三年级奥数暑假复习讲义(教师版)

三年级奥数暑假复习讲义

【课程说明】

由于培优大纲顺序和本课程顺序不同，所以在学习此课程时，有些讲次安排打乱了, 重新排序不会影响知识点的学习。

【课程目标】

提升兴趣

※激发学生学习的主动性，乐于思考，乐于学习

培养习惯

※传授给学生正确的数学学习习惯，解题习惯

收获成绩

※通过正确的引导帮助孩子提高成绩，积累成就感和自信心

目录

第一讲高斯求和第二讲找简单数列的规律

第三讲上楼梯问题

第四讲植树与方阵问题

第五讲归一问题

第六讲平均数问题

第七讲和倍问题

第八讲差倍问题

第九讲和差问题

第十讲年龄问题

第^一讲鸡兔同笼问题

第十二讲盈亏问题

第十三讲巧求周长

第一讲高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算:

1 + 2+ 3+ 4+・・・+ 99+ 100=?

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于又

5050。高斯为什么算得快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

1 + 100=

2 + 99= 3+ 98=・・・=49+ 52 = 50+ 51。

1〜100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为

(1+100)x 100十2 = 5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

(1) 1, 2, 3, 4, 5, (100)

(2) 1, 3, 5, 7, 9,...，99;( 3) 8, 15, 22, 29, 36, (71)

其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；(3)是首项为8,末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=(首项+末项)X项数十2。

例1 1+ 2 + 3+-+ 1999=?

分析与解：这串加数1, 2, 3,…，1999是等差数列，首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得

原式=(1 + 1999)X 1999- 2= 1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11+ 12+ 13+…+ 31=?

分析与解：这串加数11, 12, 13,…，31是等差数列，首项是11,末项是31，共有31-11 + 1 = 21 (项)。

原式=(11+31)X 21-2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=(末项-首项)十公差+1, 末项=首项+公差X(项数-1 )。

例3、3+ 7+ 11 +…+ 99=?

分析与解：3, 7, 11,…，99是公差为4的等差数列，

项数=(99-3)十4+ 1 = 25,

原式=(3+ 99)X 25-2= 1275。

例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。

解：末项=25+ 3X( 40-1 )= 142,

和=(25+ 142)X 40-2 = 3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问：(1)最大三角形的面积是多少平方厘米？( 2)整个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表: 由上表看出，

各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数

列。 解：(1)最大三角形面积为

(1 + 3+ 5+-+ 15)X 12

=[(1 + 15)X 8-2]X 12

=768 (厘米 2)。 2)火柴棍的数目为

3+ 6+ 9+…+24=( 3 + 24)X 8-2=108 (根)。

答：最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。

例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成 3只球后放回盒 子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿 出十只球，将每只球各变成 3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析与解：一只球变成3只球，实际上多了 2只球。第一次多了 2只球，第二次多了 2X 2只球 第十次多了 2X 10只球。因此拿了十次后，多了 2X 1+ 2X 2+-+ 2X 10 =2X( 1 + 2+-+ 10) =2X 55= 110 (只)。

加上原有的3只球，盒子里共有球110+ 3= 113 (只)。 综合列式为：

(3-1 )X( 1 + 2+-+ 10)+ 3

=2X[( 1 + 10)X 10十 2]+ 3= 113 (只)。

练习3

1. 计算下列各题：

(1) 2 + 4 + 6+-+ 200;(2) 17+ 19+ 21 +…+ 39;

(3)

5+ 8+ 11 + 14+…+ 50;( 4) 3+ 10+ 17+ 24+…+ 101。 2. 求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。

3. 求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和

4.

时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问： 时钟一昼夜敲打多少

次？

5. 求100以内除以3余2的所有数的和

6. 在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个?

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