数学物理方法(修订版)_吴崇试_习题答案
数学物理方法习题及答案
数学物理方法习题第一章：应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、3r ∇= 2、0r ∇⨯=3、()()()()()A B B A B A A B A B ∇⨯⨯=∇-∇-∇+∇4、21()0r ∇=5、()0A ∇∇⨯= 第二章：1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1）0;2Z a Z b z z -=--=（2）0arg4z i z i π-<<+; 1Re()2z =2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。
1;1i i e ++3、计算数值（a 和b 为实常数，x 为实变数）sin5ii ϕ sin sin()iaz ib za ib e -+4、函数1W z =将z 平面的下列曲线变为W 平面上的什么曲线？（1）224x y += （2）y x =5、已知解析函数()f z 的实部(,)u x y 或虚部(,)x y υ，求解析函数。
（1）22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ϕ==-+===； （2）(00)f υ==6、已知等势线族的方程为22x y +=常数，求复势。
第三章：1、计算环路积分：2211132124sin4(1).(2).11sin (3).(4).()231(5).(1)(3)zz z i z z z z z e dz dzz z ze dz dzz z z dzz z ππ+=+====-+--+-⎰⎰⎰⎰⎰2、证明：21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξπξξ=⎰其中l 是含有0ξ=的闭合曲线。
3、估计积分值222iidz z +≤⎰第四章： 1、泰勒展开（1） ln z 在0z i = （2）11ze-在00z = （3）函数211z z -+在1z = 2、（1）1()(1)f z z z =-在区域01z <<展成洛朗级数。
（2）1()(3)(4)f z z z =--按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以0z =为中心展开；②在0z =的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法课后答案 (2)
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法参考答案
数学物理方法参考答案数学物理方法参考答案数学物理方法是一门综合性的学科，它将数学和物理相结合，通过数学方法来解决物理问题。
在物理学的研究中，数学方法起到了至关重要的作用。
本文将为读者提供一些数学物理方法的参考答案，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、微积分微积分是数学物理方法中最基础也是最重要的一部分。
它包括了导数、积分和微分方程等内容。
在物理学中，微积分可以用于描述物体的运动、求解力学问题、计算电磁场等等。
下面是一些常见的微积分问题的参考答案：1. 求解函数的导数：对于一个函数f(x)，求它的导数f'(x)。
可以使用导数的定义，即f'(x) =lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
也可以使用求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。
2. 求解定积分：对于一个函数f(x)，求它在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx。
可以使用定积分的定义，即将区间[a, b]划分为若干小区间，然后对每个小区间求和，再取极限。
也可以使用定积分的性质，如线性性、区间可加性、换元积分法等。
3. 求解微分方程：对于一个微分方程，求它的通解或特解。
可以使用常微分方程的解法，如变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
也可以使用偏微分方程的解法，如分离变量法、特征线法、变换法等。
二、线性代数线性代数在数学物理方法中也扮演着重要的角色。
它包括了矩阵、向量、线性方程组等内容。
在物理学中，线性代数可以用于描述物体的旋转、变换、矢量运算等。
下面是一些常见的线性代数问题的参考答案：1. 求解线性方程组：对于一个线性方程组Ax=b，求它的解x。
可以使用高斯消元法，将线性方程组转化为阶梯形或行最简形，然后逐步求解。
也可以使用矩阵的逆，即x=A^(-1)b。
2. 求解特征值和特征向量：对于一个矩阵A，求它的特征值和特征向量。
可以使用特征方程，即det(A-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
《数学物理方法》80学时北京大学
《数学物理方法》80学时北京大学
本课程为北京大学吴崇试教授主讲的数学物理方法精品课程教学视频，全套课程共80学时，由壹课堂网整理免费共享。
数学物理方法课程是物理、天文、地质、大气、海洋、力学、环境等专业学科的重要公共基础课。
它包括复变函数和数学物理方程两部分。
前者系统介绍解析函数的基本性质及其应用；后者主要包括分离变数法和格林函数以及最常用的两类特殊函数。
本课程以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继课程和专业课程有关的数学物理问题做准备，起着承上启下的作用。
本课程的特色在于数学和物理紧密结合，既非单纯的数学课程，也非单纯的物理课程，既照顾到了一定的数学理论深度和系统性，又照顾到了课程本身所应具有的实用性。
通过本课程的学习，使学生不仅学习到有关的基础知识，而且引导学生通过对具体物理过程的具体分析，抓住起主要作用的因素，在许可的条件下作简化近似，建立数学模型，求解分析，以达到对该过程的深入了解，引导学生从纯数学的学习转到将数学物理紧密结合，将数学应用于实际物理问题，培养学生的理论思维、分析问题和解决问题能力。
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
数学物理方法课后答案 (1)
充分性。设任给ε > 0，存在N(ε ) > 0，使当n>N时，zn+ p − z0 < ε成立。由
xn+ p − xn ≤ （xn+ p − xn）（2 yn+ p − yn）2 = zn+ p − zn < ε
yn+ p − yn ≤ （xn+ p − xn）（2 yn+ p − yn）2 = zn+ p − zn < ε
②
将①式与②式相除，易见 c 3 = 1,即 c = 1，由此得证。
8.试利用 Re z = x ≤ x2 + y2 = z 证明 z1 + z2 ≥ z1 + z2 , z1 − z2 ≥ z1 − z2
证 将第一个不等式两边平方，则不等式右边的式子为
z1 + z 2 2 = ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 )∗ = z1 z1∗ + z 2 z 2∗ + z1 z 2∗ + z1∗ z 2
4x ≥ 0
x≥0
3 见课上例题
4. 求在ω = 1 下，直线 Re z = c （常数）映射为什么图形？
z
μ ν 解：在ω = 1 的映射下, 与 满足什么方程？ z
右半平面（包括 y 轴）
由c = Re z = Re 1 w
= Re 1 μ + iν
=
μ μ2 +ν 2
∴c(μ 2 +ν 2 ) = μ
25(x2 − 6x + 9) + 25 y2 = 625 −150x + 9x2
16x2 + 25 y2 = (20)2 ，点集为椭圆： ( x )2 + ( y )2 = 1 54
数学物理方法+吴崇试+习题解答
则 z′ = z − z0 ，即 x′ + iy′ = x − x0 + i ( y − y0 ) ，由此得 x′ = x − x0 ， y′ = y − y0 。
（2）将坐标系 xOy 绕原点逆时针旋转θ 角得到坐标系 x′O′y′ 。如上面右图，x′O′y′ 系中 z′
只是比 xOy 系中 z 的幅角小θ ，即 z′ = ze−iθ ，由此得 x′ = x cosθ + y sinθ ，
1．写出下列复数的实部，虚部，模和幅角：
（1）1+ i 3 ；（2）1− cosα + i sinα ， 0 ≤ α < 2π ；（3） eisin x ， x 为实数；（4） eiz ；
（5）ez ；（6） 4 −1 ；（7） 1+ i ；（8） 1+ i ；（9）e1+i ；（10）eiϕ(x) ，ϕ ( x) 是实变数 x
2
z3 − z1 2 z1
6．用复数 z 表示曲线上的变点。（1）写出经过点 a 且与复数 b 所代表的矢量平行的直线方 程；（2）写出以 d 和 −d 为焦点，长轴长 2a 的椭圆方程（ a > d ）。 （1）矢量 z − a 与矢量 b 平行，所以 z − a = kb ， k 为实数； （2）由椭圆定义得 z − d + z + d = 2a 。
2n + 4
1π
⎞ ⎟⎠
，
Im
=
sin
⎛ ⎜⎝
2n + 4
1π
⎞ ⎟⎠
；
（7）
1+ i
=
4
2ห้องสมุดไป่ตู้i⎛⎜⎝
π 4
+
数学物理方法习题解答
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法第1章复变函数-2016解答
【解】 设方根为 w k ，根据上面公式有
wk
1 e n
i 2kπ n
k 0,1,2,…,n 1
当 n=2 时，其根为 1. 对应于单位圆与实轴
的两交点.
22
当 n 3 时，各根分别位于单位圆 z 1的内接正多边
形的顶点处，其中一个顶点对应着主根： w0 1 , (k 0 ) .
面上的一个矢量， 为矢量长度，
为幅角 。记
z ei
z=x+iy=2k 幅角主值：0 Arg z 2 , Arg z ,
(z 0, ; k 0,1,2,...)
注：arg ：argument (幅角、宗量，自变量）
数学物理方程(方法)
共60学时，3学分.
（以课堂讲授为主，加强课前和课后练习）
考试时间：暂定11月30日下午 考核方式：30%作业+70%期末考试
主要参考书目：
1. 梁昆淼 《数学物理方法》（第四版）高等教育出版社. 2. 吴崇试，《数学物理方法》，北京大学出版社 3. 冉扬强，《数学物理方法》， 科学出版社。 4. 王友年等《数学物理方法》，大连理工大学出版社
等式，对于 x 0 ，其辐角不满足要求.
24
1.2 复变函数 (一) 复变函数的定义
在复平面上一点集 E 中每一点z ，都有一个或几个 复数w与之对应，称w为 z 的函数，E 为定义域，记 w =f(z)，z E 。z有时称为宗量(argument) 或自变量。 实函数: y=f(x)= ± x^(1/2), x>=0 多值
17
N
A’
A
S
球的南极与复数平面的原 点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相 连，直线与球相交于 A’ 。 由此，每一有限的复数 投 影到球上一点 。这个投影 叫测地投影，这个球叫复 数球。
数学物理方法课后答案
数学物理方法课后答案【篇一：数学物理方法习题】1、求解定解问题：utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（p-223） ?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为t，在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为 utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?f0l?x0x,(0?x?x0), ??tlu(x,0)???f0x0(l?x),(x?x?l),0??tlut|t?0?0.] (p-227)3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。
[定解问题为k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tc???] (p-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0. ??3?x?u?u ?asin,?0.?t?0l?tt?0?4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](p-236) ?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而伸长，求解杆在放手后的振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??] (p-238)x?uxf?0?u(x,0)??0dx??0,?xys?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。
那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
数学物理方法第一章
1.1 复数与复数运算
（一）复数的基本概念
复数定义：复数——形如 z=x+iy 的数 （x,y 为实数，i2 =−1，i：虚数单位，一种记号约定）
将有争议的虚数合法化： 一维实数 二维实数
复数的本质：有序实数对 (大x家, 好y)
11
复数 ：i2 = −1，为什么？
简单概念的引入可 解决世界性的难题 高斯：正十七边形作图
定义了虚数单位 i＝(0, 1)
i 2＝－1
复数 z 可记为 zxiy xRe z
特殊的复数：0
y I mz
(x, y) +(0, 0) ＝ (x, y) 大家(好x, y) (0, 0) ＝ (0, 0)
13
复数的共轭： z* x iy 与 z x iy 互为共轭 (xiy)(xiy)x2y2
f (x)
n0
f (n)(0) xn n!
例
f
(x)
e1/
x2
0
（满足泰勒展开条件）
x 0 在x0各阶导数均存在, x 0 在x=0各阶导数均存在,其值为0
f(x)
f(n)(0)xn 0
n0 n!
大家好
f (x)
4
复变函数论（theory of complex functions）： 研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支，
生了一些信心。在18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复
数,但无论欧拉还是别的数学家大对家这好 些数都还不甚清楚。
8
Euler 认为复数仅在想象中存在， 1777年，Euler采用 i 代表 1
4 复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯 (C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把复数的 思想融入到对代数学基本定理的证明中。
数学物理方法-ch3_无穷级数概论
R
n
an
n
2n
2
R
an an1
2n 2n1
1 2
Rz
2 2
异同
5
复数级数 u0 u1 u2 un un n0
无穷级数的收敛与发散
如果级数的部分和 Sn u0 u1 u2 un
所构成的序列{Sn}收敛，则称级数 un 收敛，序列{Sn}的
n0
极限
S
lim
n
Sn
，称为级数
un
n0
的和
un
n0
lim
n
Sn
否则，级数 un 是发散的 n0
14
n N
Sn z S z , z D
D
15
特殊判别法： 正实常数项收敛级数
ak 有
k 0
w k z ak z D
则
w k z 在 DD 上一致收敛。
k 0
16
一致收敛级数性质： ① 连续性：
在有限（开）区域D内 w k z 连续，在D内任意闭区域上 w k z 一致收敛，则和函数 S z w k z 在D内连
证：（利用比较判别法）
级数
n
za
n0 z0 a
在
z a z0 a R 内收敛。
z0 R
r
a
an z an
an
z0
an
za z0 a
n
M
za z0 a
n
an z0 an
n0
收敛
an z0 an M
23
z a r r z0 a
z0 R
r
a
n
n
an z an
M
za z0 a
数学物理方法习题解答（完整版）
数学物理方法习题解答（完整版）数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux=?，0v y ?=?，u v x y ??≠??。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ??= =??。
v vx y==0 ??。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y, 在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ===='=+=-= ? ?????????。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z→?→?=?=?'==?=?-?=?。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=?→?→?→+?+?+??==+??→。
【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z zz z==??】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ?+++≠?=+，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ?-+≠?=+?+??， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ?++≠?=+?+??。