无理数指数幂及其运算性质-【新教材】人教A版高中数学必修

件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．
学科素养
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例 4 已知 pa3＝qb3＝rc3，且1a＋1b＋1c＝1.求证：(pa2＋qb2＋rc2)13
1
1
1
＝p3 ＋q3 ＋r3 .
[分析] 看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去 构建能用到题干中已知值的式子．
π 2π
π
(2)原式＝a6 ＋ 3 －π＝a－6 .
• [归纳提升] 关于无理数指数幂的运算
• (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．
• (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式 可以保留．
【对点练习】❶ 计算下列各式：
(1)
π
3
2
π
3
3；
π
π
(2)(m3 m－6 )12.
[证明] 令 pa3＝qb3＝rc3＝k，
则 pa2＝ak，qb2＝bk，rc2＝kc；p＝ak3，q＝bk3，r＝ck3.
∴所证等式左边＝(ak＋bk＋kc)13
＝[k(1a＋1b＋1c)]13
1
＝k3
，
所证等式右边＝(ak3)13
＋(bk3)13
＋(ck3)13
1
＝k3
(a1＋b1＋1c)＝k13
[解析]
(1)原式＝(π
) 3－ 3 2 2
3＝(π 23)2
3＝π3.
ππ
π
(2)原式＝(m3 －6 )12＝(m6 )12＝m2π.
题型二 指数幂运算的综合应用
1
1
例 2 已知 a2 ＋a－2 ＝3，求下列各式的值．
3
3
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a21
－a－2
1
.
a2 －a－2
第四章
指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
必备知识·探新知
基础知识 •知识点1 无理数指数幂 • 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是_______一__个__确__定__的__实_.数
思考 1：2 2一定是实数吗？ 提示：根据无理指数幂的定理 2 2是实数．
误区警示
因忽略幂底数的范围而导致错误
11
1
例 3 化简(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2 ＝____(_－__a_)4_____.
11
[错解] (1－a)[(a－1)－2·(－a)2 ]2
1
1
＝(1－a)(a－1)－1·(－a)4 ＝－(－a)4 .
1
[错因分析] 忽略了题中有(－a)2 ，即相当于告知－a≥0，故 a≤0，
[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
1
1
[解析] (1)将 a2 ＋a－2 ＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，
即 a＋a－1＝7.
(2)将 a＋a－1＝7 两边平方，有 a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
3
(3)由于 a2
3
－a－2
1
＝(a2
1
)3－(a－2
•知识点2 实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)
• •
(思1)考ara2s：＝指__数__幂__a是_r＋_怎_s .(样2)(从ar正)s＝整_数__指__数_a_rs幂.(3推)(a广b)到r＝实__数__指__数a_r_b幂.r 的？
• 提示：
基础自测
1．下列说法正确的个数是( B )
1
这样，[(a－1)－2]2 ≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算
法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．
1
[正解] 由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
1
1
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2 ＝(1－a)(1－a)－1·(－a)4 ＝(－a)4 .
[方法点拨] 在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条
ππ
π
2．a3 a6 ＝___a_2___.
3．(mn ) 3＝____n_3_m_－__3___.
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 无理数指数幂的运算
例 1 计算下列各式：
(1)(3 23 2 2)3 2；
π 2π
a6 a 3 (2) aπ .
[解析] (1)原式＝(3 2×2 32)3 2＝36×22＝2 916.
的值代入求值，则非常复杂．
• (2)解决此类问题的一般步骤是
1
1Fra Baidu bibliotek
x2 ＋y2 【对点练习】❷ 已知 x－y＝6，xy＝16，求 1 1 的值．
x2 －y2
[解析]
1
1
1
1
1
1
x2 ∵1
＋y2
1
＝x2
＋y2
1
x2
1
－y2
x2 －y2
x2 －y2 2
＝
x－y 1 ，
x＋y－2xy2
又 x－y＝6，xy＝16， ∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100. ∴x＋y＝10 或 x＋y＝－10. 当 x＋y＝10 时，原式值为10－62×4＝3， 当 x＋y＝－10 时，原式值为－10－6 2×4＝－31.
素养作业·提技能
(1)无理数指数幂有的不是实数．
(2)指数幂 ax(a>0)中的 x 只能是有理数．
(3)(3 2) 2＝9.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确； (2)指数幂 ax(a>0)中的 x 是任意实数，不正确； (3)(3 2) 2＝3 2× 2＝32＝9，正确，故选 B．
3
)3，所以有a21 a2
3
－a－2
1
－a－2
1
1
1
1
＝a2
－a－2
a＋a－1＋a2
1
1
·a－2
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
a2 －a－2
[归纳提升] (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已
知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条
1
1
件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过 a2 ＋a－2 ＝3 解出 a
.
1
1
1
1
∴(pa2＋qb2＋rc2)3 ＝p3 ＋q3 ＋r3 .
• [归纳提升] 1.对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令 它等于一个常数k，然后以k为媒介化简，这样使问题容易解决．
• 2．换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一 致，关键时候还要检验．
课堂检测·固双基