量子力学复习题

量子力学复习题

一、简答题

1. de Broglie 物质波假设

2.波函数假设

3. 薛定谔应满足的条件是什么？

4.定态及其性质

5．厄米算符的定义及其特性 6.两个力学量同时有确定值的条件 7.量子力学中力学量是守恒量的条件 8.Pauli 原理 9.电子自旋假设

10.全同性原理及对波函数的要求

11. 不考虑电子自旋间相互作用时，写出两电子体系的自旋波函数 12.塞曼效应 二、证明题

1.证明概率密度满足下列关系：

=∙∇+∂∂→

J t

W 。并说明其物理意义。

2.在ψ（x,t ）态下力学量F 的平均值为F =()*,(,)()x t F x t d x ψψ∞

⎰，证明F

的平均值随时间的变化满足：[]

1

dF

F F H dt

t

π∂=

+

∂

。

3. 若ψ1，ψ2是体系的两个可能状态，证明它们的线性迭加ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。

4.对于厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交 5．证明厄米算符的本征值为实数。

6．在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 7.幺正变换不改变算符的本征值。

8.证明：假设)(x ψ，)(x ϕ对应于E 的薛定谔方程的解，证明)(x ψ=C )(x ϕ

9. 若算符∧F 、∧G 有组成完全系的共同本征函数}{)(n x ϕ，证明[∧F ,∧

G ]=0。 三、计算题

1.一质量为m 的微观粒子在下列一维无限深方势阱

()

00{

0,x x a x x a

V

<<=∞

<>

运动，求微观粒子的能量本征值和本征函数。

2. 荷电q 的一维谐振子，受到外电场ε的作用，

2

2

1()2

V x m x q x

ωε=

-.求能量本征值和本征函数

3. 一维无限深势阱（0

'

2,0/2(){

2(1),/2x x a a

x x a x a

a

H

λ

λ<<=-

<<

的作用，求基态能量的一级修正。

4.设在H 0表象中，H

的矩证表示为⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛)0(3)

0(2

)0(1*

*

0E b a b E a E ，)0(1E <)

0(2E <)0(3E ,（1）用微扰论求能量的二级修正。（2）把H 严格对角化后，求H 的精确本征值。 5.一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0≤x ≤a ，t=0时刻的初态波函数为

a

x

a x a x ππψ

sin cos 158)

0,(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

问：（1）在后来某一时刻t 0的波函数是什么？ （2）体系在t=0和t=t 0时的平均能量是什么？

（3）在t=t 0时势箱左半部（0≤x ≤a/2）发现粒子的概率是多少？

6. 设氢原子处于

(

)()(

)()(

)()()211031102111,,,,,r r Y R r Y r Y θϕθϕθϕθϕ-ψ=

-

-

的状态上。求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值与相应的取值概率，

进而求出它们的平均值。