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余弦定理PPT教学课件
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
例1、一个圆锥形的零件，底面 积是19平方厘米，高是12厘米。 这个零件的体积是多少？
1 3
×19
×12=76（立方厘米）
答：这个零件的体积是７６立方 厘米。
例２、工地上有一些沙子，堆起来 近似于一个圆锥，测得底面直径是 ４米，高是1.2米，这堆沙子大约多 少立方米？（得数保留两位小数）
1.2米 4米
（1）已知两角和任一边.
（2）已知两边和一边的对角.
情景设置：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度， 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A， 量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC.
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
的证中：线设，∠A求B证M：＝AMα，12 则2( A∠BA2M ACC＝2) BC2. Ａ
１８０°－ α ．
在△ABM中，由余弦定理，得
α
AB2
AM
2
BM
2
2AM
•
BM
Ｂ
cos.
Ｍ
Ｃ
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2 AM 2 MC2 2AM • MC cos(180 ).
因为cos(180 ° － α）＝－cos α,BM=MC=
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
例1、一个圆锥形的零件，底面 积是19平方厘米，高是12厘米。 这个零件的体积是多少？
1 3
×19
×12=76（立方厘米）
答：这个零件的体积是７６立方 厘米。
例２、工地上有一些沙子，堆起来 近似于一个圆锥，测得底面直径是 ４米，高是1.2米，这堆沙子大约多 少立方米？（得数保留两位小数）
1.2米 4米
（1）已知两角和任一边.
（2）已知两边和一边的对角.
情景设置：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度， 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A， 量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC.
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
的证中：线设，∠A求B证M：＝AMα，12 则2( A∠BA2M ACC＝2) BC2. Ａ
１８０°－ α ．
在△ABM中，由余弦定理，得
α
AB2
AM
2
BM
2
2AM
•
BM
Ｂ
cos.
Ｍ
Ｃ
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2 AM 2 MC2 2AM • MC cos(180 ).
因为cos(180 ° － α）＝－cos α,BM=MC=
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
余弦定理ppt课件
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6．4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理
PPT教学课件
第六章 平面向量及其应用
考点
学习目标
余弦定理
了解余弦定理的推导过程
掌握余弦定理的几种变形 余弦定理的推论
公式及应用
三角形的元素 能利用余弦定理求解三角
及解三角形 形的边、角等问题
核心素养 逻辑推理 数学运算
数学运算
第六章 平面向量及其应用
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地理课件：./ke j ia n/dili/
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问题导学
余弦定理(公开课)PPT
习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明 余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应 的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们 可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定 理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一， 对于理解几何学中的其他定理和概念 有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学 思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地 理解三角形的性质和特点，更好地 掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解 后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以 通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
WENKU DESIGN
04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振 动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的 周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余 弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦 定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。
《余弦定理》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
•平面向量的应用
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
余弦定理优质课 ppt课件
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解 b 2 ： c 2 a 2 2 accB os 7 2 c 2 8 2 2 8 c c6 o 00 s
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC
a 2
c1s
inB
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
余弦定理优质课
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
隧道工程设计经常要测算山脚的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置a量出a到山脚bc的距离再利用经纬仪测出a对山脚bc即线段bc的张角最后通过计算求出山脚的长度bc已知
余弦定理优质课
1.1.2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
三边(a,b,c)
正弦定理 余弦定理
由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c边.可有两解,一解或无解.
先由余弦定理求出其中两个角,再利用内 角和为180°求出第三个角.
余弦定理优质课
练习 C A
1 20
练习
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.
余弦定理优秀课件
巩固练习
在△ABC中， bcos A＝acos B ，
试判断三角形的形状．
解：∵cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， 则代入已知条件得：b·b2＋2cb2c－a2＝a·a2＋2ca2c－b2. ∴b2＋c2－a2－2ca2－c2＋b2＝0. 则 2b2＝2a2，∴b＝a. ∴该三角形为等腰三角形．
CA)2
2
2
CB 2CB CA CA
A
b
c
a2 2ab cosC b2
C
a
B
c2 a2 b2 2ab cosC
知识点一 余弦定理
文字 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减
表述 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝
解
∵S＝12absin C＝12×4×5×sin C＝5
3，∴sin
C＝
3 2.
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或 120°.
当 C＝60°时，c2＝a2＋b2－2abcos C
＝42＋52－2×4×5×cos 60°＝21，∴c＝ 21.
当 C＝120°时，c2＝a2＋b2－2abcos C
＝42＋52－2×4×5×cos 120°＝61， ∴c＝ 61.
＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc. ∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝21. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
巩固练习
4.已知 a,b,c 是△ABC 中 A,B,C 的对边,S 是
△ABC 的面积．若 a＝4,b＝5,S＝5 3，求
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
余弦定理课件
已知三边解三角形
在△ABC 中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角． 【思路探究】 (1)由 a∶b∶c＝3∶5∶7，如何设出三边的 长度？ (2)最大内角应该是哪条边所对的角？能否用余弦定理求 解？
【自主解答】 由于 a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设 a＝3k，b ＝5k，c＝7k(k>0)．因此 c 边是最大边，其所对角 C 为最大内角．
判断三角形的形状
在△ABC 中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且 sin A ＝2sin Bcos C，试判断△ABC 的形状．
【思路探究】 可以先利用三边之间的数量关系式，应用 余弦定理求 A，再应用三角公式求出另外两角，进而判断△ABC 的形状．
【自主解答】 因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以 a2＝b2＋c2－bc， 由余弦定理有 a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以 cos A＝21，即 A＝60°.
法二 由 b<c，B＝30°，b>csin 30°＝3 3×12＝323知本题 有两解．
由正弦定理 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， ∴C＝60°或 120°. 当 C＝60°时，A＝90°， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6， 当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形， 则 a＝3. 故 a＝3 或 6.
∴A＝120°，C＝15°.
法二
由正弦定理知 sin A＝asibn B＝
3sin 45°＝ 2
3 2.
∵a＝ 3> 2＝b，∴A 有两解．∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝75°，这时
c＝assiinnAC＝
3×
6＋ 4
3
最新余弦定理(公开课)PPT课件ppt
7.漂洗 :从染液中取出薄膜条并尽量沥去染液，投入漂洗 皿中反复漂洗，直至背景漂净为止。此时清晰可见5条 色带，待干。
实验报告
将薄膜条粘贴于实验报告.完成实验报告. (本实验结束后,电泳槽内的缓冲液不要倒掉;染色液需要回收) 本周值日:第四组
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解： 由余弦定理得：
（ 1 ） cC o s a 2 b 2 c24 2 5 2 6 21 0 2 ab 2 4 5 8
C是锐角
（2）由1） （知C：是锐角， 根据大边对大 C是角 A， BC 中的最大角 ABC 是锐角三角形
C
a
B
A 当 A B C 是 直 角 三 角 形 、 钝 角 三 角 形 呢 ？
b
c
bsinC
C
bcosC
a a-bcosC
B
D
c2 (b sin C )2 (a b c o sC )2
b 2 s i n 2 C a 2 2 a b c o s C b 2 c o s 2 C
a2b22 a bco s2C
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余 弦 定 理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角
正
弦
定
理
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取
小结:
余弦定理：
推论:
b2 c2 a2
同理：
a 2 b 2 c2 2 b cco sC b2a2c22acco Bs
ห้องสมุดไป่ตู้
实验报告
将薄膜条粘贴于实验报告.完成实验报告. (本实验结束后,电泳槽内的缓冲液不要倒掉;染色液需要回收) 本周值日:第四组
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解： 由余弦定理得：
（ 1 ） cC o s a 2 b 2 c24 2 5 2 6 21 0 2 ab 2 4 5 8
C是锐角
（2）由1） （知C：是锐角， 根据大边对大 C是角 A， BC 中的最大角 ABC 是锐角三角形
C
a
B
A 当 A B C 是 直 角 三 角 形 、 钝 角 三 角 形 呢 ？
b
c
bsinC
C
bcosC
a a-bcosC
B
D
c2 (b sin C )2 (a b c o sC )2
b 2 s i n 2 C a 2 2 a b c o s C b 2 c o s 2 C
a2b22 a bco s2C
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余 弦 定 理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角
正
弦
定
理
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取
小结:
余弦定理：
推论:
b2 c2 a2
同理：
a 2 b 2 c2 2 b cco sC b2a2c22acco Bs
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必修五1.1.2余弦定理(强烈推荐,公开课)
0
问：怎么样算AB的长度？
A
B
C
复习回顾：
1.正弦定理的内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 a b c 即在ABC中， 2R sin A sin B sinC
2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？
（1）已知三角形的两角和一边
（2）已知两边和其中一边的对角。
若已知三角形的三边，或者是两边及其 夹角，能否用正弦定理来解三角形呢？
练一练：会用才是硬道理
例1、在△ABC中，已知a =1 , c = 2 ，
B =150 ，求b. 变式1、已知△ABC的三边为 7 、2、1， 求它的最大内角.
变式2、在三角形ABC中，已知 a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状
b 2 a 2 c 2 B (90 ,180 )
。
思考：已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断 △ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角 形？
归纳：设a是最长边,则 △ABC是直角三角形 <=> a2=b2+c2
△ABC是锐角三角形<=> a2<b2+c2
△ABC是钝角三角形<=> a2>b2+c2
13 例2 在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 14 求最大角的余弦值. 分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪 个角是最大角.由大边对大角，已知两边可求 出第三边,找到最大角. 2 a2 b2 2abcosC c 解：
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1、在ABC中，已知b 3, c 2 3 , A 30 ,
求角B、C和边a的值
解：由余弦定理知， a b c 2bc cos A
问：怎么样算AB的长度？
A
B
C
复习回顾：
1.正弦定理的内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 a b c 即在ABC中， 2R sin A sin B sinC
2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？
（1）已知三角形的两角和一边
（2）已知两边和其中一边的对角。
若已知三角形的三边，或者是两边及其 夹角，能否用正弦定理来解三角形呢？
练一练：会用才是硬道理
例1、在△ABC中，已知a =1 , c = 2 ，
B =150 ，求b. 变式1、已知△ABC的三边为 7 、2、1， 求它的最大内角.
变式2、在三角形ABC中，已知 a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状
b 2 a 2 c 2 B (90 ,180 )
。
思考：已知三角形三边长为a,b,c,怎样判断 △ABC是锐角三角形,直角三角形还是钝角三角 形？
归纳：设a是最长边,则 △ABC是直角三角形 <=> a2=b2+c2
△ABC是锐角三角形<=> a2<b2+c2
△ABC是钝角三角形<=> a2>b2+c2
13 例2 在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 14 求最大角的余弦值. 分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪 个角是最大角.由大边对大角，已知两边可求 出第三边,找到最大角. 2 a2 b2 2abcosC c 解：
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1、在ABC中，已知b 3, c 2 3 , A 30 ,
求角B、C和边a的值
解：由余弦定理知， a b c 2bc cos A
第1课时 两角差的余弦公式(经典公开课)
解:(1)原式=cos(150°-45°)
=cos 150°cos 45°+sin 150°sin 45°
=- ×
+×
=
-
.
(2)原式=cos(46°-16°)=cos 30°= .
探究二 给值(式)求值
【例 2】 (1)已知 cos α= ,α∈
, ,求 cos
= × + × = .
1.在例 2(1)中若去掉 α∈
, ,如何求解?
解:∵cos α=,∴α 是第一象限角或第四象限角.
当 α 是第一象限角时,sin α=,
可得 cos - = × + ×
当 α 是第四象限角时,sin α=-,
(2)当 α,β∈R 时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.( √ )
(3)cos +
cos
- +sin +
sin
-α =cos 2α.( √
)
探究一 两角差的余弦公式的简单应用
例：求下列各式的值:
(1)cos 105°;
(2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°.
又 cos(α+β)= ,∴0<α+β< .
∴0<2α+β<π.
=cos 150°cos 45°+sin 150°sin 45°
=- ×
+×
=
-
.
(2)原式=cos(46°-16°)=cos 30°= .
探究二 给值(式)求值
【例 2】 (1)已知 cos α= ,α∈
, ,求 cos
= × + × = .
1.在例 2(1)中若去掉 α∈
, ,如何求解?
解:∵cos α=,∴α 是第一象限角或第四象限角.
当 α 是第一象限角时,sin α=,
可得 cos - = × + ×
当 α 是第四象限角时,sin α=-,
(2)当 α,β∈R 时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.( √ )
(3)cos +
cos
- +sin +
sin
-α =cos 2α.( √
)
探究一 两角差的余弦公式的简单应用
例：求下列各式的值:
(1)cos 105°;
(2)cos 46°cos 16°+sin 46°sin 16°.
又 cos(α+β)= ,∴0<α+β< .
∴0<2α+β<π.