小波变换在图像边缘检测的运用
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小波在图像边缘检测中的应用（比较几种算法）
检测技术与自动化装置 梅峰 0911********
图像边缘是描述图像最基本、最有意义的特征，故边缘检测是计算机视觉和图像处理领域最经典的研究课题之一，边缘检测的主要目的是对一图像灰度变化进行度量、检测和定位。边缘检测器的工作既要将高频信号从图像中分离出来，又要区分边缘和噪声，准确的标定边缘位置。小波被誉为“数学显微镜”，在时域和频域都有良好的局部特性，以平滑函数的一阶导数作为小波函数对图像进行小波变换，小波系数的模极大值即对应图像的边缘[1-3]。
经典的边缘检测方法有一阶导数极大值点算法(例如Robert 算子、Sobel 算了、Canny 算子)，二阶导数零交叉点算法(例如LoG 算子)等等。新的边缘检测方法有数学形态学的方法、模糊算子法、神经网络法、小波分析法、遗传算法、动态规划法、分形理论法等等。
原理
设）（21,x x θ是二维平滑函数]0,[2121⎰⎰≠x dx x x ）（θ。把它沿x 1，x 2两个方向上的一阶导数作为两个基本小波：
12121)1(),(),(x x x x x ∂∂=θψ （1） 2
2121)2(),(),(x x x x x ∂∂=θψ （2） 再令：12121)1(221)1(),(),(1),(x x x a x a x a x x a a ∂∂==
θψψ （3） 2
2121)2(221)2(),(),(1),(x x x a x a x a x x a a ∂∂==θψψ （4） 其中),(),(2121a
x a x x x a θθ=，对任意二维函数f （x 1，x 2）∈L 2（R 2），其小波变换有两个分量：
沿x1方向：)2
,1()1(**)2,1()2,1,()1(x x a x x f x x a f WT ψ= （5） 沿x2方向：)2
,1()2(**)2,1()2,1,()2(x x a x x f x x a f WT ψ= （6） 其中**代表而为卷积，他的具体含义是：
212211212),(),(1)2,1()(**)2,1(du du a
u x a u x u u f a x x i a x x f --=⎰⎰ψψ，i=1或2。 （7） 小波分量可简记成矢量形式：
)]
,
(
[
*
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,
(
**)
,
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,
(
**)
,
(
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,
(
**)
,
(
[
*
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,
,(
)
,
,(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
)2(
2
1
)1(
x
x
f
grad
a
x
x
x
x
f
grad
a
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
a
x
x
a
f
WT
x
x
a
f
WT
s
a
a
a
=
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ
θ
θ
（8）其中)
,
(
2
1
x
x
f s是)
,
(
2
1
x
x
f被)
,
(
2
1
x
x
a
θ平滑后的图像。（8）式表明WT1和WT2分别反映此图像灰度沿x1和x2方向的梯度。通常取a为2j(j∈Z)，而f（x1，x2）的二进小波变换为矢量：
)
,
,
2(
)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
2
1
)2(
2
1
)1(
x
x
WTf
x
x
a
f
WT
x
x
a
f
WT
j
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
（9）
其模值是：
2/1
2
2
1
)2(
2
2
1
)1(
2
1
]
)
,
,
2(
)
,
,
2(
[
)]
,
,
2(
[x
x
f
WT
x
x
f
WT
x
x
WTf
Mod j
j
j+
-（10）
其幅角（与x1方向的夹角）是：⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=-
)
,
,
2(
)
,
,
2(
)]
,
,
2(
[
2
1
)1(
2
1
)2(
1
2
1x
x
f
WT
x
x
f
WT
tg
x
x
WTf
Arg
j
j
j（11）
边缘定义为Mod[WTf]取极值之处，其方向则沿与Arg[WTf]垂直的方向。但是噪声也是灰度突变点，也是极大值点。因为小波具有能量集中的性能，它能将信号能量集中在少数小波系数上，所以边缘的小波系数幅值比较大，而噪声能量比较分散，小波系数幅值较小。所以用平滑函数的一阶导数作小波函数对图像进行小波变换，大于一定阈值的小波系数的模极大值点即对应图像的边缘点，这就是小波变换用于边缘检测的原理[1-2]。
实验结果分析1
算法采用matlab语言进行仿真实验，图1为边缘检测的原lena图像，图2-图7为一些算子的提取边缘图。
通过比较,我们可以看出canny算子、log算子提取边缘大多明显的边缘都已经被检测到，但也存在噪声和一些被漏检的较弱的边缘。Prewitt算子、Roberts算子、Sobel算子其存在很多漏检的边缘，检测效果不如log算子、canny 算子和高斯算子。高斯算子提取边缘比较详细，其中噪声也存在。
图1 原lena图像图2 canny算子提取边缘图图3 Log算子提取边缘图