北航工科数学分析杨小远-第7节无穷小与无穷大的阶的比较-2学时

解：1 2x 3 1 3x
12x 3 13x
1
2
x
5
2
1Hale Waihona Puke Baidu
2
x
4 2
.........
1
5
3x3
5
4
5
1 2x2 1 2x2 ......... 1 3x3
3x2 8x3
5
4
5
1 2x2 1 2x2 ......... 1 3x3
因 此 lxi m 0 12xx2313x1 3
x
x
x
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x
x
x
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x x0
x x0
例如
x x 0 , x x 0 , x , x .
lim 1 0, 1是当 x时的无穷 . 小
x x
x
观察下列无穷小收敛到零的速度：
当 x0时 ,x,x2,sin x都是无 . 穷小 x 0.1 0.01 0.001
x 2 0.01 0.0001 1106
sinx 0.0998 0.01 0.001
x , 时 , 选 g(x)1作为.标准 x
例1 确定下列无穷小的阶 (x0)
⑴ x3 x6,
lim x 0 x3x3x61. x3x6的阶 3(无为 穷小量者低阶 )
⑵ 1x1x,
limlim x 0 x 1 x k1 x x 0x k (1 2 x x 1 x ) 1 .( k 1 )
x x0 g(x) 3. 若limf(x)1,称 f与 g是等价的; 无
xx0 g(x)
记f~ 为 g(x ： x 0 )
定义3 (无穷小阶的量化)
若 x l ix0m (xf (x x0 ))kl(l0,k0)称 , f是 k阶无 .
在过 x 程 x0,x0 ,x0 中，确f定 (x)的 无阶 穷时 小 选 g(x)xx0作为. 标准
故无穷小阶2
收敛速度比较
x 0:
sin( 1 1x
1x
2) (1) 2
1x 1
1 cos x, 1 2 x 3 1 3 x (2) x3 x6 (3)
二、无穷大
定义4 设 f(x)在 U0(x0;)内有定 义 M， 0，若 0 , 当 |x x 0 | , 都 |f ( x ) | M 有 ,
x x0
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x x0
x x0
x x0
定义5 (无穷大量阶的比较)
设 f(x),g(x)为 x x0时的,无穷大 1. 若limf(x)0,称 g是 f的高阶无 ; 穷
xx0 g(x) 2. 若lim f(x)l0,称 f与 g是同阶;无
§2.7 收敛速度问题: 无穷小与无穷大的阶的比较
一、无穷小
定义1 f(x )定 U o(x 0;)， 若 x li m x 0f(x )0 ,
则f(称 x)是x当 x0时的.无穷小
例如 limsinx0, sin x是x当 0时的无 . 穷小 x0 类似可以定义其 过它 程极 的限 无. 穷小
x
( 1 1 x 2) 1 x1
因此
x
sin
f x
( 1 1 x 2) 1 x 1
lim lim
x0 x
x0
x
sin
x
( 1 1 x 2) 1 x 1
1
lim
( 1 1 x 2)1 1 x 1
x0
x
( 1 1 x 2) 1 x 1
1/4 2
所以为1/2阶的无穷小
（ 5 ） 1 2 x31 3 xx 0
x x0 g(x) 3. 若limf(x)1,称 f与 g是等价的; 无
xx0 g(x) 记f~ 为 g(x ： x 0 )
定义7.6 (无穷大阶的量化)
若 x l ix0m (x f(x x 0))kl(l0,k0)称 , f是 k阶无 . 即以 1 为标.准 (xx0)
若 lx i m fx (k x)l(l0 ,k0)称 , f是 k 阶无 . 即以xk为标准 .
不同的无穷小收敛到零的速度不同， 如何描述？哪个快？快多少？
定义2 (无穷小量阶的比较)
设 f(x),g(x)为 x x0时的,且 无x0 在 穷 某 空心g 邻 (x)0 域 . 内 1. 若limf(x)0,称 f是 g的高阶无 ; 穷
xx0 g(x) 2. 若lim f(x)l0,称 f与 g是同阶;无
则f称 (x)是 x x0时的无 . 穷大
记作 lim f(x) (或 lim f(x) ).
x x0
x
其x 它 x 0 ,x 过 x 0 ,x 程 ,x ,类 ： .
特别：f(x )0 ,正无 f(x 穷 )0 ,负 大无 ， . 穷
注意
1. 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
例2 判断下列无穷大的阶
（1） x(2x2 x1)32(x1)
x2
解：lim x
12 x
3
1
3
x 1
1
8
（2）
x 12 2x5 x33x1(x)
2阶无穷大
lx ix m 3 2 3 x x 5 1 x 1 2 lx ix m 3 2 3 x x 3 1 22阶无穷大
(2 )取 x k 2 k 1
(k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分,x 大 k时 ,
但 y (x k ) 2 k s2 ik n 0M . 不是无穷大．
其余情况类似可以定义
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x
x
x
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
2.切勿 li将 m f(x)认为极.限存 xx0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
例如,当x0时, y 1sin1 xx
是一个无界,变 但量 不是无穷 . 大
y 1sin1 xx
(1) 取 xk2k1
(k0,1,2,3, )
2
y(xk)2k2,
当 k充分 ,y(x 大 k)M 时 . 无界!
1阶
lim ⑶ 1co x,sx 01x c2o x s1 2,
2阶
(4 )f(x ) s in (1 1 x2 )x 0
解 ：
f(x)sin(11x2)sin(11x2)(11x2) (11x2)
sin 1x 1 sin 1x 1 1x 1 (11x2) (11x2) 1x 1
sin