北航工科数学分析杨小远-第7节无穷小与无穷大的阶的比较-2学时
无穷小的比较精选全文
可编辑修改精选全文完整版无穷小的比较1. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x xx x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2). 2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x →0时, 有:(1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y y xx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xx x 23tan lim 0→; (2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数); (3)xx x x 30sin sin tan lim -→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .。
7 无穷小的比较
1 tan x − tan a 3 、 lim ； = x →a (cosa )2 x−a
1 + x sin x − cos x 4 、 lim ； 1 = 2 x →0 x
＝ α－ β
5、 x（a − a ）（a > 0）=lna lim
2 x → +∞
高等数学( 高等数学(上)
1 x
1 x +1
2
高等数学( 高等数学(上)
例1 证明 : 当x → 0时, tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
tan x − sin x 解 Q lim x→0 x3
1 sin x 1 − cos x ) = lim( ⋅ ⋅ 2 x → 0 cos x x x 1 sin x 1 − cos x 1 = lim ⋅ lim ⋅ lim = , 2 x → 0 cos x x → 0 2 x x →0 x
∴ α ~ β．
高等数学( 高等数学(上)
四.下面有几个重要的等价无穷小:注意 x →0 . 下面有几个重要的等价无穷小 重要的等价无穷小: (1) sinx ~ x (3) 1– cosx ~ 1 x2 1–
2
(2) tanx ~ x (4) arcsinx ~ x (6) ln( 1+ x ) ~ x (8) ax – 1 ~ x lna
证
高等数学( 高等数学(上)
证 必要性 设 α ~ β ，
β−α β lim = lim − 1 α α
= 0，
∴ β − α = o(α )，即 β = α + o(α )．
充分性 设 β = α + o(α )． α o(α ) β α + o(α ) = lim １＋ （ ） 1， lim = lim = α α α
第六讲 无穷小与无穷小的比较
1 1 n . ～ n n1
7
例如 , 当 x 0 时
x 3 o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x
又如 ，
1 cos x 1 lim lim 2 x 0 x0 x 2 x )2 4( 2
x 2 sin 2 2
故
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
x 2 5x 4 0 lim 0 x 1 2x 3 1
根据无穷小与无穷大的关系知：
2x 3 lim 2 x 1 x 5 x 4
说明 对有理分式函数的极限，若分母极限为零，而分子极限 不为零，则可直接断定该极限为无穷大．
19
x3 0 例8．求 lim 2 型 x 3 x 9 0 1 1 x3 x3 lim lim 解 lim 2 x 3 x 3 x 3 ( x 3)( x 3) 6 x 3 x 9
结论
22
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
23
常用等价无穷小 :
～
arctan x ~ x,
n
～ ～
1 1 x 1 ~ x n
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 1. 原式 lim 3 x0 ( 2 x ) 16
15
例6
tan 5 x cos x 1 求 lim . x 0 sin 3 x
无穷小的比较
16
作业：
P59
3（2），4（2）（4），5（3）
17
11
例7
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
tan5 x 1 cos x 原 式 lim lim x 0 sin3 x x 0 sin3 x 1 2 x 5x lim lim 2 x 0 3 x x 0 3 x
解
5 5 0 . 3 3
例3
当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
4
常用等价无穷小: 当x 0时,
10
tan x sin x 例6 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
不符合和差代替规则
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 符合因式代替规则 3 x 0 ( 2 x ) 16
证
lim lim( ) lim lim lim lim .
6
tan 2 x 例3 求 lim . x 0 1 cos x 1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1
等价无穷小量替换定理
§2–6无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若 c =αβlim（c 为常数） 则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；（2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o (α)(读作小欧α)； （3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。
2、无穷大的比较定义2 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量，（1）如果Y Zlim = c ≠ 0，则称Y 与Z 是同阶无穷大量； （2）如果YZlim = ∞时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量；（3）如果kY Z lim= c ≠ 0（k ＞0），则称Z 是关于（基本无穷大量）Y 的k 阶无穷大量。
3、无穷小的阶与主部 定义3 把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果β与kα（k ＞0）是同阶的无穷小，即kαβlim = c ≠ 0，则称β是关于α的k 阶无穷小。
重点难点突破1．关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。
注意 （1）符号β=O (α)与β～α的含义β=O (α)表示β是α的高阶无穷小，即0lim =αβ； β～α表示β与α是等价无穷小，即1lim=αβ（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。
（2） 利用等价无穷小求极限等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换： 若α～αˊ，β～βˊ，且αβ''lim存在，则αβlim =αβ''lim无穷小量的比较表2．关于无穷小的阶 当x →0时，由恒等式（ⅰ）o (x n )+ o (x m )= o (x n ) 0＜n ＜m （ⅱ）o (x n ) o (x m )= o (x m+n ) m ＞0, n ＞0 3．关于无穷小的替换定理设当0x x →时，)(~)(21x x αα，)(~)(21x x ββ，)()(lim220x x x x αβ→存在，则)()()()(lim 22110x x x x x x αβαβ=→． 解题方法指导1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：例1 当x →0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ① x - 3x 3 + x 5 ②sinxtgx解：①因为当x →0时，在x - 3x 3 + x 5中3x 3 与x 5都是x 的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ）13lim 530=+-→xx x x x 所以，当x →0时，x - 3x 3 + x 5是x 的一阶无穷小②因为当x →0时，sin x ～x ，tg x ～x ，由恒等式（ⅱ）可得 sin x tg x =o (x 2)，即1sin lim 20=→xxtgxx 所以，当x →0时，sin x tg x 是x 的二阶无穷小 （2）先将原式变形，再判断阶数例2 当x →0时，下列无穷小量是x 的几阶无穷小 ①x x --+11 ②tg x –sin x 解：①通过分子有理化将原式变形x x --+11=xx x-++112由此看出，当x →0时，x x --+11是x 的一阶无穷小，事实上 1)11(2lim0=-++→x x x xx②通过三角函数的公式将原式变形 xx x x x x x tgx cos )cos 1(sin sin cos sin sin -=-=-因为 sin x ～x ， 1-cos x ～21x 2 由此看出，当x →0时，tg x –sin x 是x 的三阶无穷小，事实上21cos 21lim cos )cos 1(sin lim 32030=∙∙=∙-→→x x x x x x x x x x 此题错误解法： 解：因为 0sin lim sin lim00=⎪⎭⎫⎝⎛-=-→→x x x tgx x x tgx x x所以，当x →0时，tg x –sin x 是x 的一阶无穷小 这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与k α比的极限不能为零。
无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限
⽆穷⼩（⼤）与极限运算（⽆穷⼩的⽐较）及两个重要极限第4、5讲⽆穷⼩（⼤）与极限运算（⽆穷⼩的⽐较）及两个重要极限⼀、计划学时：2节⼆、内容三、要求四、重点五、难点六、教学过程：（⼀）⽆穷⼩与⽆穷⼤⼀、⽆穷⼩量定义1 在某⼀极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的⽆穷⼩量，简称为⽆穷⼩。
⽆穷⼩量只是极限的⼀个特殊情况（A =0），因⽽可由极限的不等式定义得到⽆穷⼩的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出⽆穷⼩的精确定义：定义2 设函数f (x )当|x |充分⼤时有定义。
若 ? M >0，? X >0，? |x |> X ? ?f (x ) ?>M ，则称函数f (x )当x →∞时为⽆穷⼤量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞→)(lim x f x . 注由⽆穷⼤定义知，⽆穷⼤不是数，再⼤的数也不是⽆穷⼤。
且若函数是⽆穷⼤，则函数必⽆极限。
但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是⽆穷⼤。
如：x →0时，x 1是⽆穷⼤；x → -1时，2)1(1x +也是⽆穷⼤；x →∞时，1-ln x 是⽆穷⼤。
显然这些⽆穷⼤的变化趋势不相同，随着x →∞，的值⾮负且越来越⼤，⽽1-ln x 则取负值且绝对值越来越⼤，在数学上加以区别就是正⽆穷⼤+∞与负⽆穷⼤-∞。
将定义2中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正⽆穷⼤和负⽆穷⼤的定义。
共有21种⽆穷⼤的定义。
例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 ? M >0，要使?f (x ) ?=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取δ =M1，则当δ<-<|1|0x 时，│11-x │>M ，∴ ∞=-→11lim1x x . 注? 证明⽆穷⼤的思想⽅法完全同于极限证明部分。
从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。
工科数学分析教程.上册(杨小远[等]编著)PPT模板
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第6章函数的 Riemann积分 与Lebesgue积 分初步
0 1
6.1定积分的基 本概念
0 2
6.2可积的条件
0 3
6.3微积分的基 本定理
0 4
6.4定积分的计 算：分部积分 与换元公式
0 5
6.5积分中值定 理
0 6
6.6关于定积分 的进一步讨论： Lebesgue定理
第6章函数的Riemann积分与Lebesgue积分 初步
10.3函数项级数的一 致收敛性
10.5幂级数
10.2函数序列的一致 收敛性
10.4函数项级数和函 数的性质
10.6幂级数的应用
第10章函数序列与函 数项级数
探索类问题
13
参考文献
参考文献
感谢聆听
A
9.1数项 级数的收
敛性
D
9.4一般 级数的收
敛问题
第9章数项级数
B
9.2正项 级数的比 较判别法
E
9.5绝对 收敛和条
件收敛
C
9.3正项 级数的其 他判别法
F
9.6级数 的乘法
第9章数项级数
*9.0章函数序列与函数项级数
第10章函数序列与函数项级数
10.1函数序列和函数 项级数的几个基本概念
05
2.5连续函 数
03
2.3函数的 基本概念和
性质
06
2.6函数极 限的其他形
式
第2章函数极限与连续
2.7收敛速度问题：无穷 小与无穷大的阶的比较
2.8函数的一致连续性
2.9有限闭区间上连续函 数的性质
*2.10关于函数极限和连 续的进一步讨论
探索类问题
05
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
f x e
'
e
cos x ln sin x
cos 2 x sin x cos x sin x ln sin x . sin x
dy dy dx cos t t sin t 4）解： . dx cos t t sin t dt dt
m 满足什么条件，函数在 x 0 可导.
2. 证明下面问题（10 分） 设 s 0, x1 0, xn1
1 s x , 证明数列 xn 单调有界，且极限为 s . n 2 x n
1 , 用 Cauchy 收敛定理证明 xn 收敛. 2n
5.
1) 用反证法证明. 假设存在 q a, b , g q 0 . 则根据拉格朗日中值定理
' g a g q g ' x1 a q 0 得到 g x1 0, x1 a, q
g b g q g ' x2 b q 0 得到 g ' x2 0, x2 q , b
7.
(10 分）证明下面问题 设 f x 定义在 a, b 上. 如果对 a, b 内任何收敛的点列 xn 都有 lim f xn 存在, 则
n
f 在 a, b 上一致连续.
8. (10 分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 设函数 f
n 1 2 n cos x Cn cos 2 x 1 Cn cos n x , x Cn n1
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
07讲无穷小量的比较
例8
2 求 lim x ln1 3 x x
2
解
2 2 2 lim x ln1 3 lim x 3 x x x x
2
2 lim 0 x x
例9
e ax ebx ，a b。 求 lim x 0 sin ax sin bx
n 1 ax 1 1 bx 1 lim lim x 0 x 0 x x m
1 1 ax bx a b m n lim lim x 0 x 0 x x m n
例11 解 由于
当 x 0 时,
3 2
3
5 x 5 x 是 x 的几阶无穷小量 ?
2 3
2 3
5x 5x x
3
3
5 5x ,
f ( x) lim k C x
lim
x
2 3
3
5 5x x
2 3
x0
lim 3 5 5 x 3 5 ,
x0
3
故 x 0时,
3
3
2 5 x 5 x 是 x 的 阶无穷小量 . 3
2
5 x 5 x O( x )
函数的性质
2 e x sin 2 x exp lim 2 x 0 x sin 2 x 2 x exp lim 2e lim 2 e . x 0 x x 0
也可再用等价无穷小替代
等价无穷小替代 重要极限
这样做行不行 ?
e x sin 2 x x 2 2 由于 lim 1 , 所以 , x 0 时 e sin x ~ x . 2 x0 x
故 lim (1 e x sin 2 x)
工科数学分析,杨小远,数列极限
lim an a .
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1. 0, 强调任意性, 而且是任意 小的一面;
2. 不等式 xn a 刻划了xn与a的 无限接近;
3. N与任意给定的正数有关, 只强调存在性.
N定义 :
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
其中
: 任意的; : 存在.
几何解释:
a
2
a
a
x 2 x1 x N 1
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内.
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：使用定义求极限的过程就是求解不等式.
n ( 1) 例1 证明 lim n n
1 n
n1 2 2 2 1 hn ， hn 2 n1
2 2 n 1 hn ， n 2 1， n1
2 2 N 2 1 1 2 2
2 2 0，N 2 2，n N时， n 1 n1
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
1 xn a xn a a xn a a
故 lim xn a .
n
lim 0，（ 0 ） 例7 证明: n n
1 1 分析: 设 1， an 0 ，N 1 n n 1
应记住的结果：
n
n
lim a 1 （仿例8）—当 a 1时和a 1时思考
n
lim n n 1
n
a lim n! n n!
无穷小比较.ppt
解 tan5x 5x o( x), sin3x 3x o( x),
1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
分子, 分母同除以x
5x o( x) 1 x2 o( x2 )
原式 lim
2
x0
3x o( x)
o( x) 1 o( x 2 )
5 x lim x 2
x x3
sin
x
.
解: 原式
lim
x0
x
1 2
x
2
x3
原式
lim
x0
x x3
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
常用等价无穷小 当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x,
例如,
lim
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价,
则
~
,
且
lim
lim
,
但 ~ 时此结论未必成立.
例如,
lim tan 2x sin x0 1 x 1
1 x 1 ~ 1 x, n1 x 1 ~ 1 x,
2
n
1 cos x ~ 1 x2 . 2
并有 从而
无穷小的比较
~ o( )
例 求 lim tan5x cos x 1
无穷小量与无穷大量 阶的比较37页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，Leabharlann 需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
无穷小量与无穷大量 阶的比较
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
无穷小量与无穷大量阶的比较PPT课件
记作 o(); (2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
第18页/共36页
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
则M
0, 1
0,使得当0
x
x0
时
1
恒有u M.
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2
0,使得当0
x
x0
时
2
恒有 . M
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取 min{1 ,2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M ,
极限不同反映了趋向于零的快慢程度不sintansintanlimsintan上述10个等价无穷小包括反对幂指三必须熟练掌握即与等价与互为主要部分例如limlimlimlimlimlim求两个无穷小之比的极限时可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替以简化计算
1.定义:
极限为零的变量称为无穷小.
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
2
x0 (2 x)3 16
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恒有 f (x) 1,
当x
第_7_节_无穷小与无穷大的阶的比较
正无穷大， 特别： f ( x ) > 0, 正无穷大，f ( x ) < 0, 负无穷大.
注意 1. 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 无穷大是变量,不能与很大的数混淆 不能与很大的数混淆;
2. 切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在 .
x → x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量 但是无 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 界变量未必是无穷大
： 解
( x → 0 +)
( 1+ 1+ x − 2)( 1+ 1+ x + 2) f (x) =sin( 1+ 1+ x − 2) =sin ( 1+ 1+ x + 2)
= sin
1+ x −1 ( 1 + 1 + x + 2)
= sin
( 1+
( 1+ 1+
x −1
) ( 1+ x + 1) x + 2) ( 1 + x + 1)
选 g ( x ) = x − x 0 作为标准 .
1 x → ∞ , ±∞ 时 , 选 g ( x ) = 作为标准 . x
例1 确定下列无穷小的阶
⑴
( x → 0)
x3 + x6 ,
x3 + x6 = 1. 3 x
无穷小量者低阶 x 3 + x 6的阶为 3 (无穷小量者低阶 )
lim
x→0
⑵
→ 0, n > 0, 有 o( x n )o( x m ) = o( x n+ m )
o( x n ) + o( x m ) = o( x n )( n < m );
北航工科数学分析杨小远-第4节函数极限的定义与基本理论-2学时教学教材
性质3. (保序性)
设 lifm (x ) A ,lig m (x ) B ,则
x x 0
x x 0
(1)若 AB,存 在 0 ,当 x U o (x 0 ； )时 ,
f(x)g(x).
( 2 ) 若 存 在 0 , 当 x U o ( x 0 ； ) 时 , f ( x ) g ( x ) , 则
li f ( x m ) A li f ( x m ) li f ( x m ) A .
x x 0
x x 0
x x 0
例1 验证limx 不存.在 x0 x
y
证
x lim
limx
x x x0
x0
1
lim (1)1 x 0
x lim
limxlim11
x0 x
x x0
x0
o
x
1
左右极限存在但不相等, limf(x)不存. 在 x0
证明： 取 1 ,存 在 0 ,0 |x x 0 | ：
|f(x ) A | 1.
| f ( x ) | | f ( x ) A A | | f ( x ) A | | A |
1|A |M .
所 以 f ( x ) 在 x 0 的 邻 域 U o ( x 0 ;) 内 有 界 .
AB.
证明： 取 A B,由
2
lif m (x ) A ,lig m (x ) B ,知
x x 0
x x 0
AB
1 0 ,0|xx 0|
1:|f(x ) A |
; 2
2 0 ,0|x AB ; 2
m in {1 ,2 } ,0|xx 0 | :
f(x) AB,g(x) AB,
无穷小的比较
1.7无穷小的比较一． 无穷小的比较1.引入两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小.但是,关于无穷小的商,却会出现不同的情况.例如,当0→x 时,x 3、2x 、x sin 都是无穷小，而03lim 20=→x x x ，∞=→203lim x x x ，1sin lim 0=→xx x . 两个无穷小之比的极限的各种不同的情况,反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.2.定义 如果0lim =αβ,就说β是比α高阶的无穷小,记作()βα= ; 如果∞=αβlim,就说β是比α低阶的无穷小. 如果0lim ≠=c αβ,就说β与α是同阶无穷小; 如果0,0lim >≠=k c k αβ,就说β是关于α的k 阶无穷小.如果1lim =αβ,就说β与α是等价无穷小,记作βα~. 显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即1c =.例如: 因为203lim 0x x x→=,所以当0→x 时, 23x 是比x 高阶的无穷小,即()()230x x x =→ . 因为21lim 1n n n →∞=∞,所以n →∞时, 1n 是比21n低阶的无穷小． 因为239lim 63x x x →-=-,所以3x →时,29x -与3x -时同阶无穷小. 因为201cos 1lim2x x x →-=,所以当0→x 时, 1cos x -是关于x 的二阶无穷小.因为0s i n l i m 1x x x→=,所以当0→x 时,sin x 与x 是等价无穷小,即()sin ~0x x x →.下面再举一个常用的等价无穷小的例子.例1 证明:当0→x 时11~x n.证:因为001lim 11nx x x x n n →→-=⎤+⎥⎦01x →==， 11~x n()0x →．关于等价无穷小,有下面两个定理.3.定理定理1 ）（αοαββα+=⇔~.定理2 设αα'~,ββ'~,且αβ''lim 存在,则 αβlim =αβ''lim . 证：lim lim lim lim lim lim βββαββαβαβααβααα'''''⎛⎫=== ⎪'''''⎝⎭． [注]定理2提供了一种计算极限的重要方法------等价无穷小代换.求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代换,对乘积因子也可用等价无穷小代换.但要注意,等价无穷小不能在加减法中使用.常用的等价无穷小有:当0→x 时, x x ~sin ,x x ~tan ,x x ~arcsin ,x x ~arctan ,221~cos 1x x -,()11~x x αα+-(其中α为常数).例２ 求0tan 2lim sin 5x x x→． 解：当0→x ，tan 2~2x x ，sin 5~5x x ，所以00tan 222lim lim sin 555x x x x x x →→==． 例３求201lim x x→． 解：当0→x211~2x -，对分子作代换，得0x →220112lim 2x x x →=．。
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定义2 (无穷小量阶的比较)
设 f(x),g(x)为 x x0时的,且 无x0 在 穷 某 空心g 邻 (x)0 域 . 内 1. 若limf(x)0,称 f是 g的高阶无 ; 穷
xx0 g(x) 2. 若lim f(x)l0,称 f与 g是同阶;无
x x0 g(x) 3. 若limf(x)1,称 f与 g是等价的; 无
xx0 g(x)
记f~ 为 g(x ： x 0 )
定义3 (无穷小阶的量化)
若 x l ix0m (xf (x x0 ))kl(l0,k0)称 , f是 k阶无 .
在过 x 程 x0,x0 ,x0 中，确f定 (x)的 无阶 穷时 小 选 g(x)xx0作为. 标准
x x0
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x x0
x x0
x x0
定义5 (无穷大量阶的比较)
设 f(x),g(x)为 x x0时的,无穷大 1. 若limf(x)0,称 g是 f的高阶无 ; 穷
xx0 g(x) 2. 若lim f(x)l0,称 f与 g是同阶;无
x
( 1 1 x 2) 1 x1
因此
x
sin
f x
( 1 1 x 2) 1 x 1
lim lim
x0 x
x0
x
sin
x
( 1 1 x 2) 1 x 1
1
lim
( 1 1 x 2)1 1 x 1
x0
x
( 1 1 x 2) 1 x 1
1/4 2
所以为1/2阶的无穷小
（ 5 ） 1 2 x31 3 xx 0
x x0 g(x) 3. 若limf(x)1,称 f与 g是等价的; 无
xx0 g(x) 记f~ 为 g(x ： x 0 )
定义7.6 (无穷大阶的量化)
若 x l ix0m (x f(x x 0))kl(l0,k0)称 , f是 k阶无 . 即以 1 为标.准 (xx0)
若 lx i m fx (k x)l(l0 ,k0)称 , f是 k 阶无 . 即以xk为标准 .
1阶
lim ⑶ 1co x,sx 01x c2o x s1 2,
2阶
(4 )f(x ) s in (1 1 x2 )x 0
解 ：
f(x)sin(11x2)sin(11x2)(11x2) (11x2)
sin 1x 1 sin 1x 1 1x 1 (11x2) (11x2) 1x 1
sin
2.切勿 li将 m f(x)认为极.限存 xx0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
例如,当x0时, y 1sin1 xx
是一个无界,变 但量 不是无穷 . 大
y 1sin1 xx
(1) 取 xk2k1
(k0,1,2,3, )
2
y(xk)2k2,
当 k充分 ,y(x 大 k)M 时 . 无界!
故无穷小阶2
收敛速度比较
x 0:
sin( 1 1x
1x
2) (1) 2
1x 1
1 cos x, 1 2 x 3 1 3 x (2) x3 x6 (3)
二、无穷大
定义4 设 f(x)在 U0(x0;)内有定 义 M， 0，若 0 , 当 |x x 0 | , 都 |f ( x ) | M 有 ,
解：1 2x 3 1 3x
12x 3 13x
1
2
x
5
2
1
2
x
4 2
.........
1
5
3x3
5
4
5
1 2x2 1 2x2 ......... 1 3x3
3x2 8x3
5
4
5
1 2x2 1 2x2 ......... 1 3x3
因 此 lxi m 0 12xx2313x1 3
例2 判断下列无穷大的阶
（1） x(2x2 x1)32(x1)
x2
解：lim x
12 x
3
1
3
x 1
1
8
（2）
x 12 2x5 x33x1(x)
2阶无穷大
lx ix m 3 2 3 x x 5 1 x 1 2 lx ix m 3 2 3 x x 3 1 22阶无穷大
§2.7 收敛速度问题: 无穷小与无穷大的阶的比较
一、无穷小
定义1 f(x )定 U o(x 0;)， 若 x li m x 0f(x )0 ,
则f(称 x)是x当 x0时的.无穷小
例如 limsinx0, sin x是x当 0时的无 . 穷小 x0 类似可以定义其 过它 程极 的限 无. 穷小
则f称 (x)是 x x0时的无 . 穷大
记作 lim f(x) (或 lim f(x) ).
x x0
x
其x 它 x 0 ,x 过 x 0 ,x 程 ,x ,类 ： .
特别：f(x )0 ,正无 f(x 穷 )0 ,负 大无 ， . 穷
注意
1. 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
(2 )取 x k 2 k 1
(k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分,x 大 k时 ,
但 y (x k ) 2 k s2 ik n 0M . 不是无穷大．
其余情况类似可以定义
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x
x
x
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
例如
x x 0 , x x 0 , x , x .
lim 1 0, 1是当 x时的无穷 . 小
x x
x
观察下列无穷小收敛到零的速度：
当 x0时 ,x,x2,sin x都是无 . 穷小 x 0.1 0.01 0.001
x 2 0.01 0.0001 1106
sinx 0.0998 0.01 0.001
x
x
x
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x
x
x
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x x0
x x0
x , 时 , 选 g(x)1作为.标准 x
例1 确定下列无穷小的阶 (x0)
⑴ x3 x6,
lim x 0 x3x3x61. x3x6的阶 3(无为 穷小量者低阶 )
⑵ 1x1x,
limlim x 0 x 1 x k1 x x 0x k (1 2 x x 1 x ) 1 .( k 1 )