非线性抛物型方程时间周期解的一种差分方法
《非线性时间分数阶方程的两种数值方法》范文
《非线性时间分数阶方程的两种数值方法》篇一一、引言近年来，非线性时间分数阶方程在许多领域如物理学、金融学、流体力学等都有着广泛的应用。
然而，由于非线性和分数阶的特性，使得这些方程的求解变得非常复杂。
因此，寻找有效的数值方法来解决这类问题显得尤为重要。
本文将介绍两种数值方法，即有限差分法（Finite Difference Method, FDM）和有限元法（Finite Element Method, FEM），来求解非线性时间分数阶方程。
二、非线性时间分数阶方程的描述首先，我们需要定义所要求解的非线性时间分数阶方程。
通常这类方程可以描述为包含非线性项和分数阶导数的微分方程。
我们可以用它来描述某些复杂的物理过程或现象。
三、有限差分法（FDM）有限差分法是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。
在求解非线性时间分数阶方程时，我们可以将时间分数阶导数用差商近似，空间导数用差分公式近似，从而将原方程转化为一系列的代数方程组。
然后通过迭代法或直接法求解这个代数方程组，得到原方程的解。
有限差分法的优点是算法简单、易于实现，但是求解过程中需要满足一定的步长要求，以保持数值解的稳定性和精度。
此外，对于复杂的几何区域和非线性问题，有限差分法可能会面临较大的困难。
四、有限元法（FEM）有限元法是一种基于变分原理和离散化的数值方法，适用于求解各种复杂的偏微分方程。
在求解非线性时间分数阶方程时，我们可以将求解区域划分为一系列的有限元，然后在每个元素内用多项式插值逼近原方程的解。
通过离散化原方程，我们可以得到一系列的代数方程组，然后通过求解这个代数方程组得到原方程的解。
有限元法的优点是可以处理复杂的几何区域和非线性问题，具有较高的精度和稳定性。
然而，有限元法的计算量相对较大，需要花费较多的时间和计算资源。
五、两种方法的比较有限差分法和有限元法都是求解非线性时间分数阶方程的有效方法。
两种方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
几类非线性发展方程的高精度有限差分方法
几类非线性进步方程的高精度有限差分方法专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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抛物型方程差分法资料
1. 区域剖分(区域离散）
用两族平行线
x t
xi tk
i h,
k,
0 i m 1/h
0 k n T /
将原方程的求解区域分割成矩形一致网格。
t
t k 1 tk
t k 1
t2 t1
O x1 x2
h — 空间步长， — 时间步长，
(xi ,tk )
( xi , tk ) — 网格节点
用 uik 表 示 温 度 分 布 函 数 u( x, t ) 在 点( xi , tk ) 处 的 网 格 函 数, 相 当 于
x xi1 xi xi1
u( x, t) 在 该 点 的 近 似.
2. 原方程弱化为节点处的离散方程
连续方程
u t
a
2u x 2
f (x,
t ),
0 x 1,
0 t T
u( x,0) ( x), 0 x 1
u(0, t) (t), u(1, t) (t), 0 t T
离散方程
)
u( xi1, tk
)
误差为 O(h2 )
( xi ,tk )
将上面的式子代入离散方程，可得
u(
xi
,
tk
1
)
u(
xi
,
tk
)
a
u(
xi 1
,
tk
)
2u( xi , h2
tk
)
u(
xi
1
,
tk
)
f ( xi , tk ) O(
h2 )
0 i m, 0 k n.
u( xi ,0) ( xi ),
uk i 1
)
f
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程数值解法是现代数学中一个重要的研究领域，涵盖了广泛的应用领域，如流体力学、材料科学、地球科学等。
非线性偏微分方程具有复杂的数学性质，解析解往往难以获得，因此需要借助数值方法来求解。
本文将介绍几种常见的非线性偏微分方程数值解法，并分析其特点和适用范围。
有限差分法是求解非线性偏微分方程的常见数值方法之一。
该方法将偏微分方程中的微分算子用差分近似代替，将空间域和时间域划分为离散网格，通过迭代计算网格点上的函数值来逼近方程的解。
有限差分法简单易实现，适用于各种类型的非线性偏微分方程，如抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
然而，有限差分法的稳定性和精度受到网格剖分的影响，需要 carefully 选择合适的参数以获得准确的数值解。
有限元法是另一种常见的非线性偏微分方程数值解法。
该方法将求解区域划分为有限个单元，通过建立元素之间的连接关系，将原始方程转化为局部形式，再通过装配求解整体方程。
有限元法具有较高的精度和灵活性，适用于具有复杂边界条件和几何结构的问题。
然而，有限元法需要构建有效的网格剖分和选取合适的形函数，求解过程相对繁琐，需要较高的数值计算能力。
另外，谱方法也是一种常用的非线性偏微分方程数值解法。
谱方法利用谱逼近理论，将方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过调整基函数的系数来逼近真实解。
谱方法在处理高度非线性和奇异问题时具有优势，能够提供高精度的数值解。
然而，谱方法对问题的光滑度和周期性要求较高，对基函数的选取也较为敏感。
总的来说，非线性偏微分方程数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等多种方法，每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际应用中，需要根据问题的具体特点和求解要求选择合适的数值方法，并结合数值分析和实验验证来确保数值解的准确性和可靠性。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解非线性偏微分方程数值解法的基本原理和应用方法。
抛物方程的有限差分法
抛物方程的有限差分法作者：李娜来源：《科技视界》2014年第32期【摘要】抛物方程是描述物理现象的一类重要方程，其中差分方法和有限元方法是求其数值解的两类主要方法。
本文主要介绍有限元方法中的向前差分法，首先简单介绍向前差分法，给出稳定性和收敛性的概念，然后以一维热传导方程为例进行求解，同时给出收敛性和稳定性分析，并利用Matlab软件做出了误差分析图。
【关键词】抛物方程;有限元方法;向前差分法;误差分析0 引言由于抛物型方程与时间t有关，称为非驻定问题。
非驻定问题可用差分法，也可用有限元法求解。
热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
热传导在三维等方向均匀介质里的传播可用方程式u■=kΔu表示，其中u■=u （t，x，y，z）表示温度，它是时间变量t与空间变量（x，y，z）的函数，■是空间中一点的温度对时间的变化率，uxx、uyy和uzz是温度对三个空间坐标轴的二次导数。
k决定于材料的热传导率、密度与热容。
求解方程时，如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程唯一解，必须指定的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一解，必须假定解的增长速度有一个指数型的上界，并且此假定与实验结果相吻合。
1 本文研究的方程本文主要研究一维热传导方程的有限差分解法，下面给出了各向同性介质中无热源的一维热传导方程及初始条件：■=a（x，t）■a>0 0<x<1，0<t<Tux，0=？覫x=sin（πx） 0<x<1u0，t=u（1，t）=0 0≤t≤T （1）在此，本文利用有限元方法中的向前差分法求解偏微分方程式（1），首先需要建立差分格式，而在建立差分格式时通常取空间步长和时间步长为常量。
下面介绍向前差分的概念以及如何利用该方法对其进行收敛性、精确性和稳定性分析。
1.1 向前差分格式有限差分法和有限元方法是求解偏微分方程的两种主要的数值方法。
一类非线性方程的差分方法
1
一类非线性方程的差分方法
孤波碰撞似乎是弹性的，从而使得许多人去寻找这一方程的 N 孤离子表达式.直至 1976 年，Abdulloev，Bogolubsky，Makha nkov[35]，以及 1979 年 Alexander，Morris[36] 证明了这一碰撞是非弹性的; 1979 年，Olver[37]又从理论上证明了 RLW 方程仅仅具 有三个守恒律，从而澄清了 RLW 方程与 KdV 方程的重大区别. 1977 年，Medeiros， Menzala[38]对它的周期解问题进行了研究.值得注意的是，上述格式并不能很好的模 拟 RLW 方程(1.1)本身具有的守恒律，而且逼近精度较低，而一个好的差分格式不 仅要有较高的逼近精度，还必须保持原定解问题的某些物理性质.1983 年，邬华谟， 郭本瑜[39]构造了一个高精度差分格式，他们把 RLW 方程(1.1)改写为
南京航空航天大学硕士学位论文
第一章 绪论
郭本瑜在《偏微分方程的差分解法》[1]中这样描述，“许多物理运动或其他运 动过程都可以用一个偏微分方程的定解问题来描述，但是绝大多数的偏微分方程 定解问题的解并不能用明显的数学公式来表示”. 一般而言，找出定解问题的解的 解析表达式是极其困难的，对大部分问题来说甚至是不可能的，有的即使可以用 公式表达却往往过于复杂，因此，我们需要用各种近似方法来计算它的解.
重视. RLW 方程也被称为 Benjamin，Bona，Mahony[32]方程.
Peregrine 最早提出了如下的格式来求解 RLW 方程(1.1)
(u
n j
)t
+
1 2
(1
+
u
n j
)((u
n j
)
非线性抛物型方程的周期解问题
非线性抛物型方程的周期解问题
张立龙;沈乃录
【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1990(000)003
【摘要】本文用Galerkin方法证明了问题（1）,（2）在空间W2,02=21∩W22中解的存在唯一性,讨论了解的周期性和概周期性。
【总页数】1页(P36)
【作者】张立龙;沈乃录
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.时滞非线性抛物型方程时间周期解的有限差分方法 [J], 舒阿秀
2.非线性抛物型方程时间周期解的有限差分方法 [J], 魏玮;王元明
3.非线性抛物型方程时间周期解的一种差分方法 [J], 芮杰
4.一类时滞非线性抛物型方程时间周期解的有限差分方法 [J], 舒阿秀
5.非线性抛物型方程的周期解与概周期解 [J], 王继延;张立龙
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抛物型方程的差分方法
2) 逆风差分格式
1 un un j j
a
n un j u j 1
§5 抛物型方程的差分方法
本章內容: 1． 常系数抛物型方程的初值问题 2．初边值问题 3．对流扩散方程 4．Richardson外推法 ^^数值实验4（网格比的重要性） ^^数值实验5 (Richardson 外推的精度) 5．变系数方程 6．二维抛物型方程问题的计算
1． 常系数抛物型方程初值问题
1 2
返回本节
c. 三层显式关系 Richardson格式 n n 1 1 un un un j j j 1 2u j u j 1 a 0 h2 2 Du Fort－Frankel格式
1 1 un un j j
2
a
n 1 1 n un un j 1 (u j j ) u j 1
目标点：Jh 1, x j jh, N T , ( x j , t n )
1 n n un un un j j j 1 2u j u j 1 内部点的离散： a 0 h2
边值点的离散： u0 ( n ), u J (n )
n n
初值点的离散： u j f (x j ) f j
1 4(1 )a sin 2 1 4a sin 2 kh 2
kh 2
3
G ( , k ) 1 1 G ( , k ) 1 4a (1 2 )sin 2 2a (1 2 ) 1 kh 2 2 0 1 2
实验六 抛物型方程差分解法
1
五、实验结果 利用最简单显格式 求得结果为：当 h=0.1，r=0. 1 时，计算结果如下：
u ( 0 . 2 , 0 . 02 ) u ( 0 . 5 , 0 . 05 ) u ( 0 . 8 , 0 . 08 )
当 h=0.2，r=0. 1 时，计算结果如下：
u ( 0 . 2 , 0 . 02 ) u ( 0 . 8 , 0 . 08 )
r *u
k j 1
(1 2 r ) * u
k j
r *u
k j 1
2）编写程序，实现相应的算法，解出具体结果。 利用边界条件，程序同样最终转化为设计求解一个线性代数方程组的问题， 下面用 C 语言编写利用最简显格式来求解抛物型方程： 求解线性方程组的源代码。 四、实验源代码 #include<stdio.h> #include<math.h> main() { int i,j; double a[11][101]; for(i=0;i<=10;i++)
u t u
2
x
2
;
0 x 1的
微分方程数值解实验讲义 a[i][0]=sin(0.314159*i); for(j=0;j<=100;j++) { a[0][j]=0; a[10][j]=0; } for(j=1;j<=100;j++) for(i=1;i<=9;i++) a[i][j]=0.1*a[i+1][j-1]+0.8*a[i][j-1]+0.1*a[i-1][j-1]; printf("%lf &#算结果分析 利用向前差分格式求解初值问题的解程序设计比较简单，在程序设计时，向 前差分格式的源代码也比较简单。当步长取得比较小的情况下，能够达到精度的 要求，但是当步长变小时候计算量增大。
2.2 抛物型方程的差分解法
u ( j 1, n) 2u ( j , n) u ( j 1, n) u 2h 4 ( j , n) u ( j , n) 2 2 4 h 2 t 4! x
n
（8）
0
Lu j
n
Lh, u j R j n
式中：
2 4 2 2 h 2 Rn u ( j , n ) u ( j , n ) O ( h ) j 4 2 4! x 2 t
(backward space difference) (backward time difference)
u n j
（3）一阶中心差分（central difference）
hu
n j
un 1 un
j 2
j
1 2
h
u
n j
uj
n
1 2
uj
n
1 2
1 n 1 un u j j
n
（22）
n+1 n
j-1
j
j+1
注意：
① 泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。 ② ③
O( 2 h2 ) ——全二阶精度。 1 在 ( j, n ) 点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。 2 Rj
2u idea：是将微分方程中的 2 项以 u ( x, t ) x
u j n1 u j n 1 2
u j 1n 2u j n u j -1n h2
0 (23)
(24)
u j n1 2r(u j 1n - 2u j n u j 1n ) u j n1
非线性时滞差分方程周期解的临界点方法的开题报告
非线性时滞差分方程周期解的临界点方法的开题报告1. 研究背景差分方程在生物、物理、经济等领域中具有重要的应用。
然而，由于非线性和时滞的存在，这些方程的解析解往往很难得到。
因此，研究非线性时滞差分方程的定性理论和数值方法显得尤为重要。
近年来，研究非线性时滞差分方程周期解的临界点方法得到了广泛关注。
该方法通过求解系统的极限环，进而确定周期解的存在性、唯一性、稳定性等性质，具有一定的可操作性和可扩展性。
2. 研究目的本课题旨在系统地研究非线性时滞差分方程周期解的临界点方法，包括相关的定性定量理论和数值算法，并尝试将该方法应用于具体的实际问题。
具体来说，研究目标包括：（1）掌握非线性时滞差分方程定性和稳定性分析的基本方法和技巧；（2）深入研究周期解的临界点方法，了解其基本原理和应用范围；（3）搭建相关算法的数值实现，包括极限环的计算和周期解的求解；（4）应用临界点方法解决具体的非线性时滞差分方程周期解问题，如振动系统、神经网络模型等；（5）对研究结果进行分析、总结和归纳，提出未来工作的展望。
3. 研究内容（1）非线性时滞差分方程的基本理论，包括基本概念、定性分析和稳定性理论；（2）周期解的临界点方法，包括基本思想、定理和应用范围；（3）极限环和周期解的数值计算方法，如MATLAB等；（4）应用临界点方法解决具体的非线性时滞差分方程周期解问题，如Van der Pol方程、Rossler方程、神经网络模型等；（5）研究结果的分析、总结和归纳，提出未来工作的展望。
4. 研究方法（1）文献调研：对非线性时滞差分方程及其周期解研究的文献进行系统的搜集和分析，了解国内外研究现状和前沿；（2）定性定量理论研究：基于文献调研和基础理论，研究非线性时滞差分方程的定性和稳定性分析方法；（3）数值算法实现：借助MATLAB等工具，实现极限环和周期解的数值计算方法；（4）实例分析和应用：选取具有代表性的非线性时滞差分方程模型，应用临界点方法研究其周期解问题；（5）研究结果分析：对实验结果进行分类、总结和分析。
抛物型和双曲型微分方程方程的差分方法
抛物型和双曲型微分方程方程的差分方法双曲型微分方程的解，对求解区域内一点(慜，惭)而言，在初值区域内有一个依赖域,差分方程也是如此,对于差分方程(6),点(jΔx,nΔt)的依赖域是初值线上区间【(j-n)Δx,jΔx】。
如令Δt/Δx=r=常数,慜=jΔx,惭=nΔt，则差分方程(6)在点(慜,惭)的依赖域为【慜-a惭/r，慜】,并且步长比r固定时，依赖域与Δx，Δt无关。
差分方程(9)在(慜,惭)的依赖域是【慜-a惭/r,慜+a惭/r】，而差分方程(11)的依赖域则是【慜，慜+│a│惭/r】,R.库朗等人曾经证明，差分格式收敛的一个必要条件是差分方程的依赖域应包含微分方程的依赖域，这个条件叫作"库朗条件"。
从图3中可以看到，对于差分方程(6)，这个条件是慜-a惭/r≤慜-a惭≤慜，即对于格式(9)，库朗条件是,两者不同。
对于格式(11),库朗条件是慜≤慜-a惭≤慜+│a│惭/r；在a>0时,显然不能成立,所以格式(11)当a>0时不收敛，因而也是无用的。
格式(6)a>0在而库朗条件满足时，的确是收敛的。
因为的离散化误差适合由此可知：又因差分格式与微分方程的初值相同，于是可知：这说明条件满足时，格式(6)收敛。
如果a<0，格式(6)不收敛。
但当时，格式(11)收敛。
这两个格式称为"迎风格式",因为a>0时，用向后差商代替,往上风取近似值；当a<0时则用向前差商代替,也是往上风取近似值。
可见作(1)的差分格式时，要考虑波的传播方向。
⑤差分格式的稳定性用一个差分格式计算时，初值的误差必然要影响到以后各层。
通常希望这误差的影响不会越来越大，以致完全歪曲了差分方法的真解，这便是稳定性问题。
讨论时，常把问题化简，设初值有误差ε，而以后的计算并不产生误差,由于误差ε，使变成了+ε，但+ε仍满足所适合的差分格式。
定义一种衡量t=tn层格点上ε的大小的所谓范数‖ε‖，若有常数K>0使当Δt、Δx→0而0≤t=nΔt≤T时，恒有‖ε‖≤K‖ε‖,则称此差分格式是稳定的。
3-抛物型方程的差分方法
，则退化为古典隐式格式；
(3)取 1/ 2 ，则退化为Crank-Nicholson六点格式
为了提高对时间的截断误差，可用中心差分
u
n 1 j
u
n 1 j
2
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
Richardson格式，它是二阶精度的三层显式格式。 通过将其化为等价的二层差分格式，可给出其增 长矩阵为
n u1n u1n 1 au0 n n 1 u2 0 u2 n n 1 u u 0 3 3 n n 1 a u N 2 u N 2 u n u n 1 au n 1 2a N 1 N 1 N
u 2u 0 x 1, t 0 t a x 2 , u ( x, 0) ( x), 0 x 1 u / x u t0 x0 g1 (t ), t0 u / x u x 1 g 2 (t ),
古典显式格式
u
截断误差是 增长因子是
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
2u u h
n j 2
n j 1
0
T O( h2 )
kh G( , k ) 1 4a sin 2 其中网格比 / h2
2
稳定性条件是
1 a 2
古典隐式格式
n 1 un u j j
0
a 0 0
a 0
如用Crank-Nicholson六点格式 n n n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 a u (1 a ) u a u u a ( u 2 u u j 1 j j 1 j j 1 j j 1 ) 2 2 2 可得如下代数方程组
非标准有限差分法求解时滞抛物型方程
（ ｚ， ￡ ）∈ （ ｏ， Ｌ）× （ ｏ， Ｔ］
Ⅲ． 非 线 性 项 的 离 散 采 用 非 局 部 离 散 方 式 例 如 ：
ｕ ２ 一 ＋１分 母 表 达式 为 时 间 步 长 或 者 空 间 步 长 的 函数 。 例如 ： ｄ Ｔ ｕ一 ± Ｌ＿ ＿坠
ｆ
ｌ
一 ｎ 。
＋ “ （ ｘ ￣ ｔ － ｒ ） ４ － ｆ （ ｘ ， ｔ ） ，
，（ １ ）
（ Ｉ ｔ
０ ’ 毕ｎ ， ｈ 为 步 长 。
Ｋｅ ｙ Ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｐ ａ ｒ ａ ｂｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｎ ｏ ｎｓ ｔ ａ ｎｄ ａ ｒ ｄ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎｃ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ； ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
刘 明 鼎 ， 陈贵 清 ， 张艳 敏 ， 董保 珠
（ １ ． 青 岛理Ｔ大学 琴岛学院基础部 ， 山东 青 岛 ２ ６ ６ １ ０ ６ ； ２ ． 唐 山学 院 基 础 教 学 部 ， 河北 唐 山 ０ ６ ３ ０ ０ ０ ）
摘要： 提 出求解 时滞 抛物 型 方程 的非标 准 有 限差分 法 ， 其特 点是 在对微 分 方程 中关 于 时间一 阶导数
ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｉ ｎ ａ ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｓｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎａ ｌ ｙｓ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏｖ ｅ ｓ ｔ ｈａ ｔ ｔ ｈｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ－ ｄｉ ｔ ｉ ｏｎ ａ ｌ ｌ ｙ ｓ ｔ ａ ｂｌ ｅ ａ ｎｄ ｎ ｕｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａｌ ｅ ｘ ａ ｍ ｐｌ ｅ ｓ ｓ ｈｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈｉ ｓ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ ｈａ ｓ ｈｉ ｇｈ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ．
抛物型方程的有限差分方法
抛物型方程的有限差分方法一，求解问题考虑一维非齐次热传导方程的定解问题22(,),0,0(,0)(),0(0,)(),(1,)(),0u ua f x t x l t T t xu x t x l u t t u t t t T ϕαβ∂∂-=<<<≤∂∂=≤≤==<≤......(1)..................(2) (3)其中α为正长数，(,)f x t ,()t ϕ,()t α,()t β为已知函数，(0)(0),(1)(0)ϕαϕβ==,式（2）为初值条件，（3）为边值条件。
二，网格剖分取空间步长/h l M =和时间步长/T N τ=，其中M 、N 都是整数。
用两族平行直线,(0,1,,)i x x ih i M ===和(0,1,,)k t t k i N τ===将矩形域{0;0}Gx l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格结点为(,)i k x t 。
以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h G G Γ=-是网格界点集合。
其次，用ki u 表示定义在网点(,)i k x t 的函数，11,01i Mk N ≤≤-≤≤-。
用适当的差商代替方程（1）中相应的偏微商。
三， 差分格式 1， 向前差分 向前差分格式111202()(),11,01k kk k kiii i i ii i kki i i M u u u u u af hf f x u x u u i M k N ττϕϕ++---+=+====≤≤-≤≤-以2/ra h τ=为网比。
将上式改写为便于计算的形式，则得以下向量形式111(12)()(,)11,01k k k kii i i i k u r u r u u f x t i M k N τ+-+=-+++≤≤-≤≤-上式表示第k 层的值显示表示出来。
已知第k 层的值{|1}k i u i M ≤≤，则可以直接得到第k+1的值1{|1}k i u i M +≤≤。
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１ 差 分 格 式
设 ，＝｛ ｌ ＜１，是， ０＜ ｝７ 的闭包， 首先将区域 ７ ０ Ｔ 进行网格剖分， ×［， ］ 选取正整数 Ｊ和Ｎ， 并
令 ＝了 １为空间方向的网格步长
， ＝
Ｔ 为 时间方 向 的网格 步长
，
并 要 得ｓ 云为 整 ， 且 使 ＝ 正 数记
ｘ ， ｉ＝ Ｊ＝ ０ １ … ， ； ｔ ，， Ｊ ＝ ｎ ， ｋ ｎ＝一 ｓ 一 ｓ＋１ … ， ， ， ， ， ０ １ …
２
≤ Ｃ・
差 分 格 式 的 收敛 性 和 稳定 性
定理 ２ 假 设 条件 １ 、） 足 ， ）２ 满 则差 分方 程 （） （ ）（） ２ ， ３ ，４ 的解 以 ｆ・ｌ 收敛 到定 解 问题 （） ｌ ｌ １ 的解 ，
且 收敛 阶为 ０（ ＋ｈ ） ｋ ． 证 明 设 问题 （ ）的解为 ｖ ｘ ｆ 和 ｔ １ （ ， ） 。 ｖｊ ， ｋ ， Ｔ ｙｏ 级 数展 式得 截断 误差 为 ｎ＝ （ｈ ｎ ） 由 ａｌ ｒ
其 中 ｃ 常数 ， 为 在不 同的地 方有 不 同的值 ． 在条件 １ 、） 用 Ｔｙ ｒ ）２ 下 ａｌ 级数 展式 可得 ． ｏ
Ｉ Ｐ ｔ Ｙ ）Ｉ ｃ １ ｌ 十Ｉ Ｃ ， ， ≤ （ ＋Ｉ 十ｌ Ｉ Ｉ Ｉ） ， ｔ Ｙ ＋Ｉ
下 面对差 分解进 行估 计 ． 们先 引人 下面 的定理 ． 我
＝ ， ＝０ 一１ … ，一ｓＯ≤ Ｊ≤ Ｊ ｎ ， ， ；
为 了提高 格式 的整体 精度 ， 层 的值 也需 为精度 Ｏ ｋ （ ＋ｈ ）在 下 面的证 明 中假设 函数 厂 足下 ． 满
列两 条件 ：
１ Ｐ ｔＹ ）∈ ｃ （ ； ） Ｃ ，， ， Ｒ ）
２ ｌ ｃ ｌ Ｉ ｃ Ｉ ｙ ≤ ｌ ， Ｉ ｌ ）Ｉ ≤ ， ≤ ， 厂 ｌ Ｉ Ｉ ≤ｌ ， Ｙ
设 “ 、 分别 是 微分 方程 与差分 方程 的解 ． 文采用 如 下符号 二 本
（ ： “
， ： （ 与 ， ： （
，
（：
下 面给 出方程 （ ） １ 的差分 格式
： （ ｎ） 妻 ， 让，Ｕｎ ￣： Ｖ
： ， ， ） 凡 ∈
ｌ Ｉ ＝（“ ） ｊ“ ｌ ：Ｏ≤』《 ｘ ？ｌ ｌ ｌ ， ， ｊ “１ ｍ Ｊ一１ ｕ ａ ｌ
ｋｌ Ｉ＋ｃ ｌ Ｉ ≤ｋ Ｉ ＋ｃ∑ ｌｅ ＿ Ｉ ｋ『 Ｉ ｒ 【 Ｉ ｋ Ｉ ｅ
＋ ｌ Ｉ） ． １ ： ｌ ＋ ｌ ｎ ｌ ）则有 ｌ Ｉｎ ＋ Ｄ （ｌ ＋ 。 Ｉ 一 。 Ｉ Ｉ ｌ
“ｎ－ “ ，ｌ ＋ｓ
４３ ７
１ ２
． 莹ｆ ＼ ± Ｉ Ｉ 一 １ ＋
＋
ｎ
－
ｓ —ｌ
＋１
２
ｌ
＋
２
ｕ ” ＋ “ － １
） ） （ ＋
１ ， ｃＩｎＩ （ ≤ｃ＋Ｉ ． ） ｉ Ｉ ｝ Ｉ
ｎ一１
善＋ （
假设 ｌ Ｉ ０再 由 ｌ “ Ｉ＝ ，
：
一） ２ （ ） （ ） ，一 Ｄ［ 撕＋（ ］＋ ｈ（ ）
纽
＋ ｎ
一
＋
ｓ —ｌ
ｌ
一
２
）十
，
盟
，
，
（ ） ５ｆ ｘ，． ］－ ｊ ｔ，
）＋
，
）＋
１
，
，
，
）＋ ］
（） ６
吾 鹏 ，
令
，
）
，；“＋ ： ｎ ｕ ￣ ｓ
，
—
Ｅ ‘ ，ｌ ＋ｃ∑ Ｉ ≤ｋＩ Ｉ ｋ Ｉ ｌ
两端对 ｎ １… ， 求和 ， ｅ （ ＋ｈ ）， ｅ ＝ ０ （ ， Ⅳ） 由 ０＝ ｋ 令 一 得
≤ｅ＋ ｋ 『 ０ ｃ∑ Ｉ
≤ ｎ《 Ｎ
＋ ｋ ∑ ｌｅｌ ≤ ｃ∑ ｌ ｌ ｅ
一 ｎ
＝
ｅ＋Ｔｍｘｌ ｊ ＋ｃ∑ ｌｅｌ ≤ｅ＋Ｔｍｘ＿ｎｌ＋ｃ∑ ｅ． ０ ａ ｌ ｌ ｋ ｌ ｌ Ｉ ｏ ａ ｌ １ ｒ ｅ ｌ ｋ＿ ｒ １ ≤Ⅳ ≤ｎ ：
令
ｎ１ ｎ１ ２ ＋ ± 一Ｊ Ｉ
２
Ｉ＋
２
， ≥２ （Ｉ Ｉ 一 Ｉ ｎ Ｉ） Ｉ ： Ｉ 。 ｋ ＩⅡ Ｉ ｎ ｔ ， ＋ Ｄ（Ｉ Ｉ Ⅱ一 Ｉ “
一
Ｕ
ｌ ）＝ ｌ， ｌ ｚ
Ｂ ＝２ （ ｎＩ ＋ ｎ ｋ Ｉ 一
Ｉ Ｉ
≤（。 Ｗ ＋∑ Ｃ ） ， ｋ ２邶 ｋ
（ ＞ １． Ⅳ ）
其 中 足够小 ， 使得 （ Ａ＋Ｂ） ｋ≤
引 ２ Ｇｏｗｌ 理 ［（ｒ ａ 不等式 ２ 若离散函数 Ｎ ７ ｎ ｌ ） ｋ：Ｔ Ｗ ， ＝｛ ｍ ＝０ｌ…， ｝ Ｗｆ ，， Ⅳ ， 满足如下不等式
≤Ａ＋∑ Ｂｗｋ ． ，
２
ｎ＋ｓ ＋ｌ
蹦
） （ 小 ：
５ｆ ｘ ．， （ｊ，ｔ
，
）
，
，
）＋ ］
＋
２
４４ ７
淮 阴师范学 院学报（ 自然科学 ）
第９ 卷
将 （） 与 ｅ 一ｅ 作 内积 ， ６式 ”。 得 ２ ｋ ｆ ＋ Ｄ（ Ｉ
ｎ 一
一
ｈ２
＋
引理 １ （ｒ ｗｌ ［ Ｇｏ ａ 不等式 １ 若离散函数 Ｎ ７ ｎ ｌ ） ｋ＝ＴＷ ＝｛ ｎ＝０１…， ｝ ，＾ Ｗ Ｉ ，， Ⅳ ， 满足如下不等式
一
Ｗ
一
ｌ ≤ Ａｗ ＋ Ｂｗ ｌｋ ＋ Ｃ ｋ ｋ，
一
其 中 Ａ， Ｂ和 Ｃ （ ＝ １２ … ， 为非 负常数 ， ｎ ， ， Ⅳ） 则有
由引理 ２ 得
≤ （ ＋Ｔ ｍ ｘ ｆ ｆ ）ｘ（Ｎ ） （ ＋ｈ ）． ｅ ０ ａ ｆ ｅｐ ｃｋ ≤ ｋ ，
于是有
Ｉ ｌ
Ｉ≤ ０ ｋ （ ＋ｈ ） ｌ ，ｌ
ｌ ０ｋ ｌ≤ （ ＋ｈ ） ．
（ 一（ 和 ） 。＋ ～
收 稿 日期 ：２ １ ０ — ３ 、００ ８ ０
．
作者简介：芮杰（９９） 女 ，汉族 ，山东新泰人 ， 师 ， １７一 ， 讲 硕士 ，研究方 向为偏微分方程在图像处理 中的应用
４２ ７
淮阴师范学院学报（ 自然 科 学 ）
第 ９卷
将 上式 两端 同乘 以算子 １＋ｈ ０ 可得 等价格 式 Ａ ＊２
．
— 一
（ｎ ｅ 一ｅ ）＋（ ）一Ｆ（ ） ｅ 一ｅ一） ｒ ， Ｆ（ ｎ ，”
而
（） ７
Ｊ ）一Ｆ（ ｎ ｎ Ｆ（ ， ）
（ １
Ｉｎ Ｉ
一
所 以 （） ７ 式变 为
２
＋ Ｄ（】 １
） ２ ＋ｈ
．
２ ）ｃ ２ １ ｜，＋ｋ ｆ ｌ ｅ ２∑ｆ ｝ ｒ ｈ（ （ ｒ ＪＩ 一 １ ， ＋ ’
Ｂ 一Ｂ ～ ≤ ｃ ｋ＋ｃ （ “一Ｂ 一） ｋＢ ， 由引理 １ 得 Ｂ ≤ Ｃ ｎ＝ １ … ， ， （ ， Ⅳ）
因此有
“ ｌ≤ Ｃ ｌ ：ｌ≤ Ｃ ｎ＝ １２ …， ， ｌ ，ｌ ｌ Ｕ （ ，， Ⅳ） 由 Ｓｂ ｖ ｏｌ 不等式 ， ｃ “ｌ ｅ 得 ｌ ｌ Ｈ
第９ 卷第 ６ 期
２１ ００年 ｌ ２月
淮阴师范学院学报 （ 自然 科 学 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ Ｉ Ｉ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＨ Ａ ＹＮ Ｔ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｕ ｅ
Ｖｏｌ９ Ｎｏ． ＿ ６ Ｄｅ ｃ．２ ０ ０１
其 中 Ａ， 为非 负常 数 ， Ｂ 则有
Ｉ ＾ｌ ≤ … ２ ， ｌ ｌ Ａ Ｓ Ｓ ｍ， ： 其中 后足够小 ， 使得
ｎｌ ｘ ａ
．． ．
…
．
Ｂ） 专 ｍ≤ ・
ｌ≤ ｃ ｌ ：ｌ ｃ ｎ＝ １ ｌ ，ｌ Ｉ≤ （ ，
定 理 １ 假 设条 件 １、） ）２ 满足 ， 则差 分方程 （ ）（）（ ） ２ ，３ ，４ 的解满 足 ｌ ｌ ２ … ，ｒ， 而有 ｌｕ ｆ ≤ Ｃ ， 』）从 、 Ｉ “ｉ ．
非 线 性 抛 物 型 方程 时 问 周期 解 的一 种差 分 方 法
芮 杰
（ 国石油大学 数学与计算科学学 院 ， 中 山东 东营 ２ ７６ ） ５０ １
摘 要 ： 立 了一个 具有 时 间周 期 的 非线 性 抛 物 型方 程 的 隐 式差 分格 式 ， 分 格 式 的精 度 为 建 差 Ｏ（ ， ｋ ＋ｈ ） 并用 离散 泛 函分 析 的方 法证 明 了格 式 的收敛 性和 稳定 性 ． 关键 词 ： 线性抛 物 型方程 时间周期 解 ；差分 格 式 ；收敛 性 ；稳定 性 非
（） １
其 中 ， ＞０是常 数 ； ＝ （ ｔ ） ｒ＞０ 示时滞 ； Ｄ ， —ｒ ， 表 Ｔ是正 的 常数 ， 它代 表解 的时 间周期 ， 并假 设 时
间周期 是 给定 的 ， 函数 ｕ （ ） ｕ （ ）ｆ ， ， ， 在 Ｒ 。 ｔ ， ， ｔ ，（ ｔ ｕ ） ×［ ， ］ ０ １ 上连续 ， 关 于 ｔ 为 周期 函数 ， 且 均 ｆ ， ， ， 关 于 、 是 非线 性 的 ． （ ｔｕ ｕ）
证 明 差分方 程 （ ） ２ 两端 与 Ｈ＋ — ｕ－ 作 内积 ， ， ｌ ｎ１ ｎ 由条件 １ 、） ）２ 得
２
ｈ １ Ｄ（】 “
） ２ ＋ｈ
．
≤
・
・
（ … 善＋ （ｆ
善 （ ≤ ｃ ＋
第 ６期
芮
杰： 非线 性抛物型方程时间周期解的一种差分方法
中图分类 号 ：０ ４ ．２ ２ １８ 文献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ １６７ （０ ０ ０ —４ １ ５ １７ —８ ６ ２ １ ）６０ ７ － ０