第六章 空间点阵

3


4 正点阵空间的位矢 R uvw u a v b w c 长度表示为 a u u 2 R uvw R uvw R uvw u , v , w b a b c v u , v , w G v w w c 5 h1 k 1l1 与 h 2 k 2 l 2 两平面夹角为两倒易矢 rh1 k 1 l1 * 与 rh 2 k 2 l 2 * 间


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实际晶体中出现几率大
的是 Miller 指数小的晶面。
定义 2：一族晶面中离原点最 近的平面点阵在轴 a ， b ， c 上的 1 1 1 截距分别为 a ， b ， c 的 ， , ，整数数组即为该晶面 的 Miller 指数。 h k l 定义 3：设一族点阵平面分别 将基矢 a ， b ， c 分为 h 段 , k 段 , l 段，则 该晶面的 Miller 指数为 hkl 。
a x a y a z a x a y a z ax ay az ax ay az 2 v a b c a b c bx by bz bx b y bz bx b y bz bx b y bz c c c c c c cx cy cz cx cy cz x y z x y z a a a b a c 2 1 b a b b b c det G 同理 v * det G * det G c a c b c c
Fourier
( x ua , y vb , z wc ) F hkl e
hkl
hkl
i 2
hx / a ky
/ b lz / c
e
i 2 hu kv lw

由周期函数的周期性： ( x , y , z ) ( x ua , y vb , z wc )，必有： hu kv lw 整数 R uvw H hkl uh vk wl 整数


G 的逆矩阵为
2 sin cos cos cos cos cos cos 2 a ab ac 2 2 2 2 a b c cos cos cos sin cos cos cos 2 2 v ab b bc 2 cos cos cos cos cos cos sin 2 ac bc b
的范围。
6-3 Bravais点阵的点阵参数 6-3-1 度量张量
三维空间点阵的 6 个参数（ a , b , c ; , , ) 及其相互关系可以用 一个二阶对称张量描述 ，称为度量张量，其定 义为 a a a b a c a g 11 g 12 g 13 g g g b a,b ,c b a b b b c G g 21 g 22 g 23 c c a c b c c 31 32 33 ab cos ac cos aa ab cos bb bc cos ac cos bc cos cc




共有 7 种点群对称性不同的点
阵，相应于
7 种点阵点群。
点阵点群相同的两个点 阵可能有很大差异，如 op 和二维菱形点阵 oc 。 晶胞的有心与否和心的 有心胞和无心胞属于不 类型构成点阵的第 同的点阵类型。
二维简单矩形点阵 7 个参数，点群相同的
考虑了点阵点群和晶胞 的点阵类型后，三维空 称为 14 种 Bravais 点阵。


的夹角 cos rh1 k 1 l1 * rh 2 k 2 l 2
1
h1 h1 , k 1 , l1 G 1 k 1 l * 1
晶面的标记：Miller指数
3 4 5
Miller 指数 hkl 不仅标记晶面，也标记
点阵平面。
晶体的三维点阵可看作 一族平面点阵构成。 若一晶面与 a 轴平行，其 Miller 指数的第一个指标 h 0， 同理，晶面与 b 轴或 c 轴平行时则 k 0 或 l 0。 6 给定晶面的 Miller 指数与基矢组的 a ， b ， c 选取有关。
间共有 14 种点阵，
有了二维点阵的基础， 平行放置而成，相当于 引入第三个基矢 c。
可将三维点阵看作一族 而为点阵 在二维点阵的基矢 a , b 的基础上
6-2-1 二维斜交点阵基础上的点阵 1 、简单三斜点阵aP
2 、简单三斜点阵mP
3 、侧心单斜点阵mS
6-2-2 二维简单矩形点阵基础上的点阵 1 、简单正交点阵oP



（3 倒易点阵的倒易点阵是 ）
原来的正点阵。
（4） 倒易点阵晶胞体积
v * 为相应点阵的晶胞体积
v 的倒数 : v * 1 / v 。
（5 倒易空间的物理意义。 ）
三维空间中的一个周期 分别为 a , b , c 的周期函数可以展开为 级数，比如电荷密度函 数 ( x, y, z ) i 2 hx / a ky / b lz / c ( x , y , z ) F hkl e
G
1

倒易空间的度量张量定 义为 a * a * a * b * a * c * a * G b * a *, b *, c * b * a * b * b * b * c * c * c * a * c * b * c * c * a * b * cos a * c * cos a*a* a * b * cos b*b* b * c * cos a * c * cos b * c * cos c*c*






vv * 1
6-3-2 点阵参数的计算公式 三斜点阵的计算公式
三维空间点阵的 6 个参数（ a , b , c ; , , ) 可由度量张量矩阵公式 a a a b a c aa a ab cos ac cos G b a , b , c b a b b b c ab cos bb bc cos 得出。 c c a c b c c ac cos bc cos cc
Bravais-Miller指数(hkil)
6-2 14种Bravais点阵
三维空间点阵有 6 个参数（ a , b , ; , , )，即 3 个基矢的长度 c a , b , c 和两两基矢间的夹角 b c , a c , a b 。 点阵参数也称为 晶胞参数。
倒易空间中的坐标变量 的变量；正空间的倒易 可能是正空间函数的 Fourier 展开系数中 空间可能是其 Fourier 变换式的变量空间。
定义 1：设与一晶面平行的某 二维点阵平面在基矢 a ， b ， c 方向的 截距分别为 ra , sb , tc ， r , s , t 均为整数，取 r , s , t 的最小公倍数 N , N N N 则互质整数组 , , hkl 称为该晶面的 M iller 指数。 r s t 1 hkl 是无量纲的单位正交向 量组。 2 Miller 指数的几何意义：平面 hkl 的法向量为 h a * k b * l c *
1


2
晶胞体积 v 可由 v det G 得出。
2
v abc
1 cos cos cos
2
hkl 的面间距 d hkl 是其倒易空间的倒易 正点阵空间的晶面 位矢 rhkl * h a * k b * l c * 长度的倒数， a * h h 2 1 d hkl rhkl * rhkl * h , k , l b * a * b * c * k h , k , l G k l l c *
2 、侧心正交点阵oS
3 、体心正交点阵oI
6-2-3 二维c心矩形点阵基础上的点阵：面心正交点阵oF
6-2-4 二维正方点阵基础上的点阵 1 、四方点阵
2 、立方点阵
6-2-5 二维六角点阵基础上的三维点阵 1 、简单六方点阵hP
2 、菱面体点阵hR
点阵点的位置点群不能
超出点阵点群及其子群


度量张量具有如下性质
：
G 的逆 G 等于相应倒易空间
-1
6 2：正空间度量张量矩阵 -1 的度量张量矩阵 G* : G G *
1 定理
2 度量张量的变换性质 A , B , C a , b , c P , 相应 当基矢历经变换
G 变换为 G '，
A a t t 二者的关系为 G ' B A , B , C P b a , b , c P P GP C c 3 晶胞体积的表达式
第六章 空间点阵 6-1 倒易点阵
倒易点阵的性质：
a 1 0 0 b a * b * c * 0 1 0 0 0 1 c （2） 定理 6 - 1：倒易空间的位矢 H hkl h a * k b * l c * 的方向与相应 正空间的晶面 ( hkl ) 垂直： H hkl 长度等于正空间晶面族 ( hkl ) 面间距 的倒数。 正空间任何点阵点的位 矢 R uvw u a v b w c 与其倒易空间任何 点阵点的位矢 H hkl h a * k b * l c * 满足： R uvw H hkl uh vk wl 整数