高中数学选修2-3 离散型随机变量的期望与方差
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P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、离散型随机变量均值的线性性质
E(aX b) aEX b
三、两点分布与二项分布的均值
X X服从两点分布 X~B（n,p）
E(X)
p
np
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.
(1800 -1400) 2 0. 1 40 000
EX 2 1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.2 2200 0.1 1400
DX 2 (1000 -1400)2 0. 4 (1 400 -1400)2 0.3 (1800 -1400)2 0.2
+ (2200-1400 )2 0.l = 160000 .
2200 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400
DX1 (1200 -1400) 2 0. 4 (1400 -1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
因为 EX1 EX 2 , DX1 DX，2 所以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位．
例 4．A、B 两台机床同时加工零件，每生产
E
1 10 1 3 1 0 1
6
2
3
6
.
对你不利!劝君莫参加赌博.
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式： （1）E(aξ+b)=aEξ+b; （2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
一、离散型随机变量的均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
.
3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次 的得分ξ的期望为 0.7 ．
这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那
么一般地,若ξ~B(n，p)，则Eξ=?
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 D ( x1 E )2 p1 ( xi E )2 pi ( xn E )2 pn n
一般地，随机变量 的概率分布列为
x1 x2
P p1 p2
xi
pi
xpnn
则称E x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
练习二
练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从
中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 1.2 .
2.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 .
（2）E(ξ－Eξ)= 0
均值为90分的含义是什么?
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成
绩大约是90分
思考1
思考2
思考1.某商场的促销决策：
统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利 2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元； 如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下 雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
练习一
(巩固定义)
结论一证明 结论二证明
结论1：若 a b, 则 E aE b
P( axi b)
所以， 的分布列为
P(
xi
), i
1, 2, 3
ax1 b ax2 b
P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
X1
2 34 5 6
.
பைடு நூலகம்
1
P6
1
1
1
6
6
6
1
1
6
6
从而 EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5
666666
DX (1 3.5)2 1 (2 3.5)2 1 (3 3.5)2 1 (4 3.5)2 1
6
6
6
6
(5 3.5)2 1 (6 3.5)2 1 2.92
（二）、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
10
9
DX1 (i 8)2 P( X1 i) 1.50 ,DX 2 (i 8)2 P( X 2 i) 0.82
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知,在 100 次射击之前,估计得i 环的次数为 P( i)100 .
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32.
个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，
所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验
中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩
的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25． 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的
6
6
X DX 1.71
（2）决策问题 例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
获得相应职位的概率P1
1200 0.4
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
获得相应职位的概率P 2
1000 0.4
1400 0.3
1800 0.2
一般地：
对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已
知 P( i)(i 0,1, 2, ,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 P( 0)1 P( 1) 10 P( 10) 记为E 我们称 E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。
数学期望的定义:
=np(p+q)n-1=np
例.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个
选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选
或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为
0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选
择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题
i5
i5
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
应用举例
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点 数的均值、方差和标准差.
离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量的均值
前面,我们认识了随机变量的分布列.
设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 , , xi , ,
取每一个值 xi (i 1, 2, ) 的概率 P( xi ) pi 则称表
x1 x2
xi
P p1 p2
pi
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.
说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或 标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本 的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方 差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体 方差.
（三）、练习
1 .已知 ~ Bn, p, E 8, D 1.6 ，则 n, p 的值分别是（ D ）
A．100和0.08 B．20和0.4 C. 10和0.2 D. 10和0.8
2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出
200件商品，设其中次品数为X，求EX，DX
新疆 王新敞
对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征，最常用的有期望与方差.
思考下面的问题:
某射手射击所得环数 的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
思考2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8
元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场 赌博对你是否有利?
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所
示：
A 机床
B 机床
ξ0 1 2 3 η0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04 P 0.8 0.06 0.04 0.10
问哪一台机床加工质量较好
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解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
( xi E )2 pi 为随机变量的方差. 称 D i 1
为随机变量的标准差. 即E ( )2 D
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
3、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2 ×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2 ×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数
X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , EX 2 8
二、离散型随机变量均值的线性性质
E(aX b) aEX b
三、两点分布与二项分布的均值
X X服从两点分布 X~B（n,p）
E(X)
p
np
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.
(1800 -1400) 2 0. 1 40 000
EX 2 1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.2 2200 0.1 1400
DX 2 (1000 -1400)2 0. 4 (1 400 -1400)2 0.3 (1800 -1400)2 0.2
+ (2200-1400 )2 0.l = 160000 .
2200 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400
DX1 (1200 -1400) 2 0. 4 (1400 -1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 )2 0.2
因为 EX1 EX 2 , DX1 DX，2 所以两家单位的工资均值相等， 但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资 相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些， 就选择乙单位．
例 4．A、B 两台机床同时加工零件，每生产
E
1 10 1 3 1 0 1
6
2
3
6
.
对你不利!劝君莫参加赌博.
学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式： （1）E(aξ+b)=aEξ+b; （2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。
一、离散型随机变量的均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
.
3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0 分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次 的得分ξ的期望为 0.7 ．
这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那
么一般地,若ξ~B(n，p)，则Eξ=?
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 D ( x1 E )2 p1 ( xi E )2 pi ( xn E )2 pn n
一般地，随机变量 的概率分布列为
x1 x2
P p1 p2
xi
pi
xpnn
则称E x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平.
根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
ξ 4 7 9 10 P 0.3 a b 0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
练习二
练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从
中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是 1.2 .
2.（1）若 E(ξ)=4.5,则 E(－ξ)= -4.5 .
（2）E(ξ－Eξ)= 0
均值为90分的含义是什么?
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成
绩大约是90分
思考1
思考2
思考1.某商场的促销决策：
统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利 2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元； 如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下 雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
练习一
(巩固定义)
结论一证明 结论二证明
结论1：若 a b, 则 E aE b
P( axi b)
所以， 的分布列为
P(
xi
), i
1, 2, 3
ax1 b ax2 b
P p1
p2
axipi b
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
解：抛掷散子所得点数X 的分布列为
X1
2 34 5 6
.
பைடு நூலகம்
1
P6
1
1
1
6
6
6
1
1
6
6
从而 EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5
666666
DX (1 3.5)2 1 (2 3.5)2 1 (3 3.5)2 1 (4 3.5)2 1
6
6
6
6
(5 3.5)2 1 (6 3.5)2 1 2.92
（二）、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
10
9
DX1 (i 8)2 P( X1 i) 1.50 ,DX 2 (i 8)2 P( X 2 i) 0.82
在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.
分析：平均环数=总环数100
由概率可知,在 100 次射击之前,估计得i 环的次数为 P( i)100 .
所以,总环数约等于 （4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. 故100次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32.
个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，
所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验
中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩
的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25． 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的
6
6
X DX 1.71
（2）决策问题 例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
获得相应职位的概率P1
1200 0.4
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
获得相应职位的概率P 2
1000 0.4
1400 0.3
1800 0.2
一般地：
对任一射手,若已知他的所得环数 的分布列，即已
知 P( i)(i 0,1, 2, ,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 P( 0)1 P( 1) 10 P( 10) 记为E 我们称 E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所 得环数随机变量 所取的平均值。
数学期望的定义:
=np(p+q)n-1=np
例.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个
选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选
或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为
0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选
择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题
i5
i5
因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
应用举例
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点 数的均值、方差和标准差.
离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量的均值
前面,我们认识了随机变量的分布列.
设离散型随机变量 可能取的值为 x1 , x2 , , xi , ,
取每一个值 xi (i 1, 2, ) 的概率 P( xi ) pi 则称表
x1 x2
xi
P p1 p2
pi
为随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.
说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或 标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
（2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本 的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方 差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体 方差.
（三）、练习
1 .已知 ~ Bn, p, E 8, D 1.6 ，则 n, p 的值分别是（ D ）
A．100和0.08 B．20和0.4 C. 10和0.2 D. 10和0.8
2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出
200件商品，设其中次品数为X，求EX，DX
新疆 王新敞
对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征，最常用的有期望与方差.
思考下面的问题:
某射手射击所得环数 的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
思考2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8
元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场 赌博对你是否有利?
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE b
即 E(a b) aE b
练习一 (巩固定义)
练习一
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ=
2.4 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所
示：
A 机床
B 机床
ξ0 1 2 3 η0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04 P 0.8 0.06 0.04 0.10
问哪一台机床加工质量较好
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解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
( xi E )2 pi 为随机变量的方差. 称 D i 1
为随机变量的标准差. 即E ( )2 D
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
3、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2 ×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,
Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2 ×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数
X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , EX 2 8