概率论第一章课件
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解：记A = {甲乙两人会到面}，则
Y=x+15 60 15 15 60
S阴影 602 − 452 7 P(A)= = = 2 S正方形 60 16
Y=x-15
蒲丰(Buffon)投针问题）平面上画很多平行 投针问题） 例4 （蒲丰 投针问题 间距为a． 向此平面投掷长为l(l< a) 的针 求 的针, 线，间距为 ． 向此平面投掷长为 此针与任一平行线相交的概率． 此针与任一平行线相交的概率．
分球问题，又名分房问题） 例 2（分球问题，又名分房问题）将3个球随机的放 入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是 多少？（2）空一盒的概率是多少？
解：记A = {每盒恰有一球}， B = {空一盒}，则
3 2 ！ (1) P(A)= 33 = 9
3! 3 2 ( 2 ) P(B)= 1 − 33 − 33 = 3
思考
一辆出租汽车涉及一起夜间肇事逃逸事故.在这个 一辆出租汽车涉及一起夜间肇事逃逸事故 在这个 城市里，有绿色和蓝色两家出租车公司营运。 城市里，有绿色和蓝色两家出租车公司营运。给 定： (1)在这个城市里，85%的出租车是绿色，15%是 在这个城市里， 的出租车是绿色， 在这个城市里 的出租车是绿色 是 蓝色 (2)一位目击者认定这辆出租车是蓝色。法庭在与 一位目击者认定这辆出租车是蓝色。 一位目击者认定这辆出租车是蓝色 出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度， 出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度， 得出在80%的时间里，目击者能正确识别两种颜 的时间里， 得出在 的时间里 色中的每一种， 的时间里不能。 色中的每一种，在20%的时间里不能。 的时间里不能 问与该事故有牵连的出租车是蓝色而不是绿色的 概率是多少？ 概率是多少？
例4（女士品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士声称：她能 （女士品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士声称： 从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶.并且她在 从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶 并且她在 10次试验中都能正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 次试验中都能正确地辨别出来， 次试验中都能正确地辨别出来 问该女士的说法是否可信？ 解：假设该女士说法不可信，即假设该女士纯粹是猜测，记 A={在10次试验中都能正确指出放置牛奶和茶的先后顺序} 则
第一章 事件与概率
1.3 古典概型 (一）古典概型与概率
若某实验E 若某实验E满足 1.有限性：样本空间 ＝{e1, e 2 , … , e n }; 有限性： 有限性 2.等可能性： 2.等可能性： 等可能性 )=…=P(e P(e1)=P(e2)= =P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。
L 记Ω = {第k次摸到球的号码} = {1， ，a + b}
L 记A = {第k次摸到红球} = {1， ，a}
则P(A)= a a+b
同类问题
抽奖券问题：乐万家超市有奖销售，投放 1000张奖券只有5张中一等奖（一等奖可以 兑换一瓶油），每位顾客可抽一张，求第k 位顾客中一等奖的概率（ 1 ≤ k ≤ 1000 ）
• 使概率论成为数学一个分支的另一奠基人 是瑞士数学家雅各布-伯努利［1654-1705］。 他的主要贡献是建立了概率论中的第一个 极限定理，我们称为“伯努利大数定理” • 到了1730年，法国数学家棣莫弗和数个数 学家建立了关于“正态分布”及“最小二 乘法”的理论 。概率论发展史上的代表人 物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下 的大数定律 ，研究得出了一种新的分布 。
例5.彩票问题 彩票问题
• 所购彩票与开奖结果对照，符合以下情况即为中 奖。 一等奖：选中6个基本号码和1个特别号码； 二等奖：选中6个基本号码； 三等奖：选中5个基本号码和1个特别号码； 四等奖：选中5个基本号码； 五等奖：选中4个基本号码和1个特别号码； 六等奖：选中4个基本号码或选中3个基本号码和1个 特别号码。
有限， ≤ 例 设a,b有限，0≤g(x)≤M,求积分 I = ∫ g ( x )dx 有限 ≤ 求积分 法一： ={(x,y):a≤ b,0≤ M},并设(X,Y)是在 并设(X,Y) 法一：令Ω={(x,y):a≤x≤b,0≤y≤M},并设(X,Y)是在 Ω上均匀分布的二维随机向量，其联合密度函数为 上均匀分布的二维随机向量，
课程说明
• 期末闭卷考试，平时课后留作业，每周五收作业。 • 成绩计算方法：期末考试占70%，平时分占30% • 平时分计算方法：作业上交情况，平时上课做题 情况，思考题，讨论题。按百分制记，每上黑板 每上黑板 做一次题加6分 做一次思考题加10分 做一次题加 分，做一次思考题加 分，讲解讨论 题加16分 一次作业没有交扣5分 旷课扣15分 题加 分，一次作业没有交扣 分，旷课扣 分, 累计旷课3次平时分低于 分。 累计旷课 次平时分低于40分 次平时分低于 • 课程安排：讲解 到7章，13周左右作一次概率论 课程安排：讲解1到 章 周左右作一次概率论 应用专题讲解， 周课堂讨论我给出问题 周课堂讨论我给出问题. 应用专题讲解，15周课堂讨论我给出问题 上限100分，下限 分. 注：上限 分 下限0分
1 P ( A) = 10 = 0.0009766 2
人们在日常生活中遵循的“实际推断原理”：一个小概率事 件在一次试验中是实际不会发生的。
依此原理，与实际试验结果矛盾，故假设不成立， 有理由断言该女士的说法是可信的。 同类问题：一种饮料由牛奶与茶按照一定比例混 合而成，可以先倒茶后牛奶（TM）或反过来 （MT）.某女士声称她可以鉴别是TM还是MT.设 计试验：准备8杯饮料，TM和MT各半，把它们随 机地排成一列让该女士依次品尝，并告诉她TM和 MT各有4杯，然后请她指出哪4杯是TM,结果她全 对了，问该女士是否有鉴别茶得能力？
摸球问题（ 例1.摸球问题（抽奖问题） 摸球问题 抽奖问题）
袋中有a只红球，b 袋中有a只红球，b只白球
（除颜色外无任何差别），现依次将球一只只摸出（不放回）， 求第k 求第k次摸到红球的概率
解：将这a + b只球进行编号，其中a只红球为1-a号， b只白球为a+1-a+b号， b只白球为a+1-a+b号，
一等奖的中奖概率l／ 17721088 约千万分子0.5, 三等奖的中奖概率为 1 ／109389 约十万分
1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间Ω中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满 足条件： (1) 非负性: P(A) ≥0； (2) 规范性: P( )＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝φ，(i≠j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ∪ A2 ∪ … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。
古典概型中的概率: 古典概型中的概率 设事件A中所含样本点个数为 N(A) ，以 N( )记样本空间 中样本点总数，则有
N ( A) P( A) = N (Ω)
P(A)具有如下性质： P(A)具有如下性质： 具有如下性质 (1) 0≤ P(A) ≤1； (2) P(Ω)＝1； P(φ )=0 (3) AB＝φ，则 P( A∪ B )＝ P(A) ＋P(B)
例1：设事件A,B互不相容，且 P( A) = p, P( B) = q, 则 P( AB ) = _______
例2：甲乙二人独立地同时破译密码，甲破译 的概率为，乙破译的概率为，则该密码被 破译的概率为_______________.
例3（会面问题）甲乙两人约定在 时到 时 甲乙两人约定在6时到 甲乙两人约定在 时到7时 之间在某处会面， 之间在某处会面 ， 并约定先到者应等候另 一人一刻钟， 过时即可离去。 一人一刻钟 ， 过时即可离去 。 求两人会面 的概率。 的概率。
蒙特卡罗方法简介
蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值 计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。 由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特 点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决 的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 其基本思想是：当所求问题的解是某个事件的 概率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、 数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得 出该事件发生的频率，或该随机变量若干个观察 值的算术平均值，根据大数定律得到问题的解；
2.概率的性质 概率的性质
(1) 加法公式 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情 形； (2) 互补性： P ( A )＝1－ P(A); 互补性 (3) 可分性 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝ P(AB)＋P(AB ) .
a b
bwenku.baidu.com
1 f ( x, y ) = 1( a ≤ x ≤b ,0≤ y ≤ M ) M (b − a )
易见， g ( x )dx 是Ω中曲线g(x)下方面积。 中曲线g(x)下方面积。 g(x)下方面积 易见， ∫ 中投点，则点落在y=g(x)下方的概率为 假设我们向 中投点，则点落在 下方的概率为
注：鸽策略即选择贡献，鹰 策略表搭便车。亚当的得益 在各个单元的左下角，夏娃 的得益在各个单元的右上角. 鸽 鹰 1 1 -1 3 0 -1 0 3
囚徒的福祉
假设亚当和夏娃是一对恋人，都非常关心对 方，认为对方口袋里1美元的价值是自己口 袋里1美元的两倍
鸽 在囚徒困境中博弈方应 该搭便车的同一原理， 在囚徒福祉中会要求亚 当和夏娃自愿贡献 鸽 鹰 3 1 3 3 5 0 5 0 鹰 1
《概率论与数理统计》 概率论与数理统计》 概率论与数理统计
主讲： 主讲：李江平 微博： 微博：leejiangping
课件说明： 课件说明：
• 红色字体：重要的概念名及题目（做笔记） 红色字体：重要的概念名及题目（做笔记） • 黑色字体：一般叙述（课堂学习，课本例题不必 黑色字体：一般叙述（课堂学习， 做笔记)，附加例题（做笔记） 做笔记 ，附加例题（做笔记） • 其他颜色字体：属于了解内容。 其他颜色字体：属于了解内容。 • 放映方式：重点内容：“逐字显示”； 放映方式：重点内容： 逐字显示”
教材： 概率论与数理统计》 教材：《概率论与数理统计》魏宗舒编 高 等教育出版社 参考书目： 参考书目： 概率论及数理统计》上下册，梁之舜等， 《概率论及数理统计》上下册，梁之舜等， 高等教育出版社 数理统计教程》陈希孺编， 《数理统计教程》陈希孺编，上海科学技术 出版社
发展史
• 概率论是一门研究随机现象规律的数学分 支。 • 赌博者的问题。数学家费马向一法国数学 家帕斯卡提出下列的问题：“现有两个赌 徒各有赌本1000元，相约赌若干局，谁先 赢3局就算赢了，现在已经赌了3局，当赌 徒A赢2局，而赌徒B赢1局时，赌博中止， 那赌本应怎样分才合理呢？”
问：每注彩票的中奖概率是多少？
思考
“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和 1个蓝色球号码组成。红色球号码从1—33 中选择；蓝色球号码从1—16中选择。单式 投注是从红色球号码中选择6个号码，从蓝 色球号码中选择1个号码，组合为一注投注 号码的投注。 问：单式投注中一等奖和三等奖的概率是 多少？注：中5个基本号码和特别号码为三 等奖.
• 同类问题 1（分房问题）设有n个人，每个人都等可能地被分配 到N个房间中的任意一间去住（ n < N），求 （1）指定的n个房间各有一个人住；（2）恰好有n个 房间，其中各住一个人。 2. (生日问题)094班有50个人，问至少有两个人的生 日在同一天的概率为多少？ 注：对比下真实值与你的估计值
前沿及应用
• • • • 期权的定价Black-Scholes公式 解释一些生活现象如彩票等. 保险保费的定价 证券投资：巴菲特投资原则：“别人恐慌时 我贪婪,别人贪婪时我恐慌!" • 最优策略：囚徒困境问题
搭便车问题
一件公共品对亚当和夏娃都有3美元价值，提 供成本是每人2美元，只有两人之一或同时 自愿支付成本时该公共品才会被提供，假 设亚当和夏娃只关心他们最终有多少利益， 他们会怎样进行该博弈？ 鸽 鹰
Y=x+15 60 15 15 60
S阴影 602 − 452 7 P(A)= = = 2 S正方形 60 16
Y=x-15
蒲丰(Buffon)投针问题）平面上画很多平行 投针问题） 例4 （蒲丰 投针问题 间距为a． 向此平面投掷长为l(l< a) 的针 求 的针, 线，间距为 ． 向此平面投掷长为 此针与任一平行线相交的概率． 此针与任一平行线相交的概率．
分球问题，又名分房问题） 例 2（分球问题，又名分房问题）将3个球随机的放 入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是 多少？（2）空一盒的概率是多少？
解：记A = {每盒恰有一球}， B = {空一盒}，则
3 2 ！ (1) P(A)= 33 = 9
3! 3 2 ( 2 ) P(B)= 1 − 33 − 33 = 3
思考
一辆出租汽车涉及一起夜间肇事逃逸事故.在这个 一辆出租汽车涉及一起夜间肇事逃逸事故 在这个 城市里，有绿色和蓝色两家出租车公司营运。 城市里，有绿色和蓝色两家出租车公司营运。给 定： (1)在这个城市里，85%的出租车是绿色，15%是 在这个城市里， 的出租车是绿色， 在这个城市里 的出租车是绿色 是 蓝色 (2)一位目击者认定这辆出租车是蓝色。法庭在与 一位目击者认定这辆出租车是蓝色。 一位目击者认定这辆出租车是蓝色 出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度， 出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度， 得出在80%的时间里，目击者能正确识别两种颜 的时间里， 得出在 的时间里 色中的每一种， 的时间里不能。 色中的每一种，在20%的时间里不能。 的时间里不能 问与该事故有牵连的出租车是蓝色而不是绿色的 概率是多少？ 概率是多少？
例4（女士品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士声称：她能 （女士品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士声称： 从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶.并且她在 从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶 并且她在 10次试验中都能正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 次试验中都能正确地辨别出来， 次试验中都能正确地辨别出来 问该女士的说法是否可信？ 解：假设该女士说法不可信，即假设该女士纯粹是猜测，记 A={在10次试验中都能正确指出放置牛奶和茶的先后顺序} 则
第一章 事件与概率
1.3 古典概型 (一）古典概型与概率
若某实验E 若某实验E满足 1.有限性：样本空间 ＝{e1, e 2 , … , e n }; 有限性： 有限性 2.等可能性： 2.等可能性： 等可能性 )=…=P(e P(e1)=P(e2)= =P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。
L 记Ω = {第k次摸到球的号码} = {1， ，a + b}
L 记A = {第k次摸到红球} = {1， ，a}
则P(A)= a a+b
同类问题
抽奖券问题：乐万家超市有奖销售，投放 1000张奖券只有5张中一等奖（一等奖可以 兑换一瓶油），每位顾客可抽一张，求第k 位顾客中一等奖的概率（ 1 ≤ k ≤ 1000 ）
• 使概率论成为数学一个分支的另一奠基人 是瑞士数学家雅各布-伯努利［1654-1705］。 他的主要贡献是建立了概率论中的第一个 极限定理，我们称为“伯努利大数定理” • 到了1730年，法国数学家棣莫弗和数个数 学家建立了关于“正态分布”及“最小二 乘法”的理论 。概率论发展史上的代表人 物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下 的大数定律 ，研究得出了一种新的分布 。
例5.彩票问题 彩票问题
• 所购彩票与开奖结果对照，符合以下情况即为中 奖。 一等奖：选中6个基本号码和1个特别号码； 二等奖：选中6个基本号码； 三等奖：选中5个基本号码和1个特别号码； 四等奖：选中5个基本号码； 五等奖：选中4个基本号码和1个特别号码； 六等奖：选中4个基本号码或选中3个基本号码和1个 特别号码。
有限， ≤ 例 设a,b有限，0≤g(x)≤M,求积分 I = ∫ g ( x )dx 有限 ≤ 求积分 法一： ={(x,y):a≤ b,0≤ M},并设(X,Y)是在 并设(X,Y) 法一：令Ω={(x,y):a≤x≤b,0≤y≤M},并设(X,Y)是在 Ω上均匀分布的二维随机向量，其联合密度函数为 上均匀分布的二维随机向量，
课程说明
• 期末闭卷考试，平时课后留作业，每周五收作业。 • 成绩计算方法：期末考试占70%，平时分占30% • 平时分计算方法：作业上交情况，平时上课做题 情况，思考题，讨论题。按百分制记，每上黑板 每上黑板 做一次题加6分 做一次思考题加10分 做一次题加 分，做一次思考题加 分，讲解讨论 题加16分 一次作业没有交扣5分 旷课扣15分 题加 分，一次作业没有交扣 分，旷课扣 分, 累计旷课3次平时分低于 分。 累计旷课 次平时分低于40分 次平时分低于 • 课程安排：讲解 到7章，13周左右作一次概率论 课程安排：讲解1到 章 周左右作一次概率论 应用专题讲解， 周课堂讨论我给出问题 周课堂讨论我给出问题. 应用专题讲解，15周课堂讨论我给出问题 上限100分，下限 分. 注：上限 分 下限0分
1 P ( A) = 10 = 0.0009766 2
人们在日常生活中遵循的“实际推断原理”：一个小概率事 件在一次试验中是实际不会发生的。
依此原理，与实际试验结果矛盾，故假设不成立， 有理由断言该女士的说法是可信的。 同类问题：一种饮料由牛奶与茶按照一定比例混 合而成，可以先倒茶后牛奶（TM）或反过来 （MT）.某女士声称她可以鉴别是TM还是MT.设 计试验：准备8杯饮料，TM和MT各半，把它们随 机地排成一列让该女士依次品尝，并告诉她TM和 MT各有4杯，然后请她指出哪4杯是TM,结果她全 对了，问该女士是否有鉴别茶得能力？
摸球问题（ 例1.摸球问题（抽奖问题） 摸球问题 抽奖问题）
袋中有a只红球，b 袋中有a只红球，b只白球
（除颜色外无任何差别），现依次将球一只只摸出（不放回）， 求第k 求第k次摸到红球的概率
解：将这a + b只球进行编号，其中a只红球为1-a号， b只白球为a+1-a+b号， b只白球为a+1-a+b号，
一等奖的中奖概率l／ 17721088 约千万分子0.5, 三等奖的中奖概率为 1 ／109389 约十万分
1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间Ω中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满 足条件： (1) 非负性: P(A) ≥0； (2) 规范性: P( )＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝φ，(i≠j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ∪ A2 ∪ … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。
古典概型中的概率: 古典概型中的概率 设事件A中所含样本点个数为 N(A) ，以 N( )记样本空间 中样本点总数，则有
N ( A) P( A) = N (Ω)
P(A)具有如下性质： P(A)具有如下性质： 具有如下性质 (1) 0≤ P(A) ≤1； (2) P(Ω)＝1； P(φ )=0 (3) AB＝φ，则 P( A∪ B )＝ P(A) ＋P(B)
例1：设事件A,B互不相容，且 P( A) = p, P( B) = q, 则 P( AB ) = _______
例2：甲乙二人独立地同时破译密码，甲破译 的概率为，乙破译的概率为，则该密码被 破译的概率为_______________.
例3（会面问题）甲乙两人约定在 时到 时 甲乙两人约定在6时到 甲乙两人约定在 时到7时 之间在某处会面， 之间在某处会面 ， 并约定先到者应等候另 一人一刻钟， 过时即可离去。 一人一刻钟 ， 过时即可离去 。 求两人会面 的概率。 的概率。
蒙特卡罗方法简介
蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值 计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。 由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特 点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决 的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 其基本思想是：当所求问题的解是某个事件的 概率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、 数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得 出该事件发生的频率，或该随机变量若干个观察 值的算术平均值，根据大数定律得到问题的解；
2.概率的性质 概率的性质
(1) 加法公式 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情 形； (2) 互补性： P ( A )＝1－ P(A); 互补性 (3) 可分性 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝ P(AB)＋P(AB ) .
a b
bwenku.baidu.com
1 f ( x, y ) = 1( a ≤ x ≤b ,0≤ y ≤ M ) M (b − a )
易见， g ( x )dx 是Ω中曲线g(x)下方面积。 中曲线g(x)下方面积。 g(x)下方面积 易见， ∫ 中投点，则点落在y=g(x)下方的概率为 假设我们向 中投点，则点落在 下方的概率为
注：鸽策略即选择贡献，鹰 策略表搭便车。亚当的得益 在各个单元的左下角，夏娃 的得益在各个单元的右上角. 鸽 鹰 1 1 -1 3 0 -1 0 3
囚徒的福祉
假设亚当和夏娃是一对恋人，都非常关心对 方，认为对方口袋里1美元的价值是自己口 袋里1美元的两倍
鸽 在囚徒困境中博弈方应 该搭便车的同一原理， 在囚徒福祉中会要求亚 当和夏娃自愿贡献 鸽 鹰 3 1 3 3 5 0 5 0 鹰 1
《概率论与数理统计》 概率论与数理统计》 概率论与数理统计
主讲： 主讲：李江平 微博： 微博：leejiangping
课件说明： 课件说明：
• 红色字体：重要的概念名及题目（做笔记） 红色字体：重要的概念名及题目（做笔记） • 黑色字体：一般叙述（课堂学习，课本例题不必 黑色字体：一般叙述（课堂学习， 做笔记)，附加例题（做笔记） 做笔记 ，附加例题（做笔记） • 其他颜色字体：属于了解内容。 其他颜色字体：属于了解内容。 • 放映方式：重点内容：“逐字显示”； 放映方式：重点内容： 逐字显示”
教材： 概率论与数理统计》 教材：《概率论与数理统计》魏宗舒编 高 等教育出版社 参考书目： 参考书目： 概率论及数理统计》上下册，梁之舜等， 《概率论及数理统计》上下册，梁之舜等， 高等教育出版社 数理统计教程》陈希孺编， 《数理统计教程》陈希孺编，上海科学技术 出版社
发展史
• 概率论是一门研究随机现象规律的数学分 支。 • 赌博者的问题。数学家费马向一法国数学 家帕斯卡提出下列的问题：“现有两个赌 徒各有赌本1000元，相约赌若干局，谁先 赢3局就算赢了，现在已经赌了3局，当赌 徒A赢2局，而赌徒B赢1局时，赌博中止， 那赌本应怎样分才合理呢？”
问：每注彩票的中奖概率是多少？
思考
“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和 1个蓝色球号码组成。红色球号码从1—33 中选择；蓝色球号码从1—16中选择。单式 投注是从红色球号码中选择6个号码，从蓝 色球号码中选择1个号码，组合为一注投注 号码的投注。 问：单式投注中一等奖和三等奖的概率是 多少？注：中5个基本号码和特别号码为三 等奖.
• 同类问题 1（分房问题）设有n个人，每个人都等可能地被分配 到N个房间中的任意一间去住（ n < N），求 （1）指定的n个房间各有一个人住；（2）恰好有n个 房间，其中各住一个人。 2. (生日问题)094班有50个人，问至少有两个人的生 日在同一天的概率为多少？ 注：对比下真实值与你的估计值
前沿及应用
• • • • 期权的定价Black-Scholes公式 解释一些生活现象如彩票等. 保险保费的定价 证券投资：巴菲特投资原则：“别人恐慌时 我贪婪,别人贪婪时我恐慌!" • 最优策略：囚徒困境问题
搭便车问题
一件公共品对亚当和夏娃都有3美元价值，提 供成本是每人2美元，只有两人之一或同时 自愿支付成本时该公共品才会被提供，假 设亚当和夏娃只关心他们最终有多少利益， 他们会怎样进行该博弈？ 鸽 鹰