zt5专题五关于中值定理的应用

专题五 关于中值定理的应用

中值定理的形式很多，其应用也很广泛。众所周知，积分中值定理和微分中值定理是研究函数性质的重要工具。这里就中值定理在积分和微分两方面的应用进行答疑，并将其加以推广，意在扩大中值定理的应用范围，增强其实际应用价值。使中值定理发挥更大作用。

问题1：中值定理都包括哪些内容？它们的关系如何？

答：中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理及泰勒中值定理等。以拉格朗日中

值定理（也称微分学中值定理）为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广。下面分别介绍： 介值定理：设函数)(x F 在区间[]b a ,上连续，且A a F =)(，B b F =)(，B ≠A ，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()C F =ξ()b a <<ξ.

罗尔定理：如果函数)(x F 在区间[]b a ,上连续，在区间()b a ,内可导，且)()(b F a F =，那么至少有一点ξ()b a <<ξ，使得0)(='ξF .

拉格朗日中值定理：如果函数)(x F 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，那么至少有一点

ξ()b a <<ξ，使))(()()(a b F a F b F -'=-ξ成立.

柯西中值定理：如果函数)(x F 及)(x G 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且0)(≠x G 。那么至少有一点ξ()b a <<ξ使等式

()()()()a G b G a F b F --=()()

ξξG F ''成立. 问题2：积分中值定理都包括哪些内容？ 答：积分中值定理主要包括：

1、（积分第一中值定理）：若函数()x f 与()x g 在区间[]b a ,上连续，且()x g 在[]b a ,上不变号，则在

[]b a ,上至少存在一点ξ，使()()()()b b

a a f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰.

注: 该定理中()g x 在[],a b 是可积,且不变号,结论仍成立

2、（积分第二中值定理）：若函数()f x 在区间[],a b 非负单调递增,()g x 为可积函数,则存在

[],a b ξ∈，()()()()b

a a f x g x dx f a g x dx ξ

=⎰⎰

3、（定理3）: 若在[],a b 上()0f x ≥且单调递增,()g x 为可积函数,则存在[],a b ξ∈使得

()()()()b b

a

f x

g x dx f b g x dx ξ=⎰⎰.

4、（定理

4）:若在[],a b 上()f x 为单调函数,()g x 为可积函数,则存在[],a b ξ∈使得

()()()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f a g x dx f b g x dx ξ

ξ

=+⎰

⎰⎰.

问题3：积分中值定理的应用主要在哪些方面？ 答：积分中值定理的应用主要体现在下面五个方面，即：

一、 解决具有某些性质的点的存在问题；二、与极限有关的问题；三、证明积分不等式； 四、解决与收敛有关的问题；五、用于估计定积分的值。

问题4：能举例说明积分中值定理在“解决具有某些性质的点的存在问题”方面的应用吗？

答：在积分知识的学习过程中,有关定积分具有某些性质点的存在性的论证是学习的一个难点.一般,

我们应仔细观察被积函数所具有的性质,注意利用微分中值定理和积分中值定理等途径.从而达到有关问题的证明。

例1.设函数()f x 在[]0,π上连续,且()0

0f x dx π=⎰,()0

cos 0f x xdx π

=⎰，试证: 在()0,π内至少

存在两个不同的点1ξ，2ξ使()()120f

f ξξ==。

证明：若()0f x ≡，[]0,x π∈结论显然成立； 假使()0f x ≠，由积分中值定理，存在()10,ξπ∈，使()()()1

00f x dx f π

ξπ=-=⎰，

即()1

0f ξ=， 若在()0,π内()0f x =只有一个实根1ξ， 由()0

0f x dx π

=⎰可知，()f x 在()10,ξ与()1

,ξπ内异号，

不防设在()10,ξ内()0f x >，在

()1,

ξπ内()0f x <，而cos x 在()0,π为单调下降，故

()()()()110

cos cos cos cos f x xdx f x dx f x x dx π

π

πξξ-=-⎰

⎰⎰

()()()()1

1

110

cos cos cos cos 0f x x dx f x x dx ξπ

ξξξ=-+->⎰⎰

与

()()0

cos 0,0f x xdx f x dx π

π

==⎰

⎰矛盾。于是除1ξ外，在()0,π内()0f x =至少还有一个实根

2ξ，故至少存在两个相异的实根()12,0,ξξπ∈，使()()120f f ξξ==

例2 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内二阶可导，且()()()1

b

b a

a

f a f b f x dx -==⎰

试证：存在一点(),a b ξ∈ 使()0

f ξ''=