二次型及其矩阵

第五章 二次型

在解析几何中，为了便于研究二次曲线 122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换

⎩⎨⎧'+'='-'=θθθ

θcos sin sin cos y x y y x x

把方程化为标准形式

122='+'y c x m .

这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.

第一节 二次型及其矩阵

分布图示

★ 引言

★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 线性变换

★ 例6

★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1

内容要点

一、二次型的概念

定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数

n

n n n n n n n n

nn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122

222221112122222),,,(--+++++++++++=

称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.

只含有平方项的二次型 2

222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).

二、二次型的矩阵

取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是

∑==

++++++++++++=n

j i j

i ij n

nn n n n n n

n n

n n x x a

x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1

,22211222

22212211121122

11121),,,(

)

()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=

.

),,,(),,,(212

122221

112

1121221122

22121121211121AX X x x x a a a

a a a

a a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=

其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21

222211121121,

.

称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称

为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.

三、线性变换

定义2 关系式

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧+++=+++=+++=n

nn n n n n

n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111

称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c C 2

12222111211

称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换.

对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得

AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(== 这里，Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .

注: 要Y AC C Y T T )(为标准型，即要AC C T 为对角矩阵。由上章实对称矩阵对角化的方法，可取C 为正交变换矩阵P .

对于简单的二次型，也可以用用配方法解之.

四、矩阵的合同

定义3 设A ,B 为两个n 阶方矩阵,如果存在n 阶非奇异矩阵C ,使得,B AC C T =则称矩阵A 合同于矩阵B ,或A 与B 合同,记为.B A ≅

易见, 二次型AX X x x x f T n =),,,(21 的矩阵A 与经过非退化线性变换CY X =得到的二次型的矩阵AC C B T =是合同的.

矩阵的合同关系基本性质:

(1) 反身性 对任意方阵)(;,A AE E A A A T =≅因为;

(2) 对称性 若,B A ≅则;A B ≅

(3) 传递性 若,,C B B A ≅≅则.C A ≅

例题选讲

例1 (1)223),(y xy x y x f ++=是一个含有2个变量的实二次型.

(2)22254223),,(z yz y xz xy x z y x f +--++=是一个含有3个变量的实二次型.

(3)242322214321),,,(x x x x x x x x f -++=是一个4个变量的实二次型.

(4) 424131214321342),,,(x x x x x x x x x x x x f +-+=是一个含有4个变量的实二次型. (5) 15),(22++-+=x y xy x y x f 不是一个实二次型, 因为它含有一次项x 5及常数项1. (6) 312131321),,(x x x x x x x x f ++=不是一个实二次型, 因为它含有3次项.31x

(7) )1(),(22-=+=i iy x y x f 不是一个实二次型, 因为i 是虚数, 但它是一个复二次

型.

例2 写出下列是二次型相应的对称阵.

(1) ,2

3

233),(2222y xy xy x y xy x y x f +++=++= 其矩阵为

.12/32/31⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

(2) 22254223),,(z yz y xz xy x z y x f +--++= 22252222223z yz xz xy y xy xz xy x +-+--++

+= 相应的实对称阵为 .522/22112/213⎪

⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

---

(3) ,),,,(242322

214321x x x x x x x x f -++= 相应的实对称阵是一个对角阵: .1000010000100001⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛- (4) 424131214321342),,,(x x x x x x x x x x x x f +-+=相应的对称阵为 .002/3200012/3002/1212/10⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--

例3 设有实对称矩阵,22/102/101

011

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---=A 求A 对应的实二次型. 解 A 是三阶阵，故有3个变量，则实二次型为