高三数学上学期期末考试试题文1

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高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)

高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”; ③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭;④R x ∃∈，使sin cos x x +=其中正确的是（） A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④4．已知a 、b 为正实数，a+b=1，则2134a b+的最小值是（） A ．1112 B ．116C ．1112+D ．1112+5．函数2441()2x f x x -+=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．当()0,x ∈+∞时幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠7．若0.110a =与lg0.8b =和5log 3.5c =，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>8．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有12123f x f x x x ,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A．2,3π-B．2,6π-C．4,6π-D．4,3π12．已知函数()2ln,01,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩若函数()()g x f x k=-有三个零点，则（）A．1ek<≤B．1ek-<<C．1e<<k D．11ek<<二、填空题13．若22x x a++≥对Rx∈恒成立，则实数a的取值范围为___.14．已知实数0a≠，函数2,1()2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a-=+，则a的值为________ 15．已知1cos63πα⎛⎫⎪⎝=⎭+，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为______．三、双空题四、解答题17．已知幂函数()2()294mf x m m x=+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x解析式；(2)判断函数()f x的奇偶性并写出其单调区间.18．已知函数()e ln exf x a x=--.（1）当1a=时讨论函数()f x的零点存在情况；（2）当1a>时证明：当0x>时()2ef x>-.19．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.20．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值． 21．已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时试写出函数()()g x f x x =-的单调区间； (2)当1a >时求函数()f x 在[1,3]上的最大值.22．已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.参考答案与解析1．C【详解】1A ∈12log (1)0a ∴-> 011a ∴<-<，即12a <<则实数a 的取值范围是(1,2) 故选:C. 2．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时()=()f x f x -对任意的x 恒成立()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题知①不正确命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π10,,tan 22tan x x x ⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos [4x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，比如π4x =时π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故R x ∃∈，使sin cos x x += 故选：B 4．D 【分析】将2134a b +与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2134a b+的最小值.【详解】由已知条件可得()2118318311111113412121212b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=时等号成立.因此，2134a b +的最小值是1112+故选：D. 5．D【分析】判断函数的奇偶性可排除B ，C ；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数2441()2x f x x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且2441()()2x f x f x x -+-== 故2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A 故选：D. 6．A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：m=2.故选：A. 7．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=a cb ∴>>故选:D 8．C【解析】因为等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案.【详解】不等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦ ∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-< ∴2433x <<不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题. 9．A【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此得出正确结论.【详解】有()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+sin cos cos sin cos αβαβα-= ()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当6x π=时()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误；在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=所以22Tπω== 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A. 12．C【分析】将问题转化为()y f x =与y k =图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出()f x 图象，即可确定k 的范围.【详解】由题意，()y f x =与y k =图象有三个交点当0x >时()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=∴在()0,e 上0fx，()f x 递增，在()e,+∞上0fx，()f x 递减∴0x >时()ln x f x x =有最大值()1e ef =，且在()0,e 上()1(,)e f x ∈-∞，在()e,+∞上()1(0,)ef x ∈.当0x ≤时()21f x x =-+单调递增∴()f x 图象如下∴由图知：要使函数()g x 有三个零点，则10e<<k . 故选：C. 13．94a ≥【分析】根据一元二次不等式对R x ∈恒成立，可得Δ14(2)0a =--≤ ，即可求得答案. 【详解】220x x a ++-≥对R x ∈恒成立，9Δ14(2)0,4a a ∴=--≤∴≥ 故答案为：94a ≥14．34-【解析】分当0a >时和当a<0时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+ ()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当a<0时1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为34-.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．15．13-【分析】由已知条件，利用诱导公式化简5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：因为1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+所以51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 故答案为：13-.16． sin x - 【分析】对()cos f x x '=求导可得()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立根据函数的性质123123sin sin sin 3sin 3x x x x x x ++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求得123sin sin sin x x x ++的最大值. 【详解】设()sin f x x =，()0,πx ∈则()cos f x x '= 则()sin f x x ''=-，()0,πx ∈由于()0f x ''<恒成立故()f x 有如下性质()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭.则123123πsin sin sin 3sin 3sin 33x x x x x x ++⎛⎫++≤=⨯= ⎪⎝⎭∴123sin sin sin x x x ++故答案为 sin x -17．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可；（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得22941m m +-=，解得12m =或5m =- 经检验当12m =时函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义所以5m =-，则5()f x x -=. （2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠ 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x-==-=--∴该幂函数为奇函数.当0x >时根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数故其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞.18．（1）两个零点；（2）证明见解析.【分析】(1)将1a =代入可得(1)0f =，求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；(2)根据已知条件构造函数()e ln 2x g x x =--，证明()0g x >在0x >时恒成立即可得解.【详解】(1)当1a =时()e ln e x f x x =--，显然(1)0f =，即1是()f x 的一个零点求导得()1e x f x x '=-，()f x '在(0,)+∞上单调递增，且131e 303f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭(1)e 10f '=-> 则()f x '在1(,1)3上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0f x '<，当0x x >时()0f x '> 因此，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，而()0(1)0f x f <= 31e 31e 3e 0ef ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭ 从而得在()00,x 上函数()f x 存在一个零点所以函数()f x 存在两个零点；(2)令()e ln 2x g x x =--，x>0，则1()e x g x x'=-，由(1)知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且在1(,1)3上存在唯一零点0x ，即001x e x = 当()00,x x ∈时()g x 单调递减，当()0,x +∞时()g x 单调递增因此()000000011()e ln 2e ln 220e x x x g x g x x x x ≥=--=--=+->，即ln 2x e x ->，则e ln e 2e x x -->- 而1a >，有e e x x a >，于是得()e ln e>e ln e 2e x x f x a x x =---->-所以当1a >，0x >时()2e f x >-.19．（1）最小正周期为π，最大值为1（2）在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 的单调性. 【详解】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos x x x =11cos 2sin 222x x +=sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期为22T ππ== 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时()f x取得最大值为1；（2）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时[]20,3x ππ-∈ 则当20,32x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为增函数；当2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为减函数 f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.20．（1）3()4=max f x()min f x =；（2）2325 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．()1由x 的范围求得相位的范围，则函数最值可求；()2由已知求得145sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及倍角公式求2sin α的值．【详解】解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111622222222sin x cos x cos x cos x x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦23sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦ 则3()4max f x =()min f x = ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．21．(1)单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)()()max 1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当2a =时求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；（2）作出函数()f x 的大致图象，数形结合，分类讨论，比较()f x 在[1,3]上的函数值(1)f (3)f ()f a 的大小关系，即可求得答案.（1）当2a =时()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩当2x <时2()31g x x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当2x ≥时2()1g x x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =所以()g x 在[2,)+∞上单调递减. 综上可知，()g x 的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意知1a >，()()2211()x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩作出大致图象如图：易得(0)()1f f a == 2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以可判断()f x 在[1,3]上的最大值在(1)f (3)f ()f a 中取得.当13a 时max ()()1f x f a ==.当3a >时()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增又13422a a a ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，若34a <<，则max ()(3)103f x f a ==-；若4a ≥，则max ()(1)2f x f a ==-.综上可知，在区间[1,3]上()()max1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ . 22．(1)在3π[0,]4上，()f x 为增函数；在3π[,π]4上时()f x 为减函数. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；（2）当1a =时结合（1）可得πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，整理为e sin 1sin cos x x x x +≥-，然后构造函数()πsin g x x x =--，利用其导数证明结论.【详解】（1）因为π()e sin sin ,[0,π]4x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以()π()e sin e cos cos()e sin cos )(cos sin )e (sin (cos )4x x x x f x x x x x x a x x a x x '=+-=+-+=-+因为1a ≤，所以在()0,π上e 0x a ->由()0f x '=，解得3π4x =. 当3π04x <<时()0f x '>，故()f x 在3π[0,]4上为增函数；当3ππ4x <<时()0f x '<，()f x 在3π[,π]4上为减函数. （2）证明：由（1）知，当1a =时π()e sin 4x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π[0,]4上为增函数，在3π[,π]4上为减函数. 因为(0)1,(π)1f f ==-所以()(π)f x f ≥故πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以e sin sin cos 1x x x x ≥--所以e sin 1sin cos x x x x +≥-.设()πsin ,()1cos 0g x x x g x x '=--=--≤所以()g x 在[0,π]上为减函数.又(π)0g =，则()(π)0g x g ≥=，所以πsin x x -≥所以e (π)1e sin 1sin cos x x x x x x -+≥+≥-.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.。

2021年高三上学期期末考试(文)数学试题含答案

2021年高三上学期期末考试（文）数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A． B． C． D．2.已知是虚数单位，则（）A． B． C． D．4.已知函数是一个（）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数5.函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．6.下列命题中正确的个数是（）①命题“任意，”的否定是“任意，”；②命题“若，则”的逆否命题是真命题；③若命题为真，命题为真，则命题且为真；④命题“若，则”的否命题是“若，则”．A．个 B．个 C．个 D．个7.已知变量，满足：，则的最大值为（）A． B． C． D．8.已知椭圆的中点在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A． B． C． D．9.两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10.函数的图象大致为（）11.已知直线与圆交于、两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A． B． C．或 D．或12.记，，，其中为自然对数的底数，则，，这三个数的大小关系是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线的离心率为．14.已知正方形的边长为，点是边上的动点，则．15.已知点满足，过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为．16.已知数列满足，（），则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）如图，中，已知点在边上，且，，，．（1）求的长；（2）求．18.（本小题满分12分）已知数列是公差大于零的等差数列，数列为等比数列，且，，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前项和．19.（本小题满分12分）已知直线，圆．（1）试证明：不论为任何实数，直线与圆总有两个交点；（2）求直线被圆截得的最短弦长．20.（本小题满分12分）将函数（，）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数．（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．22.（本小题满分12分）设，是椭圆（）上的两点，向量，，且，椭圆离心率，短轴长为，为坐标原点．（1）求椭圆方程；（2）若存在斜率为的直线过椭圆的焦点（为半焦距），求的值；（3）的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．31502 7B0E 笎e40794 9F5A 齚Ed39454 9A1E 騞820701 50DD 僝{23912 5D68 嵨22934 5996 妖33735 83C7 菇&-。

高三数学上学期期末考试试题文

卜人入州八九几市潮王学校第二2021届高三数学上学期期末考试试题文一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1. A ．假设,ab >那么22ac bc >0,0,a b cd >>>>那么a b d c >0,a b <<那么2ab b <1,ab>那么a b > 2.在△ABC 中，2,3,60,ab B ===那么A 等于A.30oB.45C ．45或者135D.60ABCD 中，,,4,AB a AD b AM MC P ===为AD 的中点，MP = (0,),2πα∈且21sin cos 2,4αα+=那么tan α的值等于等式()2521x x +≥-的解集是()sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图像关于直线1x =对称，把()f x 的图像向右平移3个单位长度后，所得图像对应的函数解析式为 7.{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项的和，假设24316,7a a S ==,那么4S =A.31B.63C.15D.278.向量()()(),1,1,2,0,0a m b n m n ==->>假设a b ⊥，那么12m n+的最小值为 {}n a 的前n 项和为n S ，假设363,15,S S ==那么101112a a a ++=A.21B.30C.12D.39 10.数列{}n a 中()1111,122n n a a a n -==+≥，那么n a =,a b 满足1==b a ,21-=⋅b a ，那么2a b += .2A .3B C.3.7D{}n a 的前n 项和为n S ，()11(43)n n a n -=--，那么11S 的值等于二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13.曲线21x y xe x =+-在点()0,1-处的切线方程为_____________.14.{a n }的前n 项和为S n ，满足1)1(log 2+=+n S n，那么a n=______________.15.实数x,y 满足1012(1)50y y x x y -≥⎧⎪-≤-⎨⎪+-≤⎩，目的函数z=x-y 的最小值为_____________.11112612(1)n S n n =+++++，假设431=⋅+n n S S ，那么n 的值是______________. 答题卡一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13._________________________14._________________________ 15._________________________16._________________________ 三、解答题〔一共70分〕17.〔12分〕数列{}n a 为等差数列，公差2d =且245,,a a a 成等比数列.〔1〕求{}n a 的通项公式;〔2〕假设n S 为{}n a 的前n 项和，求当n 为多少时n S 有最小值，并求S n的最小值。

2021年高三数学上学期期末考试试题(文,理)

2021年高三数学上学期期末考试试题（文，理）第I卷一、选择题：DBCDB BCDAC AB第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）－（14）8 （15）①②④（16）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－2(n∈N*)，数列{b n}满足b1＝1，且点P(b n，b n＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式．(2)求数列{a n·b n}的前n项和D n.【解】 (1)当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，所以a n＝2a n－1(n≥2)，所以{a n}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以a n ＝2n，又点P(b n，b n＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上，所以b n＋1＝b n＋2，所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. ……………………6分(2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×1－24(1－2n －1－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6. ……………………12分(18)（本小题满分12分）己知向量，记. (I)若，求的值；( II)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(, 求函数的取值范围．解：（Ⅰ）==因为，所以…………………………………4分……………………6分（Ⅱ）因为由正弦定理得所以所以因为，所以，且所以……………………9分所以……………………10分又因为……………………11分故函数的取值范围是……………………12分(19)（本小题满分12分）己知斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，，平面平面ABC，M、N是AB,的中点．(I)求证：CM//平面．( II)求证：BN；证明：（Ⅰ）取的中点，连接,.因为 ,分别是,的中点，所以∥, ………2分又因为∥ ,所以∥且所以四边形为平行四边形，所以∥．………………………………………………………………4分又因为平面，平面，所以∥平面．………………………………………………………6分（Ⅱ）取的中点,连结，.由题意知，又因为平面平面，所以平面．…………………………………………8分因为平面所以因为四边形为菱形，所以又因为∥, 所以所以平面，又平面…………………………10分所以．……………………………………………12分(20)（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20 5 25女生10 15 25合计30 20 50（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.17.解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为∴男生应该抽取人…………………………４分（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。

高三数学上学期期末考试试题含解析试题_1_1

2021届高三数学上学期期末考试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么MN =〔〕A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3,4,5C. {}2,3D.{}2,3,4【答案】C 【解析】【分析】求出集合M ，然后利用交集的定义可求出集合M N ⋂. 【详解】{}{}16,2,3,4,5M x x x N =<<∈=，因此，{}2,3MN =，应选C.【点睛】此题考察交集的计算，考察计算才能，属于根底题.22y x 149-=的渐近线方程是 ( ) A. 3y x 2=±B. 2y x 3=±C. 9y x 4=±D.4y x 9=±【答案】B 【解析】由双曲线HY 方程可知，2,3a b ==，且焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为32y x =±，应选A.{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，那么“1532S S S +<〞是“0d <〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的定义以及前n 项和公式，结合充要条件的定义即可得到结论. 【详解】由1532S S S +<，得()111510233a a d a d ++<+，即0d <，所以“1532S S S +<〞是“0d <〞的充分条件，由0d <，()151********a a S S a a d ++=+=+，()1331322662a a S a d +=⨯=+，所以，151********S S a d S a d +=+<=+，所以“1532S S S +<〞是“0d <〞的必要条件，综上，“1532S S S +<〞是“0d <〞的充要条件. 应选：C.【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质是解决此题的关键，属于根底题.4.某几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为〔〕A.76B.476C.72D.236【答案】D 【解析】【分析】由三视图可得几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，用三棱柱体积减去三棱锥的体积即为该几何体的体积.【详解】由三视图得到几何体是三棱柱挖去一个三棱锥，所以几何体的体积为111232*********V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.应选：D.【点睛】此题考察了几何体的三视图，属于根底题.()()2ln122x x f x xx ++=++-的图象大致是〔〕A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用函数为奇函数，且()00f =，即可得到结论.【详解】由于()f x 是奇函数，故排除A ，B ；又()0f x =，那么0x =，即函数有唯一零点，再排除选C .应选：D.【点睛】此题主要考察函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性，利用排除法是解决此题的关键，属于根底题.X 的分布列是假设()116E X =，那么()D X 的值是〔〕 A.1736B.1718C.239D.2318【答案】A 【解析】【分析】根据分布列的性质得23a b +=，再由()116E X =，解得12a =，16b =，进而求得()D X 的值.【详解】由1231P P P ++=，得23a b +=①. 由()1112336a E Xb =++=②，得3232a b +=，联立①②，得12a =，16b =.所以()2221111111111712363626636D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.应选：A.【点睛】此题考察了离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差，属于根底题.x 的二项式(x +3ax)n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，那么a 的值是( ) A. 1 B. ＋1 C. 2 D. ±2【答案】C 【解析】由题意知2n＝32，n ＝5，T r ＋1＝5rC (x )5－r a r·r x13＝5rC a r 5526r x -，令55026r -=，得3r ＝，∴a 335C ＝80，解得a ＝2.应选C. 8.1F ，2F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的间隔等于b ，那么椭圆E 的离心率为〔〕A.13B.12C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】过2F 做直线1PF 的垂线，交1PF 于点H ，根据题意以及椭圆的定义，利用等腰三角形三线合一，得关于a ，b ，c 的方程，进而可求得离心率的值. 【详解】由得2122PF F F c ==，根据椭圆的定义可得121222PF PF a PF a c +=⇒=-，又2F 到直线1PF 的间隔等于b ，即2F H b =，由等腰三角形三线合一的性质可得：21F H PF ⊥，可列方程：()()22222220a c b c a ac c -+=⇒--=()()120202a c a c a c e ⇒-+=⇒-=⇒=，应选：B.【点睛】此题考察椭圆的方程及其简单几何性质，考察等腰三角形性质及勾股定理的应用，椭圆的离心率的取值，考察数形结合思想，属于中档题.()()()21,111,1x x a x x x e f x f x +⎧-+≥-⎪=⎨+--<-⎪⎩，假设函数()2y f x =-恰有两个零点，那么实数a 的取值范围为〔〕A. )1,2B.}[)11,2C.}[)11,+∞D.)1,+∞【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数的单调性讨论a 的范围即可得到答案.【详解】由()()()21,111,1x x a x x x f x e f x +⎧-+≥-⎪=⎨+--<-⎪⎩()2221222(0)2(10)21(1)x x ax a x f x ax a x e a a x +⎧-+≥⎪⇒=-+-≤<⎨⎪++-<-⎩，当0a <时，函数()f x 在R 上单调递增，不满足条件；当0a =时，显然不满足条件；当0a >时，()f x 在(],1-∞-上为增函数，在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∵x →-∞，()221f x a a →+-且()2f x =恰有两个零点，那么()12f -=或者221222a a a f a f ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩或者222122212a a a f a f a a ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪<≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得31a 或者12a ≤<.应选：B.【点睛】此题考察了利用函数有零点求参数的范围，分段函数单调性，属于中档题.ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折得到三棱锥'A BCD -，在此过程中，二面角'A BC D --、'A CD B --的大小分别为α，β，直线'A B 与平面BCD 所成角为γ，直线'A D 与平面BCD 所成角为δ，那么〔〕 A. γδβ<<B. γαβ<<C. αδβ<<D.γαδ<<【答案】B 【解析】【分析】利用定量分析结合最大角原理即可得到结论. 【详解】如图，因为AB AD >，所以点A 在BD 上的投影点H 靠近点D ，由翻折的性质，知点'A 在底面的投影点在AH 所在的直线上，如图设为点O ，那么'A FO α∠=，'A EO β∠=，'A BO γ∠=，'A DO δ∠=，由最大角原理知：γα<，δβ≤，当且仅当D 与E 重合时，取到等号；而'tan A O OB γ=，'tan A OOD δ=，如图易得，OB OD >，所以tan tan γδ<，即γδ<；又'tan A O OF α=，'tan A OOEβ=，由图易得，OF OE >，所以αβ<；综上可得：γαβ<<. 应选：B.【点睛】此题考察二面角，线面角，利用平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，构造圆面解决问题是关键，属于中档题. 二、填空题()1z a i a R =+∈，21z i =+〔i 为虚数单位〕，那么2z =______；假设12z z 为纯虚数，那么a 的值是______.【答案】 (2). 1 【解析】【分析】利用复数的模，复数的乘除运算化简，在令实部为0，即可得到答案.【详解】2z ==假设12z z 为纯虚数，那么()1211101z z a a i a a =-++⇒-=⇒=.；1.【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，属于根底题． 12.中国古代数学专著?九章算术?有问题：“五只雀，六只燕，一共重一斤〔等于16两〕，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重〞，那么雀重______两，燕重______两. 【答案】 (1).3219 (2). 2419【解析】【分析】分别设出雀与燕的重量，互换一只后，列出方程，解得即可. 【详解】设雀重x 两，燕重y 两，由题意得：互换后有458x y y x +=+=，解得：3219x =，2419y =，故答案为：3219；2419. 【点睛】此题考察了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出适宜的等量关系，列出方程，再求解，属于根底题.x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，那么实数m 的取值范围为______，假设目的函数z x y =-的最小值为-1，那么实数m 等于______. 【答案】 (1). 2m > (2). 5m = 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，结合目的函数z x y =-的最小值，利用数形结合即可得到结论. 【详解】作出可行域如图，那么要为三角形需满足()1,1B 在直线x y m +=下方，即11m +<，2m >；目的函数可视为y x z =-，那么z 为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A 时，此时min 1z =-，直线PA ：1y x =+，与AB ：21y x =-的交点为()2,3A ，该点也在直线AC ：x y m +=上，故235m =+=，故答案为：2m >；5m =.【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用目的函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的根本方法，属于根底题.ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos cos 2cos a B b AC c+=，那么C =______；又23ABC S ∆=6a b +=，那么c =______. 【答案】 (1). 3π(2). 23【解析】【分析】利用正弦定理或者余弦定理将边化为角或者角化为边，在结合三角形的面积公式，整理化简即可得到结论.【详解】解析1：〔边化角〕∵cos cos sin cos sin cos sin a B b A A B B A c C ++=()sin 1sin A B C+==，∴2cos 1C =，∴1cos 2C =， ∵0C π<<，∴3C π=；∵1sin 24ABC ab C b S a ∆===8ab =，又∵6a b +=〔可消元求出边a 、b 〕 ∴()()22222cos 21cos c a b ab C a b ab C =+-=+-+216281122⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，∴c =.解析2：〔任意三角形射影定理〕∵cos cos 1a B b A cc c+==下同.故答案为：3π，【点睛】此题考察了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于根底题. 15.a ，b 均为正实数，那么()124a a b b ⎛+⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为______.【答案】【解析】【分析】利用根本不等式即可得到结论.【详解】()1412284a b a b ab a b⎛⎫+=+++≥= ⎪⎝⎭+，当且仅当a =b =.故答案为：【点睛】此题考察了根本不等式的应用，构造根本不等式是解题的关键，属于根底题. 16.从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，那么使a b c d e ⋅⋅+⋅为奇数的不同排列方法有______种.【答案】180 【解析】【分析】分类讨论，先选后排，最后相加即可.【详解】假设a b c ⋅⋅为奇数d e ⋅为偶数时，有323336A A ⨯=种；假设a b c ⋅⋅为偶数d e ⋅为奇数时，有2334144A A ⨯=种；一共180种. 故答案为：180.【点睛】此题考察计数原理，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类，属于根底题．17.(b c k k ==>，0b c ⋅=，假设存在实数λ及单位向量a ，使得不等式()()()1112ab bc c b c λλ-+-++--≤成立，那么实数k 的最大值为______. 【答案】5【解析】【分析】利用三点一共线，将不等式转化为求最值的间隔问题，或者利用绝对值不等式a b a b +≥-，解得即可.【详解】解析：原题等价于()()()min1112a b b c c b c λλ⎧⎫-+-++--≤⎨⎬⎩⎭解析1：几何法〔三点一共线+将HY 饮马〕如图，()()()112a b b c c b c λλ-+-++--()()1112a b c c b c λλλλ⎡⎤⎡⎤=--++--+⎣⎦⎣⎦AP EP =+〔A 为单位圆上的，a OA =，b OB =，c OC =，P 为BC 上一点，E 为OC中点〕，由将HY 饮马模型，作E 关于BC 对称点'E ，那么()min '''1AP EP E A OE +==-225'112OC E C k =+-=-，所以，5451125k k -≤⇒≤.解析2：代数法〔建系坐标运算+将HY 饮马〕设(),0c k =，()0,b k =，()cos ,sin a θθ=，()()()112a b b c c b c λλ-+-++--()()()2222221cos sin (1)12k k k k θλθλλλ⎛⎫=-+---+- ⎪⎝⎭()()()2222222212cos 21sin 1112k k k k k k λλθλθλλλ⎛⎫=---+-+-+- ⎪⎝⎭()()()()222222222222121sin 1112k k k k k k λλλθαλλλ⎛⎫=-+-++-+-+- ⎪⎝⎭()()222211112λλλλ⎛⎫≥+-+-+- ⎪⎝⎭那么k≤，由将HY 饮马可得2⎭2≥=⎝⎭，所以5k≤.解析3：绝对值不等式a b a b+≥-+将HY饮马因为()22122112b c k k aλλλλ--=-+≥≥=，所以()()()112a b b c c b cλλ-+-++--()()1112b c b caλλλλ⎛⎫≥--+-+--⎪⎝⎭12=-⎭，由解析2可得k≤解析4：绝对值不等式a b a b+≥-，{}max,a b a b a b+≥+-+对称转化因为b c k==，0b c⋅=，那么bc b cλμμλ±=±，那么()()()112a b b c c b cλλ-+-++--()()1112b c b c aλλλλ⎛⎫≥--+-+--⎪⎝⎭，因为b c k==，0b c⋅=，那么bc b cλμμλ±=±，那么()()1112b c b cλλλλ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭()()1112b c b cλλλλ⎛⎫=-++-+-⎪⎝⎭()()1112b c b cλλλλ⎛⎫=+-+-+-⎪⎝⎭，那么()()1112b c b cλλλλ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭max,max,22222c c kb⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪≥+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，所以1125k k-≤⇒≤.故答案为：5.【点睛】此题考察不等式成立问题，构造不等式解不等式是关键，“将HY饮马〞模型的使用，对称问题，两点之间，线段最短，点到直线的间隔，垂线段最短，属于难题. 三、解答题()()()sin 0f x x ωϕϕπ=+<<图象上相邻两个最高点的间隔为π.〔1〕假设()y f x =的图象过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且局部图象如下图，求函数()f x 的解析式；〔2〕假设函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，得到yg x 的图象，求函数()222x y fg x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【答案】〔1〕()5sin 26f x x π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭〔2〕()max 52f x =，()min 13f x =【解析】【分析】〔1〕由题意得2ω=，再由()102f =，进而可得解析式；〔2〕由()y f x =是偶函数，得2ϕπ=，从而()cos2f x x =，经过平移得()g x ，再表示出()222x y fg x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用余弦型函数即可得最值. 【详解】解析：由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+.〔1〕由于()102f =，那么1sin 2ϕ=，又0ϕπ<<，那么56πϕ=或者6π=ϕ〔舍去〕，故()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.〔2〕由于()()sin 2y f x x ϕ==+是偶函数，那么()0sin 1f ϕ==±，又0ϕπ<<，所以2ϕπ=，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，将()cos2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度，得到()cos 23x y g x π=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2222cos cos 223x y fg x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦13331cos 2cos 2sin 21cos 2sin 22222x x x x x =++-=+-3113cos 2sin 213cos 2226x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72666x πππ≤+≤，所以()()max 502f x f ==，()min 51312x f f π⎛⎫= ⎪⎭=-⎝. 【点睛】此题考察三角函数的图象与性质，图象的平移问题，余弦型函数求最值，属于根底题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AD =，1AB =，PA ⊥平面PCD ，且1PC PD ==，设E ，F 分别为PB ，AC 的中点.〔1〕求证：//EF 平面PAD ；〔2〕求直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕33020【解析】【分析】〔1〕利用线面平行的性质定理即可得到结论；〔2〕方法一：利用几何法求线面角，一作，二证，三求解；方法二：利用空间直角坐标系，线面角的向量关系即可得到结论.【详解】〔1〕解析：因为底面ABCD 为平行四边形，F 是AC 中点，所以F 是BD 中点，所以1//2EF PD ，EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD . 〔2〕解析1：〔几何法〕因为DE ⊂平面PBD ，平面PBD平面PAC PF =，所以直线DE 与平面PAC 的交点即为DE 与PF 的交点，设为G ，1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形，取PC 中点O ，那么DO PC ⊥，因为PA ⊥平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，DO PC ⊥，所以DO ⊥平面PAC ，所以DGO ∠是直线DE 与平面PAC 所成角，因为E ，F 分别为PB ，AC 的中点，所以G 是PBD ∆的重心，在Rt PAD ∆中，3PA =2PB AC ==，在平行四边形ABCD 中，6BD =，在PBD ∆中，4161cos 2214BPD +-∠==-⨯⨯，在PED ∆中，2511211cos 2DE EPD =+-⨯⨯⨯∠=，所以102DE =，所以21033DG DE ==，又因为32OD =，所以3sin 3020OD DGO DG ∠==，即直线DE 与平面PAC 所成角的正弦值为33020. 解析2：〔向量法〕取PC 中点O ，那么1//2OF PA ，因为PA ⊥平面PCD ，所以OF ⊥平面PCD ，因为1PC PD CD ===，所以PCD ∆为等边三角形，所以OD PC ⊥，此时OD ，OF ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，在Rt PAD ∆中，3PA =3F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由12FE DP =，得3314E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以3333,,424DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，平面PAC 的法向量为32OD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3cos ,3020DE OD DE OD DE OD⋅==-⋅，所以3sin cos ,3020DE OD θ==即直线DE 与平面PAC 所成角的【点睛】此题考察线面平行，线面角，应用几何法求线面角，向量法求线面角，属于根底题.{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+.〔1〕求{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕设23,41,n n nn a b n n a c ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：12313...6n c c c c +++⋅⋅+<.【答案】〔1〕n a n =，112n n b -=〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕由根本量思想的等差数列{}n a 的通项公式，由n b 与n S 的关系即可得到结论；〔2〕利用放缩法和数列求和即可得到不等式.【详解】〔1〕由题意得11112349a d a a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，即数列{}n a 的通项公式为n a n =，由122n n S S +=+，得21322222S S S S =+⎧⎨=+⎩，两式相减整理得：322b b =，∴12q =，11b =， ∴112n n b -=，即数列{}n b 的通项公式为112n n b -=〔2〕解析1：〔应用放缩和错位相减求和证明不等式〕解：123n n C c c c c =+++⋅⋅⋅+，1321k k A c c c -=++⋅⋅⋅+，242k k B c c c =++⋅⋅⋅+，012110123135214444431352144444k k k k k A k A -+⎧-⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎛⎫⎪=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎩两式相减整理得5511023346k k A k ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，又因为()()()222121k k k >-+，∴()222111242k B k =++⋅⋅⋅+1111111213352121k k ⎛⎫<-+-+⋅⋅⋅- ⎪-+⎝⎭1326<=. 所以()22211132462k B k =++⋅⋅⋅+<，∴10313666n k k C A B =+<+=. 〔2〕解析2：〔应用放缩和裂项求和证明不等式〕令()114n n d an b -=+，11214n n n n d d +--=-化简整理得：1841394n n d n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴115511023346k k k A d d k +⎛⎫=-=-+< ⎪⎝⎭，22221111123n T n =+++⋅⋅⋅+()111112231n n <+++⋅⋅⋅⨯⨯-⨯122n=-<，()222211111112242422n T n n =++⋅⋅⋅+<-<，所以()22211132462k B k =++⋅⋅⋅+<，∴10313666n k k C A B =+<+=. 【点睛】此题考察等差数列与等比数列的通项公式，考察数列求和，考察放缩法，属于中档题.E ：()220y px p =>过点()1,2Q ，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足PAB ∆的垂心为原点O .〔1〕求抛物线E 的方程；〔2〕求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值.【答案】〔1〕24y x =〔2〕证明见解析,PABQABS S ∆∆的最小值为【解析】【分析】〔1〕直接将()1,2Q 代入抛物线方程即可得到答案；〔2〕设直线方程为1ty x =-，联立方程，表示出PABQABS S ∆∆，运用根本不等式即可得到结论. 【详解】〔1〕由题意，将点()1,2Q 代入22y px =，即222p =，解得2p =，所以，抛物线E 的方程为24y x =. 〔2〕解析1：〔巧设直线〕证明：设l ：1ty x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x =，可得2104y ty --=，那么有121244y y ty y +=⎧⎨=-⎩，可设AP ：()2112x y y x x y -=--，即21344y y x y =-+，同理BP ：12344y y x y =-+，解得()3,3P t -，即动点P 在定直线m ：3x =-上. 211221342122PAB QABAB d t S d S d t AB d ∆∆+===322t t =+≥，当且仅当3t =±1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的间隔 . 〔2〕解析2：〔利用向量以及同构式〕证明：设l ：()10x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x =，可得2440y my --=，那么有121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩.21001,4y PA y x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，222,4y y OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又O 为PAB ∆的垂心，从而0PA OB ⋅=，代入化简得：20202304x y y y ++=，同理：20101304x y y y ++=，从而可知，1y ，2y 是方程200304xx y x ++=的两根，所以012012044124y y y m x y y x ⎧+=-=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩00000333y mx y m x x =-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=-⎩⎩，所以动点P 在定直线m ：3x =-上. 211221342122PAB QABAB d m S d S d m AB d ∆∆+===322m m =+≥，当且仅当m =1d ，2d 分别为点P 和点Q 到直线AB 的间隔 .【点睛】此题考察抛物线的HY 方程，直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理，考察根本不等式的应用，考察计算才能，属于中档题.()ln f x a x x b =-+，其中,a b ∈R .〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕使不等式()ln f x kx x x a ≥--对任意[]1,2a ∈，[]1,x e ∈恒成立时最大的k 记为c ，求当[]1,2b ∈时，b c +的取值范围.【答案】〔1〕()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减〔2〕14,2e e e ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦〔3〕42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】〔1〕求出函数的导函数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；〔2〕别离变量k 得不等式，由恒成立把[]1,2a ∈，[]1,x e ∈放缩程一个新不等式，再构造一个新函数，讨论出c 的范围，即可得到结论. 【详解】〔1〕因()f x 的定义域为()0,∞+，()()'10af x x x=->，当0a ≤时，()'0f x <，∴()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()'f x 在()0,∞+上单调递减，()'0f a =， ∴()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减；〔2〕()()l ln n f x kx x x f x x x a k x a ++⇒≤≥--()1ln ln a x x x x bx+-++=. ∵[]1,2a ∈，[]1,x e ∈，∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥，令()()21ln ln ln 'x x x x b x x b g g x x x x +-++-+-=⇒=，由〔1〕()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；〔1〕当()10p ≥，即1b =时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≥⇒≥，∴()g x 在[]1,e 上递增； ∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.〔2〕当()0p e ≤，即[]1,2b e ∈-时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≤⇒≤，∴()g x 在[]1,e 上递减；∴()()min 22b b c g x g e b c b e e ++===⇒+=+14,2e ee ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦.〔3〕当()()10p p e <时，()ln p x x x b =-+-在上递增；存在唯一实数()01,x e ∈，使得()00p x =，那么当()01,x x ∈时()()0'0p x g x ⇒<⇒<.当()0,x x e ∈时()()0'0p x g x ⇒>⇒>.∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+.此时00ln b x x =-. 令()()()11ln '10x h x x x h x h x x x-=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增，()()01,11,b e x e ∈-⇒∈，∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述，42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察函数的单调区间，考察不等式的恒成立转化为求函数的最值问题，运用不等式放缩、分类讨论思想是解题的关键，属于难题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

高三数学上学期期末考试文试题

海淀区高三年级第一学期期末练习数学〔文〕答案及评分参考 2021．1第一卷〔选择题一共40分〕一、选择题〔本大题一一共8小题,每一小题5分,一共40分〕第II 卷〔非选择题一共110分〕二、填空题〔本大题一一共6小题,每一小题5分, 一共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分〕9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x =12. 25π13. 2 14. 4 3三、解答题(本大题一一共6小题,一共80分)15．〔一共13分〕解：〔I 〕 x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 〔或者答:0,,2≠∈k Z k k π〕. ................................4分因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分〔II 〕由〔I 〕可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3sin(=+∴πA , ...............................7分π<<A 0 ,3433πππ<+<∴A , ..................................8分2,33A ππ∴+= 得到3A π= . ...............................9分,23b a = 且B bA a sin sin = , ....................................10分sin bB =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. 〔一共13分〕解：〔I 〕围棋社一共有60人， ...................................1分由150301260=⨯可知三个社团一一共有150人. ...................................3分〔II 〕设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b2223121323{,}, {,},{,},{,},{,}a b a b b b b b b b ，一共10个根本领件. ..................................8分设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有〞， ..................................9分那么事件A 一共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个根本领件....................................11分∴53106)(==A P .故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分17. 〔一共13分〕解：〔I 〕四边形ABCD 为菱形且AC BD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分〔II 〕四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分18. 〔一共13分〕解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分〔I 〕由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分〔II 〕由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+；....................................10分当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+；当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+.19. 〔一共14分〕解：根据题意，设(4,)P t .(I)设两切点为,C D ，那么,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分〔II 〕设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ，依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64ty x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ，代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分同理，设:(2)2t BP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ，代入(2)2ty x =-得到2222288(2)244t t ty t t --=-=++ . .....................11分假设11x =，那么212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分假设11x ≠，那么212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ ty t t k t x t t ---+===----+................13分所以MQ NQ k k =，所以,,M N Q 三点一共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. 〔一共14分〕解：〔Ⅰ〕当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分〔Ⅱ〕假设集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-，其中12,x x S ∈，都有1212t t x x -=- ；因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题含解析

江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（）A ．23B ．4C ．83D ．165．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-9．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（）A 5B 5C ．102D ．10510．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知函数()sin 3f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市高2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

四川省成都市高2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．4D ．22．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（）A ．12B ．1C ．104D 5 3．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->4．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．函数的图象可能是下列哪一个？（）A ．B ．C ．D ．6．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–207．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（） A 2B ．22C 21D ．2218．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（） A ．2B ．2-C ．1D ．1-9．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（）A ．1133902-+B ．11331002-+C ．1233902-+D ．12331002-+10．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β11．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体12．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．74二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学上学期期末考试试题文

第一学期期末教学质量检测高三文科数学本试卷共4页，共24小题，满分150分,考试用时120分钟.参考公式：锥体的体积公式v=,31sh 其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中.） 1. 若集合{}0A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（） A.{}1,2 B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D. R2．在复平面内，复数iZ +=14的虚部为( ) A. 2 B . -2 C. 2iD. 223．cos=（）A ．B ．C ．D ．4．已知命题q p ,，则“p ⌝为假命题”是“q p ∧是真命题”的（） A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．如图程序框图中，若输入4,10m n ==，则输出a ，i 的值分别是（）A. 12, 4B. 16, 5C. 20, 5D. 24, 66.在某次测量中得到的A 样本数据如下：72，74，74，76，76，76，77，77，77，77.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 7．下列四个函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．21ln x y -= B ．xy3= C ．x x y 22-= D ． 3x y =8．已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下的x ，()f x 的对应表:x1 2 3 4 5 6 ()f x 136.1315.552－3.9210.8812.488－23.064则函数()f x 存在零点的区间有( ) （A ）区间[2,3]和[3,4]（B ）区间[1,2]和[4,5]（C ）区间[2,3]、[3,4]和[4,5] （D ）区间[2,3]、[3,4]和[5,6]9．一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（）A ．3B ．23C ． 33D ．4310．若,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥+00220y mx y x y x 且y x z -=2的最大值为2，则m 的值为（）.A —2 B. —1 .C 1 D. 211．己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若函数)(sin )(x f x g =,则函数)(x g 的最大值是（）.A -21B. 0 .C 2 D. 不存在 12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数xe xf y ⋅=)(的一个极值点，则下列图象不可能．．．为)(x f y =的图象是( )第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 13．已知点()0,1A ，()2,1B ，向量，)2,3(-=AC , 则向量 =BC _________ 14．从区间]1,0[内任取两个数，则这两个数的和不大于65的概率是为 . 15.⊿ABC 满足C A B sin cos sin =，则⊿ABC 是_________三角形。

高中高三数学上学期期末考试试题文

1 / 6福建省长泰县第一中学高三数学上学期期末考试试题文一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）。

1、若i i bi a 21)(+=+（其中i 为虚数单位，R b a ∈,），则b a -=（） A ．—3 B ． 3 C ．—1 D ．l2、若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，12a =，则4a =（） A ．16 B ．16或-16 C ．-54 D ．16或-543、31()(0)()3(0)xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩则1()9f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（） A ．2 B ．3 C ．9 D ．194、已知平面向量()2,1a =-，()1,3b =，那么a b +等于（） A. 5 B. 13 C. 17D. 135、已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如上图所示，估计这辆汽车在这段公路时速的众数是（）A ．60B ．65C ．60.5D ．707、已知,a b R +∈，且22a b +=，则使得12a b+取得最小值的,a b 分别是（） A ．2，2 B ．1,12 C ．13,42 D ．11,228、下列选项中与点(1,2)位于直线210x y -+=的同一侧的是（）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,0)- （D ）(1,0)9、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为 A.6πB.3π C.566ππ或D.233ππ或10、函数()y f x =为偶函数，满足)2()(-=x f x f ，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数4log y x =的图象的交点共有（）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个11、一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（） A.32πB.34πC. 43πD.23π 12、如图，F 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，A 是抛物线E 上任意一点.现给出下列四个结论：①以线段AF 为直径的圆必与y 轴相切； ②当点A 为坐标原点时，|AF|为最短；③若点B 是抛物线E 上异于点A 的一点，则当直线AB(AB ≥2P)过焦点F 时， |AF|+|BF|取得最小值；④点B 、C 是抛物线E 上异于点A 的分歧两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点A 、B 、C 的横坐标亦成等差数列. 其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析

2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学上学期期末考试试题文含解析A 试题

2021届高三上学期期末考试数学〔文〕试题本套试卷一共分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟。

第I 卷〔选择题一共60分〕考前须知：1．答第I 卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．全集U=R ，集合{}02|2≥+=x x x A ，那么[U A= A ．[]0,2-B ．()0,2-C ．(][)+∞⋃-∞-,02,D ．[]2,0【答案】B{}2|20{02}A x x x x x x =+≥=><-或，所以{20}UA x x =-<<，所以选B.2． ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα那么)4tan(απ-等于 A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【解析】因为 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα所以3sin 5α=-，3tan 4α=。

所以3tantan 1144tan()3471tan tan 144παπαπα---===++，选B. 3．假如等差数列{}n a 中，15765=++a a a ，那么943...a a a +++等于A ．21B ．30C ．35D ．40【答案】C【解析】由15765=++a a a 得663155a a ==，。

所以3496...77535a a a a +++==⨯=，选C.4．要得到函数)23sin(-=x y 的图象，只要将函数x y 3sin =的图象 A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位【答案】D【解析】因为2sin(32)sin 3()3y x x =-=-，所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移32个单位，即可得到)23sin(-=x y 的图象，选D.5．“1-=m 〞是 “直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直〞的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当210m -=，即12m =时，两直线方程为4x =-和13302x y ++=，此时两直线不垂直。

高三数学第一学期期末试题(附答案)

高三数学第一学期期末试题2cos 2sin2sin sin β-αβ+α=β+α 2sin2cos 2sin sin β-αβ+α=β-α 2cos 2cos 2cos cos β-αβ+α=β+α 2sin2sin 2cos cos β-αβ+α-=β-α一、选择题：（本大题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．在等差数列}a {n 中，90S 15=，则8a 等于 A ．3 B ．4 C ．6 D ．122．如果)x (f )x (f -=π+且)x (f )x (f -=，则f(x)可以是 A ．sin2x B ．cosx C ．sin|x| D ．|sinx|3．题设：平面α、β、γ直线l 、m 满足：α⊥γ，γI α=m ，γI β=l ，l ⊥m ，结论：①β⊥γ；②m ⊥β；③α⊥β，那么由题设可以推出的正确结论是 A ．①和② B ．③ C ．②和③ D ．①和③4．从1、2、3…，100这100个数中任取两个数相乘，如果乘积是3的倍数，则不同的取法有A ．167133C CB ．233167133C C C + C ．233CD ．1C 2C 267100--5．若复数z 满足|z+2i|+|z-2i|=4，记|z+1+i|的最大值和最小值分别为M ，m 则mM等于（） A ．2 B ．5 C ．10 D ．210 6．过抛物线x 4y 2=的焦点F 做直线与抛物线交于P ，Q 两点，当此直线绕其焦点F 施转时，弦PQ 中点的轨迹方程为（）A ．)1x (2y 2-=B ．1x 2y 2-=C ．1x y 2-=D ．21y y 2-= 7．设复数i 31z 1+=，i 3z 2+=，则)z z arg(21等于（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．将长为2πcm ，宽为πcm 的长方形纸片围成一个容器（不考虑底面及粘接处），立放于桌面上，下面四个方案中，容积最大的是A ．直三棱柱B ．直四棱柱C ．高为π的圆柱D ．高为2π的圆柱9．椭圆1m )6y (4)3x (222=++-的一条准线为x=7，则随圆的离心率等于A ．21 B ．22 C ．23 D ．4110．在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1和AC 的公垂线，则直线EF 与1BD 的关系是A ．异面B ．平行C ．相交且垂直D ．相交但不垂直 11．（理）在极坐标系中，点)611,2(P π到直线1)6sin(=π-θρ的距离等于A ．2B ．1C ．3D ．31+（文）自点（-1，4）作圆012y 6x 4y x 22==--+的切线，则切线长为 A ．5 B ．5 C ．10 D ．312．某工厂8年来某种产品总产量c 与时间t （年）的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越慢；②前三年中，产量增长的速度越来越快；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（）A ．②与③B ．②与④C ．①与③D ．①与④二、填空题：（本大题共四道小题每小题4分共16分）13．已知曲线C 与曲线02y 2x 2==+关于直线x-y=0对称，则曲线C 的焦点坐标为_________。

高三数学上学期期末考试试题文

高三数学上学期期末考试试题文高三数学试题（文史类）满分：150分时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若复数则的共轭复数对应的点所在的象限为（）,215i i z -=zA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D.第四象限2．如果命题为假命题，则（）" ()"p q ⌝∨A ．均为真命题B ．均为假命题 ,p q ,p qC ．中至少有一个为真命题D ．中至多有一个真命题,p q ,p q3．设,，,则( ) 1.05.0=a1.0log 4=b 1.04.0=c A. B ． C ． D. a c b >>a c b >>c a b >>c a b >>4．已知向量若实数满足 ,则的最大值是( )(,),a x y =,x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x aA ．B ．C ．D.5三角形，侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（） A.1 B.2 C.3 D.46．某校高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区20062008快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（）A. 万盒B.万盒 C. 万盒 D. 万盒82838485 7．函数()的部分图象如上图所示，其中两点之间的()()2s i n f x x ωϕ=+0,2πωϕπ>≤≤,A B距离为，则( )5=)1(fA ．B ．C ．D ．33-11- 8．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．B ．C ．D ． 2111-29．数列满足，,}{},{n n b a 111==b a *11,2N n b b a a n n nn ∈==-++则数列的前项的和为（）}{n a b 10A ．B ．C ．D ． )14(349-)14(3110-)14(319-)14(3410-10．已知抛物线的焦点为,过的直线与抛物线2:4C y x =F F C 相交于、两点,则（为坐标原点）的最小值为( )A B 22O A O B +OA ．B ．C ． D. 48101211．函数的导函数为，对,都有成立，若，()f x ()f x 'x R ∀∈()()f x f x '>(l n 2)2f =则不等式的解是（）()xf x e >A ．B ．C ． D. 1x >01x <<l n 2x >0l n 2x <<12．若为偶函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）(x f A ． C ．1314．向量在正量,AC ,a =λ-若，则实数__________. a ⊥λ= 15．若直线始终平分圆的周长，)0,0(022>>=-+b a by ax 082422=---+y x y x则的最小值为 . 12a b +16．若对于任意的实数，都有恒成立，则实数的取值范围是 .[]4,2∈b 4)(2>+a b ba三、解答题：17.（本小题满分12分）在中，三个内角的对边分别为，ABC ∆,,ABC ,,a b c .（1）求的值；（2）设，求的面积. 18.（本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以表示.（1）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为, 求及乙组同学投篮命中次数的方差; 354x（2）在（1）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于次的同学中,各随机选取一名, 10记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为”, 求事件A 发生的概率.1719.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，S A B C D -A B C D O且．,S A S C S A B D =⊥（1）求证：平面；S O ⊥A B C D（2）设，，是侧棱上的一点，60B A D ∠=︒2A B S D ==P SD 且∥平面，求三棱锥的体积．SB A P C AP C D -20.（本小题满分12分）已知椭圆: 上的点到两焦点的距离和为，短轴长为，C )0(12222>>=+b a b y a x 3221直线与椭圆交于、两点.C M N（1）求椭圆的方程；C（2）若直线与圆 :相切，MN O 25122=+y x证明：为定值；MO ∠21.（本小题满分12分）已知函数．()l n ()f x x a x a R =-∈（1）当时，求曲线在处的切线方程；2a =()f x 1x =（2）设函数，求函数的单调区间；1()()ah x f x x +=+()h x （3）若，在上存在一点，使得成立，1()ag x x +=-[]()12.71828e e =⋯，0x ()()00f x g x ≤求的取值范围．a 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图所示，是圆的直径，切圆于点，，交圆于点，AB O AC O A AC A B =C O O P 的延长线交圆于点，的延长线交于点．AC E（1）求证：；A P F AP C A B =（2）若圆的直径，求的值．O 1A B =t a n C P E ∠(23)（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同；O x曲线的方程是，直线的参数方程为（为参数，），C )4sin(22πθρ-=2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩t πα<≤0设,直线与曲线交于两点.(2,1)P C B A , （1）当时，求的长度；0=α||AB （2）求的取值范围．22||||PB PA +（24）（本小题满分10）选修4一5：不等式选讲已知函数．()|2||2|,f x x x a a R =---∈（1）当时，解不等式；3a =()0f x >（2）当时，恒成立，求的取值范围．(,2)x∈-∞()0f x <a ××市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高三数学试题（文史类）答案一、选择题：CCAAB DDABC CB 二、填空题： 13．14． 315． 16． π)74(-223+1->a三、解答题： 17.解析：（1），．s i n s i n s i n s i n a Ab Bc B +-∴222a b c b+-∴222c o s 2a b c C a b +-=ABC 、、A B C ∆∴s i n i n A C ，又是的内角，，．．∴0A C π<+<∴34A C π+=∴()4B A C ππ=-+=（2），．sin sin c b C B =∴s i n s i n bc C B =⨯=∴A B C ∆的面积11s i n 16022S b c A ==⨯=18．解析：（Ⅰ），；（Ⅱ）.8x =2s =19.解析：（1A B C D A CB D ⊥又平面．,,BD S A S A A C A ⊥⋂=又,S O S A C B D S O ⊂⊥平面又平面．,A C B D O S O ⋂=∴⊥A B C D（2）连接，O P ∵平面，平面，平面平面，．SB A P C S B ⊂SBD S B D ⋂A P C O P =S BO P ∴又∵是的中点，∴是的中点．O BD P SD由题意知为正三角形．．由（1）知平面，∴．A B D 1O D ∴=S O ⊥A B C D S OO D ⊥又，∴在中，．∴到面的距离为2SD =R t S OD S O P A B C20．解析：（1）；（2）;229161x y +=2π=∠MON 21. 解析：（1）；（2）当时，单调递增区间为时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为时，无单调递减区间；（3）或.20xy +-=1a >-(1,)a ++∞(0,1)a +1a ≤-(0,)+∞211e a e +≥-2a ≤﹣22. 解析：（1）见解析；（223. 解析：(1) -----------------------4分||AB =(2)——————————10分22||||(14,22]P A P B +∈24. 解析：解：（1）当时，即3a =()0f x >|2||23|0x x --->等价于：或或3210x x ⎧≤⎪⎨⎪->⎩322350x x ⎧<<⎪⎨⎪-+>⎩210x x ≤⎧⎨-+>⎩ 解得或或312x <≤3523x <<x ∈∅所以原不等式的解集为：5{|1}3x x << （2）()2|2|f x xx a =---所以可化为 ①()0f x <|2|2x a x ->- 即或 22x a x ->-22x a x -<-①式恒成立等价于或m i n (32)x a ->m a x (2)x a +<(,2)x ∈-∞，或 ∴a ∈∅4a ≥4a ∴≥。

高三上学期期末考试数学试卷(WORD版,有答案)

第一学期期末考试高三数学试题(考试时间：120分钟总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则A B =I ▲ ．2．复数(1i +2)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．4分层抽样的方法抽取300高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800抽取的学生人数为 ▲ ．5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S6．在ABC ∆中，2BD DC =u u u r u u u r ，若12AD AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r ，7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -9．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ ．10．设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上）①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数； ②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数； ③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *则22m n p s t r a a a a a a ++=++，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *，则 ▲ ． 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2468120a a a a =，且4682682482461111760a a a a a a a a a a a a +++=，则9S 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系中，()0,0,(1,2)A B 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到()4,4,A '(5,2)B '两点，则cos θ的值为 ▲ ．14．已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(,)b c 上都有零点，则2222242a ab ac bc b bc c+++-+的最小值为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间；（2）若06()85f x π-=-，求0()f x 的值.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD ∆为正三角形，,EB ED CB CD ==.（1）求证：EC BD ⊥；（2）若AB BC ⊥，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，求证：平面//DMN 平面BEC .17．（本题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y a +=，()()121,0,1,0F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α0,2πα⎛⎫⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）．当4πα=时，弦PQ（1）求圆O 与椭圆C 的方程；（2）若点M 是椭圆C 上一点，求当22,,AF BF AB 成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值.18．（本题满分15分）某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB BD l ==，3B π∠=的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB θ∠=的大小.（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）；（2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？DC19．（本题满分16分）设函数x ae x x f +=41121)(（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=（2≥n ，n ∈N *）（1）求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值（2≥n ，n ∈N *）；（2）设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +⋯++=，若对5≥∀n ，n ∈N *，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A （5≥n ，n ∈N *）在一定直线上，并求出该直线方程；（注：若函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点.）（3）是否存在正整数()4k k ≥和实数0x ，使0)()(010==-x f x f k k 且对于n ∀∈N *，)(x f n 至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k 和0x ，若不存在，说明理由．20．（本题满分16分）己知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b 是等比数列．（1）若()1n n n n c a a b +=-（n ∈N *），求证：{}n c 为等比数列；（2）设n n n b a c =（n ∈N *），其中n a 是公差为2的整数项数列，nn b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312，若1234516842c c c c c >>>>，且当17n ≥时，{}n c 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n c 使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n c b a 是等比数列，数列{}nd 的前n 项和为n nn c c a -，且数列{}n d 满足：对任意2n ≥，n ∈N *,或者0n d =恒成立或者存在正常数M ，使M d Mn <<1恒成立，求证：数列{}n c 为等差数列．2013～2014学年度第一学期期末考试高三数学试题(附加题)21．［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，AB 是O e 的一条直径，,C D 是O e 上不同于,A B 的两点，过B 作O e 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN BM =．（1）求证：NBD DBM ∠=∠；（2）求证：AM 是BAC ∠的角平分线． B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵21n A m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ．（1）求m 与n 的值；（2）求1A -． C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M的参数方程为2cos 272sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程；（2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．MD ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知：1a b c ++=，,,0a b c >． (1)求证：127abc ≤； (2)求证：222a b c ++≥．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)己知直线42:-=x y l 与抛物线:C x y 42=相交于,A B 两点，(),0(0T t t >且2t ≠）为x 轴上任意一点，连接,AT BT 并延长与抛物线C 分别相交于11,A B ．（1）设11A B 斜率为k ，求证：k t ⋅为定值；（2）设直线11,AB A B 与x 轴分别交于,M N ，令111234,,,ATM BTM B TN A TN S S S S S S S S ∆∆∆∆====，若1234,,,S S S S 构成等比数列，求t 的值．23．(本小题满分10分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为直角三角形，2ACB π∠=，顶点1C 在底面ABC ∆内的射影是点B ，且13AC BC BC ===，点T 是平面1ABC 内一点．（1）若T 是1ABC ∆的重心，求直线1A T 与平面1ABC 所成角；（2）是否存在点T ，使1TB TC =且平面11TAC ⊥平面11ACC A ，若存在，求出线段TC 的长度，若不存在，说明理由．2013～2014学年度第一学期期末考试MN高三数学参考答案一、填空题1．{}1；2．2；3．{}|3x x>；4．100；5．7；6．29；7．16；8．9．22(5)16x y-+=；10．①③；11．()()22m n p s t rb b b b b b=；12．632；13．35-；14．1-.二、解答题15.（1）22Tππ==，………………2分增区间为31,,88k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；………………6分（2）6()85f xπ-=-即3sin(2)5x=-，所以4cos(2)5x=±，………………10分)0000()2sin(2)sin2cos245f x x x xπ=+=+=或5-. ………14分16.（1）取BD的中点O，连结EO，CO，∵△ABC为正三角形，且CD=CB∴CO⊥BD，E O⊥BD………………4分又0CO EO=I，∴BD⊥平面EOC，∵⊂EC平面EOC∴BD⊥EC. ………………7分（2）∵N是AB中点，ABD∆为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN//BC，∵BC⊂平面BCE DN⊄平面BCE，∴BC//平面BCE，………………10分∵M为AE中点，N为AB中点，∴MN//BE，∵MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN//平面BCE，………………12分∵MN I DN=N，∴平面MND//平面BCE. ………………14分17.解：（1）取PQ的中点D，连OD，OP由4πα=，1c =，知2OD =22244PQ PQ OQ OD ==+=Q224,3a b ∴==∴椭圆C 的方程为：22143x y +=，22:4O x y +=e ， ………………4分（2）设22,AF s BF t ==，Q 121224,24AF AF a BF BF a +==+==， ………………6分Q 22,,AF BF AB 的长成等差数列，8283t s s t t ∴=+--∴=设00(,)B x y ，由2200220064(1)9143x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得4(,3B -， ………………10分k ∴=:1)PQ y x ∴=+，72PQ ∴=. ………………12分易求得椭圆上一点到直线PQMPQ ∆的面积的最大值是16………………15分18.解：（1）在BCD ∆中,,3BCD B BD l πθ∠=∠==Qsin(120)sin l BC θθ︒-∴=，2sin CD θ= ………………4分sin(120)sin l AC AB BC l θθ︒-∴=-=-，则sin(120)333sin 2sin AC CD l l t v v v v v θθθ︒-=+=-+，2()33ππθ<< … ……8分（2）t=(16l v -+3cos 6sin l v θθ-= ………………10分令3cos ()sin m θθθ-=，则'213cos ()sin m θθθ-= ………………12分令'()0m θ=得1cos 3θ=，设01cos 3θ= 02(,)33ππθ∈，则0(,)3πθθ∈时，'()0m θ<；02(,)3πθθ∈时'()0m θ>1cos 3θ∴=时()m θ有最小值48BC l =. ………………14分答：当48BC l =时货物运行时间最短. ………………15分19．（1）411()12x f x x ae =+，321()3x f x x ae =+，23()x f x x ae =+，24()2x f x x ae =+，5()2x f x ae =+，6()x f x ae =，'()(6)x n f x ae n =≥，min 7n ∴=. ………………4分（2）()(2)(2)x x x x n g x x ae ae ae ae =+++++⋅⋅⋅+(22)(3)xx n ae =++-⋅ ①………………6分'()2(3)x n g x n ae =+-存在极值点n x t =⇒'()2(3)0n t n n g t n ae =+-= ②'()22(3)2n t n n n n g t t n ae t ⇒=++-= ………………8分n A ⇒在直线2y x =上. ………………9分（3）()0(6)xn f x ae n ==≥无解，5k ⇒≤ ………………10分①当5k =时，004500202()()0120x x ae f x f x x a e x ae ⎧+===⇒⇒=⇒=-⎨+=⎩而当2a e=-时，165()0()222x x x f x ae f x ae e -=<⇒=+=-单调减，且5(1)0f = 4()f x ⇒在(,1)-∞上增，(1,)+∞上减，44(1)0()0f f x =⇒≤Q 恒成立. 3()f x ⇒单调减，而21133322()2,(1)10,(0)20x f x x e f f e e--=--=->=-< ()3(1,0),0t f t ∃∈-=在(,)t -∞上32()0()f t f x <⇒在(,)t -∞上增，(,)t +∞上减，3121()23t f t t e -=-，又213223211()20,()(1)033t f t t e f t t t t t -=-=∴=-=-<Q1()f t ∴在R 上单调减综上所述，∴存在5k =，2a e=-满足条件. ………………13分 ②当4k =时，002400300()2()0x x f x x aef x x ae =+==+=，即00x =或2当00x =时4(0)0f a ==（舍）当02x =时2424(2)40f ae a e =+=⇒=-2624()40xx f x e e e-⇒=-=-< 25()24x f x e -⇒=-单调减，且5()0f x =时，2ln 2x =-4()f x ⇒在(,2ln 2)-∞-上增，(2ln 2,)-+∞上减，而4(2)0f =2ln 2m ⇒∃<-使得在(,)m -∞上，4()0f x <，在(,2)m 上4()0f x >，在(2,)+∞上，4()0f x <3()f x ⇒在(,)m -∞上减，在(,2)m 上增，在(2,)+∞上减（舍） ∴4k ≠综上①②所述：存在5k =，2a e=-满足条件. ………………16分20.（1）证明：1()n n n n c b a a +=-，设{}n a 公差为d 且0d ≠，{}n b 公比为q ，高三数学试卷第11页共4页 ⇒112111()()n n n n n n n n n nc b a a b q c b a a b ++++++-===-=常数，{}n c ∴为等比数列………3分（2）由题意得：12n n c c +>对1,2,3,4n =恒成立且1+>n n c c 对17n ∀≥恒成立，…5分)2(1312t n b a c nn n n +⋅⎪⎭⎫⎝⎛==n t t n t n nn 282414)2(13122)22(13121-<⇒+⎪⎭⎫⎝⎛>++⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+对4,3,2,1=n 恒成立744-<⇒t ………… ……7分 )22(1312)2(13121++⎪⎭⎫ ⎝⎛>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t n t n n nn t 224->⇒对17n ≥恒成立10t ⇒>- ………… ……9分44107t ∴-<<-而9,8,7t Z t ∈⇒=--- 27n a n ⇒=-或28n a n =-或29n a n =-. ………… ……10分（3）证明：设22112211,nn nn n n n n n a b A q b A q A q a c c A q ⎛⎫==⇒=⋅ ⎪⎝⎭不妨设A A A =12，n nn c Aq a q q q ⋅=⇒=1211n nn n n i i n Aq c c d Aq c =-⇒==-∑ ()1111(1)(2)nn n n i i i i d d d A q q n --==⇒=-=-≥∑∑，即1)1(--=n n qq A d (2)n ≥. ………… ……13分若1=q ，满足)2(0≥=n d n ，若1>q ，则对任给正数M ，则n 取(log ,)(1)qMA q +∞-内的正整数时，M d n >，与M d Mn <<1矛盾.高三数学试卷第12页共4页若10<<q ，则对任给正数T =1M，则n 取))1((log ∞+-q A Tq内的正整数时T d n <=1M ，与M d Mn <<1矛盾. 1=∴q ，n n Ac a =∴而n a 是等差数列，设公差为d '，111()n n n n d c c a a A A++'∴-=-=为定值，n c ∴为等差数列. ………… ……16分附加题参考答案21.A ．证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°而BN =BM ⇒△BNM 为等腰三角形⇒BD 为∠NBM 的角平分线⇒∠DBC =∠DBM. ………………5分（2）BM 是⊙O 的切线，DBM DAB CBD CAD DAB DAC DBC DBM ∠=∠⎫⎪∠=∠⇒∠=∠⎬⎪∠=∠⎭⇒AM 是∠CAB 的角平分线. ………………10分21.B .解：（1）由题意得：211121222n A m αλαλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦u r u v 2220242n n m m ⎧+==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩……5分（2）设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⇒20102101a b E c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1212200201211a a b b a c c b d d ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪=⎪⎪=∴⇒⎨⎨+=⎪⎪=-⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩即110211A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦. ………………10分 21.C .解：（1）⊙M：227(()422x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3)22,(2,)2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N：223(()12x y -+-=.……5分高三数学试卷第13页共4页（2）PQ =MN -3=431-=. ………………10分21.D .证明：（1）3a b c ++≥1a b c ++=127abc ⇒≤，当且仅当13a b c ===时取“=”. ………………5分（2）柯西不等式222211()33a b c a b c ++≥++=，由（113≤222a b c ∴++≥a b c ==时取“=”. ………………10分22.解：（1）2244y x y x =-⎧⇒⎨=⎩(4,4)A ，(1,2)B -，设A 12(,)4m m ，B 12(,)4n n ，122444(4)(4)44AT A T mk k m t m tm m m t m mt t =⇒=⇒-=-⇒-=--- 21(,)4t m t A t ⇒=-⇒-，同理：21(,2)B t t 22344.4t k kt t tt ⇒==⇒=-定值…5分（2）A 1B 1：2242(),0(,0),(2,0)2t y t x t y N M t -=-=令得而1212122A B S y S S S y ==⇒=，1222441122488A A t t TN y S t t t S S S TM y t -⋅==⋅=⇒=⋅- 1223311(2)222444B A tt TN y S t t t S S S TM y t -⋅==⋅=⇒=⋅- 1234,,,S S S S 构成的等比数列，∴21t =而0t >⇒1t =. ………………10分23.解：如图以CB 、CA 分别为x ，y 轴，过C 作直线Cz //BC 1，以Cz 为z 轴)3,0,3(),0,3,0(),0,0,0(),0,0,3(1C A C B ∴)3,0,6()3,0,6(111B CB CC CB ⇒=+=高三数学试卷第14页共4页 111(3,3,3)(3,3,3)CA CC CA A =+=⇒u u u r u u u u r u u u r（1）T 是△ABC 1重心1(2,1,1)(1,2,2)T TA ⇒⇒=u u u r设面ABC 1的法向量为1111(,,),(3,3,0)n x y z AB ==-u r u u u r1111111133003330x y z x y z x y -==⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩取法向量)0,1,1(1=n1111cos ,,4TA n TA n π∴<>==⇒<>=u u u r u ru u u r u r 设TA 1与面ABC 1所成角为11,24TA n ππαα⇒=-<>=u u u r u r . ………………5分（2）T 在面ABC 1内，()133,3,3CT CB BT CB mBC nBA n n m =+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，即)3,3,33(m n n T -.由1TB TC =得222222(33)(3)(3)(33)(3)(33)241n n m n n m m n -++=+++-⇒-+=-①设面CAA 1C 1法向量为22221(,,),(0,3,0),(3,0,3)n x y z CA CC ===u u r u u u r u u u u r22230330y x z =⎧⇒⇒⎨+=⎩取)1,0,1(2-=n设面TA 1C 1法向量为3333111(,,),(0,3,0),(3,3,33)n x y z C A CT n n m ===--u u r u u u u r u u u r 33303(33)0y nx m z =⎧⇒⇒⎨-+-=⎩取),0,1(3n m n -=，由平面11TAC ⊥平面11ACC A 得10)1(21,cos 2232+=⇒=+-⋅-->=<n m nm n m n n ②由①②解得23,21==m n ,∴存在点T ⎪⎭⎫⎝⎛29,23,23，TC. ………10分。

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