输运方程的本征值问题

输运方程本征值

无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)''

t E v t

E f E E E t dE d φφφφ∞Ω∂=−⋅∇−Σ∂+Σ→→∫∫Ωr r r ΩΩr ΩΩ （1）

(,,,)E t φφ=r Ω其中

简记为

1(,) '''''t E f d dE v t

φφφφ∂=−⋅∇−Σ+Σ∂∫∫Ωr Ω （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源

都包括在内。

把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２）

可以简记为

1v t φφ∂=∂L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φϕ=r Ωr Ω ，

代入（2），并用(,,) ()E T t ϕr Ω除两边，得到：

{}

''''' T

v f d dE T T ϕϕϕϕ∂−⋅∇−Σ+ΣΩ=∫∫Ω

左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故

{} ''''' T

v f d dE T T ϕϕϕλϕ

∂−⋅∇−Σ+ΣΩ==∫∫Ω 这就把原方程分离成了两个方程

T T

λ∂= （4） ） v λ

ϕϕ=L (5a)

（4）的解是

0 t T T e λ= (6)

其中的λ是方程（5）的本征值。这样我们就把求解与时间

有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与

本征函数问题。

容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面

Σ增加了v

λ；当0λ=时，两者没有差别。当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未

变，只能是俘获截面增大）。物理上是相应于一个超临界

系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。 由于这虚拟俘获

v λ符合1v

律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。

也可以采用k 本征值，此时方程为

'

111''''

()''''4

t s f v t f dE d E dE d k ϕϕϕϕχνϕπ

∂+⋅∇+Σ∂=Σ+Σ∫∫∫∫ΩΩΩ （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂

变源进行人为调整）

采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得

能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。

除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的

第三章。

注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。