武汉大学2004-2005线性代数试题(54工)
线性代数答案第四版(高等教育出版社)
−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章 行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by
武汉大学2005-2006线性代数试题(工科54学时)
武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用）学院 专业 学号 姓名注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算题（每题5分，6题共30分）：1．设111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算nA .2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩.4．已知阶矩阵(2)n ≥，且非奇异，求**()A .5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足0+==E A E A -，计算A I 323+.6. 设n 阶向量Tx x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x .二、解答题（3题共45分，每题15分）1．设10102016A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()2R A =，满足，求a 和.2．已知222254245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.3、设二次型222123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1-成为对角阵;(3).计算mA (m 是正整数).三、证明题和讨论题（2题共25分）：1.（10分）设是阶实方阵，(1).当为奇数且I AA T=及时, 证明：0=-A I .(2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆.2.（15分）对线性空间3R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题：(1).向量组B 是否能成为3R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵P ,其中1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2110α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 2112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭a 3110β-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，且a 为实数.(2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，（a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；（b ）给出矩阵123(),,βββ为正交阵的一个充要条件，并证明之.（2005－2006上工科54学时）线性代数A 卷参考解答一、计算题：1、11113111111()n --⎛⎫⎪--- ⎪⎪--⎝⎭；2、1212λλ＝，＝；3、 2 ；4、2n AA -； 5、－10 ； 6、－1 . 二、解答题：1、解：由初等变换求得a ＝1，（记E I =，下同），由0≠-EA ，因此 可逆 ，且2、解：经计算, 因此方程组有唯一解。
2004-2005第二学期线性代数试题参考答案
----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 2004级2004-2005第二学期线性代数试题参考答案一、 填空题（每小题3分，共15 分）1． ))()((b c a c a b ---； 2. 相关; 3. 12536-; 4. 44<<-t ; 5.可以二、 选择题(每小题3分,共15 分)1. B2. C;3. D;4. A;5. C三、 计算题(每小题10分共30分)1.行列式的值为36-.2. B X E A X B AX =-⇒+=)(.,110101111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-E A 0≠-E A , E A -可逆. 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=-143311410352111211101)(1B E A X . 3. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==00001000021003511991191103281120351),,,(4321T T T T A αααα.向量组的秩为3,它的一个极大无关组为421,,ααα.四、 解答题(每小题12分, 共24分)1. 方程组的增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300002621037321134551353137321b b .当3=b 时,方程组有解.此时的方程组为⎩⎨⎧=++=+++26237324324321x x x x x x x ,它有一特解T )0,0,2,3(.对应的齐次线性方程组为⎩⎨⎧=++=+++06207324324321x x x x x x x ,它有基础解系T )1,3,0,2(--, T )0,1,2,1(--. 故原方程组的通解为 T )0,0,2,3(+k T )1,3,0,2(--+l T )0,1,2,1(--,k 与l 为任意常数.2. 二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312132220A .由由 0=-A E λ得A 的特征值2-=λ, 和4=λ(二重). 当2-=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T )1,1,2(-,当6=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T T )1,1,1(,)1,1,0(-.易知这三个向量是两两正交的. 只需再将它们单位化即可得正交矩阵----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=61312161312162310P 使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-2441AP P . 在正交变换PYX =下,232221244y y y f -+=. 五、 证明题(每小题8分,共16分)1. 对B 按列分块, []321B B B B =, 则对于方程0=AX ,321,,B B B 都是其解.由于0B ≠, 故方程0=AX 至少有一个非零解,其充要条件是0=A .而)2(5-=λA . 所以2=λ. 此时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000850321A ,秩2)(=A r . 方程0=AX 的基础解系只含一个向量X, )3,2,1(,==i X k B i i . 所以秩3,11)(=-<=n n B r . 故B 的伴随矩阵*B 的秩为0.2. 因三维向量组(I):321,,ααα中的三个向量分别是三阶矩阵A 的属于特征值 0, 1, 3 的特征向量, 一定是线性无关的. 因此等价于其构成的行列式0321≠ααα. 而向量组(II): 421,,ααα线性相关等价于0421=ααα. 向量组(III): 4321,,αααα-满足条件0421*******≠-=-αααααααααα. 故向量组(III)线性无关.。
2004考研线代部分试题(精)
0
0 0 1
1 1 1 0
属于 λ1
T k ξ k ( 1 , 1 , 1 , , 1 ) 的全部特征向量为 1
λ2 1 b 时
k 为任意不为零的常数
1 1 1 b b b 0 0 0 b b b λ2 E A b b b 0 0 0 得基础解系为 ξ (1,1,0,,0) T
λ1 1 (n 1)b 时
b b (n 1)b (n 1)b b b λ1 E A b b ( n 1 ) b
n 1 1 1 1 (n 1) 1 n 1 1 ( n 1 ) 1 1 1 1 0 1 ( n 1 ) 0 1 1 1 n 1 各都加到第一行上 1 1 n 1 1 1 1 n 1 1 0 0 0 0
时
r ( A) n 1 n
故方程组也有非零解，其同解方程组为
由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中k为任意常数
2 x1 x 2 0, 3 x x 0, 1 3 nx1 x n 0,
(1,2,, n) x k
B P AP
1
其中
P 为三阶可逆矩阵, 则
2
B
2004
2 A ____
，
【解】因为
1 0 0 2 A 0 1 0 0 0 1
B
2004
P A
0 3 0
2004年武汉大学高等代数解答2
《高等代数》试题解答
1． 解
由
A
=1， 2
⎛ ⎜⎝
1 3
A
⎞ ⎟⎠
−1
=
1 A* 9 27 A
= 6 A* ，而
A*
=
A 2 ，故
⎛ ⎜⎝
1 3
A
⎞−1 ⎟⎠
−10
A*
=
−4 A*
= −64
A*
= −16 ．■
2． 解 将 Dn 加边得，
1 a1
an
0 Dn =
综上，存在 K 上的 n 阶可逆矩阵T ，使得 f ( y) = Ty (∀y ∈U ) 是U 到V 的同构映射．■
另一方面，由 B 表达式，知 B 的逆可由 E, A, A2 表出，令 B−1 = aA2 + bA + cE ，则
( )( ) BB−1 A2 − 2 A + 2E aA2 + bA + cE = E
利用多项式恒等知识得
a
=
1 10
,b
=
3 10
,
c
=
2 5
，而
⎛ ⎜⎝
1 10
A2
+
3 10
A
+
2 5
E
⎞ ⎟⎠
B
=
E
，
故， B 的逆即为 1 A2 + 3 A + 2 E ．■ 10 10 5
5． 证 因为 AA* = A* A = A E ，故 A* A = A n ， 若 A ≠ 0 ，则 A* = A n−1 ．
若 A = 0 ，则当 r ( A) = 0 , A = 0 ， A* = 0 ，故 A* = A n−1 ，
04级线性代数试题及答案
04级线性代数试题一、选择题1．设|A |是四阶行列式，且|A |=-2，则||A |A |=( )．(A) 4； (B)8； (C)25； (D) -25 ． 2．设A,B,C 为同阶方阵，且ABC =E .则下列各式中不成立的是( )．(A) CAB =E ； (B)111B A C E ---=； (C) BCA =E ； (D)111C A B E ---=． 3．11223344(1,0,0,),(1,2,0,),(1,2,3,),(2,1,5,),T T T T αλαλαλαλ===-=-设1234,,,,().λλλλ其中是任意实数则有(A) 123,,ααα总线性相关； (B) 1234,,,αααα总线性相关； (C) 123,,ααα总线性无关； (D) 1234,,,αααα总线性无关． 4．设12,,,s ααα 和12,,,t βββ 为两个n 维向量组， 且1212(,,,)(,,,)s t r r r αααβββ== ，则( )． (A) 两向量组等价；(B) 1212(,,,,,,,)s t r r αααβββ= ；(C)当12,,,s ααα 能由12,,,t βββ 线性表示时，两向量组等价； (D) 当s t =时，两向量组等价．5．下列说法中向量组12,,,s ααα 必定线性相关的是( )． (A) 121,,,s βββ- 可由12,,,s ααα 线性表示； (B) 12121121(,,,,,,,)(,,,)s s s r r αααββββββ--= ； (C) 1212(,,,)(,,,,)s s r r ααααααβ= ；(D) 12121212,,,,,,,s s s s βββαααγγγγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中线性相关.6．11(),1(1,2,,)().n ij ij j in j A a n n a x a i n -==-==∑ 设为阶可逆方阵则元线性方程组(A)有唯一解； (B)无解；(C)有无穷多解； (D)以上三种结果都可能发生．7．已知二阶实对称矩阵A 的一个特征向量为31-⎛⎫⎪⎝⎭，且|A |<0，则下面必为A 的特征向量的是( )．(A) 31k -⎛⎫⎪⎝⎭； (B)13⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 121231,0013k k k k -⎛⎫⎛⎫+≠≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且； (D) 121231,,13k k k k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不同时为零.8．若矩阵A 与B 相似，则( )．(A)E A E B λλ-=-； (B) |A | = |B |；(C)A,B 有相同的特征向量； (D) A 与B 均与一个对角矩阵相似． 9．当A 是( )时，A 必合同与单位阵．(A) 对角矩阵； (B) 对称矩阵； (C) 正定矩阵； (D) 正交矩阵． 10．n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是( )． (A)A 的所有特征值非负； (B)r (A )=n ； (C)所有k 阶子式为正(1≤k ≤n )； (D)1A -为正定矩阵． 二、填空题1．多项式10223()71043171x x xf x x-=--中，常数项为 ． 2．设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且|A |=|B |=2，则*020A B=- ．3． ,,αβγ为三维列向量，已知三阶行列式|4,2,2|40γαβγα--=， 则行列式|,,|αβγ ．4．设A ,B 均为四阶方阵，r (A )=3, r (B )=4，则r (A *B *)= ．5．设1121A ⎛=⎪⎭，已知A 6=E ，则A 17= ．6．设A 为对称矩阵，B 为与A 同阶的正交矩阵，则111()()T T B B A B A E B ---++= ．7．设为四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为 ．8．设A,B 均为n 阶方阵，且|AB |=1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数的和为 ．9．若A 相似于diag (1, -1,2)，则13||A -= ． 10．当t 满足条件 时，二次型f 是正定的，其中2221231231223(,,)222f x x x x x x x x tx x =++++三、计算题1．*1*102010,2,,001A A XA A X E A A -⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭设且其中是的伴随矩阵.X 求矩阵2．λ取何值时，方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ--=-⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩ 无解、有唯一解或有无穷多解？在有无穷多解时求其通解。
武汉大学2004年线性代数解答
武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目：高等代数 科目代码：804一、设A 为3阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，1det 2A =，求11det(()10*)3A A --.（10分） 二、计算n 阶行列式1212121200nnn n n a a a a a a a a D a a a a ++++=++，其中0,1,2,,j a j n ≠=.（10分）三、设A 为m n ⨯矩阵，A 的秩()R A Y =，证明存在m Y ⨯矩阵B 和Y n ⨯矩阵C 且()()R B R C Y ==，使A BC =.（10分）四、已知322,22A E B A A E ==-+，证明B 可逆，并求出其逆.（15分） 五、A 为n 阶矩阵，*A 为其A 的伴随矩阵，证明：1det *(det )n A A -=.（20分） 六、设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明：（1） AB 的特征值全大于零；（10分）（2） 若AB BA =，则AB 是正定矩阵.（5分）七、求矩阵1111m nA ⨯⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭（即A 中的每个元素都为1）的最小多项式.（15分） 八、设V 是复数域上的n 维线性空间，,f g 是V 的线性变换，且fg gf =，证明：（1）如果λ是f 的特征值，那么V λ（λ的特征子空间）是g 的不变子空间；（8分） （2）,f g 至少有一个公共的特征向量.（7分）九、设A 为n 阶方阵，证明：如果()()R A R A E n +-=，则A 可对角化.（20分）十、 设,A B 是数域K 上的m n ⨯矩阵，且()()R A R B =（()R A 是矩阵A 的秩）。
设齐次线性方程组0AX =和0BX =的解空间分别是,U V 。
证明存在K 上的n 阶可逆矩阵T ，使得()()f y Ty y U =∀∈是U 到V 的同构映射.（20分）武汉大学2004年高等代数试题解答以下如有不妥之处还请大家批评与指正！！Godyalin 于2006年2月14日星期二一、解11*1*11det(())|310||||310|3||A A A A A A A ---=-=- 1*12|310|2|310|||2|35|(2)n AA AA E A E E E -+=-=-=-=--二、解为此我们先证明这样一个事实： 设A 是可逆矩阵，则有1100E A B A B CA E C D D CA B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式有 1||||(1)A B A D CA B CD-=+-1100A B E BD A BD CC D E CD --⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式有 1||||(2)A BD A BD C C D-=+-由（1）（2）知11||||||(*)||D D CA B A BD C A --+=+回到本题的计算。
武汉大学线代往届试题
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒； ⃒ ⃒ ⃒ ⃒
2. ������ = |������|,其中 ������ = (������������������ ) 是 2007 阶方阵, ������������������ = ������ − ������.
二. （10 分） 设 ������1 = (1, 0, 2, 1), ������2 = (2, 0, 1, −1), ������3 = (1, 1, 0, 1), ������4 = (4, 1, 3, 1), 求向量组 ������1 , ������2 , ������3 , ������4 的秩和一个极大无线性关组.
三. (40 分) 证明与讨论 ⎧ ⎪ ⎪ ������������1 + ������2 + ������3 = 0 ⎨ 1. 设有线性方程组 ������1 + ������������2 + ������3 = 3 ⎪ ⎪ ⎩ ������ + ������ + ������������ = ������ − 1 1 2 3 并在有无穷多解时求出其通解.
3
武汉大学 2006 – 2007 学年第一学期
《 线性代数B》 (工科 54 学时)试题
一. (10 分) 计算下列行列式 ⃒ ⃒ ������ ⃒ 1 0 ������1 0 ⃒ ⃒ 0 ������1 0 ������1 1. ������ = ⃒ ⃒ ������ ⃒ 2 0 ������2 0 ⃒ ⃒ 0 ������2 0 ������2
2
武汉大学 2005 – 2006 学年第二学期
《 线性代数D 》 (工科 36 学时)试题
一. (30 分) 计算题 1. 设 ������1 = (3, 21, 0, 9, 0), ������2 = (1, 7, −1, −2, −1), ������3 = (2, 14, 0, 6, 1), 求向量组 ������1 , ������2 , ������3 的一个极大无关 组.
线性代数期末试题(武汉大学)附答案
《线性代数》 （A 卷，工科54学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分) 已知1234567891011121010*******11000011001011A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，，求行列式T AA 及秩()r B 。
二、(15分) 已知矩阵方程11)2(--=-CA B C E T，求矩阵A .其中1232120*********,.0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、（15分）已知向量组123412342345, , , 34564567αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求向量组A 的秩及一个最大无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．四、(15分）设11010,1.111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，1）求a λ，；2）求方程组Ax b =的通解.五、(15分）设α是实数n 维非零列向量，E 为n 阶单位矩阵，[2/()]TTA E αααα=-，1）计算T A ，并回答()kE A -能否相似于一个对角阵？并说明理由，其中k 为常数；2）计算2A ，并回答()kE A -是否可逆？并说明理由，其中1k ≠±；3）给出2TE αα-（）为正交矩阵的充分必要条件。
六、(15分)在四元实向量构成的线性空间4R 中,求k 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基12341234,,,,,,ααααββββ到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α；1111k β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21121k β-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β 七、(15分) 设A 为n 阶对称矩阵, C 为n 阶可逆矩阵,令=TB C AC ，证明以下命题:1）B 为n 阶对称矩阵, 且=()()r B r A ；2）如果B 是一对角阵，C 是正交阵，且()f λ是 A 的特征多项式，则 =()f A O 。
线性代数(含全部课后题详细答案5-1.
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr n。
4 7
4 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
x1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
25
13 7
令 x3 x4 0,
得
4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
x1 x3
2x2 3
10 x4
1 5
x4
令
x2 x4
1
0
得
1
1 0 0
1
5
令
x2
x4
0
1
得
2
0 3
10 1
2
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方程组
2 4
x1 x1
2 x1
2 1 3
解：(
A,
b)
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武汉大学2004-2005线性代数试题(54文)
备用试题武汉大学数学与统计学院2004-2005学年第1学期《线性代数》试题 (文科54学时)姓名 学号 班号 专业 成绩一、（共5小题，每小题6分共30分）给出下列各问题的答案：1）、四阶阵000400201000510000A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为何？ 2）、已知1(102)T x , , =、T , , x )54(32=是三元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量， 则对应齐次线性方程0=Ax 的一个非零解为何？3）、在3R 中，1( 1, 1, 1 )α=，2( 1, -2, 1 )α=，使123ααα，，为正交向量组的非零向量3α为何？ 4）、矩阵之积10099010123001100345010001567100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为何？ 5）、设三阶矩阵A 有一个特征值为1， 且0A =及A 的主对角线元素的和为0，则A 的其余二个特征值为何？二、（12分）设矩阵1410,1102P D ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵A 由矩阵方程1P AP D -=确定，试求5A 。
三、（12分）设向量 ()13, 21, 0, 9, 0α=, ()21, 7, 1, 2, 1α=--- , ()32, 14, 0, 6, 1α=,求向量组 123, , ααα 的秩并求一个极大线性无关组。
四、（12分）已知二阶方阵A 的特征值为1λ=1及2λ=13-，方阵2B A A I =++，求B 的特征值 及B 的行列式的值。
五、（12分）已知二次型22(,)545f x y x xy y =++ 经正交变换''x x P y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化成了标准形，试求出二次型的标准形并给出所用的正交矩阵P 。
六、（12分）设B 是三阶非零矩阵， 齐次线性方程组Ax O =由1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩给出，如果AB O =，试求λ的值和B七、（10分）设向量组 12, ,,s ααα⋅⋅⋅ 线性无关，而12, ,,s ααα⋅⋅⋅,, βγ线性相关， 如果, βγ都不能由向量组12, ,,s ααα⋅⋅⋅线性表出，证明：向量组U :12, ,,s ααα⋅⋅⋅,β与向量组V : 12, ,,s ααα⋅⋅⋅,γ 等价。
线性代数第五版第1章常见试题及解答
线性代数第五版第1章常见试题及解答一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．二阶行列式1221k k ≠0的充分必要条件是（）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3答案：C2．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a =（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3答案：D3.如果方程组0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k=（）A.-2B.-1C.1D.2答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a ，则D 1的值为（）A ．-15B ．-6C ．6D ．15答案：C 5.设3阶方阵A =[321,,]，其中i（i=1, 2, 3）为A 的列向量，且|A |=2，则|B |=|[3221,,3]|=（）A.-2B.0C.2D.6答案：C 6.若方程组0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（）A.-1B.0C.1D.2答案：A7．3阶行列式jia =011101110中元素21a 的代数余了式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2答案：C8.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a =（）A.-24B.-12C.-6D.12答案：B9．行列式111101111011110第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2答案：B10.设行列式1111034222,1111304z y x z y x则行列式（）A.32 B.1 C.2 D.38答案：A11.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b =（）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）答案：B2.计算行列式3232200051020203=()A.-180B.-120C.120D.180二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
武汉大学2004试卷
武汉大学2004—2005学年度第二学期2003 人文试验班《西方哲学史》试卷（A）学号姓名院（系）分数一、填空。
（每空 0.5 分，共 10 分）1、毕达哥拉斯学派提出万物的本原是________；他们认为具体事物是对数的________，这一观点影响到后来的柏拉图。
2、赫拉克利特说神就是永恒的流转着的________，命运就是那循着相反的途程创生万物的________。
3、高尔吉亚针对爱利亚派提出了三个命题，这三个命题是：无物存在，__________________， __________________。
4、亚里士多德的四因是指：________，_______，________，________。
5、伊壁鸠鲁认为，原子除了有________的差别之外，其运动还有________的特点，马克思认为这样一来就高扬了个体能动性和自由意志。
6、________，________，________被黑格尔统称为希腊化时期的三个“自我意识的哲学”。
这三派都追求心灵的宁静。
7、基督教哲学的发展大体上可以分为两个阶段。
即早期的________哲学与后期的________哲学（大致以公元 11 世纪为界）。
前者以柏拉图主义为基础而后者则以亚里士多德主义为基础。
8、奥古斯丁认为，自亚当和夏娃因罪被贬之后，现实世界就被划分成两座城：________和________。
9、奥卡姆剃刀原则的内容是______________________。
二、名词解释。
（5 题选做 4 题，每小题 3 分，共 12 分）1、阿基里斯追龟悖论2、人是万物的尺度3、中庸（亚里士多德）4、本体论（亚里士多德）5、唯名论与实在论三、简述与简答。
（6 题选做 4 题，每小题 3 分，共 12 分）1、简述米利都学派学说的进展。
2、一般认为，德谟克利特的原子是打碎了的巴门尼德的存在。
为什么会这样说？能不能说恩培多克勒的“四根”与阿那克萨哥拉的“种子”也是打碎了的巴门尼德的存在呢？为什么？3、简述苏格拉底“自知其无知”说。
05-06学年第二学期线性代数D期末试题(B卷)
武汉大学数学与统计学院2005-2006学年第2学期《线性代数D 》试题 B 卷 (工科36学时)姓名 学号 班号 专业 成绩 一、（16分）选择题1、A 是3阶矩阵，且3-=A ,则A 2-=（ ） A 、6 B 、-6 C 、24 D 、-242、设A 是n 阶矩阵，且A A =2，则有（ ） A 、若I A ≠，则0=A B 、若0≠A ，则I A =C 、若0≠A ，则I A =D 、0=A ，则0=-I A3、设A 是n 阶矩阵，若0=A ，则有（ ） A 、A 中必有一行元素全为0 B 、0=AX 有非零解C 、A 中必有两行元素对应成比例D 、对任意非零n 维列向量b ，b AX =无解4、向量),2,3(),2,1,(b a -==βα正交，(b a ,均为正数)，且21=α，则（ ）A 、3,2==b aB 、5,4==b aC 、2,3==b aD 、4,5==b a 二、（10分）设A ＝ 111212122212 ...................... n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 三、（10分）计算n 阶行列式aa a a a a a a a a aa n n n +++212121四、（10分）求矩阵X ，其中X 满足矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--13102180035023X . 五、（10分）当t 取何值时，向量组),3,5(),1,3,1(),1,1,1(321t =-==ααα线性相关？ 六、（12分）非齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+121221x x x x λλλ当λ取何值时有唯一解、有无穷多解、无解.七、（12分）已知T)1,1,1(-=α是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2013521b a A 的特征向量，求b a ,的值，并证明A 的任一特征向量均能由α线性表出. 八、（12分）已知二次型322123222132122),,(x tx x x x x x x x x f ++++=正定， （1）写出二次型对应的矩阵A ； （2）求t 的取值范围. 九、（8分）设A 为n 阶正交矩阵，B 为n 阶对称阵，证明1-ABA是对称阵.。
全国05年10月高教自学考试线性代数试题——环球职业教育在线
全国05年10月高教自学考试线性代数试题——环球职业教育在线试卷说明：AT 表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，｜A｜表示方阵A的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A是3阶方阵，且｜A｜＝－1，则｜2A｜＝（）A．－8 B．－2C．2 D．82．设矩阵A＝，则A－1＝（）A． B．C． D．3．设A是n阶方阵，｜A｜＝0，则下列结论中错误的是（）A．秩（A）B．A有两行元素成比例C．A的n个列向量线性相关D．A有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合4．若向量组α1，α2，…，αs的秩为r(rA．多于r个向量的部分组必线性相关 B．多于r个向量的部分组必线性无关C．少于r个向量的部分组必线性相关 D．少于r个向量的部分组必线性无关5．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（）A．α1＋α2 B．α1－α2C．α1－2α2 D．2α1－α26．若齐次线性方程组的基础解系含有两个解向量，则t＝（）A．2 B．4C．6 D．87．设A，B均为n阶矩阵，且秩（A）＝秩（B），则必有（）A．A与B相似 B．A与B等价C．A与B合同 D．｜A｜＝｜B｜8．设3阶矩阵A的三个特征值是1，0，－2，相应的特征向量依次为，，，令P＝，则P－1AP＝（）A． B．C． D．9．设λ0是可逆矩阵A的一个特征值，则2A－1必有一个特征值是（）A．λ0 B．C．2λ0 D．10．二次型f(x1,x2,x3,x4)= 的秩为（）A．1 B．2C．3 D．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．设D＝，Aij表示D中（i,j）元素（i,j=1，2，3，4）的代数余子式，则A21＋A22＋A23＋A24＝______________________.12．＝______________________.13．若A，B均为3阶矩阵，且｜A｜＝2，B＝－3E，则｜AB｜＝_____________________.14．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________.15．设矩阵A＝，其中aibi≠0(i=1,2,3).则秩（A）＝_______________.16．设A是n阶矩阵，秩（A）17．设A为n阶矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b的解的个数为_____________________.18．已知n阶方阵A与B相似，且B2＝E.则A2＋B2＝_____________________.19．设A为n阶矩阵，若行列式｜5E－A｜＝0，则A必有一特征值为__________________.20．二次型的规范形是_____________________.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21．计算行列式的值.22．设A＝，B＝，矩阵X满足方程AX＝BT，求X.23．求下列向量组的秩和一个最大线性无关组.α1＝，α2＝，α3＝，α4＝，α5＝，24．确定λ，μ的值，使线性方程组有解.25．已知向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(1，0，1)T，求一单位向量α3，使α3与α1，α2都正交.26．用正交变换化二次型为标准形，并写出所用的正交变换.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．设A是n阶方阵，｜A｜≠0，证明｜A*｜=｜A｜n-1.28．已知n阶方阵A的各行元素之和均为a，证明向量x=(1，1，…，1)T为A的一个特征向量，并求相应的特征值.。
2005级线性代数考试试题
2005级线性代数考试试题院系_____________________；学号__________________；姓名___________________一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是 【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 】A. A=A -1B.A=-EC. A=ED.det(A)=1 3.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=21,则det(-2A)= 【 】 A.4 B.-4 C.-1 D.14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a aC. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni i n aa a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a14. F 3的两个子空间V 1={(x 1,x 2,x 3)|2x 1-x 2+x 3=0}, V 2={(x 1,x 2,x 3)|x 1+x 3=0}, 则子空间V 1 V 2的维数为【 】A. 二维B. 一维C. 三维D. 零维15. 设M n (R)是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义)(,det )(R M A A A n ∈=σ，则σ是M n (R)到R 的 【 】A. 一一映射B. 满射C. 一一对应D. 既不是满射又不是一一对应15. 令),,(321x x x =ξ是R 3的任意向量，则下列映射中是R 3的线性变换的是 【 】A. 0,)(≠+=ααξξσB.)0,,2()(32321x x x x x +++=ξτC. ),,()(32221x x x p =ξ D. )0,cos ,(cos )(21x x w =ξ17.下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 01- 1D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2 2 12- 1 212- 23118.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-19.二次型32212132122),,(x x x x x x x x f ++=的秩等于【 】A ．0 B.1 C.2 D.320.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
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备用试题
武汉大学数学与统计学院2004-2005学年第2学期
《线性代数》试题 (工科54学时)
姓名 学号 班号 专业 成绩
一、 是非题(本题满分12分,每小题4分.请在正确命题前的括号内填上“√”,否则填上“×”)
( ) 1）设A 是n m ⨯实矩阵,x 为1⨯n 实矩阵，则⇔=0Ax A T
0=Ax ;
( ) 2）设向量321,,βββ都可由向量21,αα线性表示,则321,,βββ线性相关；
( ) 3）设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，则A 和E A 2+皆可逆;
二、填空题(本题满分12分,每空4分.将正确结果填入题中横线上的空白处).
1）排列7564132的逆序数为 ； 2）设A 是3阶矩阵，R(A) = 2，若矩阵B =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛201010101，则R(AB) = _______;
3）设B A ,为可逆方阵，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1O B A O .
三、（10分）求矩阵A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------11011111100222021110的秩。
四、（10分）若向量αm 是向量 121, ,, m ααα- 的线性组合，但不是122, ,, m ααα- 的线
性组合，证明：αm -1是122, , , m ααα- , αm 的线性组合。
五、（10分）设1λ、2λ和3λ是三阶实对称矩阵A 的三个不同的特征值，其中
T 1) 3 1, 1, (ξ=、T 2) 5, 4, (ξa =
依次是A 的属于特征值1λ、2λ的特征向量，求实常数a 以及3λ所对应的特征向量。
六、（15分）就λ取值讨论⎪⎩
⎪⎨⎧=++++=+-+=+++λλλλλλλλλ3)3()1(32)1(2)3(321321321x x x x x x x x x 的解的情况，在有无穷多解时，
求出其通解。
七、（10分）设A 为三阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则 1 ()2()0 ()1R A R A R A *=⎧=⎨
=⎩ ，试证明之。
八、(12分) 已知二次型为)0(2332),(3
21232221321>+++=a x x a x x x x x x f ，且通过正交变换可将f 化为标准形：2
3222152y y y f ++=。
1）求参数a; 2）写出该二次型的矩阵，并求它的秩；
3）写出该二次型的标准形所用正交变换P .
九、(12分)给定3R 的两个基⎪⎩⎪⎨⎧===.)1,7,3(,)3,3,2(,)1,2,1(321ξξξ 和 ⎪⎩⎪⎨⎧-===).6,1,1(,)1,2,5(,)4,1,3(3
21ηηη试求：
1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ；
2）写出向量α在两基下的坐标变换公式。