第九章 量子力学的几何相位

第九章 量子力学的几何相位

§9-1 引言

量子力学波函数中的相位，在理论描述中是必不可少的，因为任何波动一般必须包含振幅和相位两个要素，量子力学的几率波也不能例外。这种必要性也表现在, 量子力学波函数一般必须是复函数, 因为复函数的三角表示正好包含振幅和相位两个要素。然而，长期以来，人们对量子力学波函数中的相位的重要性及其客观意义缺乏深刻的认识，甚至有时忽视波函数中的相位。

Aharonov-Bohm(AB) 效应（1959）和Berry 相位（1984）的发现，是物理学的重要成就，它促使人们对物理学基本问题、特别是量子力学几何相位问题开展深入研究。AB 效应和Berry 相位提出了下列基本问题： 1） 电磁理论的基本问题：是电磁场强度),(B E r r 基本，还是电磁势基

μA 本？是客 观的吗？可观测吗？

μA 2）

量子力学的基本问题：波函数的相位是客观的吗？可观测吗？ 3）

电磁势与波函数的相位有什么关系？ μA 4）

电磁势和波函数的相位与物理空间的性质有什么关系吗？

μA 5） 物理空间的几何效应，除了引力效应外，还有哪些？可观测吗？ 如何描述？

对上述问题的研究，构成了现代理论物理学的研究前沿之一，加深了人们对物理学基本 问题的认识, 促成了对物理空间整体性质的认识和拓扑量子力学的发展。

拓扑量子力学研究物理空间拓扑性质对微观粒子量子运动的影响（如维数效应和连通效应等）和量子运动方程的拓扑性解（如非线性薛定格方程的拓扑孤子解和涡旋解），拓扑场论研究场方程的拓扑性解和拓扑性激发（如经典场的磁单极解、瞬子解等）。

§9-2 AB 效应、AS 效应与磁通量子化

1．AB 效应[1]

1959年Y.Aharonov 和D.Bohm 从理论上预言了AB 效应

（Phys.Rev.115(1959)485），R. G.Chambers 在1960年做实验证实了其存在（Phys.Rev. 5(1960)3.）。

考虑电子通过双缝的干涉实验，双缝后面有一细长的螺线管，如图9-1所示。

s 1

2

φ

图9-1 AB 效应实验示意图

电子的哈密顿量和定态薛定格方程为，

2))((21ˆr A c q i m H r r r h −∇−= （9-1） )()(ˆr E r H r r ψψ= （9-2） 当0=A r 时，其解为 h r r r /0~)(r p i e r ⋅ψ （9-3a ） 当0≠A r 时，其解为 )()(0/)(r e r r iS r r h r ψψ=， （9-3b ）

∫⋅=r l d r A c q r S r r r r s 0)()( ， （9-3c ） 其中, （9-3c ）中为沿起点和终点为()(r S r r r ,0)的某一路径的积分。对不同路径, 波

函数获得的相位不同, 它们是

沿轨道1， )()(0/)(11r e r r iS r r h r ψψ= （9-4a ） 沿轨道2， )()(0/)(22r e r r iS r r h r ψψ=, (9-4b) 1ψ 与2ψ的相位差为

∫∫∫=⋅=⋅=−=h r r h r r r h h c q d B c q l d r A c q S S φσγ)(/)(21， （9-5） φ为轨道1与2包围的区域内的磁通，即螺线管内的磁通。请注意，γ具有规范不

变性。事实上，在规范变换下, γ的确不变, α∇+=→r r r r A A A ', (9-6a) ∫∫∫=⋅∇×∇+=⋅=→γσαγγr r r r h r r h d B c q l d A c q ]['', (9-6b) 电子波在屏上的干涉图样由两列波1ψ 与2ψ的相干强度决定， 2/|)()(|2/)(),(22010221r e r p I i r r r ψψψψγγ+=+=

]/)(cos[1).(2

1121/)(21γγ+−⋅+=++=+−⋅h r r r h r r r r r p c c e i r r p i ， （9-7） 从(9-7)式可知, 螺线管内的磁通的变化，通过改变γ可使干涉条纹发生移动；实验证实了上述理论预言。这表明，螺线管外虽然不存在磁场B r ，但却存在电磁势A r ，其大小由于规范变换而不确定，但沿一路径的积分之差却是确定的，对波函数贡献一相位，能产生物理效应。因此，在微观世界，A r 比B r 更基本，与波函数相位一样，具有可观测的物理效应。应当指出，γ是两列波相位之差，不是电子绕一个闭合回路相位的变化，不存在波函数单值性的要求对磁通变化的限制（磁通量子化）问题，磁通可连续变化。

2．AS 效应[2]

1967年，Y. Aharonov 和 L.S. Susskind 从理论上预言，中子经过磁场时，其自旋波函数产生进动，相位发生的变化会产生可观测的物理效应；而且由于中子自旋为1/2，当中子进动绕回路一周时，相位变化为π，使波函数改变一符号(Phys.Rev. 158(1967)1237)。这一预言在七十年代也被实验证实，叫AS 效应。 如图9-2

图9-2 AS 效应实验示意图

沿轨道1的中子在磁场中会进动，若磁场沿y-方向，则自旋波函数满足的运动方程为， χχH t

i ˆ=∂∂h ， （9-8a ） h h r r /2,2

ˆB B B H n y y n n μωσωσμσμ===⋅=， （9-8b ） 其中n μ为中子的磁矩。考虑z σ的本征态，

1,||±=>>=m m m m z σ ， （9-9） 初态为的态的时间演化为，

>m | >=−m e t t i m y |)(21ωχ

∑>=''21'|)(m m m m t d

ω， （9-10）