作用力和反作用力做功

作用力和反作用力做功
引言
牛顿第三运动定律告诉我们，作用力和反作用力是大小相等，方向相反的，在解决质点组动力学问题时，经常要涉及到作用力和反作用力做功问题。

根据牛顿第三定律知作用力和反作用力是大小相等、方向相反的，作用力和反作用力所做的功是不是总是大小相等、方向相反,代数和总是为零？作用力和反作用力做功及其代数和与参考系的选取有什么关系呢?
1 作用力与反作用力的做功并不一定是大小相等、方向相反
在质点组内任选两个质点1和2,它们之间的作用力与反作用力为12F 和21F ，二质点相对选定的参照系的位置矢量分别为1r 和2r ，如图1所示，二质点分别沿图1中的虚线轨迹运动，根据功的定义，12F 和21F 做功分别为
1121W F dr =⋅⎰ 2212W F dr =⋅⎰
在式中由于12F 21F =-，作用力和反作用力作用于不同的质点，二质点沿不同的路径运动，所以12F 和21F 所作用的质点的位移是相互独立的，因此尽管每时每刻作用力和反作用力大小相等，方向相反，12F 21F =-，但1W 和2W 确不一定等值反号，只要12F 与1dr 的夹角为锐角，21F 与2dr 的夹角也为锐角，这对作用力与反作用力就可以同时做正功；同理若都为钝角，则都做负工，同时也会出现一个为零，即一个做功一个不做功的情况。

将dr 分解为与r 水平方向和垂直方向的二分位移1d r 和2d r ，力F 只在平行的分位移2d r 上起做功，如图b 所示，力F 在r 方向上的投影为r F ，于是做功
ˆˆ()r r
dA F r drr F dr =⋅= ˆr
为r 上的单位矢量，由此式进一步表明二质点作用力和反作用力的做功之和决定于力和质点间相对距离的改变。

元功dA 的正负由r F 和dr 的正负决定，只有当二质点沿力的方向上无相对运动时，作用力和反作用力的和等于0！
例，开普勒第三运动定律指出，行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上，若两行星在太空中作大小不等的椭圆运动，当他们分别由各自的远日点向近日点运动时，他们之间的万有引力分别与受力点的位移夹锐角，如图2 所示，所以这对作用力与反作用力同时做正功，当他们分别由近日点向远日点运动时，他们之间的万有引力和受力点的位移夹钝角，这时候作用力和反作用力做负工。

2 作用力与反作用的做功之和与选取的坐标无关
2.1 在 K 系中,作用力、反作用力做功的代数和
22111221r d F r d F A d A d A d ⋅+⋅=+=
由于1221F F =-
1211221212()dA F dr F dr F d r r =⋅-⋅=⋅-
式中的12r r -是质点1相对于2的位置矢量，令12r r r =-，则12()dr d r r =-表示质点1相对于质点2的元位移，则
12dA F dr =
2.2 在 K ′系中,作用力、反作用力做功的代数和
'
221'11221'dr F dr F dA dA dA ⋅+⋅=+=
由于1221F F =- ''
'1212'()dA F d r r =⋅- 由图可知，'
'12r r -=12r r -r =
所以'12dA F dr = 由以上分析可知作用力和反作用力做功的代数和与坐标系选取无关。