高二数学上期末考试总复习(学生版)

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【原创】2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷文科数学(B卷) 学生版

2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷文科数学（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U =R ，集合2{|430}A x x x =++>，3{|log (2)1}B x x =-≤，则()U A B ð 等于（） A ．{|1x x <-或2}x > B ．{|1x x <-或2}x ≥ C ．{|1x x ≤-或2}x >D ．{|1x x ≤-或2}x ≥ 2，则） A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．若,x y ∈R ，则“1xy ≤”是“221x y +≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数2()f x x x =+，则0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆（）A ．6-B ．3-C ．3D ．65．数列{}n a 满足10a =，12524n n n a a a +-=-，则2015a =（）A ．0B ．43C ．1D ．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且120AF AF ⋅=，直线2AF 交y 轴于点M ，若12||6||F F OM =，则该椭圆的离心率为（）A ．13B．C ．58D7．已知平面区域1220:020x y x y y -+≥⎧⎪Ω+≤⎨⎪+≥⎩，222:9x y Ω+≤，则点1(,)P x y ∈Ω是2(,)P x y ∈Ω的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，2664a a =，则4S =（） A ．63或126 B ．252C ．120D ．639．下列命题:①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题q :5x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x x x ∀∈-+≤R ”的否定是“32,10x x x ∀∈-+>R ”； ④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”，其中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC △中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，1b =，(2sin )a B C -=cos A ，点G 是ABC △的重心，且3AG =，则ABC △的面积为（） AB．C或D此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号11．已知抛物线24y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（） AB．5或5C．55D．5或 12．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根的个数是（） A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量x ，y 满足约束条件:3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为．14．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+ ．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4c =，a A =，且C 为锐角，则ABC △面积的最大值为． 16．32()2f x ax x x =-++，ln ()e xg x x=，1(0,1]x ∀∈，2(0,1]x ∀∈，使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，90A ∠=︒，AB AD =，cos 2C =，3BC =．（1）若5CD =，求AB 的长；（2）若4BD =，求sin ADC ∠的值．DCBA18．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1()22n a n n b a +=+，求数列{}n b 前n 项和n S ．19．（12分）已知函数()ln xf x x =．（1）求曲线()y f x =在x e =处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间．20．（12分）已知命题2:,0p x x x m ∀∈+-≥R ，命题q :实数m 满足:方程22114x y m m+=--表示双曲线．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知圆22:(16E x y +=，点F ，动点P 在E 上，线段PF 的垂直平分线与直线PE 相交于点Q ，动点Q 的轨迹是曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点M 是C 与y 轴正半轴的交点，过点(2,1)-且不过点M 的直线l 与C 交于,A B 两点，设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值．22．（12分）已知函数()()x f x e ax a =+∈R ，()ln x g x e x =(e 为自然对数的底数)．（1）若对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立，试确定a 的取值范围；（2）当1a =-时，函数()()()M x g x f x =-在[1,]e 上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷文科数学（B ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】集合2{|430}{|(1)(3)0}{|3A x x x x x x x x =++>=++>=<-或1}x >-，3{|log (2)1}{|023}{|12}B x x x x x x =-≤=<-≤=-≤<．∴{|12}A B x x =-<<，∴(){|1U A B x x =≤-ð或2}x ≥，故选D ． 2．【答案】B【解析】，可知数列是等差数列2，5，8，11的每一项开方，而=B 选项是正确的． 3．【答案】B【解析】令10x =，10y =-，“1xy ≤”不能推出221x y +≤；反之2222111212x y x y xy xy +≤⇒≥+≥⇒≤<．4．【答案】C【解析】根据导数的定义，则0(1)(1)(1)limx f x f f x ∆→+∆-'=∆，由()21f x x '=+，∴(1)3f '=，∴0(1)(1)3limx f x f x∆→+∆-=∆．5．【答案】B【解析】由已知可得10a =，21a =，343a =，42a =，50a =，所以数列{}n a 的最小正周期为4T =，所以201550343343a a a ⨯+===． 6．【答案】D【解析】结合题意，可知12||2F F c =，则||3c OM =，故21tan 3MF O ∠=，结合120AF AF ⋅=，可知1290F AF ∠=︒，故12||1||3AF AF =，设1||AF x =，2||3AF x =，所以234a x x x =+=，22224(3)10c x x x =+=，所以c e a ==． 7．【答案】A【解析】平面区域222:9x y Ω+≤，表示圆以及内部部分；1220:020x y x y y -+≥⎧⎪Ω+≤⎨⎪+≥⎩的可行域如图三角形区域，则点1(,)P x y ∈Ω是2(,)P x y ∈Ω的充分不必要条件．8．【答案】C【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且101n na q a +<=<． ∵3520a a +=，263564a a a a ==，解得316a =，54a =，∴214q =，又01q <<，解得12q =， ∴311164a a =⨯=，解得164a =，∴44164[1()]2120112S -==-． 9．【答案】C【解析】对于①，“在ABC △中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题为“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”，若A B >，则a b >，根据正弦定理可知，sin sin A B >，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由2x ≠或3y ≠，得不到5x y +≠，比如1x =，4y =，5x y +=，∴p 不是q 的充分条件；由等价转换的思想易得p 是q 的必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“32,10x x x ∀∈-+≤R ”的否定是“32,10x x x ∃∈-+>R ”，所以③不对；对于④，“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；所以④正确，故选C ． 10．【答案】D【解析】由题可知2sin sin cos cos A B A C C A -=，∴2sin sin )A B A C B =+=，∴sin A =，∴π3A =或2π3，又3AG =AG 交BC 于点D，∴2AD =， ∵1()2AD AB AC =+，∴222211()(2cos )44AD AB AC b c bc A =+=++，当π3A =时，3c =，∴ABC △的面积为1sin 2bc A =当2π3A =时，4c =，∴ABC △的面积为1sin 2bc A = 11．【答案】B【解析】根据题意设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由点差法得到211212224424y x k y y y x ⎧=⎪⇒==⎨+=⎪⎩，故直线l 可以写成2(2)123y x y x =-+⇒=-，点M 到其准线的距离为5，可得到M 的横坐标为4，将点代入抛物线可得到纵坐标为4或4-，由点到直线的距离公式得到，M点到直线的距离为5或5． 12．【答案】A【解析】函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，说明方程2()320f x x ax b '=++=的两根为1x ，2x ，所以方程23(())2()0f x af x b ++=的解为1()f x x =或2()f x x =，若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是极小值点，由于11()f x x =，所以1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，21()()f x x f x =>只有一解，所以此时只有3解；若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点，由于()11f x x =，所以1x 是极小值，1()f x x =有2解，12x x >，21()()f x x f x =<只有一解，所以此时只有3解．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】92【解析】作出变量x ，y 满足约束条件3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩可行域如图，由2z x y =+知，122zy x =-+，∴动直线122z y x =-+的纵截距2z取得最大值时，目标函数取得最大值．由300x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得33(,)22A ，结合可行域可知当动直线经过点33(,)22A 时，目标函数取得最大值3392222z =+⨯=．故答案为92． 14．【答案】129130【解析】原式11111212111111212133233322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+． 15．【答案】4+ 【解析】因为4c =，又sin sin c a C A ==sin 2C =，又C 为锐角，所以π4C =，因为222222cos (2c a b ab C a b ab =+-=+-≥，所以8(2ab ≤=+，当且仅当a b ==即1sin 424ABC S ab C ab ==≤+△即当a b ==ABC △面积的最大值为4+． 16．【答案】[2,)-+∞ 【解析】2(1ln )()e x g x x-'=，而(0,1]x ∈，故()0g x '>在(0,1]恒成立，故()g x 在(0,1]递增，max ()(1)0g x g ==，若1(0,1]x ∀∈，2(0,1]x ∀∈，使得12()()f x g x ≥，只需min max ()()f x g x ≥即可，故3220ax x x -++≥在(0,1]恒成立，即232x x a x--≥在(0,1]恒成立，令232()x x h x x --=，(0,1]x ∈，24(1)7()0x h x x--+'=>， ()h x 在(0,1]递增，故max ()(1)2h x h ==-，故2a ≥-，故答案为[2,)-+∞．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）AB =（2）10．【解析】（1）∵cos25C =，∴223cos 2cos 12(1255C C =-=⨯-=，∵3BC =，5CD =，∴由余弦定理得，2222232cos 35235165BD BC CD BC CD C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，则4BD =，∵90A ∠=︒，AB AD =，∴AB BD == （2）由（1）知，4sin 5C =， ∵3BC =，4BD =，∴由正弦定理得43sin 35sin 45BC C BDC BD ⨯⋅∠===， ∵BC BD <，∴4cos 5BDC ∠=，则sin sin(45)sin cos 45cos sin 45ADC BDC BDC BDC ∠=∠+︒=∠︒+∠︒34525210=⨯+⨯=． 18．【答案】（1）21n a n =-；（2）1222n n S n +=+-．【解析】（1）由题意等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-，可得1-，3为2130a x dx --=的两根，得11233da a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-．（2）由（1）知21n a n =-，所以1()222(21)n a n n n b a n +=+=+-，所以2122(21)(242)(1321)2221n nn n S n n n +-=+++++++-=+=+--．19．【答案】（1）y e =；（2）()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,)e ，单调递增区间为(,)e +∞．【解析】（1）2ln 1()(ln )x f x x -'=，所以切线斜率2ln 1()0(ln )e k f e e -'===，又()ln ef e e e==，所以切线方程为0y e -=，即y e =．（2）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，2ln 1()(ln )x f x x -'=，在(0,1)和(1,)e 上，()0f x '<，函数()f x 单调递减；在(,)e +∞上，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,)e ，单调递增区间为(,)e +∞．20．【答案】（1）1(,]4-∞-；（2）{|14}m m ≤≤．【解析】（1）∵2,0x x x m ∀∈+-≥R 恒成立，∴140Δm =+≤，解得14m ≤-，∴实数m 的取值范围是1(,]4-∞-．（2）∵“p 或q ”为假命题，∴p ，q 均为假命题，当q 为真命题时，则(1)(4)0m m --<，解得4m >或1m <， ∴q 为假命题时，14m ≤≤，由（1）知，p 为假命题时，14m >-，从而1414m m ⎧>-⎪⎨⎪≤≤⎩，即14m ≤≤． ∴实数m 的取值范围为{|14}m m ≤≤．21．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）依题意，||||QF QP =，则||||||||||4||QE QF QE QP EP EF +=+==>，所以Q 的轨迹为以E ，F 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以2a =，c =，1b =，所以曲线C 的方程为2214x y +=．（2）依题意得直线AB 的斜率存在，设直线:1(2),(1)AB y k x k +=-≠-，即21y kx k =--，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222114y kx k x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(41)8(21)4(21)40k x k k x k +-+++-=，由题知0Δ>，1228(21)41k k x x k ++=+，21224(21)441k x x k +-=+，因为M 是C 与y 轴正半轴的交点，所以(0,1)M ，所以12122112121211(1)(1)y y y x y x k k x x x x ---+-+=+=122112(22)(22)kx k x kx k x x x --+--= 12121222(1)()kx x k x x x x -++=16(1)(21)22(21)116(1)k k k k k k k k ++=-=-+=-+．所以12k k +为定值，且定值为1-．22．【答案】（1）(,)e -+∞；（2）不存在，见解析．【解析】（1）∵对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立， ∴若0x =，则a 为任意实数时，()0x f x e =>恒成立；若0x >，()0xf x e ax =+>恒成立，即xe a x>-，在0x >上恒成立，设()x e Q x x =-，则22(1)()x x xxe e x e Q x x x --⋅'=-=，当(0,1)x ∈时，()0Q x '>，则()Q x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0Q x '<，则()Q x 在(1,)+∞上单调递减；所以当1x =时，()Q x 取得最大值，max ()(1)Q x Q e ==-，所以a 的取值范围为(,)e -+∞，综上，对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立的实数a 的取值范围为(,)e -+∞．（2）依题意，()ln x x M x e x e x =-+，所以1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x '=+-+=+-⋅+，设1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-'=-+=，当[1,]x e ∈，()0h x '≥，故()h x 在[1,]e 上单调增函数，因此()h x 在[1,]e 上的最小值为(1)0h =，即1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=，又0x e >，所以在[1,]e 上，1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>，所以()M x 在[1,]e 上是增函数，即()()()M x g x f x =-在[1,]e 上不存在极值．。

第74讲、存在性问题的探究(学生版)2025高考数学一轮复习讲义

第74讲存在性问题的探究知识梳理题型一：存在点使向量数量积为定值例1．（2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为()，离心率为e =()1求椭圆E 的方程；()2过点()1,0作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例2．（2024·山西大同·高二统考期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P Q 、，试问在x 轴上是否存在定点(m,0)E ，使PE QE ⋅ 恒为定值?若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.例3．（2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为点P 在椭圆C 上，且满足12PF F ∆的周长为6.（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)-的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，使得MA MB ⋅ 恒为定值？若存在，求出该点M 的坐标；若不存在，请说明理由.变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆经过点1,2A ⎛- ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)作直线l 交C 于,M N 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点P ，使PM PN⋅ 为定值？若存在，求出这个定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.变式2．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知12F F ､为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，E M 为E 上一点，且212MF MF -=.(1)求E 的方程；(2)设点M 在坐标轴上，直线l 与E 交于异于M 的A B ､两点，且点M 在以线段AB 为直径的圆上，过M 作MC AB ⊥，垂足为C ，是否存在点D ，使得CD 为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.变式3．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且直线y x b =+是抛物线22:4C y x =的一条切线．(1)求椭圆1C 的方程；(2)过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线L 交椭圆1C 于,A B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．变式4．（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦3PQ AF ==．(1)求APQ △的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于,M N ，交PQ 于点R ，且满足MR ND MD RN ⋅=⋅ 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知为O 坐标原点，()()()()2,0,0,1,0,1,2,1A B C D -，,,01OE OA DF DA λλλ==<≤ ，CE 和BF 交点为P .(1)求点P 的轨迹G ；(2)直线(0)=+≠y x m m 和曲线G 交与M N ，两点，试判断是否存在定点Q 使14MQ NQ k k =？如果存在，求出Q 点坐标，不存在请说明理由.例5．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点()2,0A -，()2,0B ，(),P x y 是异于A ，B 的动点，AP k ，BP k 分别是直线AP ，BP 的斜率，且满足34AP BP k k ⋅=-.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)在线段AB 上是否存在定点E ，使得过点E 的直线交P 的轨迹于M ，N 两点，且对直线4x =上任意一点Q ，都有直线QM ，QE ，QN 的斜率成等差数列.若存在，求出定点E ，若不存在，请说明理由.例6．（2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 为圆心作圆，与C 的一条渐近线相切于点4,33Q ⎛ ⎝⎭(1)求C 的方程.(2)在x 轴上是否存在定点M ，过点M 任意作一条不与坐标轴垂直的直线l ，当l 与C 交于,A B 两点时，直线,AF BF 的斜率之和为定值？若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.变式5．（2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C 方程为228(62)610(,0)x y mx m y m m R m +--+++=∈≠，椭圆中心在原点，焦点在x 轴上.（1）证明圆C 恒过一定点M ，并求此定点M 的坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论；（3）当2m =时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M ，求此时椭圆方程；在x 轴上是否存在两定点A ，B 使得对椭圆上任意一点Q （异于长轴端点），直线QA ，QB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 坐标；若不存在，请说明理由.变式6．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，实轴长为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点1F 不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由.变式7．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F △的周长是6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.变式8．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆222210)x y C a b a b +=：（＞＞的离心率是2，过点()0,1P 的动直线L 于椭圆相交于,A B 两点，当直线L 平行于x 轴时，直线L 被椭圆C 截得弦长为（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）在y 上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得直线AQ 和BQ 的倾斜角互补？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等例7．（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆2212:1(1)x C y a a+=>的左右焦点分别为12F F 、，,A B 分别为椭圆1C 的上，下顶点，2F 到直线1AF (1)求椭圆1C 的方程；(2)直线0x x =与椭圆1C 交于不同的两点,C D ，直线,AC AD 分别交x 轴于,P Q 两点．问：y 轴上是否存在点R ，使得π2∠+∠=ORP ORQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．例8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆:C ()222210x y a b a b+=>>经过点()2,0A -且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设P ，Q 为椭圆C 上不同的两个点，直线AP 与y 轴交于点E ，直线AQ 与y 轴交于点F ，且P 、O 、Q 三点共线.其中O 为坐标原点.问：x 轴上是否存在点M ，使得AME EFM ∠=∠？若存在，求点M 的坐标，若不存在，说明理由.例9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点A 是圆()22:116C x y -+=上的任意一点，点()1,0F -，线段AF 的垂直平分线交AC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若过点()3,0G 且斜率不为O 的直线l 交（1）中轨迹E 于M 、N 两点，O 为坐标原点，点()2,0B ．问：x 轴上是否存在定点T ，使得MTO NTB ∠=∠恒成立．若存在，请求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．变式9．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆222:1(0)3x y C a a +=>经过点31,2-（，过点)T 的直线交该椭圆于P ，Q 两点.(1)求OPQ △面积的最大值，并求此时直线PQ 的方程；(2)若直线PQ 与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在点(),0S s 使得PST QST ∠=∠恒成立？若存在，求出s 的值；若不存在，说明理由.变式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点()3,0P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，x 轴上是否存在点Q 使得πPQA PQB ∠+∠=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．变式11．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点M到点()2,0D 的距离等于点M 到直线1x =倍，记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线l ：()122y x t t =+≥与曲线C 交于,A B 两点，问曲线C 上是否存在两点,P Q 满足90APB AQB ∠=∠=︒，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.题型四：存在点使等式恒成立例10．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知R 是圆M ：(228x y +=上的动点，点)N，直线NR 与圆M 的另一个交点为S ，点L 在直线MR 上，MS NL ∥，动点L 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若过点()2,0P -的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且A ，B 都在x 轴上方，问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得QAB 的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点()0,B b 且与直线2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且12220F F F D += ．(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线:60l x -=相切，求椭圆Γ的方程；(3)设2a =．过椭圆Γ右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．例12．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．(1)求椭圆及双曲线的标准方程；(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得4P T x x =(其中P x ，T x 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．变式12．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:143x y E +=的左顶点和右焦点分别为,A F ，动点P 满足2219||||22PA PF +=，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设点Q 在E 上，过Q 作C 的两条切线，分别与y 轴相交于,M N 两点.是否存在点Q ，使得MN 等于E 的短轴长？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.变式13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M 到点30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比它到直线l ：=2y -的距离小12，记动点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若过点F 的直线交E 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得PA ，PB 分别交E 于另外两点C ，D ，且3AB CD = ？若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.变式14．（2024·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)过点()3,0M -且与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，点B 关于x 轴的对称点为B '.问：平面内是否存在定点P ，使得B '恒在直线PC 上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.题型五：存在点使线段关系式为定值例13．（2024·全国·高三专题练习）椭圆E 经过两点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22⎫⎪⎪⎝⎭，过点P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若椭圆E 的右焦点是P ，其右准线与x 轴交于点Q ，直线AQ 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，求证：120k k +=；(3)设点(,0)P t 是椭圆E 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB =恒成立？只需写出点Q 的坐标，无需证明．例14．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点(2,0)D ，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且·0DE DF = ，DG EF ⊥于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.例15．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，3AB =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当直线l 的斜率为k ()0k ≠时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意一点到直线PA 与到直线PB 的距离相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．变式15．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点()2,0A ，2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.直线x t =（不经过点B ）与椭圆E 交于,M N 两点，()1,0Q ，直线MQ 与椭圆E 交于另一点C ，点P 满足0QP NC ⋅= ，且P 在直线NC 上.(1)求E 的方程；(2)证明：直线NC 过定点，且存在另一个定点R ，使PR 为定值.变式16．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，右顶点分别为F ，A ，()0,B b ，1AF =，点M 在线段AB 上，且满足BM MA =，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP FQ EQ FP ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.变式17．（2024·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点M 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，122k k =．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．变式18．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点()1,0F 的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径；②点P 到()1,0F 的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件:(1)选择条件：求曲线C 的方程；(2)在x 轴正半轴上是否存在一点M ，当过点M 的直线l 与抛物线C 交于Q R ，两点时，11MQ MR+为定值？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.变式19．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为e =()1,e ．P 为椭圆C 在第一象限内部分上的一点．(1)若(),0A a ，()0,B b ，求ABP 面积的最大值；(2)是否存在点P ，使得过点P 作圆()22:11M x y ++=的两条切线，分别交y 轴于D ，E 两点，且3DE =．若存在，点求出P 的坐标；若不存在，说明理由。

第80讲、阿基米德三角形(学生版)2025高考数学一轮复习讲义

第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示，AB 为抛物线22(0)x py p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别过,A B 作的抛物线的切线交于点P ，称PAB △为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点()00 C x y ，，则另一顶点P 的轨迹为一条直线．3、若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p ．6、点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；7、底边AB 所在的直线方程为()121220; x x x py x x +--=8、PAB △的面积为3128PAB x x S p-=．9、若点P 的坐标为()00,x y ，则底边AB 的直线方程为()000x x p y y -+=．10、如图1，若E 为抛物线弧AB 上的动点，点E 处的切线与PA ，PB 分别交于点C ，D ，则||||||||||||AC CE PD CP ED DB ==.11、若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形PAB △的边PA ，PB 分别交于点C ，D ，则2EABPCDS S = ．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．图1必考题型全归纳题型一：定点问题例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设D 为直线=2y -上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．例2．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M 恒过定点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，圆心M 到直线14y =-的距离为1,8d d MF =+．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线1y x =-上的动点Q 作C 的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，证明：直线AB 恒过定点．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知平面曲线C 满足：它上面任意一定到10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到直线32y =-的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)D 为直线12y =-上的动点，过点D 作曲线C 的两条切线，切点分别为A B ､，证明：直线AB 过定点；(3)在（2）的条件下，以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.变式1．（2024·陕西·校联考三模）已知直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，OD AB ⊥，D 为垂足，点D 的坐标为(1,1)．(1)求C 的方程；(2)若点E 是直线4y x =-上的动点，过点E 作抛物线C 的两条切线EP ，EQ ，其中P ，Q 为切点，试证明直线PQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C ：2y ax =给出如下三个条件：①焦点为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭；②准线为12y =-；③与直线210y -=相交所得弦长为2．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C 的方程；(2)已知ABQ 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q 是抛物线C 在弦AB 两端点处的两条切线的交点，若点Q 恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB 是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．变式3．（2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线2:C y ax =（a 是常数）过点(2,2)P -，动点1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)当1t =时，求直线AB 的方程；(3)证明：直线AB 过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 在x 轴及其上方，且点P 到点(0,1)F 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若点Q 是直线4y x =-上任意一点，过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ､QB ，其中A ､B 为切点，试证明直线AB 恒过一定点，并求出该点的坐标.题型二：交点的轨迹问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M 定在直线1y =-上；(3)椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证:点N 在定直线上．变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知点F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线.若圆22:(2)(3)16P x y -+-=的直径为MN .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，分别过A 、B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，证明直线1l ，2l 的交点在定直线上，并求出该直线.变式7．（2024·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．(1)圆222:O x y r +=上点()00,M x y 处的切线方程为．理由如下：．(2)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为；(3)(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB 的方程是．这是因为在()11,A x y ，()22,B x y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；(4)问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=，化简得Δ0=，得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线22(0)y px p =>上一点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上．题型三：切线垂直问题例7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若点P 坐标为()0,1-，求切线,PA PB 的方程；（2）若点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，求证：切线PA 和PB 互相垂直.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，点M 是AB 的中点.（1）求证：切线PA 和PB 互相垂直；（2）求证：直线PM 与y 轴平行；（3）求PAB 面积的最小值.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点.(1)求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；(2)设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1C 和抛物线2C 有相同的焦点()1,0，椭圆1C 过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．()1求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；()2设点P 为抛物线2C 准线上的任意一点，过点P 作抛物线2C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．①设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；②若直线AB 交椭圆1C 于C ，D 两点，PAB S ，PCD S 分别是PAB ，PCD 的面积，试问：PABPCDS S 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．变式9．（2024·全国·高三专题练习）抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.变式10．（2024·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为2．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．题型四：面积问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点Q 为直线12y =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线22x py =上一点()0,1M x 到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到原点的距离等于直线:440l x y --=的斜率.（1）求抛物线C 的方程及准线方程；（2）点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求PAB 面积的最小值.变式11．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且||2RF =，过点(4,0)P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段PA 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E （异于点A ，B ），且直线DE 交线段PB 于点H .(1)求抛物线C 的方程；(2)（i ）求证：||||AD BH +为定值；（ii ）设EAD ，EBH △的面积分别为12S S ，，求12133S S S =+的最小值.变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值．变式13．（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测）已知点()F ，平面上的动点S 到F 的距离是S 40+=的距离的2倍，记点S 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ，2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于T ，交y 轴于Q ，记PNQ V 的面积为1S ，PMT △的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值．题型五：外接圆问题例13．（2024·全国·高三专题练习）已知P 是抛物线C ：2134y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- ．（1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M 是PAB 的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．例14．（2024·高二单元测试）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.例15．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.题型六：最值问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图已知()2,P t -是直线2x =-上的动点，过点P 作抛物线24y x =的两条切线，切点分别为,A B ，与y 轴分别交于,C D.（1）求证：直线AB 过定点，并求出该定点；（2）设直线AB 与x 轴相交于点Q ，记,A B 两点到直线PQ 的距离分别为12,d d ；求当12AB d d +取最大值时PCD 的面积.例17．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xoy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，P 为直线1y x =-上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，当P 在y 轴上时，OA OB ⊥.(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.例18．（2024·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线()2:21C x py p =>，从点()4,9发出的平行于y 轴的光线照射到抛物线上的D 点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G 点射出，经过点()1,5-．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆()22:34M x y +-=，在抛物线C 上任取一点E ，过点E 向圆M 作两条切线EA 和EB ，切点分别为A 、B ，求EA EB ⋅ 的取值范围．变式14．（2024·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线()2:20C x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点D 在直线l ：=3y -上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当MN 最小时，求ABMN 的值.变式15．（2024·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（）A ．1B ．4C ．5D题型七：角度相等问题例19．设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB ．例20．（2024·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C .(1)求轨迹2C 的方程；(2)若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性.例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆22=>交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的+-=与抛物线2:2(0)C x py pG x y:(1)1直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；∠=∠．(2)若F是抛物线C的焦点，证明：PFA PFBy x=的焦点为F，动点P 变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，设抛物线C：2x y--=上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，在直线l：20求证：AFB BFP∠=∠.变式17．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.（1）求证∶点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB。

直线与方程压轴题(九大题型)(学生版) 2024-2025学年高二数学期中期末挑战满分(人选修一)

特训03 直线与方程压轴题（九大题型）目录：题型1：函数与直线题型2：最值问题题型3：取值范围问题题型4：直线的实际应用题型5：分类讨论、与向量结合题型6：直线有关的综合辨析题型7：材料、新定义题题型8：传统解答压轴题题型9：新定义解答压轴题题型1：函数与直线1．已知函数()21f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小值为8B ．()f x 的最小值为9C ．()8f x =有1个实根D ．()9f x =有1个实根2．已知二元函数(),f x y =+的最小值为a ，则28a = ．3．已知函数()f x ①函数()f x 的图像是轴对称图形； ②函数()f x 在(],1-¥上单调递减；③函数()f x 的值域是[)0,2； ④方程()34f f x =éùëû有4个不同的实数解．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知函数()k f x x x=+的定义域为()0,¥+，其最小值为2．点M 是函数图象上的任意一点，过点M 分别作直线:l y x =和y 轴的垂线，垂足分别为,A B ．其中O 为坐标原点．给出下列四个结论：①1k =； ②不存在点M ，使得2023MA =；③MA MB ×的值恒为； ④四边形OAMB 1．其中，所有正确结论的序号是．题型2：最值问题5．已知点M (x 1,y 1)在直线1:2l y x =+，点N (x 2,y 2)在直线2:l y x =上，且1MN l ^，）A B C D ．56．设m R Î，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．67．设R m Î，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ×的最大值．8．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ^，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为 .9．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ^ ）A B C D ．5题型3：取值范围问题10．设R m Î，过定点A 的动直线0x my m ++=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11. 设点(,)P x y 是曲线1a x b y +=(0,0)³³a b 上任意一点，其坐标(,)x y£b +取值范围为．题型4：直线的实际应用12．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽72AB =码，球门宽8EF =码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得EPF Ð最大，这时候点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O 处（OA AB =，OA AB ^）时，根据场上形势判断，有OA uuu r 、OB uuu r 两条进攻线路可供选择.若选择线路OA uuu r ，则甲带球码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB uuu r ，则甲带球码时，到达最佳射门位置.13．公路AM ，AN 围成的是一块顶角为a 的角形耕地，其中 2.tan a =-在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km .现要过点P 修建一条直线型公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园，如图．（1）记CBM q Ð=，并设tan θk =，试确定k 的取值范围；（2）设三角形区域工业园的占地面积为S ，试将S 表示成k 的函数()S f k =；（3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B 的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．题型5：分类讨论、与向量结合14．过点()1,2P --的直线l 可表示为()()120m x n y +++=，若直线l 与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．如图，在ABC V 与ADE V 中，π2ABC ADE Ð=Ð=，π6BAC DAE Ð=Ð=，π4CAE Ð=，2AC DE ==.连接BE 与CD 交于P ，则BD CP ×=uuu r uuu r .题型6：直线有关的综合辨析16．已知m ÎR ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（）A ．A 点的坐标为()2,1B ．PA PB ^C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为517（多选）．已知O 为坐标原点，()3,1A ，P 为x 轴上一动点，Q 为直线l ：y x =上一动点，则（）A ．APQ △周长的最小值为B ．AP AQ +的最小值为1C ．AP PQ +的最小值为D 4题型7：材料、新定义题18．对于直角坐标平面内的任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义它们之间的曼哈顿“距离”：2121AB x x y y =-+-．如果点()1,2A ，()3,5B ，则AB = ．给出下列两个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=；②在ABC V 中，若90C Ð=°，则222AC CB AB +=；其中是真命题的为．19．在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ||,||d A B x x y y =--为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 的“切比雪夫距离”．又设点P 及l 上任意一点Q ，称d （P ，Q ）的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d （P ，l ）．给出下列四个命题：①对任意三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +³；②已知点P （3，1）和直线:210l x y --=，则()4,3d P l =；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为．5．设点(,)P x y 是曲线1a x b y +=(0,0)³³a b 上任意一点，其坐标(,)x y£b +取值范围为．20．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC V 的顶点()30A -,，()1,3B ，其欧拉线方程为1333220x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（）A ．()2,0B ．241,11æö--ç÷èøC ．()2,1-D ．4940,1919æö-ç÷èø21．闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为()12,,,n A a a a =×××和()12,,,n B b b b =L ，这两组数据间的闵氏距离定义为11()n qq AB k k k d q a b =éù=-êúëûå，其中q 表示阶数.现有下列四个命题：①若(1,2,3,4),(0,3,4,5)A B ==，则(1)4AB d =；②若(,1),(1,)A a a B b b =+=-，其中,a b ÎR ，则(1)(2)AB AB d d =；③若(,),(,)A a b B c d ==，其中,,,a b c d ÎR ，则(1)(2)AB AB d d ³；④若()2,,(,1)A a a B b b ==-，其中,a b ÎR ，则(2)AB d.其中所有真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．422．（多选）对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线0ax by c ++=使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线l ，记所有的点到l 的距离的最小值为l d ，约定：l d 越大，分类直线l 的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将123,,P P P 和4P为第I 组点将12,Q Q 和3Q 归为第II 点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L ．给出下列四个结论：①直线 2.5x =比直线350x y --=的分类效果好；②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II 组点位于L 的同侧；④如果从第I 组点中去掉点1P ，第II 组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④题型8：传统解答压轴题23．如图，设直线1l ：0x =，2l ：340x y -=．点A 的坐标为()314a a æö>ç÷èø，．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与1l ，2l 分别交于点M ，(N M ，N 的纵坐标均为正数)．（1）设1a =，求MON △面积的最小值；（2）是否存在实数a ，使得11OM ON+的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．24．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB ，AD 边分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上(包括端点).（1）若折痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在直线方程；（2）当20k -££时，求折痕长的最大值；（3）当21k -££-时，折痕为线段PQ ，设()221t k PQ =-，试求t 的最大值题型9：新定义题解答压轴题25．如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环．虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路．在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区．在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你这样走，花费的路程都是一样的．出租车几何学（taxicab geometry ），所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如(),x y 的有序实数对，直线还是满足0ax by c ++=的所有(),x y 组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．只是直角坐标系内任意两点()11,A x y ，()22,B x y 定义它们之间的一种“距离”：1212AB x x y y =-+-，请解决以下问题：（1）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点(),Q a b 的“距离”均为r 的“圆”方程，并作出大致图像；（2）在出租车几何学中，到两点A 、B “距离”相等的点的轨迹称为线段AB 的“垂直平分线”，已知点()1,3A ，()6,9B ，()1,9C ；①写出在线段AB 的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图像；②求证：ΔABC 三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为ΔABC 的“外心”），并求出ΔABC 的“外心”.26．已知点P 和非零实数l ，若两条不同的直线1l ，2l 均过点P ，且斜率之积为l ，则称直线1l ，2l 是一组“P l 共轭线对”，如直线1l ：2y x =，2l ：12y x =-是一组“1O -共轭线对”，其中O 是坐标原点.(1)已知1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，求1l ，2l 的夹角的最小值；(2)已知点()0,1A ､点()1,0B -和点()1,0C 分别是三条直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C 与P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是“2P 共轭线对”，直线QP ，QR 是“3Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是“6R 共轭线对”，求点P 的坐标；(3)已知点(2,Q -，直线1l ，2l 是“12Q -共轭线对”，当1l 的斜率变化时，求原点O 到直线1l ，2l 的距离之积的取值范围.。

期末考试学生自我分析总结模板（3篇）

期末考试学生自我分析总结模板一个学期的美好时光匆匆而过，经过了紧张的复习与考试，我们终于迎来了美好的假期生活。

这次的成绩与期中相比，还是略有进步，不过数学语文拉分较大。

数学语文是学习中很重要的两门课，所以，更要学好。

最基础的题不能做错，尤其是数学计算，如果在计算问题上出现了什么不应该出的差错，那将是多么大的过失与无法弥补的遗憾啊!学习最注重的应该就是方法和效率，不能像牛一样，一头扎进书本堆里，可最后不仅使自己没了学习的兴趣，还让自己精神疲惫，成绩一点儿都没提升。

大把的时间、精力全耗费了，得不偿失。

当然，好的学习方法也有很多，在以后的学习中我会尽量的避免踩雷。

考试中新添了体育这门课，根据成绩来说，体育、数学这两门课我的底子都不太扎实，这就是我成绩永远提不上去的原因之一。

因此，在课堂上我就应该更加认真的听讲，回家后认真完成课后作业。

并且平时的体育锻炼必不可少，努力提高这几门课的成绩，填补自己的短板。

这次的分数不太均匀，有的.好有的也不好，正说明我比较偏科，这是一个大忌，作为学生，我们都应当全面发展，更不能因为不接受老师而偏科。

在下一个学期里，对于学习上的事我会像学习成绩更好的同学去学习，请教。

这次考试反映出了我一学期以来的学习成果，它也是我努力了一学期的最好的见证。

我在寒假期间也会好好努力。

一步步慢慢努力成为更好的自己。

期末考试学生自我分析总结模板（二）高中生活的一半已告结束，回首刚刚过去的高二上学期，可谓是机遇与挑战并存。

首先，成为文科实验班班长，肩负着统摄全局的重任，在学习之余，还要处理很多纷繁复杂的班级事务。

而在学习方面，正式进入了高考文科的学习，文综的整体难度陡然增大，语数英三主科的难度也开始向全国卷过度，繁重的课业任务可谓令人应接不暇。

在这样的新常态下，我原本的学习方法开始显得不合时宜，迫切地需要因时而变、随势而制，使之符合变化发展的实际。

而这反映在我的成绩上，就是期中考与期末考的小幅度退步。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用(学生版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.114.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log21＋SN来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为()A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是__________.考点一利用函数图像刻画变化过程1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像是()2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )－720x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.则下列说法错误的是()A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是________(填序号).4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.考点二二次函数模型例1(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100kg.训练1(1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30－52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.[4，8]B.[6，10]C.[4%，8%]D.[6%，10%]考点三指数、对数函数模型例2(1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A.6B.5C.4D.3(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取10＝3.2)训练2(2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？考点四分段函数模型例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？训练3某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).t(天)281624Q(斤)38322416(1)根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收入最大？最大为多少元？1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是()2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021000≈7.37，lg 7≈0.845)()A.y ＝0.25xB.y ＝1.002xC.y ＝log 7x ＋1D.y ＝x10－13.(2021·全国大联考)如图，矩形花园ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ 足够长，则围成该花园所需要篱笆的()A.最大长度为8米B.最大长度为42米C.最小长度为8米D.最小长度为42米4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%，如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y，则y＝k·0.9x(x∈N+)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：lg3≈0.477)()A.9B.10C.11D.125.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同D.前6个月的平均收入为40万元7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为________米.8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.(参考数据：1.02255≈1.118，1.04015≈1.217)10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q 10 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝42a－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＋2，80≤a≤120，，120<a≤160，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，其计算式子为U＝kcq2·(1R＋1R＋x1－x2－1R＋x1－1R－x2)，其中，kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x1－x2＝1＋x1－x2R R＋x1＝R1＋x1R R－x2＝R1－x2R(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为()A.kcq2x1x2R3B.－kcq2x1x2R3C.2kcq2x1x2R3D.－2kcq2x1x2R313.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1).其中星等为m i的天体的亮度为E i(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)()A.1.24B.1.25C.1.26D.1.2714.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A 菌的个数.现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg2≈0.3).则正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).。

高中生数学期末考试总结与反思(通用5篇)精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版高中生数学期末考试总结与反思高中生数学期末考试总结与反思（通用5篇）在日新月异的现代社会中，我们需要很强的教学能力，反思意为自我反省。

那么应当如何写反思呢？以下是小编为大家收集的高中生数学期末考试总结与反思（通用5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。

高中生数学期末考试总结与反思1本学期，我适应新时期教学工作的要求，本学期在学校领导的正确领导下，我不仅圆满地完成了本学期的教学任务，还在业务水平上有了很大的提高。

立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大的进步，现对本学期教学工作作出总结，希望能发扬优点，克服不足，总结检验教训，继往开来，以促进教训工作更上一层楼。

这半年的教学历程，是忙碌的半年；是充满艰辛的半年；这也是收获喜悦的一学期。

现将有关方面总结：1、热爱并忠诚于人民的教学事业，教学态度认真，教风扎实，严格遵守学校的规章制度。

2、认真备课。

不但备学生们而且备教材备教法，根据教材内容及学生们的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都作了详细的记录，认真写好教案。

每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生们注意力的有趣教具，课后及时对该课作出总结，写好教学后记，并认真按搜集每课书的知识要点，归纳成集。

3、增强上课技能，提高教学质量。

使讲解清晰化，条理化，准确化，条理化，准确化，情感化，生动化，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。

在课堂上特别注意调动学生们的积极性，加强师生交流，充分体现学生们的主作用，让学生们学得容易，学得轻松，学得愉快。

注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生们动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生们学习需求和学习能力，让各个层次的学生们都得到提高。

现在学生们普遍反映喜欢上课数学课。

每周坚持集体备课，保证每次都有收获，真正为提高高一级的数学成绩而努力。

要求所有老师用电脑备教案，尽量并且实现资源共享共同研究、共同进步。

学生高二期中考试总结(数学)7篇

学生高二期中考试总结（数学）7篇篇1随着秋风渐起，学期过半，高二期中考试如期而至。

本次考试不仅是对我们前一阶段学习成果的检验，也是对未来学习方向的指引。

数学作为重要科目，对于我们理科生的意义尤为重大。

在此，我将对本次数学考试进行总结，以期更好地规划接下来的学习方向。

一、总体情况分析本次数学考试紧扣教学大纲，试题难度适中，知识点覆盖面广。

从试题分布来看，基础题占比较大，有利于考查学生对基础知识的掌握程度。

同时，试题中也融入了一些综合性题目，对知识的运用和问题解决能力提出了较高要求。

总体来看，全班数学成绩较为稳定，但也暴露出一些问题。

二、成绩回顾与反思在本次考试中，我取得了一定的成绩，但也存在不少问题。

首先，在基础知识的掌握上还存在盲区，部分基础题目失分较多。

这反映出我在平时学习中对基础知识的重视程度不够，复习不够全面。

其次，在解题技巧和方法上还有待提高。

面对一些综合性题目，往往缺乏解题思路和方法，导致失分。

此外，计算能力和思维能力也是影响成绩的重要因素。

在今后的学习中，我需要加强这两方面的训练。

三、问题剖析与改进措施针对以上问题，我进行了深入剖析并制定了相应的改进措施。

首先，要加强对基础知识的学习与掌握。

数学学科的知识点之间联系紧密，任何一个环节的缺失都可能影响整个知识体系。

因此，我要加强对基础知识的学习，尤其是对一些易错点要进行重点突破。

其次，要提高自己的解题技巧和方法。

在今后的学习中，我要加强对典型题目的练习，学会归纳整理解题方法，提高自己的解题能力。

此外，还要加强计算能力和思维能力的训练。

计算是数学的基础，我要通过大量的练习提高自己的计算能力。

同时，还要加强思维训练，提高自己的逻辑思维和抽象思维能力。

四、学习规划与目标针对本次考试暴露出的问题，我制定了以下学习规划与目标：1. 制定详细的学习计划，明确学习目标。

2. 加强基础知识的学习与掌握，尤其是易错点的重点突破。

3. 加强解题技巧和方法的学习，提高解题能力。

广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习函数与导数(学生版)

高二理科数学汕头统考复习――函数与导数基础过关题一、函数1：函数的概念、表示法、定义域、值域、最值； 2：函数的单调性、奇偶性、周期性；3：幂函数、指数函数和对数函数的定义、性质（尤其是单调性）、图象和应用； 4、函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.练习题1、函数2()lg(31)f x x =+的定义域为（）A ．1(,)3-+∞B ．1(,1)3-C ．11(,)33-D ．1(,)3-∞-2、设函数2lg(5)y x x =-的定义域为M ，lg(5)lg y x x =-+的定义域为N ，则（）A ．M N R ⋃=B ．M N =C ．M N ⊇D ．M N ⊆3、已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4()1(),4(2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为( )A ．32B ．16C ．8D ．644、二次函数24y x ax =++在(,1]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．(,1]-∞5、设0.913y =，0.4829y =， 1.531()3y -=，则（） A ．312y y y >> B ．213y y y >> C ．123y y y >> D ．321y y y >>6、在下列图象中，二次函数2y ax bx =+与指数函数()x b y a=的图象只可能是（）7、若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（）A ．14 BCD ．128、已知函数f (x)为偶函数，当x ∈[0,＋∞]时，f (x)＝x －1，则f (x －1)＜0的解集为9、（07山东卷）设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（） A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，A ．B ．C ．二、导数；1常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 。

第84讲、成对数据的统计分析(学生版)2025高考数学一轮复习讲义

第84讲成对数据的统计分析知识梳理知识点一、变量间的相关关系1、变量之间的相关关系当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关系．由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用．我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断．注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2、散点图将样本中的n 个数据点(,)(1,2,,)i i x y i n =⋅⋅⋅描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系．（1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图（1）所示；（2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图（2）所示．3、相关系数若相应于变量x 的取值i x ，变量y 的观测值为(1)i y i n ≤≤，则变量x 与y的相关系数()nnii iixx y y x ynx yr ---==∑∑通常用r 来衡量x 与y 之间的线性关系的强弱，r 的范围为11r -≤≤．（1）当0r >时，表示两个变量正相关；当0r <时，表示两个变量负相关．（2）r 越接近1，表示两个变量的线性相关性越强；r 越接近0，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当||1r =时，所有数据点都在一条直线上．（3）通常当0.75r >时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．知识点二、线性回归1、线性回归线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法．对于一组具有线性相关关系的数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归方程y bx a =+ 的求法为1122211()()nni i i ii i nni i i i x x y y x ynx yb x x x nxa y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 其中，11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑，（x ，y ）称为样本点的中心．2、残差分析对于预报变量y ，通过观测得到的数据称为观测值i y ，通过回归方程得到的 y 称为预测值，观测值减去预测值等于残差，ˆi e称为相应于点(,)i i x y 的残差，即有ˆi e =ˆi i y y -．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．（1）残差图通过残差分析，残差点()ˆ,i i x e比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适．（2）通过残差平方和21ˆ()ni i i Q y y==-∑分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适．（3）相关指数用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：22121ˆ()1()nii i n ii yyR yy ==-=--∑∑．2R 越接近于1，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．知识点三、非线性回归解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程．求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误．1、建立非线性回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；（6）消去新元，得到非线性回归方程；（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．知识点四、独立性检验1、分类变量和列联表（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．（2）列联表：①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．②2×2列联表．一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{1x ，2x }和{1y ，2y }，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为1y 2y 总计1x aba b2x cd c d+总计a c+b d+n a b c d=+++从22⨯列表中，依据a a b +与cc d+的值可直观得出结论：两个变量是否有关系．2、等高条形图（1）等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征．（2）观察等高条形图发现a a b +与cc d+相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．3、独立性检验计算随机变量22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++利用2χ的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验．α0．100．050．0100．0050．001x α2．7063．8416．6357．87910．828【解题方法总结】常见的非线性回归模型（1）指数函数型x y ca =（0a >且1a ≠，0c >）两边取自然对数，()ln ln x y ca =，即ln ln ln y c x a =+，令ln y yx x '=⎧⎨'=⎩，原方程变为ln ln y c x a ''=+，然后按线性回归模型求出ln a ，ln c ．（2）对数函数型ln y b x a=+令ln y y x x'=⎧⎨'=⎩，原方程变为y bx a ''=+，然后按线性回归模型求出b ，a ．（3）幂函数型ny ax =两边取常用对数，()lg lg n y ax =，即lg lg lg y n x a =+，令lg lg y y x x'=⎧⎨'=⎩，原方程变为lg y nx a ''=+，然后按线性回归模型求出n ，lg a ．（4）二次函数型2y bx a=+令2y y x x'=⎧⎨'=⎩，原方程变为y bx a ''=+，然后按线性回归模型求出b ，a ．（5）反比例函数型b y a x=+型令1y y x x '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，原方程变为y bx a ''=+，然后按线性回归模型求出b ，a ．必考题型全归纳题型一：变量间的相关关系例1．（2024·河北·高三校联考期末）下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（）A ．B．C．D ．例2．（2024·天津蓟州·高三校考开学考试）对两个变量x ，y 进行线性相关检验，得线性相关系数10.8995r =，对两个变量u ，v 进行线性相关检验，得线性相关系数20.9568r =-，则下列判断正确的是（）A ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量x 与y 的线性相关性较强B ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量x 与y 的线性相关性较强C ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量u 与v 的线性相关性较强D ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量u 与v 的线性相关性较强例3．（2024·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）在如图所示的散点图中，若去掉点P，则下列说法正确的是（）A．样本相关系数r变大B．变量x与变量y的相关程度变弱C．变量x与变量y呈正相关D．变量x与变量y的相关程度变强变式1．（2024·四川成都·高三统考阶段练习）已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（）A．相关指数误差平方和均方根值0.9498.4910.499B．相关指数误差平方和均方根值0.933 4.1790.436C．相关指数误差平方和均方根值0.997 1.7010.141D．相关指数误差平方和均方根值0.997 2.8990.326变式2．（2024·高三课时练习）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁变式3．（2024·河北石家庄·统考三模）观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）A．B．C．D．变式4．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数r，则线性相关程度最高的是（）甲乙丙丁r0.870.910.580.83A．甲B．乙C．丙D．丁变式5．（2024·全国·高三专题练习）给出下列有关线性回归分析的四个命题：x y；①线性回归直线未必过样本数据点的中心()②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；r 时，两个变量正相关；③当相关系数0④如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1.其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题方法总结】判定两个变量相关性的方法（1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．（2）样本相关系数：当r >0时，正相关；当r <0时，负相关；|r |越接近于1，相关性越强．（3）经验回归方程：当ˆ>0b时，正相关；当ˆ<0b 时，负相关．题型二：一元线性回归模型例4．（2024·天津蓟州·高三校考开学考试）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数(x 天)3456繁殖个数(y 千个)2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为 0.7y x a=+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（）A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15例5．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：年份20182019202020212022年份代码x 12345年人均借阅量y （册）1y 2y 162228（参考数据：5190i i y ==∑）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量y 关于年份代码x 的回归分析模型为 5y x m =+，则2024年的年人均借阅量约为（）A ．31B ．32C ．33D ．34例6．（2024·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知x ，y 的对应值如下表所示：x2468y 11m +21m +33m +11若y 与x 线性相关，且回归直线方程为 1.60.6y x =+，则m =（）A ．2B ．3C ．4D ．5变式6．（2024·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种原本露天种植的草莓搬到了大棚里，获得了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x （单位：箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 102030406080y1y 2y 3y 4y 5y 6y (1)根据散点图可以认为x 与y 之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出线性回归方程ˆˆˆybx a =+（ˆa ，ˆb 用分数表示）(2)某农户种植的草莓主要以300元/箱的价格给当地大型商超供货，多余的草莓全部以200元/箱的价格销售给当地小商贩．据统计，往年1月份当地大型商超草莓的需求量为50箱、100箱、150箱、200箱的概率分别为110，15，12，15，根据回归方程以及往年商超草莓的需求情况进行预测，求今年1月份农户草莓的种植量为200箱时所获得的利润情况．（最后结果精确到个位）附：()()61790i i i x x y y =--=∑，6154i i y ==∑，在线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．变式7．（2024·江西·高三统考开学考试）某新能源汽车销售部对今年1月至7月的销售量进行统计与分析，因不慎丢失一些数据，现整理出如下统计表与一些分析数据：月份1月2月3月4月5月6月7月月份代号x1234567销售量y （单位：万辆）15.6m ns37.739.644.5其中31.2y =.(1)若m ，n ，s 成递增的等差数列，求从7个月的销售量中任取1个，月销售量不高于27万辆的概率；(2)若()721670.48i i y y =-=∑，x 与y 的样本相关系数0.99r =，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测今年8月份的销售量（ˆb 精确到0.1）.附：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii niix x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.2.65≈25.89≈.变式8．（2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6~22℃℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数y （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8~14℃℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：其中24y =，71()()70i i i x x y y =--=∑，721()=176i i y y =-∑．(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑y bx a =+$$$，其中121((niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$8.77≈．变式9．（2024·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据(),i i x y （1,2,,40i = ），部分数据如下：x … 2.7 3.6 3.2 3.9…y…50.663.752.154.3…经计算得：401160==∑i i x ，4012400==∑i i y ，()4021160=-=∑i i x x ，()()4011280=--=∑i i i x x y y .(1)利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；(2)该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.设前者与后者的斜率分别为1k ，2k ，比较1k ，2k 的大小关系，并证明.附：y 关于x 的回归方程 y abx =+ 中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-$$，ni ix y nx yr -=∑【解题方法总结】求经验回归方程的步骤题型三：非线性回归例7．（2024·湖南·校联考模拟预测）若需要刻画预报变量w 和解释变量x 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量w 随着解释变量x 的增大而减小，并且随着解释变量x 的增大，预报变量w 大致趋于一个确定的值，为拟合w 和x 之间的关系，应使用以下回归方程中的（0b >，e 为自然对数的底数）（）A ．w bx a=+B ．ln w b x a=-+C ．w a=-D ．e xw b a-=+例8．（2024·全国·高三专题练习）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x 的关系可以用模型21e c xy c =（其中e 为自然对数的底数）拟合，设ln z y =，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y /千万元7.4112036.666.7ln z y=22.433.64由上表可得经验回归方程0.52z x a =+，则2025年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（）A ． 5.08e B ． 5.6e C ． 6.12e D ． 6.5e例9．（多选题）（2024·福建厦门·厦门一中校考三模）在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（）A ．212y c x c x=+B ．12x c y x c +=+C ．()12ln y c x c =++D ．21x c y c e+=变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知变量的关系可以用模型e mx y k =拟合，设ln z y =，其变换后得到一组数据如下．由上表可得线性回归方程3z x a =+，则k =（）x 12345z2451014A ．3e -B ．2e -C ．2e D ．3e 变式11．（2024·全国·高三专题练习）某校课外学习小组研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，由实验数据得到如图所示的散点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．()20y a bx b =+>C ．e xy a b =+D ．ln y a b x=+变式12．（2024·全国·高二专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q 元/千克）与上市时间t （单位：天）的数据如下表所示：时间t /（单位：天）102070销售价格Q （单位：元/千克）10050100根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q 与上市时间t 的变化关系：2,,,log t b Q at b Q at bt c Q a b Q a t =+=++=⋅=⋅.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为（）A ．6月5日B ．6月15日C ．6月25日D ．7月5日变式13．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x （单位：mg ），体内抗体数量为y （单位：AU/mL ）.101i ii t z=∑101ii t=∑101ii z=∑1021ii t=∑29.2121634.4(1)根据经验，我们选择d y cx =作为体内抗体数量y 关于抗体药物摄入量x 的回归方程，将d y cx =两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，可以看出ln x 与ln y 具有线性相关关系，试根据参考数据建立y 关于x 的回归方程，并预测抗体药物摄入量为25mg 时，体内抗体数量y 的值；(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z 大幅提高，经试验统计得z 服从正态分布()20.48,0.03N :，那这种抗体药物的有效率z 超过0.54的概率约为多少？附：①对于一组数据()(),1,2,,10i i u v i =L ，其回归直线 vu a β=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑， av u β=- ；②若随机变量()2~,Z N μσ，则有()0.6826P Z μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+≈，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈；③取e 2.7≈.变式14．（2024·江西赣州·高三校考阶段练习）为了研究某种细菌随天数x 变化的繁殖个数y ，收集数据如下：天数x 123456繁殖个数y612254995190(1)在图中作出繁殖个数y 关于天数x 变化的散点图，并由散点图判断ˆˆy bxa =+（ ˆ,ab 为常数）与 21e ˆc xc y =（ 12,c c 为常数，且 120,0c c >≠）哪一个适宜作为繁殖个数y 关于天数x 变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程 21e ˆc xc y =（ 12,c c 为常数，且 120,0c c >≠），令ln z y =，可以得到繁殖个数的对数z 关于天数x 具有线性关系及一些统计量的值．xyz()621ii x x =-∑()()61ii i xx y y =--∑()()61ii i xx z z =--∑3.5062.83 3.5317.50596.5712.09（ⅰ）证明：“对于非线性．．．回归方程 21e ˆc x c y =，令ln z y =，可以得到繁殖个数的对数z 关于天数x 具有线性．．关系（即ˆˆˆ,ˆˆ,z x βαβα=+为常数）”；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线方程ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑．变式15．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在正常生产条件下，根据经验，可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布2(0.54,0.02)N ，而化肥施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异.(1)假设生产条件正常，记X 表示化肥的有效利用率，求(0.56)PX ≥；(2)课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为x （单位：公斤），粮食亩产量为y （单位：百公斤）参考数据：101i ii x y =∑101ii x =∑101ii y =∑1021ii x=∑101ii i t z =∑101ii t =∑101ii z =∑1021ii t=∑65091.552.51478.630.5151546.5ln i i t x =，ln (1i zi y i ==，2，⋯，10).（i ）根据散点图判断，y a bx =+与d y cx =，哪一个适宜作为该农作物亩产量y 关于每亩化肥施用量x 的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；（ii ）根据（i ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y 的值.(e 2.7)≈附：①对于一组数据(,)(1i i u v i =，2，3，⋯，)n ，其回归直线ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121ˆni i i nii u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆˆv u αβ=-；②若随机变量2(,)X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈.变式16．（2024·重庆·高三校联考开学考试）某公司为了解年研发资金投入量x （单位:亿元）对年销售额y （单位:亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量xi 和年销售额yi 的数据，进行了对比分析，建立了两个模型:①2ˆˆy x αβ=+，②ˆˆe x t y λ+=$，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令()2,,l 1n ,2,3,,12i i i i x i u v y =⋅⋅⋅==，经计算得如下数据:xy()1221i i x x =-∑()1221i i y y=-∑uv20667724604.20()1221ii uu=-∑()()121iii u u y y =--∑()1221ii v v =-∑()()121iii x x v v =--∑312502153.0814(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?(2)（ⅰ）根据分析及表中数据，建立y 关于x 的回归方程;（ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元?附:①相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆy abx =+$中公式分别为()()()1122211ˆˆˆ，n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybay b x x x xnx====---⋅===-⋅--∑∑∑∑;②参考数据： 4.499830849.4868,e 90=⨯≈≈.变式17．（2024·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数()1,2,,10i y i = 的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.101ii x=∑101ii t=∑101ii y=∑101ii z=∑()1021ii x x =-∑36054.5136044384()1021ii tt=-∑()()101ii i tt y y =--∑()()101iii x x zz =--∑()()101iii x x y y =--∑3588326430表中1011ln ,10i i i ii t z y z z ====∑(1)根据散点图判断，,y a bx y n =+=+21e c xy c =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型并求出y 关于x 回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑.变式18．（2024·广西南宁·南宁三中校考一模）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018－2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1-5．年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程；(2)根据上述数据求得y 关于x 的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模．参考数据：v51i ii x v=∑0.524e 0.472e 71.61.9433.82 1.7 1.626.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，L ，(),n n u v 其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121ni ii ni i u v nu vu nuβ==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．变式19．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通､交流乃至整个生活方式.4G 网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求，而5G 作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实､虚拟现实､超高清（3D ）视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物､物与物的通信问题，从而满足移动医疗､车联网､智能家居､工业控制､环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对5G 网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x （单位：元）与购买人数y （单位：万人）的数据如下表：套餐A B C D E F 月资费x （元）384858687888购买人数y （万人）16.818.820.722.424.025.5对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：61iii v ω=∑61ii v=∑61ii ω=∑621ii v=∑75.324.618.3101.4其中ln ,ln i i i i v x y ω==，且绘图发现，散点()(),16i i v i ω≤≤集中在一条直线附近.(1)根据所给数据，求出y 关于x 的回归方程；(2)已知流量套餐受关注度通过指标()36x T x y +=来测定，当()8568,7e 5e T x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v v v ωωω ，其回归方程bv a ω=+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()121ˆˆ,niii ni i v v ba bvv v ωωω==-⋅-==--∑∑.【解题方法总结】换元法变成一元线性回归模型题型四：列联表与独立性检验例10．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（）A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中选择物理学科的人数较多D ．样本中男生人数少于女生人数例11．（2024·全国·高三专题练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的33+模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）选物理不选物理总计男生340110450女生140210350总计480320800表一选生物不选生物总计男生150300450女生150200350总计300500800表二试根据小概率值0.005α=的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（）附:()222.n ad bc n a b c d P x a b c d a c b d αχαχ-==+++=≥++++（），（）（）（）（）α0.150.100.050.0250.010.0050.001ax 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．选物理与性别有关，选生物与性别有关B ．选物理与性别无关，选生物与性别有关C ．选物理与性别有关，选生物与性别无关D ．选物理与性别无关，选生物与性别无关例12．（2024·全国·高三专题练习）通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有16的男大学生“不看”，有13的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（）A ．150B ．170C ．240D ．175变式20．（2024·全国·高三专题练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为()*5m m ∈N 人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的45，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的35.零假设为0H ：喜欢短视频和性别相互独立.若依据0.05α=的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m 的最小值为（）附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，附表：α0.050.01x α3.841 6.635A ．7B ．8C ．9D ．10变式21．（2024·全国·高三专题练习）在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：优秀非优秀合计甲班人数50乙班人数20。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6节：对数与对数函数(学生版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图像；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.1.对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图像与性质a >10<a <1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log a m b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1，0)，且过点(a ，1)函数图像只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x .()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.()(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.()(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .()2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.63.(2021·天津卷)设a ＝log 20.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图像恒过的定点是________.5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy＝________.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝()A.116B.19C.18D.162.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10－10.13.(2021·天津卷)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝()A.－1B.lg 7C.1D.log 7104.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.考点二对数函数的图像及应用例1(1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图像大致为()(2)若方程4x ＝log a x 0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.训练1(1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1比较大小例2(1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c>b>aD.c>a>b(2)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2<0，则下列关系中正确的是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b(3)(2021·衡水中学检测)已知a，b＝log120.2，c＝a b，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a角度2解对数不等式例3(1)(2022·太原质检)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________.(2)不等式log a(a2＋1)<log a(2a)<0，则a的取值范围是________.角度3对数型函数性质的综合应用例4已知函数f(x)＝log(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.训练2(1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________.(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋43x ＋的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是()A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f (lg 5)＋()A.2B.4C.6D.84.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是()A.c <b <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <ca>0，且a≠1)的图像可能是5.在同一直角坐标系中，函数y＝1a x，y＝log()6.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法：①f(x)的图像关于原点对称；②f(x)的图像关于y轴对称；③f(x)的最大值为0；④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是()A.①③B.①④C.②③D.②④7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则b＝________.8.计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝________.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围.11.已知函数f(x)＝log21＋ax(a为常数)是奇函数.x－1(1)求a的值与函数f(x)的定义域；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围.12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln5≈1.609)()A.11hB.21hC.31hD.41h13.已知函数f(x)log2（x－1），x>1，2x，x≤1，且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围为()A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f(x)＝log2(x2＋a＋x)(a∈R)满足________.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－x2＋1，证明：g(x2－x)≤54.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.。

倾斜角与斜率5种常见考法归类(58题)(学生版)2025学年高二数学高频考点与解题(人教A版选修一)

专题2.1.1 倾斜角与斜率5种常见考法归类（58题）题型一求直线的倾斜角题型二求直线的斜率（一）由定义求斜率（二）由斜率公式求斜率（三）由方向向量求斜率（四）几何图形中的斜率问题题型三斜率与倾斜角的关系（一）由倾斜角求斜率值（范围）（二）由斜率求倾斜角的值（范围）题型四斜率公式的应用（一）利用斜率求参数（二）利用直线斜率处理共线问题（三）比较大小（四）斜率公式的几何意义的应用题型五直线与线段的相交关系求斜率的范围以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.（1）当直线l 与x 轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为0 ；所以倾斜角的取值范围为：0180α≤< ；特别地，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为90.（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.2．对直线倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，当直线与x 轴相交时，直线的倾斜角是由x 轴绕直线与x 轴交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．题型一求直线的倾斜角解题策略：求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．（2024··江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（）A ．()0,πB ．[0,π)C ．(0,π]D ．[0,]p 2．（2024··高二课时练习）对于下列命题：①若q 是直线l 的倾斜角，则0180q °≤<°；②若直线倾斜角为α，则它斜率tan k α=；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43.（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图中α能表示直线l 的倾斜角的是（）A ．B ．C ．D ．4.（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线l 经过()1,4A -，()1,2B 两点，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π45．（2024··上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线l 的一个方向向量为(-，则它的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6.（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的倾斜角为α，则与l 关于x 轴对称的直线的倾斜角为（）A ．αB ．90α°-C ．180α°-D ．90α°+7．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线1l 的倾斜角115α=，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向所成的角为120 ，如图，则直线2l 的倾斜角为________．8．（2024·江苏·高二假期作业）如图，直线l 的倾斜角为（）A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°9.（2024·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）.A ．090α≤<B ．0180α<<C ．90180α≤<D ．90180α<<10．【多选】（2024··高二课时练习）若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为α，直线l 绕点A 顺时针旋转45°后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角可能为（）A ．45α+°B ．135α+°C ．45α-°D ．135α°-把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.注：（1）倾斜角α不是90 的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；（2）倾斜角90α= 时，直线的斜率不存在。

空间向量与立体几何选填压轴题(学生版) 2024-2025学年高二数学期中期末挑战(人教选修一)

特训02 空间向量与立体几何选填压轴题一、单选题1．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,]63ππ时，直线AB 和CD 所成角为a ，则cos a 的最大值为（）A B C D 2．已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 满足1BP BC BA l m =+uuu r uuu r uuu r，其中[]0,1l Î，[]0,1m Î，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的轨迹长度是（）A ．3B C ．D ．23．正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA O ==为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．4．以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD △和ACD V 折成60o 的二面角.若AB ，()1DM xDA yDB x y DC =++--uuuu r uuu r uuu r uuu r，其中,x y ÎR ，则DM uuuu r 的最小值为（）A B C D 5．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，1BP BB l =uuu r uuur ，1BQ BC m =uuur ，l ，()0,1m Î，则下列说法不正确的是（）A ．l m =时，11//BC 平面1D PQ B ．12l =时，四面体1APQD 的体积为定值C ．12m =时，()0,1l $Î，使得1A Q ^平面1D PA D ．若三棱锥P CBD -的外接球表面积为414π，则34l =6．如图，若P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则下列结论正确的是（）A ．当P 在平面11BCCB 内运动时，四棱锥11P AA D D -的体积变化B ．当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,62éùêúëûC ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为2π+D ．若F 是棱11A B 的中点，当P 在底面ABCD 内运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 长度的最小值是7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，BC ，1CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =.则下列说法正确的是（）A ．存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交B ．存在点H ，使得直线DH ^平面EFGC ．直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3D ．平面EFG 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1BD 上的动点，直线m 为平面1A DP 与平面1B CP 的交线，现有如下说法①不存在点P ，使得1//BB 平面1A DP ②存在点P ，使得1B P ^平面1A DP③当点P 不是1BD 的中点时，都有//m 平面11A B CD ④当点P 不是1BD 的中点时，都有m ^平面1ABD 其中正确的说法有（）A ．①③B ．③④C ．②③D ．①④9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A ．不存在点E ，使得1EC D E^B ．空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C ．过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D ．过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1B C 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．直线1A P 与BD 所成的角不可能是6pB ．当12B P PC =时，点1D 到平面1A BP 的距离为23C ．当12B P PC =时，AP =D ．若1113B P BC =uuur uuur ,则二面角11B A P B --11．如图所示的几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，设G 是圆弧 CE的中点，H 是圆弧 DF 上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（）A ．存在点H ，使得EH BG ^B ．存在点H ，使得//EH BDC ．存在点H ，使得//EH 平面BDGD ．存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°12．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E ，F 分别是棱AD ，1BB 的中点，G 在棱AB 上移动，则（）A ．对于任意点G ，//OD 平面EFGB ．直线EF 被球OC ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2D ．当G 为AB 的中点时，过E ，F ，G 的平面截该正方体所得截面的面积为二、多选题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A ．若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的线段B ．不存在点Q ，便得1D Q ^平面1A PDC ．三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D ．若1D Q =且1D Q 与平面1A PD 所成的角最大时，三棱锥1Q A PD -的体积为1914．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是棱11,AB A B 的中点，动点P 满足AP AB AD l m =+uuu r uuu r uuu r，其中,(0,1]l m Î，则下列命题正确的是（）A ．若2l m =，则平面1AB P ^平面DEFB ．若l m =，则1D P 与11AC 所成角的取值范围为ππ,42éùêúëûC ．若12l m =-，则1PD ∥平面11A C ED ．若32l m +=，则线段PF 15．已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则以下说法正确的是（）A ．当P 在平面11BCCB 上运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变B ．当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32éùêúëûC ．若点P 在底面ABCD 上运动，则使直线1A P 与平面ABCD 所成的角为45o 的点P 的轨迹为椭圆D ．若F 是11A B 的中点，点P 在底面ABCD 上运动时，不存在点P 满足//PF 平面11B CD 16．已知棱长为1的正方体1111ABCD A BCD -，以正方体中心O 为球心的球与正方体的各条棱都相切，点P 为球面上的动点，则下列说法正确的是（）A ．球O的半径R =B ．球O1-C ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则13,44PA PB éù×Î-êúëûuuu r uuu r D ．若点P 在球O 的正方体外部（含正方体表面）运动，则17,44PA PB éù×Î-êúëûuuu r uuu r 三、填空题17．正方体1111ABCD A B C D －的棱长为3，P 是侧面11ADD A （包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE Ð=Ð，且APB △的面积是DPE V 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是．18．已知半径为1的球面上有不重合的四点,,,A B C D ，则AB BC BC CA CA AB ×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r和AB BC BC CD CD DA DA AB ×+×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r的取值范围分别为和 .19．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1,AD BB 的中点. 点P 为正方体表面上的动点，满足1A P EF ^. 给出下列四个结论：①线段1A P长度的最大值为②存在点P ，使得//DP EF ；③存在点P ，使得1B P DP =；④EPF V 是等腰三角形.其中，所有正确结论的序号是．20．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 上一动点，且不与端点重合，F ，G 分别为11D C ，11B C 的中点，给出下列四个结论：①平面1ECC ^平面EFG ；②平面EFG 可能经过1BB 的三等分点；③在线段AC 上的任意点H （不与端点重合），存在点E 使得1A H ^平面EFG ；④若E 为棱1AA 的中点，则平面EFG 与正方体所形成的截面为五边形，且周长为其中所有正确结论的序号是 .21．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P 与点A ，1C 不重合）．给出下列结论：①存在点P ，使得平面1A DP ^平面11AA C ；②对任意点P ，都有1A P DP =；③1A DP △④若1θ是平面1A DP 与平面1111D C B A 的夹角，2θ是平面1A DP 与平面11BB C C 的夹角，则对任意点P ，都有12θθ¹．其中所有正确结论的序号是．22．如图，若正方体的棱长为2，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上的一个动点（含边界），Q 是棱1CC 的中点，则下列结论中正确结论的序号是．①若保持160PQC Ð=o ，则点P 在底面1111D C B A ②三棱锥1D PBQ -体积的最大值为43③若PQ BD ^，则二面角11B PQ C --④若PQ BD ⊥，则AB 与PQ 所成角的余弦值的最大值为23。

期末考试学生自我分析总结范文（5篇）

期末考试学生自我分析总结范文本次期末考试学校领导一如既往地给予高度重视，把严肃考风考纪作为一项重要工作来抓。

刘健校长主持召开了全校考前动员会，参加人员包括：全体教师及各班级学干。

会议要求切实加强考风考纪建设，教导处要认真做好期末考试各项组织安排，要抓好学生诚信考试教育，要及时做好对考场秩序和环境卫生的管理，同学们要自觉遵守学校的各项考试纪律，各方同心同力，确保期末考试顺利有序进行。

本次期末考试教导处采取了一些创新做法：为了进一步规范考务管理，制定了《监考操作规程》并于考前张贴。

经过共同努力，本次期末考试工作圆满顺利完成，并取得零作弊的明显成效。

现具体总结如下：一、考试组织工作1、成立巡考组，对监考进行监督和指导为确保考试顺利进行，成立巡考小组，由刘健校长担任总巡考，教导主任担任巡考，负责考试的巡查与监督，并将巡考责任落实到专人专区。

2、考前准备工作(1)提前张贴好考试日程表，组织试卷的分装，并认真检查核对，做到考场安排和试卷分装零差错;(2)改进监考过程，新编了《考试记录表》并配发各考场，对监考过程进一步规范，同时在《考试记录表》中提供准确的考生名单，方便监考教师核对考生信息，并使考试过程有据可查。

3、考试过程情况校领导对考试工作非常重视，亲临考试第一线巡视指导，了解考情，提出意见和建议，推动了考试工作的改进和完善。

本次考试，巡考人员基本按时到岗，对监考人员、考生、考试组织等方面情况进行了监督检查，对存在的问题及时地提出了意见或建议。

本次考试，绝大部分监考教师都能按时到岗，认真履行监考职责，较好地维护考试纪律。

二、工作成效领导的重视，师生的共同努力，创造了良好的考试氛围，考风考纪有了显著的改善，首次实现零违纪、零作弊。

三、存在的问题。

虽然本次考风考纪有了显著的改善，但在本次考试过程中，也还存在以下方面的不足：1、仍有个别学生未带齐考试工具参加考试，以致考试中借这借那。

2、一(2)班级有____位监考教师在考试开始____分钟后已经打盹，四年级考场有____位监考教师看手机;3、个别巡考未提前到位或未全程监督检查;四、改进措施针对此次考试组织实施过程中出现的问题，需要从以下几方面加以改进：1、对学生继续加强考试纪律教育;2、对监考教师的监考职责需继续强调;3、需进一步加强巡考力度;4、考试的顺利进行需要相关职能部门的支持。

广东省汕头市东里中学2012-2013学年高二理科数学期末统考复习解析几何(学生版)

高二理科数学汕头统考复习――解析几何基础过关题一、直线和圆1、直线方程的五种形式及相互转化：(1)、点斜式：设直线l 过定点)(00y x P ，，斜率为k ，则直线l 的方程为__________________； (2)、斜截式：设直线l 斜率为k ，在y 轴截距为b ，则直线l 的方程为___________________； (3)、两点式：(4)、截距式：(5)、一般式：直线l 的一般式方程为_______________________； 2、两直线平行⇔两直线的倾斜角相等⇔两直线的斜率相等或两直线的斜率均不存在；两直线垂直⇔两直线的斜率互为负倒数或一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0； 3、两点)( )(2211y x y x ，，　，间的距离：___________________；点)(00y x P ，到直线l ：0=++C By Ax 的距离：_______________________；4、圆的定义：平面上到定点距离等于定长的动点的轨迹；圆的标准方程：___________________，圆的一般方程：____________________________ 练习题1．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．072=+-y xB ．012=-+y xC ．250x y --=D ．052=-+y x 2、如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点(2,0)C 。

（1）直线CD 的方程为；（2）AB 边上的高CE 所在直线的方程为3 、已知点(a,2)（a>0）到直线l ：x-y+3=0的距离为1，则a 等于 ( ) (A).2 (B). 22- (C).12- (D). 1+24、经过圆()()421:22=-+y x C ＋的圆心且斜率为1的直线方程为（）A 、03=+-y xB 、03=--y xC 、01=-+y xD 、03=++y x 5、过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线032=--y x 上的圆的方程为二、圆锥曲线1．定义：⑴椭圆：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+；⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-；⑶抛物线：略2、标准方程。

专题23 双曲线(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题23 双曲线（解答题压轴题）
目录
①双曲线的弦长问题 (1)
②双曲线的中点弦问题 (2)
③双曲线中的参数及范围问题 (4)
④双曲线中的最值问题 (6)
⑤双曲线中面积问题 (8)
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 (10)
⑦双曲线中向量问题 (12)
⑧双曲线综合问题 (13)
①双曲线的弦长问题
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．
(1)求点N的轨迹方程；
(2)记点N的轨迹为曲线Γ，过点
31
,
22
P⎛⎫
⎪
⎝⎭
是否存在一条直线l，
线段CD中点．
③双曲线中的参数及范围问题
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线:1l y kx =-与双曲线P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
④双曲线中的最值问题
⑤双曲线中面积问题
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为
(3)证明：直线MN过定点.
⑦双曲线中向量问题
⑧双曲线综合问题
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线
积恒为8，试探究：是否存在总与直线若不存在，说明理由.。

圆与方程解答压轴题(六大题型)(学生版) 2024-2025学年高二数学期中期末挑战(人教选修一)

特训04 圆与方程解答压轴题（六大题型）题型1：定值问题1．已知圆C 过点()2,6A ，圆心在直线1y x =+上，截y轴弦长为．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 半径小于10，点D 在该圆上运动，点()3,2B ，记M 为过B 、D 两点的弦的中点，求M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线BD 与直线:2l y x =-交于点N ，证明：BM BN ×恒为定值．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上的圆C 经过点()3,0A ，且被y轴截得的弦长为坐标原点O 的直线l 与圆C 交于,M N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)求当满足20OM ON +=uuuu r uuu r r 时对应的直线l 的方程；(3)若点()5,0P -，直线PM 与圆C 的另一个交点为R ，直线PN 与圆C 的另一个交点为S ，分别记直线l 、直线RS 的斜率为1k ，2k ，求证：21k k 为定值．3．已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,4，端点A 的运动轨迹是曲线C ，线段AB 的中点M 的轨迹方程是()()22421x y -+-=．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为k 的直线l 与曲线C 相交于两点E ，F （异于原点O ）直线OE ，OF 的斜率分别为1k ，2k ，且125k k =，①证明：直线l 过定点P ，并求出点P 的坐标；②若BD EF ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．题型2：定点问题4．已知线段AB 的端点B 的坐标是()64，，端点A 的运动轨迹是曲线C ，线段AB 的中点M 的轨迹方程是()()22421x y -+-=．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为k 的直线l 与曲线C 相交于异于原点O 的两点E F ，，直线OE OF ，的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =．证明：直线l 恒过定点．5．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的正东方向设立了两个观测站A 和B （点A 在点O ､点B 之间），它们到平台O 的距离分别为1海里和4海里，记海平面上到两观测站的距离,PA PB 之比为12的点P 的轨迹为曲线E ，规定曲线E 及其内部区域为安全预警区（如图）.(1)以O 为坐标原点，1海里为单位长度，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，求曲线E 的方程；(2)海平面上有巡航观察点Q 可以在过点B 垂直于AB 的直线L 上运动.（i ）若M 为PB 的中点，求PM PQ +的最小值；（ii ）过Q 作直线,QC QD 与曲线E 相切于点,C D .证明：直线CD 过定点.题型3：最值问题6．已知以点()2,0C t t t æö>ç÷èø为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求证：AOB V 的面积为定值．(2)设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若=OM ON ，求圆C 的方程．(3)在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标.7．已知圆C ：2220x y tx y +--=（0t >）分别与x 轴、y 轴交于点P ，Q （均异于坐标原点O ），过点()1,0E 作两条直线1l ，2l ，斜率分别为1k ，2k ，且121k k =-，直线1l 与y 轴交于点F ，直线2l 与圆C 交于A ，B 两点．(1)若()6,0P ，6AB =，求直线2l 的方程；(2)若原点O 到直线PQABF △面积的最小值．8．如图，已知圆M ：22430x y x +-+=，点()1,P t -为直线l ：1x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)1t =时，求PA 、PB 方程（点A 在点B 上方）；(2)求线段AB 中点的轨迹方程；(3)若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于S ，T 两点，求ST 的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，P 为直线4y =上一动点，圆22:4O x y +=与x 轴的交点分别为,M N 点，圆O 与y 轴的交点分别为,S T 点.(1)若MTP △为等腰三角形，求P 点坐标;(2)若直线,PT PS 分别交圆O 于,A B 两点.①求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标;②求四边形ASBT 面积的最大值.题型4：取值范围问题10．如图，经过原点O 的直线与圆()22:14M x y ++=相交于A ，B 两点，过点()1,0C 且与AB 垂直的直线与圆M 的另一个交点为D ．(1)当点B 坐标为()1,2--时，求直线CD 的方程；(2)记点A 关于x 轴对称点为F （异于点A ，B ），求证：直线BF 恒过x 轴上一定点，并求出该定点坐标；(3)求四边形ABCD 的面积S 的取值范围．11．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率e =P 为椭圆C 上任意一点，12PF F V 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，且l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，若弦长MN 的取值范围为83éêë，求OM ON ×uuuu r uuu r 的取值范围．题型5：存在性问题12．已知圆22:4O x y +=和圆22:(4)1C x y +-=.(1)判断圆O 和圆C 的位置关系；(2)过圆C 的圆心C 作圆O 的切线l ，求切线l 的方程；(3)过圆C 的圆心C 作动直线m 交圆O 于A ，B 两点.试问：在以AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M 若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()()4,0,1,0S T ，动点P 满足2PS PT =，设点P 的轨迹为C .如图，动直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B （,A B 均在x 轴上方），且180ATO BTO ∠+∠= .(1)求曲线C 的方程；(2)当A 为曲线C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；(3)是否存在一个定点，使得直线l 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.题型6：其他问题14．已知圆O 的方程为224x y +=．(1)求过点()2,1-的圆O 的切线方程；(2)已知两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中R a Î，0m >．P 为圆O 上任意一点，PA n PB =（n 为常数），①求常数n 的值；②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．附：可能用到的不等关系参考：（1）若0a >，0b >，1b a £，则b a £；（2）若a b >，且()()0x a x b --£，则有b x a ££．15．平面直角坐标系中，圆M 经过点)A，()0,4B ，()2,2C -.(1)求圆M 的标准方程；(2)设D (0,1)，过点D 作直线1l ，交圆M 于PQ 两点，PQ 不在y 轴上.①过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；②设直线OP ，BQ 相交于点N ，试证明点N 在定直线上，求出该直线方程.16．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中()()2,0,1,0A B -且2PA PB =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若点P 在（1）的轨迹上运动，点M 为AP 的中点，求点M 的轨迹方程;(3)若点(),P x y 在（1）的轨迹上运动，求46y t x +=-的取值范围.。

第21章《一元二次方程》章节总复习(学生版)

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练第21章《一元二次方程》章节总复习（知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练）导图指引 (2)新知精讲梳理 (2)高频易错知识点拨 (4)考点讲练1：一元二次方程的定义 (5)考点讲练2：一元二次方程的一般形式 (6)考点讲练3：一元二次方程的解 (7)考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 (7)考点讲练5：解一元二次方程-配方法 (8)考点讲练6：解一元二次方程-公式法 (9)考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 (9)考点讲练8：换元法解一元二次方程 (10)考点讲练9：根的判别式 (11)考点讲练10：根与系数的关系考点讲练11：由实际问题抽象出一元二次方程 (13)考点讲练12：一元二次方程的应用 (14)考点讲练13：配方法的应用 (15)中等题真题汇编练 (17)培优题真题汇编练 (19)导图指引新知精讲梳理知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只，并且未知数的的，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使叫做一元二次方程的解，也叫做细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是，否则一定一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的，看是否具备另两个条件：①一个；②未知数的最高次数为对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想降次一元二次方程−−−→2．基本解法细节剖析：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.细节剖析：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是审题；二是把握问题中的三是的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清等)；设(设，有时会用)；列(根据题目中的，)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.细节剖析：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为，然后由数学问题的解决而获得对的解决.高频易错知识点拨易错知识点01：一元二次方程的定义与识别定义理解不清：学生可能无法准确理解一元二次方程必须同时满足的三个条件：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。

高二数学上学期期末复习题4(理科)(学生)

1. A . C .2. 73A.－14B.－4 C.4 D.144．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则 ( )A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝05．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若 1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为A ．2B ．3C ．12D ．136. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则 ( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面7．设α、β、γ为平面，l 、m 、n 为直线，则m ⊥β的一个充分条件为A ．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥lB ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥αC ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γD ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α8．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB ．若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βD ．若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥β9．下已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，有下列命题： ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ；③若,m m n α⊥⊥，则α//n ； ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；其中真命题的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值是( )．A ．0B.37070 C ．－37070D.707011．已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝A. －12B. －2C. 0D. 412．已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|，则P 点的轨迹是( )．A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆13．已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0的圆心在直线x ＋y ＝1上，则D 与E 的关系是 14. 直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝15．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．16．如图是一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为17．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．18．已知F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.当点P 在y轴上运动时，N 点的轨迹C 的方程为________．19．如图，四棱锥P ABCD -中，,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥, ,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点.(Ⅰ)求证：CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证：EFG EMN ⊥平面平面.20．如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且有|PQ |＝|P A |.(1)求a 、b 间关系；(2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．21．如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，E 是AB 的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，2AD =，7AM =．（Ⅰ）求证：AC ⊥BN ；（Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ；（Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.22．在平面直角坐标系xOy 中，动点P到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.ABCD ENM。

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学科教师辅导讲义
4、已知向量a r 和b r 夹角为120°，且|a r |=2|b r |=5，则（2a r －b r ）·a r
=___________。

5、若数列{}n a 满足：,4
1
1=
a 且对任意正整数n ，都有11a a a n n =+，则 (
＋
＋···＋
)＝
6、已知正方形ABCD 的边长为1，则
＝
7、已知矩阵 ⎝⎛=11A 32 ⎪
⎪⎭⎫13， ⎝⎛-=101B ⎪
⎪⎪⎭
⎫-111，则_______=AB 8、根据框图，写出所打印数列{}n a 的递推公式
9、不等式12x 01
≤x
的解集是___________
10、已知向量＝(1, 1)，若与非零向量＋2 方向相同，则·的范围是 11、已知数列{}n a 的通项公式为：＝
＋
n －25，(n
)，
是表示数列{}n a 的前n 项和，则
的最小值
为。

12、对n 个向量a 1→，a 2→，……，a n →，若存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，……，k n ，使得k 1a 1→＋k 2a 2→＋……＋k n a n →＝0，则称向量a 1→，a 2→，……，a n →是“线性相关”的，按此规定，能说明平面向量1(2,0)a =u u r ，2(1,1)a =-u u r ，3(2,2)a =u u r “线
性相关”的实数k 1，k 2，k 3依次可以取____________。

二、选择题：（每题4分，满分16分）
13、下列命题中，正确的是………………………………………（）
（A ）||||||b a b a ⋅=⋅ （B ）若)(c b a -⊥，则c a b a ⋅=⋅ （C ）2
a ≥2
||a （D ）c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅)()(
14、设b a ，为非零向量，则下列命题中，真命题的个数是…………（）
A ←1
打印A
A ←A ×2
A ←A +1
第8题
21、(12分)已知数列{}n a 中，12212121,,n n n n a a qa a a d -+===+（,q d R ∈） (1)若2,1q d ==-，求342006,,a a a 并猜测；
(2)若{}{}212n n a a -成等比数列，成等差数列，求q, d 满足得条件；
(3)一个质点从原点出发，依次安向右，向上，向左，向下的方向交替运动，第n 次运动的位移是n a ，质点到达点n P ，设点4n P 的横坐标为4n x ，若42
0,lim 3
n x d x →∞
==
，求q 。

【课堂回顾】（填写本节课所涉及到的知识点学生掌握不是很好的，下节课需要加强的部分）
【课后练习】（可做模拟试卷用）
一、选择题
1.在等差数列{}n a ，若,m n a n a m ==，则m n a +可用,m n 表示为（） A m n + B m n - C mn D 0
2.若,a b r r 为非零向量，则a b a b
=r r r r 是a r ∥b r
的（）
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充分必要条件
D 非充分非必要条件
3.若,,a b c r r r
表示三个任意向量，m R ∈，则下列运算错误的是（）
A ()()a b c a b c ++=++r r r r r r
B ()
a b c a b b c +=+r r r r r r r
g
g C ()m a b ma mb +=+r r r r D ()()
a b c a b c +=+r r r r r r g
g 4.按程序图所输出的值为（）
A 4950
B 5050
C 2500
D 2601。