高中数学_线性规划知识复习

高中必修5线性规划

最快的方法

简单的线性规划问题

一、知识梳理

1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．

2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.

3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．

4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．

5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．

二、疑难知识导析

线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．

3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．

4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．

5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.

积储知识：

一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0

2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<0

3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>0

2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0

二.二元一次不等式表示平面区域:

①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的

平面区域. 不．包括边界;

②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成

的平面区域且包括边界;

注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.

三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:

方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域

原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断

Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用

（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

方法二：利用规律：

1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），

当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;

2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）

当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。

四、线性规划的有关概念：

①线性约束条件： ②线性目标函数：

③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解：

典型例题一--------画区域

1. 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．

分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解：直线AB 的斜率为：1)3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ． 可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ．

ABC ∆的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式

062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表

示的平面区域内（如图）．

所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧<+->++>+-022,062,

03y x y x y x 表示．

说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线．

2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．

解：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.

3,

32,,,0,0y x y z y z x y x ． 依照二元一次不等式表示的平面区域，

知332≤<-y x 表示的区域如下图：

对于332≤<-y x 的正整数解，容易求

得，在其区域内的整数解为

)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．

3设0≥x ，0≥y ，0≥z ；z y x p 23++-=，

z y x q 42+-=，1=++z y x ，用图表示出点

),(q p 的范围．

分析：题目中的p ，q 与x ，y ，z 是线性关系．

可借助于x ，y ，z 的范围确定),(q p 的范围．

解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=--,1,42,23z y x q z y x p z y x 得⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧++=+-=-+=),345(271),3514(271),68(271q p z p q y p q x