人教版初三数学下册锐角三角函数-正弦
人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)
sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的 值与它对应，所以sinA是A的函数。
已知sinA＝ 3 ，那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜
一个固定值；
2
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢？
这也就是说，
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。
锐角三角函数——正弦 课件 人教版数学九年级下册
AB2 AC2 BC2 2BC2 2x2
AB 2x
因此 BC x 1 2
AB 2x 2 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这 个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都 等于 2
2
在RtABC中
（1）当A
300
时，A的对 斜边
边
1 2
（2）当A
450
时，A的对 斜边
边
2 2
那么，当A取其他一定度数的锐角时，
A的对边 是否也是一个固定的值呢？
斜边
演示
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝ ∠A'＝α，那么 BC 与 B'C' 有什么关系．你能解释一下吗？
AB A' B'
B' B
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以
解： （1）在Rt△ABC中，
3
AB AC2 BC2 52 32 34
A
5
C
因此
sin A BC 3 3 34 AB 34 34
sin B AC 5 5 34 AB 34 17
返回
第二阶梯
在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
求:△ABC的周长.
sin A 4 . 5
B' B
50m 30m
A
C C'
B
上面的问题中，若∠A＝45°，BC=50m,则
AB=_5_0__2_m__,
BC AB
2
_____2___
人教版九年级数学下册课件：28.1锐角三角函数--1.1正弦
D.
6.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐
标为(3，4)，则sinα＝ .
7.如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C
作⊙O的一条切线，切点为D.若AC＝7，AB
＝4，则sinC的值为 .
20
知识点二：正弦函数的应用
典例讲评
在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sin A= 则
B
边AC的长是( A )
A.
B.3 C.
D.
A
C
解析:如图,
而BC=2,
21
知识点二：正弦函数的应用
归纳总结
由正弦值求边长
角的对边 斜边
角的邻边
22
知识点二：正弦函数的应用
合作探究
在Rt△ABC中，∠C＝90，
AC＝4，sinB＝ ，则边AB的长为( D )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
在△ABC中，AB＝AC＝5， B
表示方法：
28
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
29
作业布置
1.课本第64页及68页习题28.1第1题的求正弦值； 2.《能力》；
30
可得AB = 2BC = 70(m).也就是说， 需要准备70 m长的水管.
5
知识点一：正弦函数的定义
新知探究
在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m， 那么需要准备多长的水管？
B′ B
50 m 35 m
通过上述计算， 你发现了什么规律？
A
C C′
6
知识点一：正弦函数的定义
新知数等于30°， 那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边 与斜边的比都等于 ．
人教版九年级数学下册《锐角三角函数----正弦》PPT
C
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
在Rt△BCD中， A
∟
DB
∵CD⊥AB
∴∠BCD=∠A
∴∠CDB=90°
∴在Rt △BCD中，BC=5
∴∠BCD+∠B=90° ∴sinA=sin∠BCD= BD 3 BC 5
例3如图, △ABC中，AD是BC边上的高，
∠C=45°,sinB= 1 ，AD=1，求BC的长
sin
A
A的对边 斜边
a c
B
例如，当∠A＝30°时，有
ca
斜边
对边
sin A sin 30 1 2
A bC
当∠A＝45°时， sin A sin 45 2 2
注意事项：
sinA表示∠A的正弦，记号里习惯省去角 的符号“∠”；但如果表示∠ABC的正 弦，写成sin∠ABC，符号“∠”不能省 略
A3 5
4
B5
3
4
C4 D3
y
4
•P
α
O3
x
2、如图，△ABC的顶点都是边长为1
的正方形网格中的格点，则sin∠ABC
等于（ C）
A5
B2 5
5
C5
5
2 D3
A
B
CD
例2：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB，垂足为点D，且BD=3，DC=4，求
sinA得值。 解：在Rt△ABC中，
于 2，
2
A
在Rt△ABC中
BC BC 1 2 C
B
AB 2BC 2 2
信息3：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小 如何，∠A的对边与斜边的比也是一 个固定值．
人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数-正弦函数》教案
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数-正弦函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量教学楼的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正弦函数的奥秘。
3.增强学生的几何直观和空间想象能力，通过绘制和分析直角三角形，使学生能够形象地理解正弦函数的意义和计算方法。
4.激发学生的数据分析观念，通过收集和比较不同角度的正弦值，引导学生发现并总结正弦函数的规律和特点。
5.培养学生的数学建模素养，鼓励学生将实际问题抽象为数学模型，运用正弦函数构建方程，解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正弦函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：在教学过程中，教师可以通过以下方法帮助学生突破难点：
-使用动态几何软件或实物模型，展示正弦函数的定义和计算过程，使学生更直观地理解。
-通过绘制不同角度的直角三角形，引导学生观察正弦值的变化，发现正弦函数的增减性。
-对于正弦函数取值范围的推导，可以让学生通过测量和计算不同角度的正弦值，总结出规律，加深理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正弦函数的基本概念。正弦函数是指在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值。它是解决三角形测量问题的重要工具。
人教版九年级数学下册课件锐角的正弦ppt
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、 (为3)当∠，AA是C任＝意2，一求个s确in定B的值锐．角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
设AC＝5x，BC＝4x，则AB＝3x＝4，
∴x＝43，
∴AD＝BC＝136.
例3 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若⊙O的半径
为
3 2
，AC＝2，求sin B的值．
解：连接CD.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴sin D＝AADC＝23.
由圆周角定理，得∠B＝∠D， ∴sin B＝sin D＝23.
((21))如教果材做出P水6∠4口练的A习高的第度2正题是；4弦0 m，时，记需要作准s备in多长A的，水即管？sin A＝__c__．
3．如图，把含30°角的三角尺ABC绕点B按逆时针方向旋转90°到三角尺DBE的位置，连接AD，求sin ∠ADE的值．
28．1 锐角三角函数
如果出水的高度为50m,那么需要准备多长的水管？
(1) 教材P64练习第2题；
设例A2 C＝如5图x，，B在C矩＝形4xA，B则CDA中B＝，3DxE＝⊥4A，C于点E. 如活果动出 1 水新的课高导度入为50m,那么需要准备多长的水管？
怕吃苦、没有真才实学，再好的理想也 活(1)动教1 材新P课64导练入习第2题；
(设1)AC教＝材5Px，64B练C习＝第4x2，题则；AB＝3x＝4，
∴易得 EF＝AF＝ 22·AE＝3
2－ 6
6 x.
在 Rt△DEF 中，sin ∠ADE＝DEFE＝
人教版数学九年级下册 28.1-锐角三角函数(1)-正弦(共25张PPT)
点，过P作PQ ⊥OB于点Q，则a的正
弦函数值与( B )
A、角a的大小无关
B、点P的位置无关
C、角a的度数无关 D、OP的长度有关
A P
a O
Q
B
6、如图，∠C=900，AB= 6 ，BC= 3 ，
求∠A的度数。
B
6
3
C
A
如图, ∠C=90°CD⊥AB.sinB可以
等于两条线段之比?
在RtBC中 D sinBCCDB
sin45°= 2
2
sin60°= 3 2
B
2a 60°a
30°
A
3a
C
E
2a
a
D 45° F
a
对于锐角A的每一个确定的值, sinA有唯 一确定的值与它对应,所以sinA是A的函数.
1.判断对错:
1) 如图 (1) sinA= BC （√ ）
AB
BC (2)sinB=
AB
（ ×）
(3)sinA=0.6m （×）
在Rt△ACD中，AD= A2C － C2D =52－ 32
sin
∠ACD=
AD AC
=
ห้องสมุดไป่ตู้
4 5
=4
∴sinB=
4 5
小结 拓展
回味无穷
1.锐角三角函数定义:
B
sinA= ∠A的对边
斜边
1
Sin300 =
2
A
sin45°= 2
2
斜边
∠A的对边
┌ C
sin60°= 3
2
2.sinA是∠A的函数.
3.只有不断的思考,才会有新的发现;只有 量的变化,才会有质的进步.
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正弦
问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机
井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站, 对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管？
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗?
这个问题可以归结为，在RtAABC中，ZC=90° ,
ZA=30° , BC=35m,求AB的长
在RtZMBC中，ZC=90° , ZA =30° ,
J8C=35m,求的长
B 根据“在直角三角形中, 30°角
所对的直角边等于斜边的一半”，
即’
可得AB=2BC=70m,即需要准备70m长的水管。
=1
50m,那么需要准备多长的水管?
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30° ,
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 值都等于L o
在上面的问题中，如果使出水口的高度为
如图，任意画一个RtAABC, A
使ZC=90° , ZA=45° ,计算ZA的对边
与斜边的比兀, 你能得出什么结论？朋
C
\ 即在直角三角形中，当一个锐角等于45。
时，不管这个直角三的对边与斜边的比形的大小如何，这个角于。
结论
综上可知，在一个RtAABC中，ZC=90° ,
当ZA=30。
时，Z4的对边与斜边的比都等于L ,
是一个固定值;
当ZA=45。
时，ZA的对边与斜边的比都等于返,
2也是一个固定值・
一般地，当NA取其他一定度数的锐角时，它的
1
对边与斜边的比是否也是一个固定值? 1
任意画RtAABC 和Rt2\A 坐C,使得ZC=ZC = 90° , ZA = ZA <= 那么 系.你能解释一下吗？
B 由于ZC=Z
C 9=90° , ZA = ZA 9
= c 所以 RtAABC^RtAA^^9
BC AB BC BC
B'C ' 71" 卜与苛有什么关 c f
r A C A'
BC~AB^H AB=ZB*
探究
观察图中的RtAABICl、RtAAB2C2和
，
SRt/\4B3C3
B3C3
ABi
AB2 = AB 3
议一议：在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比与边长的大小有关吗？
你能得到什么结论？
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，ZA禹对边与斜边的比都是一个固定值.
正弦
如图，在RtZXABC 中，ZC=90° ,我们把锐角A 的 对边与斜边的比叫做ZA 的正弦(sine),记作sinA,
例如，当ZA =30°时，我们有
在图中
ZA 的对边记作a ZB 的对边记作〃
勺对盘 余
斗:c
B
爲
A b C
当ZA=45°时，我们有
2
注意
• sinA是一个完整的符号，它表示ZA的正弦，记号里习惯省去角的符号；
• sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中Z A的对边与斜边的比；
• sinA不表示“sin"乘以“A"。
例题示范
例1如图，在RtAABC中，ZC=90° ,求sinA和simB的值.
AB=J AG+B g = 丁平 +于=5.
因曲1灯=竺/, sinB=“J.
AB 5 AB 5
练习
1•在RtAABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值(C) 〕
A.扩大100倍
B.缩小订
C.不变
D.不能确定
2、在^ABC中，ZC=90° , BC=2,
sinA=-,则边AB的长是()
A. VTT B> 3 C. 4 D. 7?
3•已知点P(3,4)是山边OA上的一点求sin(Z的值?
4 •已知△ ABC 中,ZACB=900,CD 丄AB 于D,
若
5、如图，在厶ABC中, 求AABC的面积。
AB=CB=5, sinA=— ,
小结拓展回味无穷1・锐角三角函数定义:
sinA="的对边
斜边
Sin30° = ■ sin45 ° = 2-sinAMZA 的函数.。