量子力学复习题

量子力学复习题
一、简答题
1. de Broglie 物质波假设
2.波函数假设
3. 薛定谔应满足的条件是什么？
4.定态及其性质
5．厄米算符的定义及其特性 6.两个力学量同时有确定值的条件 7.量子力学中力学量是守恒量的条件 8.Pauli 原理 9.电子自旋假设
10.全同性原理及对波函数的要求
11. 不考虑电子自旋间相互作用时，写出两电子体系的自旋波函数 12.塞曼效应 二、证明题
1.证明概率密度满足下列关系：
=∙∇+∂∂→
J t
W 。

并说明其物理意义。

2.在ψ（x,t ）态下力学量F 的平均值为F =()*,(,)()x t F x t d x ψψ∞
⎰，证明F
的平均值随时间的变化满足：[]
1
dF
F F H dt
t
π∂=
+
∂。

3. 若ψ1，ψ2是体系的两个可能状态，证明它们的线性迭加ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。

4.对于厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交 5．证明厄米算符的本征值为实数。

6．在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

7.幺正变换不改变算符的本征值。

8.证明：假设)(x ψ，)(x ϕ对应于E 的薛定谔方程的解，证明)(x ψ=C )(x ϕ
9. 若算符∧F 、∧G 有组成完全系的共同本征函数}{)(n x ϕ，证明[∧F ,∧
G ]=0。

三、计算题
1.一质量为m 的微观粒子在下列一维无限深方势阱
()
00{
0,x x a x x a
V
<<=∞
<>
运动，求微观粒子的能量本征值和本征函数。

2. 荷电q 的一维谐振子，受到外电场ε的作用，
2
2
1()2
V x m x q x
ωε=
-.求能量本征值和本征函数
3. 一维无限深势阱（0<x<a ）中的粒子，受到微扰
'
2,0/2(){
2(1),/2x x a a
x x a x a
a
H
λ
λ<<=-
<<
的作用，求基态能量的一级修正。

4.设在H 0表象中，H
的矩证表示为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛)0(3)
0(2
)0(1*
*
0E b a b E a E ，)0(1E <)
0(2E <)0(3E ,（1）用微扰论求能量的二级修正。

（2）把H 严格对角化后，求H 的精确本征值。

5.一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0≤x ≤a ，t=0时刻的初态波函数为
a
x
a x a x ππψ
sin cos 158)
0,(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
问：（1）在后来某一时刻t 0的波函数是什么？ （2）体系在t=0和t=t 0时的平均能量是什么？
（3）在t=t 0时势箱左半部（0≤x ≤a/2）发现粒子的概率是多少？
6. 设氢原子处于
(
)()(
)()(
)()()211031102111,,,,,r r Y R r Y r Y θϕθϕθϕθϕ-ψ=
-
-
的状态上。

求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值与相应的取值概率，
进而求出它们的平均值。