第二章 材料力学2

铸铁试件： 低碳钢试件：沿横截面断开。
材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生 破坏(塑性材料）；
沿与轴线约成45的螺旋 线断开。
材料抗拉能力差，构 件沿45斜截面因拉应力而 破坏（脆性材料）。
二、扭矩出，而是通过轴所传递 的功率P和转速n计算得到的。已知轴所传递的功率P和轴的转速n， 则外力偶矩。 输入功率：P(kW)
2．刚度条件 构件除应满足强度条件外，还需满足刚度要求。为了避免刚度不够而影响 正常使用，工程上对受扭构件的最大单位长度扭转角进行限制，即刚度条件 为
max
M T max 180 [ ] GI
刚度和强度条件一样可解决三类刚度问题。
§2-5 平面弯曲
一、 平面弯曲的概念 1．弯曲的概念
则AB和BC段的弯矩方程为：
1 2 M 1 qx 2
M 2 qax 3 2 qa 2
0 xa
a x 2a
（3）绘制弯矩图。由弯矩方程知，M 1
是关于x的二次函数，其图形为开口向下的
（4）确定最大弯矩的数值。
抛物线，此抛物线没有顶点； 2是关于 x 的一次函数，其图形为直线。 M
根据变形规律、变形与应力间的物理关系、静力平衡关系，可推导出 圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式：
MT Ip
I p 2 dA
A
是一个只决定于横截面的形状和大小的几 何量，称为横截面对形心的极惯性矩。

MT
—— 距离圆心为

处的切应力，MPa
—— 横截面上的扭矩，N· mm； —— 所求应力点到圆心的距离，mm；
（3）载荷与弯矩图之间的关系 梁上载荷与弯矩图之间有如下规律： ① 梁上没有载荷作用的区段上，弯矩图为一斜直线。 ② 梁上有均布载荷作用的区段上，弯矩图为一抛物线，抛物线的 开口方向与均布载荷的方向一致，即均布载荷向上，则抛物线开 口向上；反之，则抛物线开口向下。 ③ 有集中力作用的截面处，弯矩图会发生转折。 ④ 有集中力偶作用的截面处，弯矩图将发生突变，突变量的大小 等于集中力偶矩的大小；突变的方向与集中力偶矩的转向有关，若 外力偶矩为逆时针转向，则从上向下突变；反之，则从下向上突变。 【例2-11】 一外伸梁受力如图，试绘制其弯矩图。 解 （1）求反力 取梁为研究对象，受力分析如图(b)，列平衡 方程
max
M T max WP
强度条件解决三类问题：校核强度、设计截面尺寸、确定许用荷载。
某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩 T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
例
解：计算截面参数： D 4 Ip (1 4 ) 77 .1 10 4 mm 4 32 W I p 20 .3 10 3 mm 3 p D/2 由强度条件：
截面称为剪切面。剪切面平行于外力的作用线，且在两个反向外力的作用 线之间。
挤压：联接件和被联接件因相互接触而产生局部受压现象称为挤压。 挤压面：联接件与被联接件的相互接触面称为挤压面。
二、剪切变形的实用计算和剪切强度条件
剪力常用符号表示
FQ
实用计算法：假设切应力均匀地分布在剪切面上，设剪切面的面积为A 则切应力的计算公式为
B
477.5N· m Tn
C 955N· m
A
637N· m
例2-7-3 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率 NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料 为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。
38.8 10 6 Pa 38.8MPa [ ] 40MPa
满足强度条件.
(4) 刚度校核:
max
Tmax 180 702 180 9 4 GI p 80 10 0.1 0.045 3.14
故满足刚度条件
1.23 m 2 m [ ]
Fy 0
FA q 4 FB F 0
M A ( F ) 0 q 4 2 M FB 6 F 8 0
解得
FA 3kN
FB 7kN
计算控制截面的弯矩 确定抛物线顶点所在的截面 位置：假设离左端点距离为x 处剪力为零，则
T
转速：n(转/分)
P Me 9550 n
2．扭矩
MT
m
x
0
M T m 0，M
T
m
MT
对扭矩正负号作如下规定，即右手螺旋法则：四个手指的转向与 转向相同，大拇指与截面外法线方向相同规定为正，反之为负。
3．扭矩图 若作用于轴上的外力偶多于两个，此时圆轴各横截面上的扭矩 是不同的，为了分析最大扭矩，通常把表示扭矩随截面位置变化规 律的图形称为扭矩图。
三、圆轴扭转时的应力及强度计算 1．圆轴扭转时横截面上的应力 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分 两端施以大小相等方向相反一对力偶矩 # 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变。 # 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了 一个角度γ。
观察到：
由试验可得如下结论：


圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，其大小、形状以及相邻两截
I p 2 dA
A
D2
0
2 2 d
D 4
32
Wp
Ip
max

D 3
16
D 4
32
D 3
16
内径为d,外径为D的空心圆形截面的极惯性矩和抗扭截面模量分别为
Ip
(1 )
4
Wp
(1 4 )
d D
4．圆轴扭转时的强度
max [ ]
mc
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
0
M n1 mA 76.4 Nm
M n 2 114.6 Nm
例2-7 -2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
TB
TC
TA
TD 计算外力偶矩 D N TA 9550 A 1592N m n N TB TC 9550 B 477.5 N m n ND TD 9550 637 N m n m 作扭矩图 Tnmax=955N·
max
Tmax 97.5MPa [ ] WP
故轴的强度满足要求。 若将空心轴改成实心轴，仍使 max 97.5MPa ，则
max
Tmax 1.98 10 3 97.5MPa 3 Wp d / 16
由上式解出：d=46.9mm。
空心轴与实心轴的截面 面积比(重量比)为：
实际接触面面积；若接触面为曲面，则有效挤压面面积为曲面在挤压方 向上的正投影面面积。
工作面
(a)
(b)
挤压强度条件
jy
F jy A jy
jy

冲头 钢板
冲模
§2-4 圆轴扭转
一、圆轴扭转的概念
杆件扭转变形的受力特点：杆件受到作用面与轴线垂直的外力偶作用。
变形特点：杆件的各横截面绕轴线发生相对转动。
(1) 计算外力偶矩
NA 36.7 9550 1170N m n 300 N 14.7 TB 9550 B 9550 468N m n 300 N 11 TC TD 9550 C 9550 351N m n 300 TA 9550
(2) 画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:
令 —— 截面对圆心的极惯性矩， mm4。

Ip
显然，当
max
D 2
时，切应力为最大值
MT Ip
令
max
MT D Ip 2
IP Wp D2
，则上式可改写成
max
MT Wp
式中：
Wp
——抗扭截面模量，
mm 3 或 m 3
3．圆形截面的极惯性矩和抗扭截面模量 圆形截面的极惯性矩是只与截面形状和尺寸有关的几何量，圆形截面的抗 扭截面模量是圆轴抵抗扭转破坏能力的几何参数。 其极惯性矩和抗扭截面模量分别为
面之间的距离保持不变，故横截面上没有正应力； 由于相邻横截面发生相对转动，故横截面上必有垂直于半径方向呈
线性分布的切应力存在，且与扭矩的转向一致。最大切应力发生在圆轴横
截面边缘上，而圆心处的切应力为零，实心和空心圆轴横截面上的切应力 分布如图所示。
2．圆轴扭转时横截面上的切应力计算
结果说明横截面上没有正应力 采用截面法将圆筒截开，横截面上有扭矩 存在，说明横截面上分布有与截面平行的应力， 即存在剪应力。
先计算外力偶矩
mA 9550 NA 4 9550 76.4 Nm n 500
A
B
C
x
mA
N 10 mB 9550 B 9550 191Nm n 500
mC 9550 NC 6 9550 114.6 Nm n 500
x
Mn1
M
Mn2
X
0
M n1 mA 0


与扭矩、截面尺寸及材料性能有如下关系：
MT l GI p

为了消除轴长度

M Ti l i GI pi

l
对扭转角的影响，工程中常采用单位长度扭转角
来度量扭转变形，即
与
M T 180 GI P
（°/m）
GI P成反比，它反映截面抵抗扭转变形的能力，所以称