第九章 量子力学的几何相位

第九章 量子力学的几何相位§9-1 引言量子力学波函数中的相位，在理论描述中是必不可少的，因为任何波动一般必须包含振幅和相位两个要素，量子力学的几率波也不能例外。

这种必要性也表现在, 量子力学波函数一般必须是复函数, 因为复函数的三角表示正好包含振幅和相位两个要素。

然而，长期以来，人们对量子力学波函数中的相位的重要性及其客观意义缺乏深刻的认识，甚至有时忽视波函数中的相位。

Aharonov-Bohm(AB) 效应（1959）和Berry 相位（1984）的发现，是物理学的重要成就，它促使人们对物理学基本问题、特别是量子力学几何相位问题开展深入研究。

AB 效应和Berry 相位提出了下列基本问题： 1） 电磁理论的基本问题：是电磁场强度),(B E r r 基本，还是电磁势基μA 本？是客 观的吗？可观测吗？μA 2）量子力学的基本问题：波函数的相位是客观的吗？可观测吗？ 3）电磁势与波函数的相位有什么关系？ μA 4）电磁势和波函数的相位与物理空间的性质有什么关系吗？μA 5） 物理空间的几何效应，除了引力效应外，还有哪些？可观测吗？ 如何描述？对上述问题的研究，构成了现代理论物理学的研究前沿之一，加深了人们对物理学基本 问题的认识, 促成了对物理空间整体性质的认识和拓扑量子力学的发展。

拓扑量子力学研究物理空间拓扑性质对微观粒子量子运动的影响（如维数效应和连通效应等）和量子运动方程的拓扑性解（如非线性薛定格方程的拓扑孤子解和涡旋解），拓扑场论研究场方程的拓扑性解和拓扑性激发（如经典场的磁单极解、瞬子解等）。

§9-2 AB 效应、AS 效应与磁通量子化1．AB 效应[1]1959年Y.Aharonov 和D.Bohm 从理论上预言了AB 效应（Phys.Rev.115(1959)485），R. G.Chambers 在1960年做实验证实了其存在（Phys.Rev. 5(1960)3.）。

考虑电子通过双缝的干涉实验，双缝后面有一细长的螺线管，如图9-1所示。

s 12φ图9-1 AB 效应实验示意图电子的哈密顿量和定态薛定格方程为，2))((21ˆr A c q i m H r r r h −∇−= （9-1） )()(ˆr E r H r r ψψ= （9-2） 当0=A r 时，其解为 h r r r /0~)(r p i e r ⋅ψ （9-3a ） 当0≠A r 时，其解为 )()(0/)(r e r r iS r r h r ψψ=， （9-3b ）∫⋅=r l d r A c q r S r r r r s 0)()( ， （9-3c ） 其中, （9-3c ）中为沿起点和终点为()(r S r r r ,0)的某一路径的积分。

对不同路径, 波函数获得的相位不同, 它们是沿轨道1， )()(0/)(11r e r r iS r r h r ψψ= （9-4a ） 沿轨道2， )()(0/)(22r e r r iS r r h r ψψ=, (9-4b) 1ψ 与2ψ的相位差为∫∫∫=⋅=⋅=−=h r r h r r r h h c q d B c q l d r A c q S S φσγ)(/)(21， （9-5） φ为轨道1与2包围的区域内的磁通，即螺线管内的磁通。

请注意，γ具有规范不变性。

事实上，在规范变换下, γ的确不变, α∇+=→r r r r A A A ', (9-6a) ∫∫∫=⋅∇×∇+=⋅=→γσαγγr r r r h r r h d B c q l d A c q ]['', (9-6b) 电子波在屏上的干涉图样由两列波1ψ 与2ψ的相干强度决定， 2/|)()(|2/)(),(22010221r e r p I i r r r ψψψψγγ+=+=]/)(cos[1).(21121/)(21γγ+−⋅+=++=+−⋅h r r r h r r r r r p c c e i r r p i ， （9-7） 从(9-7)式可知, 螺线管内的磁通的变化，通过改变γ可使干涉条纹发生移动；实验证实了上述理论预言。

这表明，螺线管外虽然不存在磁场B r ，但却存在电磁势A r ，其大小由于规范变换而不确定，但沿一路径的积分之差却是确定的，对波函数贡献一相位，能产生物理效应。

因此，在微观世界，A r 比B r 更基本，与波函数相位一样，具有可观测的物理效应。

应当指出，γ是两列波相位之差，不是电子绕一个闭合回路相位的变化，不存在波函数单值性的要求对磁通变化的限制（磁通量子化）问题，磁通可连续变化。

2．AS 效应[2]1967年，Y. Aharonov 和 L.S. Susskind 从理论上预言，中子经过磁场时，其自旋波函数产生进动，相位发生的变化会产生可观测的物理效应；而且由于中子自旋为1/2，当中子进动绕回路一周时，相位变化为π，使波函数改变一符号(Phys.Rev. 158(1967)1237)。

这一预言在七十年代也被实验证实，叫AS 效应。

如图9-2图9-2 AS 效应实验示意图沿轨道1的中子在磁场中会进动，若磁场沿y-方向，则自旋波函数满足的运动方程为， χχH ti ˆ=∂∂h ， （9-8a ） h h r r /2,2ˆB B B H n y y n n μωσωσμσμ===⋅=， （9-8b ） 其中n μ为中子的磁矩。

考虑z σ的本征态，1,||±=>>=m m m m z σ ， （9-9） 初态为的态的时间演化为，>m | >=−m e t t i m y |)(21ωχ∑>=''21'|)(m m m m t dω， （9-10）其中d -函数>=<−'||)(2'21m e m t d t i m m y ωσω, 可从d -函数表查到。

中子的总体波函数为空间部分与自旋部分之乘积，m r m r χψψ)(),(0r r =， （9-11a ） 因为均匀磁场只引起中子自旋进动, 不影响中子在坐标空间的运动, 故空间部分波函数为平面波， h r r r /0)(r p i er ⋅=ψ (9-11b) 控制沿轨道1的中子穿过磁场的时间t Δ，使πωγ2=Δ=t ， （9-12） 则 m m m m d ''21)2(δπ−=， （9-13a ）>−==Δm t m |)2(πωχ (9-13b) 沿轨道2的中子不穿过磁场，自旋波函数无进动，因而不变仍为。

中子在屏上的干涉图样由两列波的相干强度决定，>m | h r r r r r /)(sin 1|)(|)(||21)2(2122010r r p r m r m I m −⋅+=>−>==ψψπγ, (9-14a) 当无磁场时，02==B ω，0=γ， h r r r r r /)(cos 1|)(|)(||21)0(2122010r r p r m r m I m −⋅+=>+>==ψψγ, (9-14b) 两种情况，干涉条纹的峰谷发生移动，能清楚显示出AS 效应。

AS 效应表明，自旋波函数的相位也具有物理意义；在普通空间中转动一周，自旋波函数并不回到原值，而是改变一符号，绕两周才回到原值, 自旋空间的角周期为π4。

3. 磁通量子化[3]设电子(或超导体中的电子对)在一个介观圆环中运动，其电荷为q 。

在圆环内置一个细长的螺线管，通电流后，螺线管内有磁场B r ；管外虽无磁场，但有电磁势, 如图9-3所示。

与AB 效应类似的考虑，设A v 0,0==A B r r 时，电子(电子对)的波函数为0ψ。

当时，0,0≠≠A B r r图9-3 磁通量子化实验示意图h r r r /)(0)()(r iS e r r ψψ=， （9-15a ） ∫⋅=r l d r A c q r S r r r r r 0)()( （9-15b ） 计算一个电子(对)绕圆环一圈后其波函数相位的变化，得到, h c q φγ=， （9-16） 其中φ为磁通。

由于电子(对)绕圆环一圈时，自旋波函数χ未变（因为 自旋无进动），空间波函数,0=B γψψi e r r )()(0r r =，总波函数的单值性要求，)2()0(00πϕψχψχψϕψγ=====i e ， （9-17a ） ， (9-17b) πγγn e i 2,1==这导致磁通量子化， qch n n q c ==πφ2h (9-18) 上式表示，磁通以其量子q ch 的整倍数改变，即磁通是量子化的。

因此，磁通量子化是电磁势A r 与电子( 电子对)的量子运动相互作用、相互耦合的结果，密切依赖于电子( 电子对)的运动状态。

在AB 效应中，涉及两列电子波的相干，磁通可以连续变化，并不量子化；而在此处，涉及电子( 电子对)的稳定的定态运动，电子( 电子对)波函数的单值性导致磁通量子化。

上面讲的是物理空间存在电磁势（场）时，使带电粒子或具有磁矩的中性粒子的波函数在坐标空间或自旋空间产生了一个附加的相位，导致可观测的物理效应。

这表明，1） 更基本，2）与带电粒子耦合产生的波函数的相位具有可观测的物理效应。

μA μA 下面要讲，当哈密顿量包含与时间有关的参数时，其本征态仿射的希伯特空间以参数空间为底空间, 态矢沿弯曲的参数底空间平移时也会产生附加的相位，导致可观测的物理效应。

一般地，当与量子系统及其态矢耦合的物理因素周期性变化时，都有可能使波函数产生附加相位，导致可观测的物理效应。

§9-3．Berry 相位[4-8]1. 含时哈密顿量的瞬时本征值问题量子系统与外界相互作用可以用包含若干含时参数的哈密顿量来描述， },...1),({)()),(,(ˆ),(ˆn i t R t R t R r H t r H i ===r r r r （9-19） 其中r r 是粒子坐标，)(t R r 是参数空间的矢量，与时间有关。

这样的系统称非自治量子系统。

该系统的瞬时本征态方程为 >>=)(|)()(|))((ˆR n R E R n t R H n r r r r ， （9-20a ）其解>)(|),(R n R E n r r 依赖参数R r ，>)(|R n r 满足正交、归一、完备性条件， mn R n R m δ>=<)(|)(r r （9-20b ） ∑=><n I R n R n |)()(|r r ， （9-20c ）对（9-20a ）和（9-20b ）施行R r 空间的梯度运算可得， >∇<>=∇<+>∇<n m E n H m n m E n m r r r ||ˆ||， （9-21a ） )/(|ˆ||m n E E n H m n m −>∇>=<∇<r r ， （9-21b ） ,0||>=∇<+>∇<n m n m r r （9-22a ） >∇<−>=∇<n m n m r r ||, (9-22b) 上述各种量都是)(t R r 的函数，>∇<n m r |等是R r 空间的矢量。