ) 0. 1 2 3
4 因此, 当且仅当 t 0 时, 二次型是正定的. 3
正定二次型
12/19
例6.8 设 A 为m 阶正定矩阵, B 为 mn 实矩阵, 试证: BTAB 为正定矩阵当且仅当 rank B n . 证 易知 B AB 为 n 阶实对称矩阵. 由 A 正定可知,
, xk ) aij xi x j ,
i 1 j 1 k k
正定二次型
8/19
对于实二次型 f (x1, x2, , xn) xTAx, 下列条件等价: 1) f (x1, x2, , xn)是正定的; 2) 正惯性指数为 n, 即规范形为 y y
2 1 2 2
y ;
正定二次型
4/19
二、正定二次型的判别法
(1) n 元实二次型的规范形
x
2 1
x x
2 p
2 p1
x
2 r
为正定的充要条件是 p n . (2) 可逆线性变换不改变实二次型的正定性 .
根据上述两个结论, 即得
定理6.5 n 元实二次型 f (x1, x2, , xn) 为正定当且仅 当它的正惯性指数等于 n .
T
B AB 正定 x 0,
T
T T T 有 x (B AB)x (Bx) A(Bx) 0
x 0, 有 Bx 0 Bx 0 x 0 齐次线性方程组 Bx 0 只有零解 rank B n .
正定二次型
7-3正定二次型
z2 q2
zr2
则 p=q
3、规范形对应的矩阵
f y12 y22
y2p
y2 p1
y2 p2
yr2
1
p个
1
规范形的矩阵
-1
r p个.
(1) 秩为r
-1
0
n r个
0
(2) 对角阵，主对角线上的元素只能为1,0,-1
f = 2y12 - y22 - y32
f 2z12 2z22 2z32
令
w1 w2
2 y1 y2
y1
解得
y2
1 2
w1
w2
Y = CW 可逆，得标准形为f w12 w22 w32.
w3 y3
y3
w3
令
w1 w2
例2 问t满足什么条件时，二次型
f (x1, x2, x3) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2x3正定.
解：二次型f 的矩阵
1 t 1
A
t
1
2
1 2 5
A1 1 0,
1 A2 t
t 1 t2 0， 1
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同. 证：设A为n阶实对称阵
A正定 实二次型f X T AX 正定 f 的规范形为f y12 y22 yn2. f 的规范形对应的矩阵是单位阵E A与E合同
线性代数第七章 n元实二次型 S2 正定二次型
故上述二次型是正定的.
8
定义3: 若对任意X≠0，恒有XTAX<0，则实二次型 XTAX称为负定二次型. 负定二次型的矩阵A称为负定矩阵. 记为A<0.
* 坐标变换(非退化线性替换)保持二次型的负定性不变.
9
非标准形的二次型是否负定的判定方法
○ n元实二次型负定 它的负惯性指数等于n.
−A>0. A=(aij) 的奇数阶顺序主子式为负，而偶数
则坐标变换 X=PY 化二次型
nn
f X T AX Y T (PT AP )Y a11 y12
bij yi y j
a11 y12 g( y2 , y3 , , yn )
i2 j2
则g(y2, y3,…, yn)的各阶顺序主子式为
b22 | Bj1 |
bj2
b2 j , ( j 2, 3, , n)
第七章 n元实二次型
§7.2 正定二次型
1
定义1：若对任意 X 0，恒有XTAX>0，则实二次型
XTAX称为正定二次型. 正定二次型的矩阵A称为正定矩阵. 记为A>0.
已知：n元二次型的标准形为
X T AX d1 x12 d2 x22 dn xn2
仅当所有n个系数 di>0 (i=1,2,…,n)时，它才是正定的.
7
例1 判别下面二次型是否正定.
f x1 , x2 , x3 5 x12 x22 5 x32 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
5
解： f x1, x2 , x3 的 矩 阵 为
2
2 4 1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
5 0,
5
2 1 0,
21
高中数学解二次型的标准形和规范形的方法和实例
高中数学解二次型的标准形和规范形的方法和实例二次型是高中数学中的重要概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
解二次型的标准形和规范形是解题的关键步骤，本文将介绍解二次型的方法和实例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
一、二次型的标准形二次型的标准形是指将二次型化为特定的形式，便于进行进一步的计算和分析。
对于二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，要将其化为标准形，可以通过以下步骤进行：1. 对称化：将二次型中的非对称项合并，即将$a_{ij}x_ix_j$和$a_{ji}x_jx_i$合并为$(a_{ij}+a_{ji})x_ix_j$。
2. 配方：将二次型中的平方项配方，即将$a_{ii}x_i^2$配方为$(\sqrt{a_{ii}}x_i)^2$。
3. 提取公因子：将二次型中的公因子提取出来，即将$(a_{ii}+a_{jj})x_ix_j$提取为$(\sqrt{a_{ii}}x_i+\sqrt{a_{jj}}x_j)^2-(\sqrt{a_{ii}}x_i)^2-(\sqrt{a_{jj}}x_j)^2$。
通过以上步骤，可以将二次型化为标准形，即只包含平方项的形式。
例如，对于二次型$f(x_1,x_2)=2x_1^2+3x_1x_2+4x_2^2$，首先对称化得到$f(x_1,x_2)=3x_1x_2+3x_2x_1+2x_1^2+4x_2^2$，然后配方得到$f(x_1,x_2)=(\sqrt{2}x_1)^2+(\sqrt{4}x_2)^2+3x_1x_2+3x_2x_1$，最后提取公因子得到$f(x_1,x_2)=(\sqrt{2}x_1+\sqrt{4}x_2)^2-(\sqrt{2}x_1)^2-(\sqrt{4}x_2)^2$。
这样，二次型就被化为了标准形。
二、二次型的规范形二次型的规范形是指将二次型化为特定的形式，便于进一步进行分类和分析。
第6章 二次型及其标准形
问： 在二次型 f = x T Ax 中,如不限制 A对称 A唯一吗 对称, 唯一吗? 如不限制 对称 唯一吗
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
k1 x1 M O = [ x1 ,L , x n ] kn xn
目标： 目标：
1. 正交变换法（重点） 正交变换法（重点） 2. 配方法
T
二次型 f = X AX
↓
可逆线性变换 X = CY
标准形 f = Y T (C T AC )Y
2 = k 1 y12 + k 2 y 22 + L + k n y n
= Y ΛY
T
问题转化为： 问题转化为： 求可逆矩阵 C ，使得 C T AC 为对角矩阵
解（1）写出二次型 f 的矩阵
求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 (2) 求出 的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2 1 P= 1 1 3 − 2
2 1 P = − 2 2 3 1
1 1 P = 2 3 3 2
非退化线性变换（可逆线性变换） 一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记 是可逆矩阵时, 当C 是可逆矩阵时, 称 为可逆线性变换。 可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 主要问题 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 可逆的线性变换 即二次型
求二次型标准形方法及正定二次型
例3. 化二次型 f 3x 2 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
2 1
成标准形, 并求所用的变换矩阵.
3 1 1 解 二次型的矩阵为 1 0 2 1 2 0 3 0 3 1 1 1 0 0 c 1 c 2 3 1 ( AE ) 1 0 2 0 1 0 r 1 r 0 1 3 2 3 1 5 1 2 0 0 0 1 1 3
其标准形为
f z z z
2 1 2 2
2 3
13 坐标变换矩阵为 C 0 0
0 0 1 1 0 3 2 5 1 1 0 0 0 c c 2 3 0 r r 0 1 0 2 3 0 0 1 1
a11 a12 a 21 a22 x1 , x2 , , xn a n1 a n 2
a11 a12 a 21 a 22 A a n1 a n 2
a1n x1 a 2 n x 2 x a nn n
二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 a22 x2 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a 2 n x 2 x n
矩阵P称为把 A变为B的合同变换矩阵
合同矩阵有一下性质： （1）自反性（2）对称性(3) 传递性 定理 设 P 是一个可逆矩阵,若 A 为对称矩阵, 则 B P T AP 也为对称矩阵,且 R( A) R( B)
四、配方法求二次型的标准形
二次型的正定性与标准型
二次型的正定性与标准型二次型是数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、几何等领域。
在二次型的研究中，正定性是一个重要的性质，而标准型则是对二次型的一种标准化表示。
本文将详细介绍二次型的正定性与标准型。
一、二次型的定义与性质二次型是形如$Q(x)=\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$的函数，其中$\mathbf{x}$是$n$维向量，$\mathbf{A}$是$n \times n$的对称矩阵。
二次型具有以下性质：1. 对称性：二次型$Q(x)$中的矩阵$\mathbf{A}$是对称矩阵，即$\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$。
2. 数域上的二次型：二次型中的矩阵$\mathbf{A}$可以是实数域$\mathbb{R}$ 上的或者复数域 $\mathbb{C}$ 上的。
3. 齐次性：$Q(kx)=k^2Q(x)$，其中$k$是标量。
4. 可加性：$Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{y}$。
在研究二次型的正定性与标准型之前，我们先来看一下正定性的定义。
二、正定性的定义与性质正定性是指一个二次型的取值范围。
一个二次型$Q(x)$具有以下性质：1. 正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)>0$时，二次型$Q(x)$称为正定二次型。
2. 半正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \geq 0$时，二次型$Q(x)$称为半正定二次型。
3. 负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)<0$时，二次型$Q(x)$称为负定二次型。
4. 半负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \leq 0$时，二次型$Q(x)$称为半负定二次型。
正定二次型在数学和应用中具有重要意义，例如在优化问题、矩阵理论和最小二乘法中经常用到。
二次型的标准型系数
二次型的标准型系数二次型是高等数学中重要的概念，它在代数和几何中都有广泛的应用。
二次型的标准型系数是指通过合适的线性替换将一个二次型转化为标准形式时所需的系数。
这些系数对于分析二次型的特性和性质非常有帮助。
从代数的角度来看，二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式。
一个n元二次型可以表示为：Q(x)=a1x1^2+a2x2^2+...+anx^2+2b1x1x2+2b2x1x3 +...+2bnb-1xn其中，ai和bij为系数，x1,x2,...,xn为变量。
通过合适的线性替换，可以将二次型Q(x)转化为标准型：Q(x)=λ1y1^2+λ2y2^2+...+λny^2其中，λ1,λ2,...,λn为标准型的系数，y1,y2,...,yn为标准型的变量。
要求二次型的标准型系数，可以通过以下步骤实现：1.将二次项的系数矩阵A对角化：A=PDP^T，其中D为对角矩阵，P为正交矩阵。
2.根据对角矩阵D的对角线元素，得到标准型系数：λi=dii。
对角化矩阵A的过程中，可以使用特征值和特征向量来实现。
特征值是矩阵A的根，特征向量是与特征值相对应的非零向量。
通过计算矩阵A的特征值和特征向量，可以得到标准型系数。
二次型的标准型系数具有重要的几何意义。
标准型系数的符号和大小可以反映二次型的正负性、形状和方向。
对于正定二次型，标准型系数均为正数；对于负定二次型，标准型系数均为负数；对于不定二次型，标准型系数既有正数又有负数。
通过求解二次型的标准型系数，可以帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。
在应用中，二次型的标准型系数可以帮助我们解决最优化问题、优化设计和统计分析等领域的实际问题。
总之，二次型的标准型系数是通过合适的线性替换将一个二次型转化为标准形式时所需的系数。
它对于分析二次型的性质和特性非常有帮助，具有重要的数学和几何意义。
以此为基础，我们可以进一步探索和应用二次型在数学和其他学科中的广泛应用。
线性代数4.4 二次型
例
解
求下列平面图形所围图形的面积：
3x 2 xy 3 y 1 f ( x, y) 3x2 2xy 3 y 2
2 2
3 1 A I 2 6 8 ( 2)( 4) 1 3
A 的特征值为
3 1 A 1 3
可顺次求得单位特征向量
0.6 0.6 0.8 e1 令 P 0.8 e2 0.6 0.8 则经正交变换 x Py，可得标准形
0.8 0.6
f 10 y 15 y
2 1
2 2
例、试用正交变换化二次型
解:
3 2 x1 求二次型 f ( x1 , x2 ) x1 x2 x 经过线性变换 2 6 2 x1 2 y1 y2 之后的表达式。 x2 y1 2 y2 2 1 T T 令 x x1 x2 , y y1 y2 , 有 x y, 则 1 2 3 2 x1 f x1 x2 x 2 6 2 2 1 3 2 2 1 y1 y1 y2 y 1 2 2 6 1 2 2 10 0 y1 y1 y2 10 y12 35 y22 0 35 y2
换x=Hy变成y的二次型
2 2 f (Hy) d1 y12 d2 y2 dn yn
就称此二次型为原来二次型的标准形。
如例4.17
f ( x1 , x2 ) x1
3 2 x1 x2 2 6 x2
x1 2 y1 y2 2 f 10 y12 35 y2 经线性变换 化得标准形 x2 y1 2 y2
第三节正定二次型
惯性定理：设有实二次型f X T AX ,它的秩为r, 它的规范形是唯一的。
f
z2 1
z2 2
z2 p
z2 p 1
z2 p2
z2 r
即r和正惯性系数p对于f都是确定的。
证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。
现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。
假设二次型可以化成两个规范形
惯性定理可表述成 设有实二次型f xT Ax,它的秩
为r , 有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
及
则k
,
1
相等.
f k1 y12 k2 y22 kr yr2
f 1z12 2 z22 r zr2
k, 中正数的个数与 ,
r
1
ki 0, i 0,
推论3. 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值 全为正
推论4. 正定矩阵的行列式大于零
证明：设A为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得：
CT A C 1,
A C 2 1
1
A C2 0
定理2 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶顺序主子式为正，即 a11 a1n
例如 f x12 4x22 16 x32 为三元二次型，则它为正定二次型
f x12 3x22 为二元二次型，则它为负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理1 实二次型f X T AX为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
证明 设可逆变换 X CY使
f Ces k10 k2 0 ks1 kn 0 ks 0.
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2an1,n xn1 xn
ann xn2
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21
x2
x1
a22 x22
a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn )
y22 8y32
1
1 2
4
坐标变换矩阵为 C 1 1 1
0
2
0
1
CT AC D D为对角矩阵
pT m
pT 2
pT 1
Ap1 p2 pm
D
pT 1
Ap1
D1
pT 2
pT 1
Ap1
p2
ห้องสมุดไป่ตู้
D2
pT m
pT 2
pT 1
Ap1 p2
pm
D
pT m
pT 2
pT 1
E
CT
在原理上，我们也可以设计初等行变换来求二
0
r3 5r2 1
0 0
0
1 3
0
1 3
1
0
0 0
8
2
5 1
所以经过变换X PY ,所给二次型化为标准形
f
3 y12
1 3
y22
8 y32
1 1 2
其中
P
0
3
1
5
0 0 1
例2. 化二次型 f 2x1x2 2x1x3 8x2 x3 成标准形, 并求所用的变换矩阵.
解：
二次型的矩阵为A
0
1
3
2
0
0
r2
1 3
r1
1
0
1
0 1
0 0
0
1 3 5 3 1 3
1
0
1
5
3
0
0
0 1
3 0
1
1
0 0
0
1 3 5 3 1 3
1
0
1
3
5
3
0
0
c3
c1
31
0
0
r3
1 3
r1
1
0 1
0 0
0
1 3 5 3 1 3
1
0
0
5
3
1 3
1
3
0 1
3 0
c3
5c2
0 1
1 1 0 4
1 4 0
0 1 1 1 0 4
2 1 3 1 0 4
A E
1 1
4 0
0
0
c1 c2 r1 r2
3
1
4 0
0 0
c2
1 2
c1
r2
1 2
r1
2 0
0
1 2
3
5 2
1
1 2
3
5
2
0
0
0 0
1 0
0 1
1 0
1 0
10
1 0
1 2
0
0 1
2 0 3
D CT AC,C是一个可逆的矩阵
我们知道，任何一个可逆矩阵都等于一系列的初等矩阵的乘积
C p1 p2pm,其中pi是初等矩阵（i 1,2,,m)
CT
pT m
pT 2
pT 1
pT m
pT 2
pT 1
Ap1 p2 pm
D
pT 1
Ap1
D1
一 系
pT 2
pT 1
Ap1 p2
D2
列 的
合 同
pT m
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n xn a2n xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
xk yk
k 1,2,,n且k i, j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
五、用初等变换法化二次型为标准形
由上节内容知道任何一个二次型都可以表示成矩阵形式
a11
F
f
(
x1,
x2
,
xn
)
(
x1,
x2
,
xn
)
a12
a12
a22
a1n x1
a2n
x2
X
T
pT 2
pT 1
Ap1 p2
pm
D
运 算
经过一系列的合同运算使矩阵A变成对角矩阵D
也就是说，我们可以通过以下步骤得到变换矩阵C以及A的 对角化矩阵Λ （二次型的标准化矩阵）。
构造
2n
n
矩阵
EA ，对
A E
每作一次初等列变换，
同时对A作一次相应的初等行变换, 最后
EA
C
当是对角矩阵时, E就变成了C,即所用的变换矩阵
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
X
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f X T AX ,其中A为对称矩阵.
三、矩阵的合同
二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1, x2 ,, xn的二次齐次函数
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
称为二次型.
a x2 n1,n1 n1
次型矩阵的标准形及其变换矩阵。
AX
a1n a2n ann xn
其中矩阵A是对称矩阵，即 AT = A。
然后，经过某个坐标变换可以将它的二次型矩阵变成对角矩阵。
x1 c11
令
x2
c21
c12
c22
c1n y1
c2n
y2
,
或者写成X
CY
xn cn1 cn2 cnn yn
F X T AX Y TCT ACY Y T DY
四、配方法求二次型的标准形
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线
性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
例1. 化二次型f 3x12 2x1x2 2x1x3 4x2 x3 成标准形, 并求所用的变换矩阵.
解
二次型的矩阵为
3 1
1 0
1 2
1 2 0
3 1
A E
1 1
0 0
1 0 2 0 1 0
1
2
0
0
0 1
c2
1 3
c1
3 1 1 1 0 0
0
1 3 5 3 1 3 1
设 有 两 个n阶 矩 阵A和B, 若 存 在 可 逆 定义
矩阵P，使B PT AP，则称B与A合同
矩 阵P称 为 把A变 为B的 合 同 变 换 矩 阵 合同矩阵有一下性质：
（1）自反性（2）对称性(3) 传递性 定理 设 P 是一个可逆矩阵,若 A 为对称矩阵, 则 B PT AP 也为对称矩阵,且 R(A) R(B)
2 0 0
2 0 0
0
1 2
5
2
0
1 2
5
2
0
1 2
0
3
5 2
0
c3
3 2
c1
0
5 2
9 2
c3
5c2
0
0
8
1
1 0
1 2
1 2
0
0
r3
3 2
r1
1
10
1 0
1 2
1 2
0
3 2
r3
5r2
1
3 2 1
1 0
1 2 1 2 0
4
1 1
二次型的标准形为
f
2
y12
1 2