二次型及其矩阵
二次型及其矩阵
第五章 二次型在解析几何中,为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax 的几何性质,可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性,在许多理论问题和实际问题中常会遇到,本章将把这类问题一般化,讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵内容分布图示★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 线性变换★例6★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 ★返回内容要点:一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 为实数时,f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211nn y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是,二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c C212222111211 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时,称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是:寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型,将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==这里,Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型,对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型,即要AC C T 为对角矩阵。
6.1二次型的定义及其矩阵表示
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • (1) f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解: a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• (2) • 解:
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1.用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以:
0
1 2
0
A
1 2
0
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看: 试试看: (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
线性代数 二次型及其矩阵表示
记作 X PY , X x1 , x2 ,L xn , Y y1 , y2 ,L yn 注 非退化线性变换的逆变换仍为非退化的;连续多次 施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换,
T T
且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积.
n
n
②
2、二次型 f ( x1 , x2 , 的矩阵表示
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2
a1n x1 xn
x1
x2
x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 ③ 21 L xn M M M M an1 an 2 L ann xn
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
f称为对称矩阵A的二次型; A称为二次型f的矩阵; 练习 写出下列二次型的对称矩阵.
例1
2 2 1)实数域R上的2元二次型 f ax 2bxy cy
2)实数域上R的3元二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 4 x2 x3 3)复数域C上的4元二次型 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x2 (3 i ) x2 x3 a b A 解: 1) b c
二次型及其矩阵
第五章 二次型在解析几何中,为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax的几何性质,可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性,在许多理论问题和实际问题中常会遇到,本章将把这类问题一般化,讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵分布图示★ 引言★ 二次型的定义 ★ 例1★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 线性变换 ★ 例6 ★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1内容要点一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 为实数时,f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij ji ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n n a a aa a aa a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是,二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c C 212222111211称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时,称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是:寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型,将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==这里,Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型,对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型,即要AC C T 为对角矩阵。
线性代数 第1节 二次型及其矩阵
(2)对称性:若A ~B ,则有 B ~A ;
(3)传递性:若 A ~B ,且 B ~ C,则有 A ~C . 证明 只证(3),其余留作练习.
B C AC1 , C C BC2 ,
T 1
T 2
T T C C2 (C1 AC1 )C2 (C1C2 )T A(C1C2 ) ,
由于 C1 , C2 均可逆,所以C1C2 也可逆.
5
f ( x1 , x2 ,, xn )
2 a11 x1 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
2 2
f ( x1 , x2 ,, xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
C 称为该线性替换的矩阵.
X CY .
若 | C | 0 ,则此线性变换称为可逆线性替换.
如果C 为正交矩阵,则此线性替换称为正交替换.
x x cos y sin 容易验证,转轴公式 y x sin y cos 是一个正交替换.
13
三、矩阵的合同关系
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵.
7
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
T
A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵. A的秩称为该二次型的秩. A是一个实对称矩阵. 事实上, 由一个实对称矩阵也可构造唯一的实 二次型,也就是说,实二次型与实对称矩阵是互相 唯一确定的,所以,研究二次型的性质可以转化为 研究它的矩阵A所具有的性质.
§5.1 二次型及矩阵表示
B = C ′AC , | C |≠ 0 , 则 A = (C −1 )′ BC −1 = P′BP, P = C −1 ≠ 0
若 则
A1 = C1′ AC1 , A2 = C2′ A1C2 , C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ,
(3)传递性:
A2 = (C1C2 )′ A(C1C2 ) = Q′AQ,
(5.1)
(5.2)
f ( x, y ) = a′x′2 + c′y′2
(5.3)
(5.1)的右边是一个二元齐次多项式,把它化为标准方程 用代数的语言来说,就是用变量替换(5.2)把二元齐次多项式 化为只含平方项的标准方程。
第五章 二次型
能不能把这个结果推广到一般的 n 元齐次多项式? 这需要引入 n 元齐次多项式的概念。 定义1:F是一个数域,系数在F中的n个文字 x1 , x2 ," , xn 的二次齐次多项式
第五章 二次型
例如: f ( x1 ) = 3 x12 是一元二次型;
2 f ( x1 , x2 ) = 2 x12 − 6 x1 x2 + 5 x2 是二元二次型;
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x1 x2 + 3 x1 x3 + 2 x2 + 4 x2 x3 + 3 x3
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a1 j x j ⎟ ⎜ jn=1 ⎟ ⎜ a x ⎟ n n n ∑ 2j j = ( x1 , x2 ,..., xn ) ⎜ j =1 ⎟ = x1 ∑ a1 j x j + x2 ∑ a2 j x j + " + xn ∑ anj x j ⎜ ⎟ j =1 j =1 j =1 # ⎜ n ⎟ ⎜ ⎜ ∑ anj x j ⎟ ⎟ ⎝ j =1 ⎠
二次型及其矩阵表示
二次型的标准型的意 义
标准型在二次型的理论和应用中具有 重要意义。例如,通过研究标准型, 我们可以更好地了解二次型的性质和 特点。此外,标准型也常常用于求解 二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方 法
二次型的标准化方法包括将二次型转 化为标准型的过程。这个过程可以通 过正交变换来实现,具体来说就是通 过一系列可逆变换将二次型转化为其 同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式,其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$,其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$,其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$,如果存在一个可逆矩阵 $P$,使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ,则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如,正定二次型的标准型是唯一的,并且可以通过正 交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外,正定二次型的矩阵是正定的,即其所 有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为 其同类中最为简单的一种形式。通过 作可逆变换,任何一个二次型都可以 化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A,其二次型可以通过对其进行矩阵乘法 得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法,这种 方法可以用于计算二次型的值。
线性代数二次型与二次型矩阵
线性代数二次型与二次型矩阵二次型在线性代数中扮演了重要的角色,它是数学中一种重要的函数形式。
本文将介绍线性代数中的二次型以及与之相关的二次型矩阵。
1. 二次型的定义在线性代数中,二次型是指一个二次齐次多项式,它的形式可以表示为:$$Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots +a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \ldots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中,$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是 $n$ 个实数变量,$a_{ij}$ 是实数系数。
2. 二次型矩阵对于一个二次型 $Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)$,可以将其对应的系数矩阵标记为 $A$。
矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 即为二次型中 $x_i$ 和$x_j$ 的系数。
例如,$a_{11}$ 对应的是 $x_1^2$ 的系数。
对应于上述的二次型,我们可以将其系数矩阵表示为:$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\\end{bmatrix}$$其中,$A$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵。
3. 二次型矩阵的性质二次型矩阵具有一些重要的性质,下面列举其中几个:- 如果矩阵 $A$ 是一个对称矩阵,即 $A = A^T$,那么对应的二次型就是轴对称的。
- 二次型矩阵 $A$ 的秩等于二次型的秩,即 $rank(A) = rank(Q)$。
二次型及其矩阵
1.2 矩阵的合同
定义 2 设 A,B 为两个 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵 C 使得 CT AC B ,则称矩阵 A 合同于矩阵 B,或称 A 与 B 合同.
二次型 f (x1 ,x2 , ,xn ) xT Ax 的矩阵 A 与经过可逆线性变换 x Cy 得到的新二次型矩阵 B CT AC 是合同的,且 r(A) r(B) .
c2n
yn
, 称为由变量
x1
,x2
,
,xn 到 y1 ,y2 ,
,yn 的线性变换.矩阵
cnn yn
a11 a12
C
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
称为线性变换矩阵.当 C 可逆时,称该线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换. 对于二次型 f xT Ax ,经过可逆线性变换 x Cy 可化为 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC) y ,
x1(a11x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21x1 a22 x2 xn (an1x1 an2 x2 ann xn )
a2n x2 xn a2n xn )
a11x1 a12 x2
(x1 ,x2 ,
,xn
)
a21
x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
1.1 二次型的概念
称 f (x) xT Ax 为二次型的矩阵形式,其中对称矩阵 A 称为该二次型的矩阵,二次型 f (x) 称为对称矩阵 A 的二次型,对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩.于是,二次型 f (x) 与对称矩阵 A 之间有一一对应关系.当 f (x) 的 系数均为实数时, f (x) 称为实二次型,A 称为实对称矩阵.本书中的二次型都是指实二次型.
二次型及其矩阵表示
半正定二次型:矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型:矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型:矩阵的系数都是实数
对称二次型:矩阵是对称矩阵
正定二次型:矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型:矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型:二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式,其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数:二次型可以用来表示生产函数,分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数:二次型可以用来表示成本函数,分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数:二次型可以用来表示效用函数,分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数:二次型可以用来表示投资函数,分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析(PCA)是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中,主成分分析可以用来寻找数据的主成分,即数据的主要方向。
通过主成分分析,我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积,其中一个矩阵是对角矩阵,另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算,提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学:二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用,如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学:二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律,如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学:二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况,如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学:二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象,如菲涅尔方程、折射定律等。
二次型及其矩阵
系数矩阵A的秩为2, c 8
一、二次型
定义1:含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次多项式
2 f ( x1, x2 , , xn ) a11x1 2a12 x1 x2 2a13x1 x3 2a1n x1 xn
2 a22 x2 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
2 a33x3 2a3n x3 xn
称为n元二次型,简称为二次型。
定义2: 只含平方项的二次型,即形如
2 ann xn
2 2 2 f ( x1 , x2 , , xn ) d1 x1 d 2 x2 d n xn
称为二次型的标准形(或法式)。
二、二次型的矩阵表示法
x1, x2 , , xn ) a11x1 a12 x1 x2 a13x1 x3 a1n x1 xn
B C AC B B,Y BY为二次型且A与B合同,
T
作可逆变 换X CY T
T
r( A) r( B).
由上讨论可得:
定理1 二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 经可逆线性变换
X CY 变成新变元的二次型 f Y BY , 它的矩 阵B C AC且r ( A) r ( B ).
例2.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为2。
1.求参数c; 2.写出二次型的矩阵。
1 0 2 A 0 1 2, 2 2 c
2 x1
x2 cx3 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
由f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 cx32 4 x1 x3 4 x2 x3的秩为2
第四节_二次型及其矩阵表示
18
21.试证:若A 是n 阶方阵,n 是奇数,且满足 T A A E, A 1, 则 E A 0 . 证:
E A AAT A A AT E
A A E A E 1 E A
n
∵ n 是奇数,故有
EA EA
E A 0.
19
23. 设A为n 阶方阵,Ak O (k 2的正数 ),
求: E A . k 解: A O ,
1
Ak E k E k E E k Ak
1
E A E A A2 Ak 1
R( A) R( A) 2 3
方程组有无穷多解,
x1 1 (x3 为自由未知量) 其一般解为 x2 1 x3
23
⒈ 若C 可逆,则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵,则称⑴为正交线性替 换,简称为正交替换.
11
定理: 可逆线性替换将二次型变成二次型.
T f ( x , x , , x ) X AX , 证: 设二次型 1 2 n
X CY 为可逆替换,则有
6
如
3 A 2 0
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x1 x2 7 x2 x3 3 2 x1 x1 x2 0 x1 x3 2 3 7 2 x1 x2 2 x2 x2 x3 2 2 7 2 0 x1 x3 x2 x3 0 x3 3 2 0 1
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX
二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 a12 x1x2 L L a1n x1xn
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij xi x j .
基本结论
1、二次型经过线性替换仍为二次型. 2、二次型X´AX经非退化线性替换化为二次型Y´BY
A 与 B合同,即存在可逆阵 C Pnn,使 B CAC.
3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1, x2 ,L , xn ) a11x12 2a12 x1x2 L 2a1n x1xn
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn
①
Байду номын сангаас
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型(Quadratic Form).
§5.1 二次型及其矩阵表示
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 ,L , xn; y1, y2 ,L , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1,2,...n
非退化线性替换:
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
二次型
第六章 二 次 型I 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义:以数域P 中的数为系数,关于x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式f (x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+ … +2a 1n x 1x n+a 22x 22+ … +a 2n x 2x n + … (3) +a nn x n 2称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型。
2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a 212221211211 则n 元二次型可表示为下列矩阵形式:f (x 1,x 2,…,x n )=( x 1,x 2,…,x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21=X TAX其中 X =( x 1,x 2,…,x n )T 。
对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵,简称为二次型的矩阵。
矩阵A 的秩称为二次型f (x 1,x 2,…,x n )的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。
即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换设x 1,x 2,…,x n 和y 1,y 2,…,y n 为两组变量,关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c ij (i ,j =1,2,…,n )为实数域R (或复数域C )中的数,称为由x 1,x 2,…,x n 到y 1,y 2,…,y n 线性变换,简称线性变换。
线性变换的矩阵表示,设n 阶矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n c c c c c c c c c212222111211则从x 1,x 2,…,x n 到y 1,y 2,…,y n 线性变换可表示为下列矩阵形式:X =CY其中X =( x 1,x 2,…,x n )T 和Y =( y 1,y 2,…,y n )T ,C 称为线性变换的系数矩阵。
61二次型及其矩阵表示
于是
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f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
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都为二次型;
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
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二、二次型的表示方法
1.用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
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第五章 二次型在解析几何中,为了便于研究二次曲线 122=++cy bxy ax 的几何性质,可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性,在许多理论问题和实际问题中常会遇到,本章将把这类问题一般化,讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵分布图示★ 引言★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 线性变换★ 例6★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1内容要点一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 为实数时,f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是,二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c C 212222111211称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时,称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是:寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型,将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(== 这里,Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型,对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型,即要AC C T 为对角矩阵。
由上章实对称矩阵对角化的方法,可取C 为正交变换矩阵P .对于简单的二次型,也可以用用配方法解之.四、矩阵的合同定义3 设A ,B 为两个n 阶方矩阵,如果存在n 阶非奇异矩阵C ,使得,B AC C T =则称矩阵A 合同于矩阵B ,或A 与B 合同,记为.B A ≅易见, 二次型AX X x x x f T n =),,,(21 的矩阵A 与经过非退化线性变换CY X =得到的二次型的矩阵AC C B T =是合同的.矩阵的合同关系基本性质:(1) 反身性 对任意方阵)(;,A AE E A A A T =≅因为;(2) 对称性 若,B A ≅则;A B ≅(3) 传递性 若,,C B B A ≅≅则.C A ≅例题选讲例1 (1)223),(y xy x y x f ++=是一个含有2个变量的实二次型.(2)22254223),,(z yz y xz xy x z y x f +--++=是一个含有3个变量的实二次型.(3)242322214321),,,(x x x x x x x x f -++=是一个4个变量的实二次型.(4) 424131214321342),,,(x x x x x x x x x x x x f +-+=是一个含有4个变量的实二次型. (5) 15),(22++-+=x y xy x y x f 不是一个实二次型, 因为它含有一次项x 5及常数项1. (6) 312131321),,(x x x x x x x x f ++=不是一个实二次型, 因为它含有3次项.31x(7) )1(),(22-=+=i iy x y x f 不是一个实二次型, 因为i 是虚数, 但它是一个复二次型.例2 写出下列是二次型相应的对称阵.(1) ,23233),(2222y xy xy x y xy x y x f +++=++= 其矩阵为.12/32/31⎪⎪⎭⎫⎝⎛(2) 22254223),,(z yz y xz xy x z y x f +--++= 22252222223z yz xz xy y xy xz xy x +-+--+++= 相应的实对称阵为 .522/22112/213⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---(3) ,),,,(242322214321x x x x x x x x f -++= 相应的实对称阵是一个对角阵: .1000010000100001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- (4) 424131214321342),,,(x x x x x x x x x x x x f +-+=相应的对称阵为 .002/3200012/3002/1212/10⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--例3 设有实对称矩阵,22/102/101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A 求A 对应的实二次型. 解 A 是三阶阵,故有3个变量,则实二次型为),,(),,(321321x x x x x x f =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---32122/102/101011x x x .2223322121x x x x x x +-+-=例4 (E01) 二次型3222312132x x x x x x x -++的矩阵 ;02/32/12/322/12/12/10⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A反之, 对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=02/32/12/322/12/12/10A 所对应的二次型是 .3202/32/12/322/12/12/10),,(32223121321321x x x x x x x x x x x x x Ax x T -++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=例5 (E02) 求二次型23223121213216224),,(x x x x x x x x x x f +-+-=的秩. 解 先求二次型的矩阵.2212312121321222),,(x x x x x x x x x x x f --+-=23231332600x x x x x x x ++++所以=A ,601022121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---对A 作初等变换A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--520260121 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1700520121 即,3)(=A r 所以二次型的秩为3.例6 设二次型3231213211042),,(x x x x x x x x x f +-=, 且⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=.,2,53332123211y x y y y x y y y x (1)求经过上述线性变换后新的二次型.解 因)(321x x x f 相对应的矩阵=A .052501210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--而变换(1)所决定的变换矩阵=C ,100211511⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=AC C T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100211511052501210125011011=.2000020002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 于是新的二次型为.2022232221y y y +-。