非线性抛物型方程时间周期解的一种差分方法

１ 差 分 格 式
设 ，＝｛ ｌ ＜１，是， ０＜ ｝７ 的闭包， 首先将区域 ７ ０ Ｔ 进行网格剖分， ×［， ］ 选取正整数 Ｊ和Ｎ， 并
令 ＝了 １为空间方向的网格步长
， ＝
Ｔ 为 时间方 向 的网格 步长
，
并 要 得ｓ 云为 整 ， 且 使 ＝ 正 数记
ｘ ， ｉ＝ Ｊ＝ ０ １ … ， ； ｔ ，， Ｊ ＝ ｎ ， ｋ ｎ＝一 ｓ 一 ｓ＋１ … ， ， ， ， ， ０ １ …
２
≤ Ｃ・
差 分 格 式 的 收敛 性 和 稳定 性
定理 ２ 假 设 条件 １ 、） 足 ， ）２ 满 则差 分方 程 （） （ ）（） ２ ， ３ ，４ 的解 以 ｆ・ｌ 收敛 到定 解 问题 （） ｌ ｌ １ 的解 ，
且 收敛 阶为 ０（ ＋ｈ ） ｋ ． 证 明 设 问题 （ ）的解为 ｖ ｘ ｆ 和 ｔ １ （ ， ） 。 ｖｊ ， ｋ ， Ｔ ｙｏ 级 数展 式得 截断 误差 为 ｎ＝ （ｈ ｎ ） 由 ａｌ ｒ
其 中 ｃ 常数 ， 为 在不 同的地 方有 不 同的值 ． 在条件 １ 、） 用 Ｔｙ ｒ ）２ 下 ａｌ 级数 展式 可得 ． ｏ
Ｉ Ｐ ｔ Ｙ ）Ｉ ｃ １ ｌ 十Ｉ Ｃ ， ， ≤ （ ＋Ｉ 十ｌ Ｉ Ｉ Ｉ） ， ｔ Ｙ ＋Ｉ
下 面对差 分解进 行估 计 ． 们先 引人 下面 的定理 ． 我
＝ ， ＝０ 一１ … ，一ｓＯ≤ Ｊ≤ Ｊ ｎ ， ， ；
为 了提高 格式 的整体 精度 ， 层 的值 也需 为精度 Ｏ ｋ （ ＋ｈ ）在 下 面的证 明 中假设 函数 厂 足下 ． 满
列两 条件 ：
１ Ｐ ｔＹ ）∈ ｃ （ ； ） Ｃ ，， ， Ｒ ）
２ ｌ ｃ ｌ Ｉ ｃ Ｉ ｙ ≤ ｌ ， Ｉ ｌ ）Ｉ ≤ ， ≤ ， 厂 ｌ Ｉ Ｉ ≤ｌ ， Ｙ
设 “ 、 分别 是 微分 方程 与差分 方程 的解 ． 文采用 如 下符号 二 本
（ ： “
， ： （ 与 ， ： （
，
（：
下 面给 出方程 （ ） １ 的差分 格式
： （ ｎ） 妻 ， 让，Ｕｎ ￣： Ｖ
： ， ， ） 凡 ∈
ｌ Ｉ ＝（“ ） ｊ“ ｌ ：Ｏ≤』《 ｘ ？ｌ ｌ ｌ ， ， ｊ “１ ｍ Ｊ一１ ｕ ａ ｌ
ｋｌ Ｉ＋ｃ ｌ Ｉ ≤ｋ Ｉ ＋ｃ∑ ｌｅ ＿ Ｉ ｋ『 Ｉ ｒ 【 Ｉ ｋ Ｉ ｅ
＋ ｌ Ｉ） ． １ ： ｌ ＋ ｌ ｎ ｌ ）则有 ｌ Ｉｎ ＋ Ｄ （ｌ ＋ 。 Ｉ 一 。 Ｉ Ｉ ｌ
“ｎ－ “ ，ｌ ＋ｓ
４３ ７
１ ２
． 莹ｆ ＼ ± Ｉ Ｉ 一 １ ＋
＋
ｎ
－
ｓ —ｌ
＋１
２
ｌ
＋
２
ｕ ” ＋ “ － １
） ） （ ＋
１ ， ｃＩｎＩ （ ≤ｃ＋Ｉ ． ） ｉ Ｉ ｝ Ｉ
ｎ一１
善＋ （
假设 ｌ Ｉ ０再 由 ｌ “ Ｉ＝ ，
：
一） ２ （ ） （ ） ，一 Ｄ［ 撕＋（ ］＋ ｈ（ ）
纽
＋ ｎ
一
＋
ｓ —ｌ
ｌ
一
２
）十
，
盟
，
，
（ ） ５ｆ ｘ，． ］－ ｊ ｔ，
）＋
，
）＋
１
，
，
，
）＋ ］
（） ６
吾 鹏 ，
令
，
）
，；“＋ ： ｎ ｕ ￣ ｓ
，
—
Ｅ ‘ ，ｌ ＋ｃ∑ Ｉ ≤ｋＩ Ｉ ｋ Ｉ ｌ
两端对 ｎ １… ， 求和 ， ｅ （ ＋ｈ ）， ｅ ＝ ０ （ ， Ⅳ） 由 ０＝ ｋ 令 一 得
≤ｅ＋ ｋ 『 ０ ｃ∑ Ｉ
≤ ｎ《 Ｎ
＋ ｋ ∑ ｌｅｌ ≤ ｃ∑ ｌ ｌ ｅ
一 ｎ
＝
ｅ＋Ｔｍｘｌ ｊ ＋ｃ∑ ｌｅｌ ≤ｅ＋Ｔｍｘ＿ｎｌ＋ｃ∑ ｅ． ０ ａ ｌ ｌ ｋ ｌ ｌ Ｉ ｏ ａ ｌ １ ｒ ｅ ｌ ｋ＿ ｒ １ ≤Ⅳ ≤ｎ ：
令
ｎ１ ｎ１ ２ ＋ ± 一Ｊ Ｉ
２
Ｉ＋
２
， ≥２ （Ｉ Ｉ 一 Ｉ ｎ Ｉ） Ｉ ： Ｉ 。 ｋ ＩⅡ Ｉ ｎ ｔ ， ＋ Ｄ（Ｉ Ｉ Ⅱ一 Ｉ “
一
Ｕ
ｌ ）＝ ｌ， ｌ ｚ
Ｂ ＝２ （ ｎＩ ＋ ｎ ｋ Ｉ 一
Ｉ Ｉ
≤（。 Ｗ ＋∑ Ｃ ） ， ｋ ２邶 ｋ
（ ＞ １． Ⅳ ）
其 中 足够小 ， 使得 （ Ａ＋Ｂ） ｋ≤
引 ２ Ｇｏｗｌ 理 ［（ｒ ａ 不等式 ２ 若离散函数 Ｎ ７ ｎ ｌ ） ｋ：Ｔ Ｗ ， ＝｛ ｍ ＝０ｌ…， ｝ Ｗｆ ，， Ⅳ ， 满足如下不等式
≤Ａ＋∑ Ｂｗｋ ． ，
２
ｎ＋ｓ ＋ｌ
蹦
） （ 小 ：
５ｆ ｘ ．， （ｊ，ｔ
，
）
，
，
）＋ ］
＋
２
４４ ７
淮 阴师范学 院学报（ 自然科学 ）
第９ 卷
将 （） 与 ｅ 一ｅ 作 内积 ， ６式 ”。 得 ２ ｋ ｆ ＋ Ｄ（ Ｉ
ｎ 一
一
ｈ２
＋
引理 １ （ｒ ｗｌ ［ Ｇｏ ａ 不等式 １ 若离散函数 Ｎ ７ ｎ ｌ ） ｋ＝ＴＷ ＝｛ ｎ＝０１…， ｝ ，＾ Ｗ Ｉ ，， Ⅳ ， 满足如下不等式
一
Ｗ
一
ｌ ≤ Ａｗ ＋ Ｂｗ ｌｋ ＋ Ｃ ｋ ｋ，
一
其 中 Ａ， Ｂ和 Ｃ （ ＝ １２ … ， 为非 负常数 ， ｎ ， ， Ⅳ） 则有
由引理 ２ 得
≤ （ ＋Ｔ ｍ ｘ ｆ ｆ ）ｘ（Ｎ ） （ ＋ｈ ）． ｅ ０ ａ ｆ ｅｐ ｃｋ ≤ ｋ ，
于是有
Ｉ ｌ
Ｉ≤ ０ ｋ （ ＋ｈ ） ｌ ，ｌ
ｌ ０ｋ ｌ≤ （ ＋ｈ ） ．
（ 一（ 和 ） 。＋ ～
收 稿 日期 ：２ １ ０ — ３ 、００ ８ ０
．
作者简介：芮杰（９９） 女 ，汉族 ，山东新泰人 ， 师 ， １７一 ， 讲 硕士 ，研究方 向为偏微分方程在图像处理 中的应用
４２ ７
淮阴师范学院学报（ 自然 科 学 ）
第 ９卷
将 上式 两端 同乘 以算子 １＋ｈ ０ 可得 等价格 式 Ａ ＊２
．
— 一
（ｎ ｅ 一ｅ ）＋（ ）一Ｆ（ ） ｅ 一ｅ一） ｒ ， Ｆ（ ｎ ，”
而
（） ７
Ｊ ）一Ｆ（ ｎ ｎ Ｆ（ ， ）
（ １
Ｉｎ Ｉ
一
所 以 （） ７ 式变 为
２
＋ Ｄ（】 １
） ２ ＋ｈ
．
２ ）ｃ ２ １ ｜，＋ｋ ｆ ｌ ｅ ２∑ｆ ｝ ｒ ｈ（ （ ｒ ＪＩ 一 １ ， ＋ ’
Ｂ 一Ｂ ～ ≤ ｃ ｋ＋ｃ （ “一Ｂ 一） ｋＢ ， 由引理 １ 得 Ｂ ≤ Ｃ ｎ＝ １ … ， ， （ ， Ⅳ）
因此有
“ ｌ≤ Ｃ ｌ ：ｌ≤ Ｃ ｎ＝ １２ …， ， ｌ ，ｌ ｌ Ｕ （ ，， Ⅳ） 由 Ｓｂ ｖ ｏｌ 不等式 ， ｃ “ｌ ｅ 得 ｌ ｌ Ｈ
第９ 卷第 ６ 期
２１ ００年 ｌ ２月
淮阴师范学院学报 （ 自然 科 学 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ Ｉ Ｉ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＨ Ａ ＹＮ Ｔ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｕ ｅ
Ｖｏｌ９ Ｎｏ． ＿ ６ Ｄｅ ｃ．２ ０ ０１
其 中 Ａ， 为非 负常 数 ， Ｂ 则有
Ｉ ＾ｌ ≤ … ２ ， ｌ ｌ Ａ Ｓ Ｓ ｍ， ： 其中 后足够小 ， 使得
ｎｌ ｘ ａ
．． ．
…
．
Ｂ） 专 ｍ≤ ・
ｌ≤ ｃ ｌ ：ｌ ｃ ｎ＝ １ ｌ ，ｌ Ｉ≤ （ ，
定 理 １ 假 设条 件 １、） ）２ 满足 ， 则差 分方程 （ ）（）（ ） ２ ，３ ，４ 的解满 足 ｌ ｌ ２ … ，ｒ， 而有 ｌｕ ｆ ≤ Ｃ ， 』）从 、 Ｉ “ｉ ．
非 线 性 抛 物 型 方程 时 问 周期 解 的一 种差 分 方 法
芮 杰
（ 国石油大学 数学与计算科学学 院 ， 中 山东 东营 ２ ７６ ） ５０ １
摘 要 ： 立 了一个 具有 时 间周 期 的 非线 性 抛 物 型方 程 的 隐 式差 分格 式 ， 分 格 式 的精 度 为 建 差 Ｏ（ ， ｋ ＋ｈ ） 并用 离散 泛 函分 析 的方 法证 明 了格 式 的收敛 性和 稳定 性 ． 关键 词 ： 线性抛 物 型方程 时间周期 解 ；差分 格 式 ；收敛 性 ；稳定 性 非
（） １
其 中 ， ＞０是常 数 ； ＝ （ ｔ ） ｒ＞０ 示时滞 ； Ｄ ， —ｒ ， 表 Ｔ是正 的 常数 ， 它代 表解 的时 间周期 ， 并假 设 时
间周期 是 给定 的 ， 函数 ｕ （ ） ｕ （ ）ｆ ， ， ， 在 Ｒ 。 ｔ ， ， ｔ ，（ ｔ ｕ ） ×［ ， ］ ０ １ 上连续 ， 关 于 ｔ 为 周期 函数 ， 且 均 ｆ ， ， ， 关 于 、 是 非线 性 的 ． （ ｔｕ ｕ）
证 明 差分方 程 （ ） ２ 两端 与 Ｈ＋ — ｕ－ 作 内积 ， ， ｌ ｎ１ ｎ 由条件 １ 、） ）２ 得
２
ｈ １ Ｄ（】 “
） ２ ＋ｈ
．
≤
・
・
（ … 善＋ （ｆ
善 （ ≤ ｃ ＋
第 ６期
芮
杰： 非线 性抛物型方程时间周期解的一种差分方法
中图分类 号 ：０ ４ ．２ ２ １８ 文献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ １６７ （０ ０ ０ —４ １ ５ １７ —８ ６ ２ １ ）６０ ７ － ０
Ｏ 引言
时滞 非线性 抛物 型方程 时间周期 解是 生态 学 以及控 制 论 等领 域 中非 常 重 要 的模 型 ， 有 很 多关 于 并 周期解 的存 在性 与稳 定性 的研究 成果 ． 我们 主要考 虑 一些 数 值 研究 成 果 ， 文 研究 下 列 时 滞非 线 性 本
，
（， ［ ＋ ］篙 ）： 一 （ （ ＋ （黼 ） “ （Ｘ， ｊｔ －ｎ １￣ ， ≥ ） ＋
， ，
） 】 ＋
吾 ， ，
ｎ
，
） ≤ ≤， ｚ ， ＿ ． ∈＋ ｏ 『， ｎ
（ ２ ）
（） ３
（） ４
．
“ ＝ “（ ，；＝ “ （ ， ０ ｔ） Ｕ Ｉｔ）ｎ∈ Ｚ
＝
） ＋ ｈ ｎ （ ） （ ） ，一 Ｄ［ 氟＋（ｎ－嫡］ ２ ） 一 ［ ＿ ／ Ｌ ． ，
， 堕
Ｉ１ Ｉ ，
，
） ＋
（） ５
，
盟
） ］一
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，
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一
ｎ＋ ＋１
ｎ Ｓ 一１ ＋
其中 ：ｏ ｋ ＋ｈ ）令 ＝ 一ｕ ， ５ 式减去（） （ ４， ７将（） ２ 式得
则有
＋ Ｄ ・ Ｉ ： Ｉ ＋ “ ｆ ） （Ｉ ¨ Ｉ ： ｌ ，
曰 。＝ ２ ０ Ｉ ＋ Ｄ ・ Ｉ Ｉ ｋＩ ，Ｉ Ｉ （Ｉ“ Ｉ
一
Ｉｕ Ｉ Ｉ０ Ｉ ）≤ ｃ ，
Ｂ 一Ｂ ＝ １ ２≤ ｃ ｋ＋ｃ Ｉ Ｉ ｔ Ｉ ，
进 一 步
抛物 型问题 的一 种 隐式差分 格式 的构 造 ：
。 ２ ０ ｕ
＿ 一 ＿ ＿
：
ｆ ｘ ｔ ｕ ｕ ） ∈ （ ＇ （ ，， ，ｒ ， ０１
∈
（ ，）： 。 ， １ ）： （ ） ｚ Ｒ＋ Ｏ ｆ （） （ ， ｔ， ∈ “ ，）＝ “ ， ＋ Ｔ ， ∈ ［ ， ］ （ ｔ （ ｔ ） ０１