小波变换在图像边缘检测的运用

小波在图像边缘检测中的应用（比较几种算法）
检测技术与自动化装置 梅峰 0911********
图像边缘是描述图像最基本、最有意义的特征，故边缘检测是计算机视觉和图像处理领域最经典的研究课题之一，边缘检测的主要目的是对一图像灰度变化进行度量、检测和定位。

边缘检测器的工作既要将高频信号从图像中分离出来，又要区分边缘和噪声，准确的标定边缘位置。

小波被誉为“数学显微镜”，在时域和频域都有良好的局部特性，以平滑函数的一阶导数作为小波函数对图像进行小波变换，小波系数的模极大值即对应图像的边缘[1-3]。

经典的边缘检测方法有一阶导数极大值点算法(例如Robert 算子、Sobel 算了、Canny 算子)，二阶导数零交叉点算法(例如LoG 算子)等等。

新的边缘检测方法有数学形态学的方法、模糊算子法、神经网络法、小波分析法、遗传算法、动态规划法、分形理论法等等。

原理
设）（21,x x θ是二维平滑函数]0,[2121⎰⎰≠x dx x x ）（θ。

把它沿x 1，x 2两个方向上的一阶导数作为两个基本小波：
12121)1(),(),(x x x x x ∂∂=θψ （1） 2
2121)2(),(),(x x x x x ∂∂=θψ （2） 再令：12121)1(221)1(),(),(1),(x x x a x a x a x x a a ∂∂==
θψψ （3） 2
2121)2(221)2(),(),(1),(x x x a x a x a x x a a ∂∂==θψψ （4） 其中),(),(2121a
x a x x x a θθ=，对任意二维函数f （x 1，x 2）∈L 2（R 2），其小波变换有两个分量：
沿x1方向：)2
,1()1(**)2,1()2,1,()1(x x a x x f x x a f WT ψ= （5） 沿x2方向：)2
,1()2(**)2,1()2,1,()2(x x a x x f x x a f WT ψ= （6） 其中**代表而为卷积，他的具体含义是：
212211212),(),(1)2,1()(**)2,1(du du a
u x a u x u u f a x x i a x x f --=⎰⎰ψψ，i=1或2。

（7） 小波分量可简记成矢量形式：
)]
,
(
[
*
)]
,
(
**)
,
(
[
*
)]
,
(
**)
,
(
[
)]
,
(
**)
,
(
[
*
)
,
,(
)
,
,(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
)2(
2
1
)1(
x
x
f
grad
a
x
x
x
x
f
grad
a
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
a
x
x
a
f
WT
x
x
a
f
WT
s
a
a
a
=
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ
θ
θ
（8）其中)
,
(
2
1
x
x
f s是)
,
(
2
1
x
x
f被)
,
(
2
1
x
x
a
θ平滑后的图像。

（8）式表明WT1和WT2分别反映此图像灰度沿x1和x2方向的梯度。

通常取a为2j(j∈Z)，而f（x1，x2）的二进小波变换为矢量：
)
,
,
2(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
2
1
)2(
2
1
)1(
x
x
WTf
x
x
a
f
WT
x
x
a
f
WT
j
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
（9）
其模值是：
2/1
2
2
1
)2(
2
2
1
)1(
2
1
]
)
,
,
2(
)
,
,
2(
[
)]
,
,
2(
[x
x
f
WT
x
x
f
WT
x
x
WTf
Mod j
j
j+
-（10）
其幅角（与x1方向的夹角）是：⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=-
)
,
,
2(
)
,
,
2(
)]
,
,
2(
[
2
1
)1(
2
1
)2(
1
2
1x
x
f
WT
x
x
f
WT
tg
x
x
WTf
Arg
j
j
j（11）
边缘定义为Mod[WTf]取极值之处，其方向则沿与Arg[WTf]垂直的方向。

但是噪声也是灰度突变点，也是极大值点。

因为小波具有能量集中的性能，它能将信号能量集中在少数小波系数上，所以边缘的小波系数幅值比较大，而噪声能量比较分散，小波系数幅值较小。

所以用平滑函数的一阶导数作小波函数对图像进行小波变换，大于一定阈值的小波系数的模极大值点即对应图像的边缘点，这就是小波变换用于边缘检测的原理[1-2]。

实验结果分析1
算法采用matlab语言进行仿真实验，图1为边缘检测的原lena图像，图2-图7为一些算子的提取边缘图。

通过比较,我们可以看出canny算子、log算子提取边缘大多明显的边缘都已经被检测到，但也存在噪声和一些被漏检的较弱的边缘。

Prewitt算子、Roberts算子、Sobel算子其存在很多漏检的边缘，检测效果不如log算子、canny 算子和高斯算子。

高斯算子提取边缘比较详细，其中噪声也存在。

图1 原lena图像图2 canny算子提取边缘图图3 Log算子提取边缘图
图4 Prewitt 算子提取边缘图 图5 Roberts 算子提取边缘图 图6 Sobel 算子提取边缘图
图7 高斯算子提取边缘图
基于小波变换的模极大值理论对图像进行边缘检测，得到了较好的检测效果，利用小波变换来检测图像的边缘，其特点是可以调整尺度当尺度较小时，产生了具有噪声的小连续边界；当尺度较大时，此时抗噪较好当图像的信噪比较小时，选用小尺度可以确定边界的位置，但小能区分实际边界和噪声信号；选用大尺度可以有效的滤除噪声信号，却无法确定实际边界的位置。

因此，根据图像的特征和检测的要求选取适当的尺度。

以上算法都是假设边缘点对应于原始图像灰度级梯度的局部极值点，但是当图像含有噪声时，这此算法对噪声非常敏感，常常会把噪声当作边缘点并检测出来，而真正的边缘由于噪声的干扰也可能被漏检，这是这些算法的缺点。

所以下面介绍小波多尺度边缘检测算法。

小波多尺度边缘检测算法
多尺度边缘检测是将图像f(x) ,通过个函数）（x θ的伸缩作卷积，然后使用canny 算法实现图像的边缘检测计算上就是与两个小波函数）（x θ的两个偏导数作用：
x
∂∂-=θψ1 （12） y ∂∂-=θψ2 （13） 应用小波的图像边缘检测在小同尺度上的变换结果都提供了一定的边缘信息。

小尺度的时候，图像边缘细节丰富，定位精度高，但是容易受到噪声的干扰；大尺度的时候，边缘稳定，抗噪性好，但是定位精度低。

多尺度边缘检测在不同尺度的小波变换图像上，沿梯度力向检测模极大值，并通过闭值的选取，得到对
应尺度上的边缘图像在各尺度上进行综合得到最终边缘图像，可以较好的解决噪声和定位的矛盾[4]。

实验结果分析2
图8 多尺度检测结果
结论：
由仿真结果可以发现:基于小波多尺度相关的特征边缘提取算法不仅保留了图像中重要的细节边缘信息，而且又剔除了大量的兀余边缘和虚假边缘，从而有效地提取出了图像的特征边缘，为后续的目标识别提供了可靠的信息。

[1] 杨福生.小波变换的工程分析与应用[M].北京:科学出版社.1999.
[2] 彭玉华.小波变换与工程应用[M].北京:科学出版社.1999.
[3] Z11ANG Lei, Paul Bao. A Wavelet-Based Edge Detection Method by Scale Multiplication.[C] //16th International Conference on Pattern Recognition, 2002: 501-504.
[4] 贾天旭，郑南宁.基于Bubble小波的多尺度边缘提取[J].电子报，1996,24(4):1212123。