输运方程的本征值问题
输运方程数值解法分析
去￡ 妇 ｄ ｋ 去￡ 讯 ｄ ｋ ｛ 击￡ 础 ｎ ” ｄ ｋ 去￡ 础妇 ｄ ｋ ＋ 去Ｅ 础瞰 ” ｄ ｋ ｝
一
上式可 以化 简为 ：
Ｕ（ ｘ ， ｔ ｎ ＋ １ ） ＝［ １ ＋ａ ２ ２ （ ｅ Ｍ一２ ＋ Ｐ 舳 ） 】 【 ， （ ， ）
（ ２）
逐渐衰减 ，函数值 随空间坐标按正弦规律变化 ，这 与定解 问题给出的解析解是一致 的，需要说 明的是
在得 到解 析解 的过 程 中 已经考 虑 了初 始条 件 和 边 界
条件 。
收稿 日期 ：２ ０ １ ２ —１ １ —２ ２
图１ 函数值 Ｈ随 Ｘ和 ｆ 变化 的解析解的 函数图像
Ｕ ； ５＝ ０
ｔ ≥０
当然上述定解问题可以用分离变量的方法求得其解析解为 ：
ｕ （ ｘ ， 、 ） ＝ｅ 一 ‘ ‘ ｓ ｉ ｎ ￣ ｘ
于是可以给出解析解的函数 图像 ，这里给 出函 数值 随 和 ｔ 变化的函数关系图 （ 见图 １ ） ：
从 图 １中可 以看 出 ，随着 时 间 的 增 加 ，函数 值
一
些 有趣 的结 果 。
１ 定解 问题
在数学物理方程 中，输运方程有很多，比如扩散方程 、热传导方程等。在此 ，用一个 比较简单的方程 ，
来考察差分格式对数值结果的影响 ，以下面的定解 问题为例 ：
２
ａ
Ｏ
． ＝ —
Ｏ ｘ。
Ｓ ｌ ｎ ｇＸ
０≤ Ｘ≤５ ，ｔ≥０ ０≤ ≤５
（ １ ． 玉溪 师 范学 院 理 学院 ，云 南 玉 溪 ６ ５ ３ １ ０ ０ ；２ ． 文 山学院 数 理 系，云南 文 山 ６ ６ ３ ０ ０ ０ ）
常用本征值问题的一般求解方法
第 ３９ 卷 增 刊 １ ２０１８ 年 ８ 月
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｎｇｄａｏ Ｕｎｉ青ｖｅｒ岛ｓｉｔｙ科 ｏｆ技 Ｓｃ大ｉｅｎ学ｃｅ ａ学ｎｄ报 Ｔ（ｅ自ｃｈ然ｎｏｌ科ｏｇ学ｙ（版Ｎ）ａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
ＶｏＡｌｕ．ｇ３９．２Ｓ０ｕ１ｐ８．１
文 章 编 号 ：１６７２－６９８７（２０１８）Ｓ１－０１３４－０２
１ 第 一 类 齐 次 边 值 条 件
对于常微分方程 ｙ″＋λｙ＝０， 及第一类齐次边值条件 ｙ｜ｘ＝０ ＝ｙ｜ｘ＝ａ ＝０， 定解问题描述为
｛ｙ″＋λｙ＝０，
ｙ｜ｘ＝０ ＝ｙ｜ｘ＝ａ ＝０。 当λ＜０ 时 ，微 分 方 程 的 通 解 为 ｙ＝Ｃ１ｅ槡－λｘ ＋Ｃ２ｅ－ 槡－λｘ ，
（１） （２） （３） （４）
ｙｎ ＝ｓｉｎｎａπｘ，ｎ＝１，２，３，… 。
（１０）
收 稿 日 期 ：２０１７－０５－１５ 作 者 简 介 ：王 河 （１９６４— ），男 ，副 教 授 ，博 士 ．
增刊１
王 河 ：常 用 本 征 值 问 题 的 一 般 求 解 方 法
１３５
２ 第 二 类 齐 次 边 值 条 件
第二类齐次边值条件为
ｙ′｜ｘ＝０ ＝ｙ′｜ｘ＝ａ ＝０， 这时定解问题为
（１１）
｛ｙ″＋λｙ＝０，
ｙ′｜ｘ＝０ ＝ｙ′｜ｘ＝ａ ＝０。
（１２）
同样地分λ＜０，λ＝０ 和λ＞０ 三 种 情 况 讨 论，因 为 在
这三种情况下方程的通解是不同的。
当λ＜０ 时 ，把 微 分 方 程 的 通 解 代 入 ，得
此时也只有零解。
当λ＞０ 时 ，微 分 方 程 的 通 解 为
ｙ＝Ｃ１ｃｏｓ槡λｘ＋Ｃ２ｓｉｎ槡λｘ，
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
大学物理-常微分方程的本征值问题
类型
定解问题中的 边界条件
分离变量后的 边界条件
本征函数系
(1)
(2) (3) (4)
利克莱条件：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只 有有限个极值点，则 f (x) 在 [–l, l ] 上可展开为傅里叶级数
利用三角函数的正交关系，可得
量子力学中的正交完备矢量组： 设 F 为厄米算符，则 F 对应于不同本征值的本征矢
相互正交，这些本征矢构成正交完备矢量组。记正交完 备矢量组为 { | i > (i =1, 2, …)}，有
数集的正交性只是这里的特殊例子。
等本征函
4. 完备性定理 若函数 f (x) 在区间 [a,b] 有连续的一阶导数和分段连
续的二阶导数，且满足本征值问题的边界条件，则可利用 本征函数系{yn(x)} 将它展开为绝对且一致收敛的广义傅 里叶级数，即
其中展开式的系数为
备忘：傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数 f (x)，若在区间 [–l, l ] 满足狄
二阶线性常微分方程的普遍形式为 (6-4-1)
其中：A(x), B(x), C(x)——已知函数
—— 分离变量过程中引入的常数
方程 (6-4-1) 化为以下施图姆—刘维尔方程 (施—刘型方程)
(6-4-2)
其中：
核函数
已知函数
权函数
参数 勒让德方程、连带勒让德方程、贝塞尔方程均可化 为施—刘型方程：
(1) 存在无穷多个实的、分立的本征值 = n (n = 1,2,…)，
且对应着无穷多个本征函数 yn (x) (n = 1,2,…)； (2) 当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为简并。
证明：本征值 是实的。 若 为复数，施—刘型方程及其复共轭为
定解问题和本征值问题课件
流体流动和传热分析
通过求解本征值问题，可以研究流体的流动和传热特 性，为流体动力学的研究提供基础数据。
在量子力学中的应用
原子结构和光谱
利用定解问题的方法，可以求解原子的结构和光谱， 从而研究原子和分子的物理性质。
量子纠缠和相干性
通过求解本征值问题，可以研究量子纠缠和相干性等量 子力学的基本现象。
2023 WORK SUMMARY
PART 06
定解问题和本征值问题在 物理中的应用
在固体物理中的应用
晶体结构分析
利用定解问题的方法，可以求解晶体的内部结构，从而 研究晶体的物理性质。
电子状态和能带结构
通过求解本征值问题，可以得到晶体中电子的状态和能 带结构，进而研究材料的电子学性质。
在流体动力学中的应用
流体稳定性分析
利用定解问题的方法，可以研究流体的稳定性，预测 流体的运动状态。
唯一性
在一定条件下，本征值是唯一的。这些条件包括：线性算子是自伴的、有界可逆的、或者具有某种特 定的对称性。在这些条件下，本征值是唯一的，相应的本征函数也是唯一的。
PART 04
常用本征值问题的求解方 法
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种求解本征值问题的常用 方法，适用于具有特定解析性质的问题。
VS
格林函数法适用于一些具有特定性质 的问题，如求解电磁场问题、声波传 播问题等。
PART 03
本征值问题概述
定义与分类
定义
本征值问题是指求解一个线性算子，以及其对应的本征函数。本征值是线性算子作用在本征函数上的一种特殊的 标量值。
分类
根据本征值的性质，本征值问题可以分为实本征值问题和复本征值问题。实本征值问题对应的是实数域上的线性 算子和本征函数，而复本征值问题则对应复数域上的线性算子和本征函数。
数学物理方法输运方程
数学物理方法输运方程我们要解决的是一个数学物理问题，具体来说是输运方程。
输运方程是描述物质在空间和时间中的分布如何随时间变化的偏微分方程。
假设我们有一个物质在二维空间中的分布，并且这个物质会随时间变化。
我们可以用一个函数来表示这个物质在每个点的浓度，记为 f(x, y, t)，其中x 和 y 是空间坐标，t 是时间。
输运方程的一般形式是：∂f/∂t = ∂/∂x(D_x f) + ∂/∂y(D_y f) + ∂/∂z(D_z f)其中 D_x, D_y, D_z 是扩散系数，描述了物质在各个方向上的扩散速度。
在这个问题中，我们只考虑在 x 方向上的输运，所以方程简化为：∂f/∂t = D_x ∂/∂x(f)现在我们要来解这个方程，找出 f(x, y, t) 的具体形式。
解这个输运方程，我们可以得到物质在空间和时间中的分布。
具体来说，我们需要找到一个函数 f(x, y, t)，满足以下条件：1. f(x, y, 0) = f0(x, y)，即在 t=0 时，物质在空间的分布是已知的。
2. 方程∂f/∂t = D_x ∂/∂x(f) 在整个空间和时间上成立。
为了解这个方程，我们可以使用有限差分法、有限元法、谱方法等数值方法。
这些方法可以帮助我们找到 f(x, y, t) 的近似解，从而了解物质在空间和时间中的分布如何随时间变化。
需要注意的是，输运方程是一个偏微分方程，其解可能存在奇异性和不稳定性。
因此，在求解过程中需要特别注意数值方法的稳定性和精度。
同时，扩散系数 D_x 的取值也会影响解的形状和性质。
综上所述，解输运方程是数学物理中的一个重要问题，它可以帮助我们了解物质在空间和时间中的分布如何随时间变化。
通过使用数值方法，我们可以找到方程的近似解，从而为实际应用提供有价值的参考。
浅谈数学物理方法课程的学习PPT课件
得到非平衡态的速度分布函数
量子力学：用薛定谔方程
( 2 2 Zes2 ) E
2
描绘电子在库仑场中的运动
第16页/共53页
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂” 数理方法是学习专业课的奠基石
材料物理： 热处理 热传导方程 光学、电子科技: 电磁波传播 波动方程
第20页/共53页
二、数学物理方法在物理学中的地位
3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
数学物理方法研究物理问题的三个步骤： ➢导(写)出定解问题 (泛定方程、定解条件) ➢求解 ➢对解答进行分析 其间一系列的过程都不可缺少清晰的逻辑推理和 创造性思维，由此学生分析问题和解决问题的能 力也就自然地得到了训练和培养
第25页/共53页
三、如何学好数学物理方法
1.认真学好先行课
普物 重点:力学、电学、热学 高数 重点:微积分、常微分方程解法
求解方程：
行波法：求解常微分方程的先求通 解再用定 解条件定特解的思想
分离变量法、积分变换法： 均用到化偏微分方程为常微分方程的求解
所有求解方程的过程离不开微分、积分手段。
——萧伯纳
第38页/共53页
三、如何学好数学物理方法
6.学会举一反三，懂得由树木见森林。
第28页/共53页
三、如何学好数学物理方法
例：求解三维无界空间的波动问题 z z
M (x, y, z)
utt u |t0
a 2 u x3
y2z
x x at sin cos y y at sin sin
ut |t0 0
z z at cos
数学物理方法常微分方程的本征值问题
dx
N
2 n
9
常微分方程的本征值问题
1
Nn
b a
yn2
x
dx
2
称为归一化因子。
y b 2 an
x
dx
N
2 n
b
yn
x
yn
x
dx
1
a Nn
Nn
令n x
yn x
Nn
则有
b
an
xm
x dx
δnm
1 0
b
a
f1 x
f2
xdx
0
，则称它们在区间
a, b 上正交
如果函数是复函数，则写为
b a
f1*
x
f2
x dx
0
2、归一化定义：
由正交定义，对一本征函数系 yn x
当
n
m
时，
b a
yn
x
ym
x
dx
0
当 n m 时，
y b 2
an
x
2、性质 ① 结论1：所有本征值都是实数，且非负，即 λn 0 ② 结论2：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列 λ1 λ2 λn 对应有无穷多个本征函数 y1 , y2 , yn 称为本征函数系，同一本征值对应 的本征函数可能不止一个。
13
常微分方程的本征值问题
③ 结论3：对应于不同本征值的本征函数 yn、ym ，
两种情况下，求解S-L型本征值问题
定解问题和本征值问题
13
utt a u 0
2 2
u a 2 2 u 0 t
u0
2
2
一般情况 输运 方程
稳定态
u 不随 t 变化 泊松方程
u 2 u f t
2u f /
f 0: u 0
2
拉普拉斯方 程
uf /a
2
u 不随 t 变化
2
泊松方程
(b) 0
C 0 0 D 0
仅有零解
X ( x ) C Dx
C 0 D 0 仅有零解
11
C 0 代入边界条件： Dl 0
X '' X 0 X (0) X (l ) 0
(c ) 0
X ( x) C cos x D sin x
（1）杆的两端温度保持零度； 设 u(x, t) 为杆 （2）杆的两端均绝热； （3）杆的一端恒温零度，另一端绝热。 的温度函数
三种情况下的边界条件分别为：
（1） u x0 0, u xl 0
u u （2） 0, 0 x x 0 x x l
（3） u x 0 u u 0, 0或 0, u x l 0 x x l x x 0
u(r , t ) |t 0 (r )
波动方程：
初始分布
u(r , t ) |t 0 ( r ) u(r , t ) (r ) t t 0
初始位移分布 初始速度分布
数学物理方法 圆柱坐标系中的分离变数 【精】
ez
ez
（3）物理量u与时间t及变量z无关
此时方程化为：
2u
2
1
u
1
2
2u
2
=0
即为圆域问题的拉普拉斯方程。
对其进行变量分离，得到基本解为：
''() m2() = 0, (m,) : sin m, cos m
d2R
d 2
1
dR
d
m2
2
R
=
0, R() : c1mc,2lnm(m(m=00) )
试求t>0时该圆柱体内的温度分布 u(,t)
三 与时间无关的问题
与时间无关的问题，相当于k=0的情形。这时 泛定方程为如下的拉普拉斯方程：
2u = 2u 1 u 1 2u 2u = 0
2 2 2 z2
（1）仅保留ρ分量的边界条件为非齐次边界条件
''() m2() = 0, (m,) : sin m, cos m
T 'k 2a2T = 0
T (t) = C e-k2a2t
三维波动方程和扩散方程，经时间与空间分离 变量后,空间部分满足的是Helmholtz方程。
Helmholtz方程 2v k 2v = 0
在球坐标系下：
1 r2
r
r 2
v r
1
r 2 sin
s in
v
1
r 2 sin 2
1
(
R )
m2
2
=
2
i) 对 方向, 有本征值问题: "m2 = 0
() = (2 )
本征值问题的解:
(m,) = Acos m B sin m
第四节输运方程.
第四节 系统 控制体 输运公式一、系统系统：就是一群流体质点的集合。
流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。
系统的特点：1、从流体中取出的一定质量的流体；2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点）0d d tm； 3、系统的体积和形状可以随时间改变。
4、在系统的边界上可以有能量交换。
二、控制体控制体(control volume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V 。
是为了研究问题方便而取定的。
边界面S 称为控制面。
控制体的特点：1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。
2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。
3、在控制面上可以存在质量及能量交换。
三、输运方程（雷诺输运定理）引言：为什么需要雷诺输运定理？看下图如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。
挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。
请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。
系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。
前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。
而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。
这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。
为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。
绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这就是雷诺输运定理。
S-L本征值问题
2
d dy m2 → [(1 − x 2 ) ] − y + l (l + 1) y = 0 2 dx dx 1 − x d dy n 2 2 ′′ + xy′ + [k 2 x 2 − n 2 ] y = 0 → [( x ] − y + k 2 xy = 0 x y dx dx x
Hale Waihona Puke d dy [k ( x) ] − q ( x) y + λρ ( x) y = 0, a ≤ x ≤ b (1) dx dx
Wuhan University
四、例题
证明： 1）e 2tx −t = ∑ H n ( x) t n （ n! n =0
2
∞
(2)
令 e 2tx −t = ∑ an ( x)t n , 则
2
∞
n =0
1 d n 2tx −t 2 an ( x ) = e n n! dt
ξ =t−x
t =0
1 x 2 d n −( x 2 − 2tx +t 2 ) = e e n n! dt
Wuhan University
三、S-L本征值问题
2、 S-L本征值问题的性质：
n (2) λm ≥ 0, m = 1,2, L 如： (k m ) 2 ≥ 0
(3)
∫
b
a
ρ ( x) ym ( x) yn ( x)dx = N n2δ mn
a
a2 2 n ρJ n (k m ρ )J n (kln ρ )dρ = J n +1 (kln a )δ ml 如： ∫0 2 ∞ 1 b (4) f ( x) = ∑ cm ym ( x) cm = 2 ∫a ρ ( x) f ( x) ym ( x)dx Nm m =1
2.2本征值和本征函数的计算
1⎞ ⎛ 所以得到本征值： En = hω ⎜ n + ⎟ ， 2⎠ ⎝
本征矢为： 而 b 0 =0。 我们将 H 的全部本征矢取为希尔伯特空间的基，则可得到能量表象中（占有 数表象）各算符的表示，b 和 b + 矩阵元为
1 = b+ 0 , 2 =
1 + b 1 ,......, n + 1 = 2
i ( Ei − E j ) pij = −iω ( i − j ) pij 代入哈密顿矩阵元有： h
−1 1 1 1 1 2 pik pkj + mω 2 ∑ xik xkj = pik pkj + ( mω 2 ) ∑ ⎡ ∑ ∑ ⎣−ω ( i − k )( k − j ) pik pkj ⎤ ⎦ 2m k 2 2 2 m k k k
=
1 i xij E j − Ei xij ) = ( Ei − E j ) xij ， ( h ih 1 1 H il plj − pil H lj ) = ∑ ( Eiδ il plj − pil Elδ lj ) ( ∑ ih l ih l 1 i Ei pij − pij E j ) = − ( Ei − E j ) pij ， ( ih h
ψ n (ξ ) =
(i )
n
4
2n n !
2
ξ2 mω − 1 e 2 H n (ξ ) ， πh
n ξ 其中 H n (ξ ) = (−1) e
d n −ξ 2 e 为汉克函数， dξ n
1⎞ ⎛ En = ⎜ n + ⎟ hω , n = 1, 2,...... 。 2⎠ ⎝
ψ n (ξ ) 的通式可由数学归纳法证明：
b + b + b λ = b + ( bb + − 1) λ = ( b + b − 1) b + λ = λ b + λ ，
输运方程基本形式
输运方程基本形式输运方程是描述物质或能量转移的基本方程，其基本形式可以写成以下三个方程：1.质量输运方程：$$\frac{\partial \rho}{\partialt}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0$$其中，$\rho$表示物质的密度，$\mathbf{u}$表示速度矢量，$\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$表示空间梯度运算符。
该方程描述的是物质在空间和时间上的变化情况，它指出质量守恒的基本原理，即物质不会凭空消失或产生。
2.动量输运方程：$$\frac{\partial(\rho\mathbf{u})}{\partialt}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\mathbf{u}+\mathbf{P})=\rho\mathbf{g}$$其中，$\mathbf{P}$表示应力张量，$\rho\mathbf{u}\mathbf{u}$表示动量通量，$\mathbf{g}$表示加速度。
该方程描述的是物质运动的力学规律，它指出动量守恒的基本原理，即物质运动的速度和方向在空间和时间上不会突然改变。
3.能量输运方程：$$\frac{\partial(\rho e)}{\partial t}+\nabla\cdot(\rhoe\mathbf{u}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{P})=\rho\mathbf{u}\cdot\ma thbf{g}+Q$$其中，$e$表示单位质量的内能，$\mathbf{u}\cdot\mathbf{P}$表示内能通量，$Q$表示单位时间内的加热量或冷却量。
该方程描述的是物质内能的变化情况，它指出能量守恒的基本原理，即物质在加热或冷却后其内能会发生变化。
这三个方程描述了物质和能量在空间和时间上的变化规律，它们是物理学中的核心方程，被广泛应用于空气动力学、热力学、流体力学、等离子体物理学、生物学等领域。
第3章 常微分方程的边值和本征值问题
本章要研究的物理问题：薛定谔方程的定态解
本章内容
1 2 3 4 5 4 Numerov 算法 边值问题的直接积分 打靶法求边值问题
打靶法求本征值问题
一维薛定谔方程的定态解
3.0 边值问题与本征值问题
边值问题
在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束，这样方
在球坐标系下可写为
在分离变量之后可得径向波函数 R(r) 满足的方程为
对于该方程，我们感兴趣的是对哪些能量本征值E， 能够导 出满足适当边界条件的物理上可以接受的非零解， 这个问题
就是一个本征值问题
3.1 Numerov 算法
Numerov 算法是处理下面的方程的一个高精度的算法
代入递推关系
对 yn+1 或者 yn-1 解这个线性方程，就提供了一个对 x 向前或者向
首先，写出本问题的 Numerov 算法递推关系
而 y1 是未知的，需要一个一步迭代格式来产生 y1 ，例如可选 择 Euler 方法或 Taylor 级数展开，并利用初始条件 来确定 y1 。 这里我们采用 Taylor级数展开，并取
它可以保证有 O(h3)的精度．
当然我们可以将 y1 展开到 O(h6)，使它有与 Numerov 算
3.3 打靶法求边值问题
考虑下面的边值问题
与常微分方程问题不同，边值问题的定解条件分散在两个 端点上，无法直接启动递推关系进行计算，因此需要一些 辅助的处理手段。
打靶法的基本思想是将边值问题当作一个含可调参数 δ 的
初始问题来处理，即考虑如下初始问题
这样对于给定的参数 δ ，我们就可以通过积分这个初始问
题得到 yδ (b) ．
一般来说，由于可调参数 δ 的随意选择， yδ(b) 和 yb 很难相等。
数学物理方法 第8章 分离变数法
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
输运方程的本征值问题
输运方程本征值无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)''t E v tE f E E E t dE d φφφφ∞Ω∂=−⋅∇−Σ∂+Σ→→∫∫Ωr r r ΩΩr ΩΩ （1）(,,,)E t φφ=r Ω其中简记为1(,) '''''t E f d dE v tφφφφ∂=−⋅∇−Σ+Σ∂∫∫Ωr Ω （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源都包括在内。
把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２）可以简记为1v t φφ∂=∂L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φϕ=r Ωr Ω ，代入（2），并用(,,) ()E T t ϕr Ω除两边，得到：{}''''' Tv f d dE T T ϕϕϕϕ∂−⋅∇−Σ+ΣΩ=∫∫Ω左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故{} ''''' Tv f d dE T T ϕϕϕλϕ∂−⋅∇−Σ+ΣΩ==∫∫Ω 这就把原方程分离成了两个方程T Tλ∂= （4） ） v λϕϕ=L (5a)（4）的解是0 t T T e λ= (6)其中的λ是方程（5）的本征值。
这样我们就把求解与时间有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与本征函数问题。
容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面Σ增加了vλ；当0λ=时，两者没有差别。
当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未变，只能是俘获截面增大）。
物理上是相应于一个超临界系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。
由于这虚拟俘获v λ符合1v律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。
本征值方程
本征值方程
本征值方程是一种数学方程，它可以用来描述一个系统的特性。
它的形式是一
个矩阵方程，其中矩阵的特征值和特征向量是本征值方程的解。
本征值方程的解可以用来描述系统的特性，例如它的稳定性、可靠性和可控性。
本征值方程的应用非常广泛，它可以用来解决各种科学和工程问题，例如结构
力学、电磁学、量子力学、热力学等。
它还可以用来解决经济学、金融学和管理学中的问题。
本征值方程的解可以用来描述系统的特性，例如它的稳定性、可靠性和可控性。
它可以用来分析系统的性能，从而改善系统的设计和操作。
它还可以用来检测系统的故障，从而提高系统的可靠性。
本征值方程的应用非常广泛，它可以用来解决各种科学和工程问题，也可以用
来解决经济学、金融学和管理学中的问题。
它的应用范围极其广泛，可以说是一种非常有用的数学工具。
总之，本征值方程是一种非常有用的数学工具，它可以用来描述系统的特性，
并且可以用来解决各种科学和工程问题，以及经济学、金融学和管理学中的问题。
它的应用范围极其广泛，可以说是一种非常有用的数学工具。
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输运方程本征值
无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)''
t E v t
E f E E E t dE d φφφφ∞Ω∂=−⋅∇−Σ∂+Σ→→∫∫Ωr r r ΩΩr ΩΩ （1）
(,,,)E t φφ=r Ω其中
简记为
1(,) '''''t E f d dE v t
φφφφ∂=−⋅∇−Σ+Σ∂∫∫Ωr Ω （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源
都包括在内。
把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２）
可以简记为
1v t φφ∂=∂L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φϕ=r Ωr Ω ，
代入（2），并用(,,) ()E T t ϕr Ω除两边，得到：
{}
''''' T
v f d dE T T ϕϕϕϕ∂−⋅∇−Σ+ΣΩ=∫∫Ω
左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故
{} ''''' T
v f d dE T T ϕϕϕλϕ
∂−⋅∇−Σ+ΣΩ==∫∫Ω 这就把原方程分离成了两个方程
T T
λ∂= （4） ） v λ
ϕϕ=L (5a)
（4）的解是
0 t T T e λ= (6)
其中的λ是方程（5）的本征值。
这样我们就把求解与时间
有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与
本征函数问题。
容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面
Σ增加了v
λ；当0λ=时，两者没有差别。
当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未
变，只能是俘获截面增大）。
物理上是相应于一个超临界
系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。
由于这虚拟俘获
v λ符合1v
律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。
也可以采用k 本征值，此时方程为
'
111''''
()''''4
t s f v t f dE d E dE d k ϕϕϕϕχνϕπ
∂+⋅∇+Σ∂=Σ+Σ∫∫∫∫ΩΩΩ （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂
变源进行人为调整）
采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得
能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。
除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。
关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的
第三章。
注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。