第二章 材料力学2

B
477.5N· m Tn
C 955N· m
A
637N· m
例2-7-3 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率 NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料 为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。
A空 ( D 2 D 2t 2 ) d 2 1 0.334 4 4 A实 3
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴
较实心轴合理。
四、圆轴扭转时的变形及刚度计算 1．扭转时的变形 扭转角：圆轴扭转时两个横截面间绕轴线转过的相对转角，称相对扭转
角，简称扭转角 扭转角
T1 TB 468N m T2 TA TB 1170 468 702N m T3 TA TB TC 1170 468 351 351N m
Tmax 702N m
(3) 强度校核
T m ax m ax WT 702 0.2 0.045 3
令 —— 截面对圆心的极惯性矩， mm4。

Ip
显然，当
max
D 2
时，切应力为最大值
MT Ip
令
max
MT D Ip 2
IP Wp D2
，则上式可改写成
max
MT Wp
式中：
Wp
——抗扭截面模量，
mm 3 或 m 3
3．圆形截面的极惯性矩和抗扭截面模量 圆形截面的极惯性矩是只与截面形状和尺寸有关的几何量，圆形截面的抗 扭截面模量是圆轴抵抗扭转破坏能力的几何参数。 其极惯性矩和抗扭截面模量分别为
I p 2 dA
A
D2
0
2 2 d
D 4
32
Wp
Ip
max

D 3
16
D 4
32
D 3
16
内径为d,外径为D的空心圆形截面的极惯性矩和抗扭截面模量分别为
Ip
(1 )
4
Wp
(1 4 )
d D
4．圆轴扭转时的强度
max [ ]
变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线，这种变形形式称为弯曲变形。 工程中，常把以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。如果梁的轴线是直线则
称为直梁。
如果梁的轴线弯曲后所在平面与外力所在平面相重合，则称这种弯 曲为平面弯曲
图2-30 梁常见的对称截面形状
【例 2-10】一悬臂梁ABC，如图所示，试作悬臂梁ABC的弯矩图。 解：（1）求支座反力，对悬臂梁，可不必求支座反力。 （2）分段列弯矩方程。根据梁的受力情况，AB段和BC段的弯矩方 程表达式不同。假设梁上任一截面离左端点的距离为x,
mc
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
0
M n1 mA 76.4 Nm
M n 2 114.6 Nm
例2-7 -2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
TB
TC
TA
TD 计算外力偶矩 D N TA 9550 A 1592N m n N TB TC 9550 B 477.5 N m n ND TD 9550 637 N m n m 作扭矩图 Tnmax=955N·
根据变形规律、变形与应力间的物理关系、静力平衡关系，可推导出 圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式：
MT Ip
I p 2 dA
A
是一个只决定于横截面的形状和大小的几 何量，称为横截面对形心的极惯性矩。

MT
—— 距离圆心为

处的切应力，MPa
—— 横截面上的扭矩，N· mm； —— 所求应力点到圆心的距离，mm；
先计算外力偶矩
mA 9550 NA 4 9550 76.4 Nm n 500
A
B
C
x
mA
N 10 mB 9550 B 9550 191Nm n 500
mC 9550 NC 6 9550 114.6 Nm n 500
x
Mn1
M
Mn2
X
0
M n1 mA 0
M A 1592 N m M B M C 477 .5 N m M D 637 N m
MB MC
画扭矩图步骤：
（1）求各轮上的外力偶矩 （2）分段求扭矩 （3）作扭矩图
MA
MD
B
C
A
D
MT
955N· m
477.5N· m
+ _ 637N· m
例2-7-1 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算 该轴的扭矩。
T
转速：n(转/分)
P Me 9550 n
2．扭矩
MT
m
x
0
M T m 0，M
T
m
MT
对扭矩正负号作如下规定，即右手螺旋法则：四个手指的转向与 转向相同，大拇指与截面外法线方向相同规定为正，反之为负。
3．扭矩图 若作用于轴上的外力偶多于两个，此时圆轴各横截面上的扭矩 是不同的，为了分析最大扭矩，通常把表示扭矩随截面位置变化规 律的图形称为扭矩图。
实际接触面面积；若接触面为曲面，则有效挤压面面积为曲面在挤压方 向上的正投影面面积。
工作面
(a)
(b)
挤压强度条件
jy
F jy A jy
jy

冲头 钢板
冲模
§2-4 圆轴扭转
一、圆轴扭转的概念
杆件扭转变形的受力特点：杆件受到作用面与轴线垂直的外力偶作用。
变形特点：杆件的各横截面绕轴线发生相对转动。
Fy 0
FA q 4 FB F 0
M A ( F ) 0 q 4 2 M FB 6 F 8 0
解得
FA 3kN
FB 7kN
计算控制截面的弯矩 确定抛物线顶点所在的截面 位置：假设离左端点距离为x 处剪力为零，则
max
M T max WP
强度条件解决三类问题：校核强度、设计截面尺寸、确定许用荷载。
某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩 T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
例
解：计算截面参数： D 4 Ip (1 4 ) 77 .1 10 4 mm 4 32 W I p 20 .3 10 3 mm 3 p D/2 由强度条件：
2．刚度条件 构件除应满足强度条件外，还需满足刚度要求。为了避免刚度不够而影响 正常使用，工程上对受扭构件的最大单位长度扭转角进行限制，即刚度条件 为
max
M T max 180 [ ] GI
刚度和强度条件一样可解决三类刚度问题。
§2-5 平面弯曲
一、 平面弯曲的概念 1．弯曲的概念
三、圆轴扭转时的应力及强度计算 1．圆轴扭转时横截面上的应力 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分 两端施以大小相等方向相反一对力偶矩 # 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变。 # 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了 一个角度γ。
观察到：
由试验可得如下结论：


圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，其大小、形状以及相邻两截
§2-3 剪切与挤压
一、剪切与挤压的概念 工程实际中，产生剪切与挤压的构件往往是机械或结构中的联接件。如 平键、螺栓、铆钉、销钉等。 铆钉连接
销轴连接
剪切的受力特点是：作用在构件两侧面上的外力大小相等、方向相反、 作用线相距很近。 变形特点是：沿外力作用线之间的截面发生相对错动。
剪切变形：截面间发生相对错动的变形称为剪切变形，产生相对错动的

FQ A
要保证构件工作时不发生剪切破坏，则其产生的最 大切应力不得超过材料的许用切应力，因此剪切的 ， 强度条件为：

FQ A

校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷
三、挤压的实用计算和挤压强度条件
实用计算: 假设挤压应力在挤压面上均匀分布
jy
F jy A jy
有效挤压面面积如下确定：若接触面为平面，则有效挤压面面积为


与扭矩、截面尺寸及材料性能有如下关系：
MT l GI p

为了消除轴长度

M Ti l i GI pi

l
对扭转角的影响，工程中常采用单位长度扭转角
来度量扭转变形，即
与
M T 180 GI P
（°/m）
GI P成反比，它反映截面抵抗扭转变形的能力，所以称
GI P
为截面的抗扭刚度。
(1) 计算外力偶矩
NA 36.7 9550 1170N m n 300 N 14.7 TB 9550 B 9550 468N m n 300 N 11 TC TD 9550 C 9550 351N m n 300 TA 9550
(2) 画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:
max
Tmax 97.5MPa [ ] WP
故轴的强度满足要求。 若将空心轴改成实心轴，仍使 max 97.5MPa ，则
max
Tmax 1.98 10 3 97.5MPa 3 Wp d / 16
由上式解出：d=46.9mm。
空心轴与实心轴的截面 面积比(重量比)为：
（3）载荷与弯矩图之间的关系 梁上载荷与弯矩图之间有如下规律： ① 梁上没有载荷作用的区段上，弯矩图为一斜直线。 ② 梁上有均布载荷作用的区段上，弯矩图为一抛物线，抛物线的 开口方向与均布载荷的方向一致，即均布载荷向上，则抛物线开 口向上；反之，则抛物线开口向下。 ③ 有集中力作用的截面处，弯矩图会发生转折。 ④ 有集中力偶作用的截面处，弯矩图将发生突变，突变量的大小 等于集中力偶矩的大小；突变的方向与集中力偶矩的转向有关，若 外力偶矩为逆时针转向，则从上向下突变；反之，则从下向上突变。 【例2-11】 一外伸梁受力如图，试绘制其弯矩图。 解 （1）求反力 取梁为研究对象，受力分析如图(b)，列平衡 方程
面之间的距离保持不变，故横截面上没有正应力； 由于相邻横截面发生相对转动，故横截面上必有垂直于半径方向呈
线性分布的切应力存在，且与扭矩的转向一致。最大切应力发生在圆轴横
截面边缘上，而圆心处的切应力为零，实心和空心圆轴横截面上的切应力 分布如图所示。
2．圆轴扭转时横截面上的切应力计算
结果说明横截面上没有正应力 采用截面法将圆筒截开，横截面上有扭矩 存在，说明横截面上分布有与截面平行的应力， 即存在剪应力。
截面称为剪切面。剪切面平行于外力的作用线，且在两个反向外力的作用 线之间。
挤压：联接件和被联接件因相互接触而产生局部受压现象称为挤压。 挤压面：联接件与被联接件的相互接触面称为挤压面。
二、剪切变形的实用计算和剪切强度条件
剪力常用符号表示
FQ
实用计算法：假设切应力均匀地分布在剪切面上，设剪切面的面积为A 则切应力的计算公式为
铸铁试件：来自百度文库低碳钢试件：沿横截面断开。
材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生 破坏(塑性材料）；
沿与轴线约成45的螺旋 线断开。
材料抗拉能力差，构 件沿45斜截面因拉应力而 破坏（脆性材料）。
二、扭矩和扭矩图 1．外力偶矩的计算 在工程实际中，通常外力偶矩不是直接给出，而是通过轴所传递 的功率P和转速n计算得到的。已知轴所传递的功率P和轴的转速n， 则外力偶矩。 输入功率：P(kW)
则AB和BC段的弯矩方程为：
1 2 M 1 qx 2
M 2 qax 3 2 qa 2
0 xa
a x 2a
（3）绘制弯矩图。由弯矩方程知，M 1
是关于x的二次函数，其图形为开口向下的
（4）确定最大弯矩的数值。
抛物线，此抛物线没有顶点； 2是关于 x 的一次函数，其图形为直线。 M
38.8 10 6 Pa 38.8MPa [ ] 40MPa
满足强度条件.
(4) 刚度校核:
max
Tmax 180 702 180 9 4 GI p 80 10 0.1 0.045 3.14
故满足刚度条件
1.23 m 2 m [ ]